2025年新高考数学重难点突破：圆锥曲线易错题十五大题型（解析版）

重难点13圆锥曲线易错题十五大题型汇总

题型解读

好W满分技巧

易错一.忽略椭圆定义中的限制条件

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内"这一条件不能忽视.

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.

易错二.忽略椭圆焦点位置的讨论

椭圆的标准方程有两个，焦点分别在两个坐标轴上；求椭圆方程时，如果无法确定焦点位置时，常常要进

行分类讨论.此类问题也可设椭圆方程为mx2+ny2=l(mwn,m>0,n>0)因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦

点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.

易错三.忽略双曲线定义的限制条件

L定义：在平面内，到两个定点耳、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(〃大于0且2。<|斗)的动点

P的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点片、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.若去掉定义中的“绝对值"，常数.满足约束条件：归耳1/啊=2。<闺闾(a>Q),则动

点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若||-|?用=2a<国耳|(a>0),则动点轨迹仅表示双曲

线中靠焦点的一支；

2.若常数a满足约束条件：旭娟"||=2a=|耳闾，则动点轨迹是以FKF2为端点的两条射线(包括

端点)；

3.若常数a满足约束条件：\[PFi\-\PF^=2a>\F1F2\,则动点轨迹不存在；

4.若常数。=0，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

易错四.忽略双曲线位置的讨论

双曲线的标准方程有两种形式，其焦点分别在x,y轴上，焦点位置不同求出的解是不一样的，在解题时要注

意分类讨论.

易错五.忽略抛物线定义的限制条件

抛物线的定义是到定点距离等于到定直线距离相等的点的轨迹，注意定点不在定直线上，在解方程时注意

点的坐标范围。

易错六.忽略抛物线的焦点所在位置的讨论

抛物线的焦点位置有四种不同的位置，在解题时要注意避免因焦点位置不同而出错.

易错七.忽略抛物线需要转化为标准形式

抛物线方程如果是y=ax2类型，需要转化为焦点在x轴抛物线的标准形式x2=y,然后在进行求解其他的量。

易错八.求轨迹方程忽略取值范围

在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这一点易被忽视.

易错九.忽略判别式大于零

在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意；二次项的系数是否为零?判别式A1的限制

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△>0下进行）.

易错十.弦长公式需要合理选择

弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点AB且Xi,X2分别为A,B的横坐标,

2

|AB=V1+k\x1-x2|,

若为,为为分别为A,B的纵坐标，则ABI=Jl+加-y2|,

若弦AB所在直线方程设为x=ky+MMAB|=VrTF|yi-y2|.

易错十一.混淆相切与有一个公共点

当联立直线与圆锥曲线方程构成方程组有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关

系；在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.在解题过程中要注意如下细节：①设直线

方程时，要注意直线斜率是否存在，如果不确定需讨论；②联立方程组，消元得到关于x或y的方程后，

要注意二次项系数是否为0情况的讨论；③直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情

形：相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛

物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点.

易错十二.忽视数形结合的使用

解析几何中解题的关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作

用，如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆、经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分

线、中点弦问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是解决解析几何问题的重

要思想方法，要记得画图分析！

易错十三.忽视焦点弦与非焦点弦

求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点

弦公式，否则只能用一般弦长公式

2

(1)一般弦长公式：ABI=VI+/c|%i-%2|=Ji-y?l.

(2)焦点弦长:设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦，人的加破施必),则弦长

|AB|=|AF|+|BF|=Xi+X2+p.

题型提分练/

题型1椭圆定义忽略限制条件

【例题1】(2023上・浙江金华・高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习)设「0,丫)满足:，例+3+2)2+

V%2+(y-2)2=5,贝UP的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.不存在

【答案】B

【分析】设尸1(0,-2),F2(0,2),即可得到|Pa|+|PF2|=5,根据椭圆的定义判断即可.

