2025年新高考数学押题卷（二）解析版

2025年新高考数学押题密卷（二）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合A={l,2,0,-2},8={>,=炉+%xe&},C=卜ez/-6无V厕3cC=（）

A.{0,2}B.{0,2,6}C.{1,2,0,-2}D.{0,2,6,2}

【答案】B

【解析】集合A={1,2,0,—2},则3=}卜=尤2+兑彳€4}={0,2,6},

XC={xeZ|x2-6%<0}={0,l,2,3,4,5,6},所以3cC={0,2,6}.

故选：B

66

2.用最小二乘法得到一组数据（4y）«=L2,3,4,5,6）的线性回归方程为f=2x+3,若£匕=30,则»产

Z=1J=1

（）

A.11B.13C.63D.78

【答案】D

【解析】依题意，

6__

因为£匕=30,所以彳=下=5,

,=i6

因为线性回归方程为g=2x+3一定过点GJ）,

所以亍=27+3=2x5+3=13,

6

所以=6x13=78.

i=l

故选：D.

3.在,.ABC中，AB=4,AC=3,|AS+Ac|=|A8—Ac|,则（）

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

第1页共17页

【解析】因为,台+人牛陛-叫，所以（AB+AC『=（45一AC『，

目uun?uunmm\jm2uui2uimuumuurn?

即AB+2ABAC+AC=AB-2ABAC+AC，

所以AB・AC=O，即A5_LAC，

所以A3-3C=A3（AC-A3）=ABAC-府=0—42=—16.

故选：B

4.已知函数/。）=51112冗_8S2冗（%£10,（（%）是/（%）的导数，则以下结论中正确的是（）

A.函数是奇函数

B.函数与r（无）的值域相同

77

C.函数〃尤）的图象关于直线％对称

4

D.函数/（x）在区间上单调递增

【答案】D

【解析】由题意，/（x）=sin2x-cos2x=-cos2x,/r（x）=2sin2x,

对A,/（x+Tj=-cos2（x+'1=cos2x为偶函数，故A错误；

对B,易知"X）的值域为［-M］,尸（力的值域为［-2,2］,故B错误；

对C,/（：）=一cos5=0,故C错误；

对D,xe牛iJaxell>gkeElyMCOsZx单调递减，故了（尤）在区间（己,［上单调递增，故D正确.

故选：D.

5.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球

的体积为（）

A.8TIB.—C.小包D.包互

3273

【答案】D

【解析】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点。，设外接球半径为『，

正八面体的棱长为2,

在AMOE中，OM=OE=r,ME=2,ZMOE=90,

所以OM=OE=r=&，

所以V=百兀7/=■1无x（夜）=8后7T.

33\,3

第2页共17页

故选：D.

6.已知集合4=卜3-；1,；,2,31,若且互不相等，则使得指数函数丫=优，对数函数

y=log〃x,幕函数y=x。中至少有两个函数在(0,+⑹上单调递增的有序数对(a,),c)的个数是()

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】若＞=优和y=iog〃尤在(。,+8)上单调递增，＞=尤,在(0,+8)上单调递减，

则有A；C=4个;

若y=优和y=V在(0,+8)上单调递增，＞=10g,X在(0,+8)上单调递减,

则有C[C；・C；=8个；

若y=log,/和y=/在(0,+oo)上单调递增，y=优在(0,+＜»)上单调递减,

则有C；.C＞C；=8个；

若＞=优、y=log〃尤和y=x°在①,+8)上单调递增，贝I]有A；=4个；

综上所述：共有4+8+8+4=24个.

故选：B.