【详解】设尻(0,-2),尸2(。，2),则IP&I=+。+21,\PF2\=J/+。一2)2,

由J/+(y+2)2++十—2)2=5,即1PF/+|PF2|=5,

又内加=4,所以|PFil+\PF2\=5>又F2I,

根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以0(0,-2),F2(。，2)为焦点的椭圆。

故选：B

【变式1-1】1.(多选)(2023上•吉林松原•高二校考期中)下列说法正确的是()

A.已知点6(-1,0),F2(l,0),动点P满足［PF/+\PF2\=4,则点P的轨迹是椭圆

B.已知点6(—1,0),F2(l,0),动点P满足|PFi|+\PF2\=2,则点P的轨迹是椭圆

C.已知点a(-1,0),F2(l,0),动点P满足|PF1|+\PF2\=1，则点P的轨迹是椭圆

D.已知点&（—1,0）,F2QO），动点P满足IP&I+IPF2I=3,则点P的轨迹是椭圆

【答案】AD

【分析】根据椭圆的定义分别判断各选项.

【详解】A选项：|P6|+|PBI=4>=2,所以动点P的轨迹是椭圆，A选项正确；

B选项：IPFJ+IPF2I=2=l&Fzl,所以动点P的轨迹是线段F/2，B选项错误；

C选项：IP&I+\PF2\=1<\FrF2\=2,所以动点P不存在，C选项错误；

的选项：IP&I+IPF2I=3>|尸161=2,所以动点P的轨迹是椭圆，D选项正确；

故选：AD.

2

【变式1-1]2.（多选）（2023上河南•高二校联考期中）0°<a<180。变化时,方程式+ycosa=1表

示的曲线的形状可以是（）

A.两条平行直线B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线

【答案】ABD

【分析】根据cosa符号，对角a分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形

状即可.

【详解】当a=90。时，cos900=0,方程%2=L得％=±1表示与y轴平行的两条直线;故A正确；

当a=0°时，cosO°=1,方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆;故B正确；

当90°>a>0°时，1>cosa>0,方程%2+y2cosa=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆;故C错

误；

当180°>a>90°时，cosa<0,方程/+y2cosa=1表示焦点在x轴上的双曲线;故D正确；

当a=180°时，cosl80°=-1,方程%2-y2=1表示焦点在%轴上的等轴双曲线.

故选:ABD.

【变式1-1]3.（多选）（2023上•江苏扬州•高二仪征市第二中学校考阶段练习）下列命题错误的是（）

A.若定点&F2,满足尸i&|=8,动点P满足|P6I+\PF2\=8,则动点P的轨迹是椭圆

B.若定点&尸2，满足RF2I=8,动点M满足IMF/+\MF2\=10,则M的轨迹是椭圆

22

C.当1<k<4时，曲线C：凸+y=1表示椭圆

4-kk-1

D.若动点M的坐标满足方程9+1=1,则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（土/,0）

【答案】AC

【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若定点&尸2,满足IF/21=8,动点P满足|PFil+|P&I=8=\FrF2\,

可得点P的轨迹为以&F2为端点的线段，所以A不正确；

=

对于B中，右定点F1/2I满足IF/2I=8,动点两足IMF/+\MF2\10>\F^F2\,

由椭圆的定义，可得点时的轨迹是以&,尸2为焦点的椭圆，所以B正确；

对于C中，当1<k<4时，曲线C：>=1,若4-k=k-1时，即k=?时，此时曲线表示圆，所

4-kk-12

以C不正确；

对于D中，若动点M的坐标满足方程9+1=1,则点M的轨迹是椭圆，

其中=4方=2,可得C=7^二京=V2,所以焦点坐标为（士企,0）,所以D正确.

故选：AC.

【变式1-U4.（多选）（2023上•江西南昌•高三南昌市第三中学校考阶段练习）下列结论正确的是（）

A.平面内与两个定点Fl,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

C.方程m/+政2=l（m>0,n>0,m^n）表示的曲线是椭圆.

D与+2=1（a>b>0）与\+总=1（a>6>0）的焦距相同.

【答案】CD

【分析】根据椭圆的标准方程、定义性质即可得到答案.

【详解】对A,要使"平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆"，

还需要这个常数大于两个定点的距离，所以A错误.

对B,离心率e越小，这时6就越接近于a,椭圆就越圆，故B错误；

22

对C,方程zu/+72y2=i(m>Ozn>O,m^n)可化为"+*=1,

mn

且由爪>0,n>0n有5>；>0或;>*>0，即11=1是焦点在%轴或焦点在y轴的椭圆的标准

mn

方程，

故方程小%2+71y2=i(m>o,n>O,m^n)表示的曲线是椭圆，选项C正确；

对D,由题意得两个椭圆的焦距均为2,故D正确；

故选：CD.

【变式1-1]5.(多选)(2023下•河南;累河•高二统考期末)下列命题中正确的是()

A.若平面内两定点4B,贝II满足|P川+\PB\=2a(a>0)的动点P的轨迹为椭圆

B.双曲线/一川=1与直线％-y-2=0有且只有一个公共点

C.若方程三-三=1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

4—LU—1

D.过椭圆一焦点F作椭圆的动弦PQ,则弦PQ的中点M的轨迹为椭圆

【答案】BD

【分析】根据椭圆定义可判断A；双曲线与直线联立求解可判断B;根据方程表示焦点在y轴上的双曲线求

出t的范围可判断C；设椭圆方程为9+卷=l(a>6>0),弦PQ的中点为M(x,y),当直线PQ与x轴不垂

直时，设弦PQ方程为y=-c),与椭圆方程联立利用韦达定理可得动弦PQ的中点横、纵坐标，得k=

-袅X,代入y=k(x-c)可得中点M的轨迹方程，当直线PQ与X轴垂直时直接得答案可判断D.

【详解】对于A,根据椭圆定义,若平面内两定点4、B,则满足|P川+\PB\=2a(a>0)且2a>\AB\

的动点P的轨迹为椭圆，故A错误；

(Y—v—2=0x=-

对于B,由21得4所以双曲线/一2=1与直线X2=0有且只有一个公共点,

z

(x=1v=_£

V4

故B正确；

对于C,若方程。=1表示焦点在y轴上的双曲线，则*—：：g,方程组无解，故C错误;

4—CC—114—L<.U

22

对于D,不妨设椭圆方程为京+章=13>6>0),a2—炉=c2(c>0),

则F(c,0),弦PQ的中点为M(x,y),

当直线PQ与x轴不垂直时，设弦PQ方程为y=fc(%-c),

y=k(x—c)

222222222

%y,联立可得(序+ak)x-2cakx+(a/cc)-(ah)=0,

I了+”=1

所以动弦PQ的中点横坐标为x=黑，,中点纵坐标为y=k(4盘-c),

'_ca2k2

所以“二朝5、，可得仁-爷巴代入y=k(x—c)可得皑2+第=1,当直线PQ与久轴垂直

_7,(caK\yo————

时，弦PQ的中点为F(c,0)在与-+5=1上，综上弦PQ的中点M的轨迹为椭圆,故D正确.

44a2

故选：BD.

22

【变式1-U6.(多选)(2022上•新疆克拉玛依・高二克拉玛依市高级中学校考期中)若方程三+三=1所

表示的曲线为c,则下面四个命题中正确的是（）

A.曲线C可能是圆

B.若C为椭圆，则1<t<3

C.当t>2时曲线C是焦点在y轴上的椭圆

D.当"0时曲线C不是椭圆

【答案】AD

【分析】根据椭圆标准方程满足的关系，分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可

【详解】若t=2则方程为/+好=1曲线C表示圆，故A正确

-3-t>0

若C为椭圆，则t-l>0l<t<3且tH2,故B错误

3—t丰t—1

3-t>0

若C是焦点在y轴上的椭圆，则t-l>0,.-.2<t<3，故C错误

X—1>3—t

若t=。则方程为9-y2=1表示双曲线，则曲线C不是椭圆，故D正确，

故选：AD

题型2椭圆方程忽略焦点位置的讨论

【例题2］（2023上・湖北武汉・高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆C；9+为=1的离心率为］则实

数k的值为（）

A.2B.2或7c.2或?D.7或日

【答案】C

【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.