7.已知数列｛%｝的各项均为正数，记A(")=4+%+，1+。.，B(")=%+/+，,+“”+1，

。(“)=/+4+-+。“+2，“eN*,设甲：｛。“｝是公比为4的等比数列；乙：对任意〃eN*,A(n),

B⑺,C(〃)三个数是公比为q的等比数列，则()

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

第3页共17页

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】充分性：

若｛。,｝是公比为q的等比数列，

+a2++。〃）qA⑺

人」A⑺A（n）A（n）''

C（n）<u+q+•+an+x）qB（n）

B（n）B（n）B（n）明

g1J£A（Bn）=~£B⑻B'

故A（a）,B（〃）,C（〃）三个数是公比为q的等比数列，则充分性成立；

必要性：

若对任意〃eN*,A（n）,B（n）,C⑺三个数是公比为q的等比数列，

当〃=1时，A（l）=iZj,3（1）=%,C（l）=o3,

则%的g为公比是9的等比数列.

当〃22,〃eN时，

有C（n）-B（n）=q［B（n）-A（n）］,

即4+2-％=4（q+1-%），又4=44，

贝14+2=，即=q,

an+\

则｛。,｝是公比为q的等比数列，必要性成立.

故选：C.

8.设。为坐标原点，直线/过抛物线。：/=2朝（2>0）的焦点尸，,；；且与C交于M,N两点，其中M

在第一象限，则下列正确的是（）

A.C的准线为x=_<

4

B.||MF|+||WF|+的最小值为|+专

C.以MN为直径的圆与X轴相切

D.若。（O，P）且|MQ|=pWF|,则/ONQ+/OMQ>180

【答案】B

【解析】对于选项A,由抛物线C:l=2py（p>0）的焦点尸可得］=；,

第4页共17页

所以C:/=y,即C的准线为了=-;，故A错误;

联立直线与抛物线方程可得病产-生产y+A疗=0,

2

—T4曰m+21

可付M%%=7T；

2m16

由抛物线定义可得=\MMt\=%+；,|NF|=|MVj=%+：；

所以:|MF|+：|N司+叼/司=；卜+［+：［%+；］+1%+；*%+；］

13、3cH3④

=—y+y+->-+2,—y,-y=一+——,

2］21288V221284

当且仅当gx=%，即％=孝，>2=/时，等号成立；即B正确；

对于C,以MN为直径的圆的圆心为（冬三,"211，

此时圆心到x轴的距离为”=21±匹=如二

24疗

而尺=殍=；（阿孙+加闯）=；（%m2+2

+->d

4m24

所以以MN为直径的圆与1轴相交，即C错误;

对于D,易知由|MQ|=|MP|可知/点在。尸的垂直平分线上，所以M

由的即可得NJ*如下图所示:

OO

第5页共17页

NO-NQ=与,-之-L=所以NONQ<90,

66八63J6189

同理可得M0.MQ=-与「J,_坐,！=H=M>0,可得/OMQ<90,

(48只48186464

所以/0囚。+/。加。<180,即D错误；

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z“Z2,则下列命题正确的是()

A.若闻=忤|,贝I]Z1=±Z2B.若Z]=Z2,则卬2卜岗2

C.若马是非零复数，且Z；=Z|Z2,则4=Z2D.若4是非零复数，则z+'wO

Z\

【答案】BC

【解析】对于A项，若4=l+i,z2=V2i,显然满足团=同，但z=±z2,故A项错误；

22

对于B项，设4=a+6i(a,6eR),则Z2=“-6i,zxz2=(a+bi)(a-bi)=a+b,故|z0|="+6?而

匕『=/+/，故B项正确;

对于C项，由婷=牛2可得：zf-z1z2=z1(z1-z2)=0,因Z]是非零复数，故4—2=0,即4=z2,故C

项正确；

对于D项，当4=i时，4是非零复数，但Z]+—=i+：=i-i=°,故D项错误.

Z]1

故选：BC.

10.已知函数〃尤)=(/+G+"e"下列结论正确的是()

A.若函数〃x)无极值点，则/⑺没有零点

B.若函数〃x)无零点，则“X)没有极值点

C.若函数f(x)恰有一个零点，则/(x)可能恰有一个极值点

D.若函数有两个零点，则一定有两个极值点

【答案】AD

第6页共17页

【解析】

若函数“X）无极值点则，则A=（a+2）2-4（a+b）V0,

此时4-46+4V。，BPa2-4b<-4,所以/'（x）=（f+依+Z?）e*>。，没有零点，如图①；

若函数f（x）无零点，贝I］有〃-4Z?<0,止匕时〃-4》+4<4,

当片一46+4>。时，:先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；

若函数〃尤）恰有一个零点，则片一46=0,

此时笛-46+4=4>0,广（X）先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；

若函数〃尤）有两个零点，则片一46>0,止匕时02一46+4>4>0,尸（力先正再负再正，

函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；

所以AD正确.