22

【详解】由题意，椭圆—+占=1,则k+l>。，且卜+。4，

由离心率。=上注=］解得/=|，

若椭圆的焦点在久轴上，则9=牛=）解得：卜=2；

若椭圆的焦点在y轴上，则捺=土=.解得：k=葭；

综上知，k=2或学

故选：C.

【变式2-1]1.（2023上•河南洛阳・高二洛阳市第一高级中学校考期中）已知椭圆C过点（3,0）,且离心率

为手,则椭圆C的标准方程为（）

A.巨+”=1B."+过=1

93279

c.次+日=1或次+些=1D.应+竺=1或日+次=1

933993279

【答案】D

【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.

【详解】若焦点在x轴上，则a=3.由6=£=¥，得c=&，所以b2=a2-C2=3,

a3

此时椭圆c的标准方程为9+9=1.

若焦点在y轴上，贝！]b=3.由e=（=Jl-§=小一爰=y，得=27,

22

此时椭圆c的标准方程为卷+^=1.

综上所述，椭圆c的标准方程为9+?=1或,+总=1.

故选：D.

22

【变式2-1】2.（多选）（2023上•安徽合肥•高二校联考期中）已知曲线C：—+券=1为椭圆，则（）

1—THZ十TH

A.-2<m<1

B.若C的焦点在x轴上,则C的焦距为2V—2帆—1

C.若。的焦点在x轴上,则C的短轴长取值范围为（0,日）

D.若C的焦点在y轴上,则C的离心率为后不

【答案】BD

【分析】根据已知列出关系式，求出血的范围，以及得出a,b,c的值，进而得出答案.

1—m>0

【详解】对于A项,由题意可知2+m>0,解得-2<m<-[或-]VmV1,故A项错误；

.1—m2+m

对于B项，当C的焦点在％轴上时,c=Va2-b2=J1-TH-（2+m）=V-2m-1,所以C的焦距为

一故项正确；

2、一2m1zB

对于C项，当C的焦点在入轴上时，l-m>2+m>0z

所以一2VmV-J贝1]0<m+2<|,所以0V2Vm+2<V6,

则C的短轴长的取值范围是（0,伤），故c项错误；

对于D项，当C的焦点在y轴上时，c=Va2-b2=52+zn-（1一/n）=，27n+1,

所以C的离心率为e==佟亘,故D项正确.

y/2+m72+m

故选：BD.

【变式2-1]3.（2023上•江苏南通•高二校联考阶段练习）若椭圆5+f=1的离心率为f,则小的值

为

【答案】4或；

【分析】分m>1和0<m<1两种情况，根据椭圆的离心率公式进行求解即可.

【详解】当m>1时，该椭圆的焦点在工轴上，所以有。=布*=1=>c=Va2-b2=7m-1,

因为该椭圆的离心率为手,所以军=fm=4；

Z-\JTTIZ

当0<m<1时，该椭圆的焦点在y轴上,所以有a=l,b=Vrn=>c=Va2-b2=71-m,

因为该椭圆的离心率为日,

所以F=f=m=

1Z4

故答案为：4或:.

【变式2-1】4.（2023上•高二课时练习）椭圆过+[=1的焦距为4,则m的值为

m6

【答案】10或2

【分析】讨论椭圆中的的取值，结合见仇C之间的关系，即可求得答案.

22

【详解】椭圆上+?=1的焦距为4,即2c=4,c=2

m6

当a2=血，〃=6时,m—6=4,•••m=10；

当M=6,庐=Tn时,6—m=4,m=2；

故m的值为10或2,

故答案为：10或2

22

【变式2-1J5.（2023上浙江绍兴•高二浙江省上虞中学校考期中）椭圆C彳+3=1的焦距为4，则C的

长轴长为

【答案】4V2

【分析】设椭圆的长轴长为2a,由题意有a>2,m2=a2=4+22,即可得出.

22

【详解】设椭圆的长轴长为2a,由椭圆+4=1的焦距为4,可得a>2.

因此椭圆的焦点只能在y轴上,可得m2=a2=4+22,解得a=2企.

所以椭圆C的长轴长为2a=4V2.

故答案为：4近.

【变式2-1]6.（2022•高二课时练习）若常数a>0,椭圆式+a2y2=2a2的长轴长是短轴长的3倍，则

实数a的值为

【答案】3或5

【分析】分a>1,0<a<1讨论，根据条件列出等式，即求.

22

【详解】由椭圆/+a2y2=2a2,可得椭圆为+^=1,

2az2

当a>1时，言+[=1表示焦点在x轴上的椭圆，

2az2

.-.2V2a2=3X2&,即a=3,

22

当0<a<1时，券+方=1表示焦点在y轴上的椭圆，

：.2y[2=3X2>/2a2,gp（i=|,

综上，实数a的值为3或（

故答案为：3或:.

【变式2-1】7.（2023•全国模拟预测）过四点（0,1）,,（1,日），（1,一日）中的三点的一个椭圆标准

方程可以是，这样的椭圆方程有个.

【答案】9+旷2=1或禁+譬=1（写一个即可）2

415ID

【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解.

【详解】因为点（1，¥）,（1,-¥）关于%轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有（0,1）,（1,苧）,（1，-日）和

&T）,S,口），（L-手）两种情况­

2

设椭圆方程为+ny=l（m^n/m>0,n>0）.

当椭圆过（0,1）,（1,相,（1,-由三点时，将（0,1）,（I,5的坐标代入椭圆方程，得

（n=1（n=12

6+三n=1,解得巾=工，所以椭圆的方程为9r+y2=l.

1T4I4

同理可得当椭圆经过&-1）,（1,日），（1,-日）三点时，代入椭圆方程有，得

-m+ri=14

4

3，得小=!"=技；

!m+^n=11313

该椭圆的方程为卷+譬=1.

故答案为：9+必=1或等+等=1（写一个即可）；2

题型3双曲线定义忽略限制条件

【例题3]（2023上•江西•高二校联考阶段练习）已知点8（0,4）,C（0,-4），动点4满足||力四-|4C||=2V3,

则力的轨迹方程为（）

A.H-艺=1B.J次=1

313164

2,.2

C.乙r―匕=1D."—次=1

164313

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程.

【详解】因为||4B|-|4C||=2V3<\BC\=8,所以4的轨迹为双曲线，且焦点在y轴上

设该双曲线的方程为彳一高=l(a>0,b>0),则a=V3,c=4,b2=c2-a2=13.

22

所以力的轨迹方程为白-竟=1.

故选：D.

【变式3-1】1.(2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点4(4,0),分别过

点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为()

2“2

A.二r一匕=l(x>4)

169vJ

B.史—加=i(久<一4)

169v)

22

c.=1(%>4或%<-4)

D.E—片=1

169

【答案】A

【分析】根据圆的切线长定理以及双曲线的定义得点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(不含顶点)，

再求出a,b可得双曲线方程.

【详解】设PM,PN分别与圆C相切于点S,T,则|PS|=\PT\,\MS\=\MA\,\NA\=\NT\,

所以|PM|-\PN\=\MA\-\NA\=9—1=8,且8<\MN\=10,

所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与久轴交点)，

这里2a=8,a=4,c=5,贝帕=Vc2-a2=V25-16=3,

故点P的轨迹方程为2-?=1(x>4).

故选：A

22

【变式3-1]2.(2023上•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习)M是双曲线--"=1上一点，点

41Z

6/2分别是双曲线左右焦点，若|M6|=5,则|MF2l=()

A.9pglB.1C.9D.9或2

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义即可求解.