故选：AD.

11.正三棱柱ABC-A与G中，AB=/1A=1,点尸满足3尸=X3C+〃期，其中法［0』，则

（）

A.当3=0,〃=1时，AP与平面ABC所成角为:

4

B.当2=g时，有且仅有一个点P,使得4尸，2尸

C.当；1=1,〃=；时，平面AB|P_L平面4AB

D.若则点尸的轨迹长度为F

【答案】ACD

【解析】当4=0,〃=1时，尸与片重合，

由已知得，42,平面ABC,

所以/用AB就是Aq与平面A3c所成的角，

因为AB==1,

所以tan/4AB=2=1,

第7页共17页

IT

所以的B="

jr

即”与平面ABC所成角为％,A正确,

当彳=；时，取线段BC,与G中点分别为

连接MM-

因为BP=；BC+〃BB],即=,

所以MP〃BB],

则点尸在线段政明上，

T§;MP=X(O<X<1),则PM]=1—x,

则3尸2=3加2+“尸2+f,

3

=A,M^+PMj2=-+(1-%)9,A.B2=2,

若4P_LBP,则A1B2=BP2+AjP2,

i3

贝1J2=—+f+—+(l)29,

44v7

贝lJx(x-l)=O,所以无=1或尤=0,

则点尸与加、“I重合时，A{P1BP,

即当X=g时，存在两个点尸使得4尸，2尸，故B错;

第8页共17页

1-1—

当;1=1,〃=一时，BP=BC+-BB.,

22

则CP=；叫，所以P是中点，

取3c中点2,Bg中点”，

建立空间直角坐标系，如图，

则&¥，0,0,，

所以A5=|一5-5。,BB,=（0,0,1）,

AB=金』,AP=

1~~2，^2,2

77

设平面4AB和平面AB]P的一法向量分别为用=（玉,%4）,公=伍,%/2）,

~4n，r3~1cAB,,n=------xH—]y+z=0

AB-m=------x,+-y.=01?92?992

则21271,f

BB}-m-zx-0AP-n=--x2-^y2+^z2=0

|一走

解得1r%=届।r22Z2

解唯=0)kF-

令玉=1,z2=2,

可得加=(1,百,0),〃=(/,-!,2),

因为加•〃=^3—>/3=0,

所以"7_L〃，

即平面A4P_L平面,c正确；

若|AP|=1,因为，2e[0,l],/7G[0,1],

所以点尸在侧面BCC4上，

第9页共17页

又A。，平面BCC再，AQ=^-,

所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为J的半圆，轨迹长度为g,故D准确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知空间中三点A(l,1,6),2(1,-1,2),C(0,0,0),则点A到直线BC的距离为.

【答案】百

【解析】A(l,l,^),8(l,T2),C(0,0,0),

.■.CA=(1,1,V3),CB=(1,-1,2),.-.|C4|=J12+12+(>/3)2=6画=^/l2+(-1)2+(2)2=&

〜fCACB1X1+1X(-1)+2A/32百M

..cos<CA,CB>=■；—j-j—=--------7=—T=---=-=---,

|G4||CB|75X76屈5

sin<CA,CB>=-Jl-cos2<CA,CB>=,

设点A到直线8C的距离为d,则

d=|c$sin<CA,CB>=国半="

故答案为：5

13.设U1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若竺驾二瞥+"=则人=

acosB+bcosAc

【答案】y

■一一」..acosB-bcosAb力十……丁巾/口sinAcosB-sinBcosAsinB,

【斛析】在jlBC中，由--------；------^+―=1及正弦7E理得:------------------------------+-------=1,

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

„,sinAcosB-sinBcosAsinB,

贝lj------------------------------+------------------------------=1,

sinAcosB+sinBcosAsinAcosB+sinBcosA

整理得sinAcosB—sinBcosA+sinB=sinAcosB+sinBcosA,即2sinBcosA=sinB,

1JT

XsinB>0,因此COSA=5，而OvAv兀，所以A=1.

故答案为：—

14.已知偶函数”力的图象关于直线x=2对称，"2)=2,且对任意不,马且。』，均有

〃为+%)=〃占)+/仁)成立，若/⑺+++/[[]<♦对任意“eN*恒成立，则，的最小

第10页共17页

值为.

【答案】5

【解析】因为函数“X)的图象关于直线x=0和x=2对称,

所以〃x)=〃4r)=〃x—4),所以其周期7=4,

/(玉+%)=/(玉)+/(尤J中，令再=%=1得，/(2)=2/(1),

又"2)=2,解得"1)=1,同理可得=

所以〃7)=〃3)=〃1)=1,/出=/出=]

f[^]=f[^]+f[^]=v解得4月=，

依次类推，可得当“22时，/二]=二，

7__7_

所以〃7)+/0+/5++/百=1+}4^=5-1，

2

又/⑺+./■[]+/〔(■〔++/■(()＜，对任意〃eN*恒成立，故此5.

故答案为：5.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

如图，在四棱锥尸-ABCO中，PB_L底面ABC。，ABJ.BC,ADUBC,BC=2,BA=1,AD=3,

⑴若BE〃平面尸CD,求实数2的值；

(2)若BE，平面PAD,求直线BE和平面尸CQ所成角的正弦值.

【解析】(1)

因为PB_L底面ABCD,3C,A3u平面ABCD,

所以P3J_BC,PBVAB,

第11页共17页

又因为

所以ABBCPB两两垂直，

以2为坐标原点，氏4所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，2尸所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系,

因为BC=2,BA=1,AD=3,PB=6,AE=AAP,

所以8(0,0,0),A(l,0,0),P(0,0,迅),C(0,2,0),。(1,3,0),设醺々力©,

故(a—1,。,°)二9―1,0,5^),解得：a=l—A,b=0,c=A/32,

故41一尢0,&),5石二(1一40,耳)，

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

m-PC=(x,y,z)・(0,2,-^3j=2y—y/3z=0

PD=(x,y,z”l,3,-V^)=x+3y-^z=0

令z=l,解得：y=—,x=~—,

22

故T考引

,1K--+—2+^2=0

由题意得：BELm，即2E-"?=(I-4O,J^I)/_立百

22

(2)设平面PA。的法向量为〃=(国,加4),

九尸4=(%，%，4)(1,0,—3)=玉一04=0

n-PD=(xl9yl,ziy(l,39-y/3^=xl+3yl-y/3z1=0

令4=1,则玉=J5,%=。，

故〃=("o,l),

第12页共0页

由于5£，平面皿），所以5EV/〃，设BE=tn，

1—A.—也)t

]_

即0=0/,解得：A

4,

y/3A.=t

故哈H，。,

由（1）得：平面PC。的法向量为〃?=I22J

设直线BE和平面PC。所成角的正弦值为0,

|m-

故sin0=cos(m,BE\=Vio

直线BE和平面PCD所成角的正弦值为叵.

20

16.(15分)

小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是:，击中区域乙的概率

是:，击中区域丙的概率是:，区域甲，乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是：若击中区

域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则

获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”

称号.

（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；

（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X,求X分布列和数学期

望.

【解析】（1）记“射击一次获得'优秀射击手'称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件8；

射击一次获得一等奖为事件C,所以有A=8C,所以尸（2）=；,

尸⑹4十、所以尸（4）=尸®C）=P（B）+P（C）=g+g*.