【详解】M是双曲线5=1上一点，所以，2"，所以1=

412(C=。/+匕"=16I。=4

由双曲线定义可知||MF1|-IMF2II=2a=4,

所以|M&I=1或者9,又|M&|>c-a=2,所以|M七|=9,

故选：C

【变式3-1]3.(2023上•江苏镇江•高二统考期中)已知双曲线条-g=l(m>0)的左右两个焦点分别是

&、F2,焦距为8，点M是双曲线上一点，且IMF/=5,贝”MFzl=

【答案】7或3

【分析】直接利用双曲线的定义求解即可.

【详解】由已知得a?=m2,b2=15,2c=8,

m2+15=42,解彳导a=m=1,

当点M是双曲线左支上一点时，|M&I-=2a=2,则|M&I=72a+c=5,

当点”是双曲线右支上一点时，IMF/-IMF2I=2a=2,贝UIMF2I=3>c-a=3,

\MF2\=7或3

故答案为：7或3.

【变式3-114.(2023•全国•高二课堂例题)已知&(—2,0)/2(2,0),动点P满足出印—|P4I=2,求动点

P的轨迹方程.

2

【答案】x2-y=l（x>0）

【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.

【详解】因为IP&I-FBI=2<I6F2I，所以根据双曲线的定义可知，

P一定在a=1,C=2且焦点在X轴上的双曲线的右支上，贝帕=Vc2-a2=V3,

这就是说，点P的坐标（%,y）一定满足/-白=1.

另一方面，由|Pa|-IP&I=2>。可知IPaI>\PF2\,因此P的横坐标要大于零，

从而可知P的轨迹方程为/-=1（X>0）

题型4双曲线方程忽略焦点位置的讨论

【例题4]（2023上•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考期中）若双曲线C以两条坐标轴为对称轴,y=^x

是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A*C•戏或|

【答案】D

【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率.

【详解】若双曲线焦点在x轴上，则一条渐近线为y=n£=]

所以e=J+（1=|；

若双曲线焦点在y轴上,则一条渐近线为y=£久=（%=£=]

所以吁历于=|；

所以双曲线C的离心率为[或|.

故选：D

22__

【变式4-1]1.（2023上•河南三门峡•高二统考期末）设双曲线。：篙-?=1的一条渐近线为y=,则

C的离心率为

【答案】旧或手

【分析】根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可.

【详解】当该双曲线焦点位于横轴时，则有巾＞0,n＞0,

因为该双曲线一条渐近线为y=V2x,

所以有第=鱼今巴=2=巴+1=3今1=3今普=禽，

7mmmm7m

即此时双曲线的离心率为次;

当该双曲线焦点位于纵轴时，则有巾＜0,n＜0,

因为该双曲线一条渐近线为y=V2x,

所以有等=/=二=2=二=2*=4等=£=当，

yj-m-m-n2-n2yj-ny22

即此时双曲线的离心率为日,

故答案为：或日

【变式4-1]2.（2024上•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知中心为坐标原点,焦点在坐

标轴上的双曲线C的一条渐近线与曲线y=«-表相切，则双曲线C的离心率可以是.（写出一个

结果即可）

【答案】寅或|）

【分析】设双曲线一条渐近线方程为y=kx,设其与曲线y=近-甘目切的切点坐标为卜。，伍-2），利

用导数的几何意义求导列方程即可得与的值，即可得渐近线方程的斜率，分别求解焦点在轴的离心率即

可.

【详解】设双曲线一条渐近线方程为y=kx,设其与曲线y=«-2相切的切点坐标为（%0，月一卷），

又＞'=泰+/，所以斜率心虚+自

于是将切点坐标代入切线y=履可得：历-京=（虚+表）出，整理得历=2，解得%。=1

所以k=-pH—=-

2«4X124

若双曲线的焦点在左轴上，贝必W，此时双曲线的离心率e=?=J1+探幻1+0=|；

若双曲线的焦点在y轴上，则k=£=|,此时双曲线的离心率e=：=Jl+|=Jl+g)2=|；

所以双曲线的离心率为|或*

故答案为：|(或|).

【变式4-1】3.(2023•高三课时练习)已知双曲线的焦距为6,它的离心率为3,则该双曲线的标准方程

为

22

【答案】x2~~-=1或y2-千=1

OO

【分析】根据双曲线的焦距和离心率求出0b,再分两种情况写出标准方程.

【详解】依题意2c=6,c=3,

由：=3，得a=1,所以/=c2-a2=8,

当双曲线的焦点在X轴上时，双曲线的标准方程为/-=1;

当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为必-1=1.

O

故答案为：/一52=1或必一2=1.

OO

22

【变式4-1]4.(2021下•陕西安康•高二统考期末)已知双曲线4+—=1的焦距为2遮,则其离心率

3—771HT—Z

为

【答案】1

22

【详解】分析：已知双曲线8+—=1的焦距为2遍，故C=V3,然后根据焦点位置的不同由=02

3-mm-2

建立等式关系即可得出m,再求离心率即可.

详解：由题可知：当m<2时，焦点在X轴上，3—6+[-(m-2)]=3m=1,此时e=得=?或者当

m>3时,焦点在y轴，—(3-m)+⑺—2)=3=6=4,此时e=-=孚,故综合得离心率为当

点睛：考查双曲线基本性质和标准方程，属于基础题.

题型5离心率忽略范围

22

【例题5](2023•全国•模拟预测)已知直线1：y=久-c过双曲线C+-£=l(a>0,b>0)的右焦点F(c,0),

且与双曲线右支交于M,N两点.若前=9MF,则双曲线C的离心率为()

A辿B.这C.V2D.V3

35

【答案】B

2

【分析】设”(右,为),/V(x2,y2),由丽=9而得到yi,%的关系，结合韦达定理得到小，b,c?之间的关

系式，进而求出离心率.

【详解】设M即％),N(x2,y2),则而=(c-xv-yx),fW=(x2-c,y2).

由丽=9MF,得力=一9%.

直线I的方程为y=x-c,即x=y+c,

代入双曲线C的方程中，得62。+c)2—a2y2=&2b2,

即(炉—a2)y2+2b2cy+b4=0,

2b2cb4

••为+先=一』,丫，2=9=,

b2c八一9b2c

•,乃=4(V)'72=-971=4(小a2)'

_-9b4c2_b4

一月力=16(fi2_a2)2=亦获，

整理得25c2=32a2.又e>1,，e=当.

故选:B.

22

【变式5-1]1.(2023上•浙江台州•高二校联考期中)椭圆a+琶=l(a>b>0)的左，右焦点分别为a,

F2,若椭圆上存在点Q，使N6Q4=120。，则椭圆离心率e的取值范围为()

A.(。片)B.(。有

C.俘,1)D.怜1)

【答案】D

【分析】设椭圆与y轴正半轴的交点为B,椭圆上存在点Q，使得NF1Q&=120。，则需>120°,再

结合椭圆的性质，即可求解.

【详解】设椭圆的上顶点为B,连接86、BF2,则=\BF2\=a,|0F2|=c,

椭圆上存在点Q，使得4&Q&=120°,则需NF/%>120°,

贝!UOBF2>60°,显然NOB6<90°,所以sin/OB%>sin60°,

所以£>sin60°=当,

a2

所以e=£2f,又e<1,

a2

所以苧<e<l,即椭圆离心率e的取值范围为惇,1).

故选：D.

【变式5-1]2.(2023上•山西大同•高二统考期中)已知椭圆+V=l(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2，点4B在C上，四边形A&FZB是等腰梯形，|4&|=|F/2l，NB4&则C的离心率的e取值范围是

()

A•(喝B.龄衿C.警,和然第

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得AB〃F]F2,利用椭圆的性质得|4川>a-c,再结合椭圆的定义求出等腰三

角形底角的余弦值并列式求解即得.