（2）获得三等奖的次数为X,X的可能取值为0,1,2,3,4；

记“获得三等奖”为事件D,所以P（O）=：+Jx;=J,

''8424

所以P（X=0）=C尸(X=1)=C；

第13页共17页

17.(15分)

已知数列｛%｝满足4+2%+…+加〃=(〃—+2.

⑴求｛%｝的通项公式；

7114

(2)设2=—+—,证明：bx+b2+...+bn<-.

册册3

【解析】(1)由题意可知，当"=1时，。1=2；

当儿22时，由4+2a2=(及一+2得，q+2%+..♦+(〃-1)?2)2”+2,

两式作差可得，加〃=(〃—I)?」—(〃—2)♦2"=九・2",「.丁=2〃,

41=2也适合该式，故为=2"；

(2)证明

故4+&+

11114

=1—一+——x——

T334〃3

由于〃wN*,则1/装1布＞0,故4丁([三1+我1不)上4葭

4

即4+Z?2+—+bn<—.

18.(17分)

已知函数〃X)=31nx-ax.

⑴讨论的单调性.

⑵己知占,工2是函数f(X)的两个零点(X]＜々).

第14页共17页

(i)求实数“的取值范围.

(ii)240,£|,广(x)是的导函数.证明：r[2x1+(l-2)^]<0.

【解析】⑴-(无)=三q_竺zyy(尤>o).

①当aW0时，r⑺>0J(x)在(0,+8)上单调递增.

②当a>0时，令尸(x)>0得0<x<即〃x)在,，皆上单调递增;

同理,令/(x)<0得x>?，即f(x)在上单调递减.

(2)(i)由(1)可知当aWO时，”力在(0,+助上单调递增，不可能有两个零点.

当a>0时，〃力在(0。上单调递增，在。+二|上单调递减，

若使外力有两个零点，则即31]-3>0,解得0<a<|,

JzL/(l)=-a<0,当Xf+8时，〃力——电，则有X]〈I,，,々

所以”的取值范围为,j；

(ii)是函数的两个零点，则有31nxi=叫①，31nx2=ax2@,

31H

①-②得3(1%_lnxj=q(x2—百)，即八一

x2-xx

「出+(1-小2)=”+(［小=3

Ax,+(1-A)X2x2-xl

因为/(')有两个零点，所以/("不单调,

3

因为玉<%2，得0<玉<一<九2，

a

所以％>0,2^+(1-2)X2>0.

若要证明「(彳玉+(1—⑷%)<。成立，

只需证1L—即11?<°，

/I%+I1—AI^2再

即证2+(；一2)7-In—<0,令"血，则"1,

X石

第15页共17页

则不等式只需证而fTn”,

即证，-1一[几+(1-冷41皿<。，

令h(t)=1—[之+(1—4)/]lnZ\%>1,

/(。=(丸一1)1皿+2(1—；)，令l(t)=h(t)=(2-l)ln/^+A(l--),

/,⑺=(x?+x

令夕(。=(九一1"+/1,因为彳e(0,g],得在(1,+8)上单调递减，

得e(。<0(1)=2；1—1<0,得/即〃(/)在(1,+8)上单调递减，

得〃«)<〃(1)=0,得/«)<0,即在(1,+8)上单调递减，

所以有蛇)</"1)=0,

故有-1-[彳+(1-/1)小皿<0,不等式得证.

19.(17分)

22

定义：若椭圆C:\+2=1(。>匕>0)上的两个点AQ，M),5(XQ,)满足斗+警=0,则称A3为

abab

该椭圆的一个“共轨点对”，记作[A3].已知椭圆C的一个焦点坐标为4-20,0),且椭圆C过点A(3,l).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求“共辗点对”[A间中点B所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ//OA,(2)中的直线/与椭圆C交于两点耳.层，且

与点的纵坐标大于0,设四点4,尸，与，。在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形耳尸生。的面积小于8g.

22

【解析】(1)依题意，椭圆C：鼻+2r=1(。>6>0)的另一焦点为E(2加,0),

ab

2222

因此2a=|4月|+1AF21=J(3+2A/2)+1+J(3-2>/2)+l=(2若+«)+(2百-遥)=4若，