【详解】令椭圆C的半焦距为C,依题意，AB//F.F,,如图，

由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，

于是2c==\AF±\>a-c,解得e=^>|,\AF2\2a-\AFr\=2a-2c,

在小力产出中，24a=乙4?2羯=^BAF=-^BAF<-,

NF2216

显然cos叫叫=鹄=爱>/解得e=>看=等，

所以C的离心率的e取值范围是：<e<3二.

故选：B

22

【变式5-1]3.（2023•全国•模拟预测）已知双曲线C:^-^=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为&,

尸2,A为C的左顶点，点B在C的右支上，若|力41=\BF2\,且直线被圆*2+/=。2（c为半焦距）

截得的弦长为[c,则双曲线C的离心率为

【答案】|

【分析】设HF2的方程为y=k（x-c）（不妨设k>0）,根据直线BF2被圆/+y2=c2（c为半焦距）截得

的弦长为卜，求得斜率k,从而得到COSN&&B,连接B0,由|4七1=出&1=a+c及|B&|—旧&|=2a,

得到IBP/=3a+c,然后利用余弦定理求解.

【详解】解：由条件得，直线的斜率存在，设其方程为V=k（x-c）（不妨设k>0），即依-y-kc=0,

则圆心到直线BP2的距离为缶，得2、"黑=上,

解得k=V15,贝Utan/Fi/2鸟=-V15,故COSNFI&B=-1,

连接BFi,由|4Fzl=\BF2\=a+c及|B&|—|BF?|=2a,

得出&|=3a+c,

2

由余弦定理可得IBF/2=内尸2弦+\BF2\-2I&F2Ix\BF2\x8SZF/2B,

即(3a+c)?=4c2+(a+c)2+|X2cX(a+c),

即5c2—3ac-8a2=0，得5e?-3e-8=0,

解得得e=I（舍去负值）.

故答案为：I

【变式5-1]4.（2023・全国•模拟预测）双曲线5=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为6,，点P

是其右支上一点.若〔PF/=3,|OP|=?,N&P&=；,则双曲线C的离心率为

【答案】?

【分析】根据题意由IOPI=手利用向量可得而=*的+配），即可求得|而|=1,利用双曲线定义可

得a=1,再由余弦定理即可求得c=?,可得离心率为冬

【详解】如下图所示：

由双曲线的几何性质，可知点。是线段尸出的中点，则而=式所+配），

即而『=|两『+2.所以而|+|配『，

4|2|P^||P^|COS^+|M|13=9+3|

解得|所|=1或|配|=-4（舍）.

所以2a=西一困=3-1=2,故a=1.

「尸12+「62一月五232+12一M2

由COSN&PF2=cos]=1,解得C=y,

2PF1PF22X3X1

V7

V7

所以e=-

a12

故答案为：?

【变式5-1J5.(2023上•安徽安庆高二安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习)已知椭圆C：^+g=l(a>

b>0)的左、右顶点分别为&,4，且以线段为直径的圆与直线版-ay+2ab=0相交，则椭圆C的

离心率的取值范围为

【答案】弓,1)

【分析】根据椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，建立不等式，再化归转化，即可求解.

【详解】•.•椭圆+V=l(a>b>0)的左、右顶点分别为&、A2,

且以线段公42为直径的圆与直线ax+by-2ab=0相交，

.2ab

Va2+z?2a'

・•・4炉<a2+Z)2,

・•・3b2<a2,

•••3(a2—c2)<a2,

又0Ve<1

•••椭圆。的离心率的取值范围为(当,1).

故答案为：(y.l).

【变式5-1]6.(2022上•湖南•高二校联考期末)已知椭圆盘+g=l(a>b>0)的右焦点为叫,0),上

顶点为力(0,b)，椭圆右准线上存在一点P满足(而+同)•万=0,则椭圆的离心率的取值范围为.

【答案】[誓,1)

【分析】由（而+而）•丽=0可得IF*=|FP|=a,又点P在右准线上可得|FP|>y-c,解关于e的一元