2025年新高考数学重难点专练：不等式月考、期中、期末复习十三大题型（原卷版）

重难点05不等式月考、期中、期末复习十三大题型汇总

题型解读

1!^/满分技巧/

技巧一•比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法：

(1)作差比较法；若£1-bN0,则a2b；

(2)利用作商比较法.当a>0,b>0,且第1时，a2b.

技巧二.不等式性质的判断题

一般我们判断此类问题主要采用两种方法：

其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。

其二：采用赋值法带殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；

技巧三.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a,该性质称为对称性；

(2)如果a>b,b>c,那么a>c,该性质称为传递性；

(3)如果a>b,则a+c>6+c,反之也成立，该性质称为可加性；

(4)如果a>b,c>0,贝!]ac>be；如果a>6,c<0,贝！Jac<be；

(5)如果a>b,c>d,贝！]a+c>b+d；

(6)如果a>b>0,c>d>0,贝！Jac>bd；

(7)如果a>b>0,n>2,贝!>bn.

技巧四解一元二次不等式的常见方法

0图象法：

①化不等式为标准形式：ax2+bx+c>0S>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；

②求方程ax2+bx+c=0佃>。)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集.

0代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法归纳：数形结合，分类讨论.

3.常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘-1，化为正的.

技巧五.含参一元二次不等式的解法有以下几种：

1、当A=b2-4ac20时,二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(x-xi)(x-x2)

的形式。这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这

两个一元一次不等式组的解集的交集。

2、用配方法解一元二次不等式。

3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"

而推出答案。

4、数轴穿根:用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零

点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从X轴的右端上方起，依次穿过这些零点。

5、这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。这种方法叫

做序轴标根法。

技巧六.对含参数的一元二次不等式的讨论，

一般可分为以下三种情形：(1)当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对

应的一元二次方程是否有解时需要对判别式进行讨论。(2)当含参数的一元二次不等式的二

次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大

小进行比较。(3)当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行

讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

技巧七.解含绝对值不等式的基本思路：

一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数

的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；

四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。

技巧八.基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

A3*题型提分练

题型1等式与不等式性质

【例题1](2022秋•全国•高一期末)近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元

/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次

平均单价为分别记为僧],m2,则下列结论正确的是（）

.mr=m2B.m-L>m2

C.m2>m1D.血1，??12的大小无法确定

【变式1-1]1.（2023秋•安徽蚌埠•高一统考期末）已知0<%<1,则下列不等式成立的是（）

2222

A.%>X->X%B.->%>xXC.x>->xXD.->x>x

【变式1-1]2.（多选）（2023秋•湖北襄阳•高一宜城市第一中学校考阶段练习）下列命题中，为真命题

的

是

+切2

A>bR<

见G-

a/7,4

11

若

DO贝H

a<<u->-

ab

【变式1-1】3.（多选）（2023秋•河北廊坊•高一校考期末）设。<6<0，则下列不等式中恒成立的是（）

2

K.ab>bB.a-<b-C.ai<ibD.—b<1

【变式1-1]4.（多选）（2023秋•江苏淮安・高一统考期末）下列结论中正确的有（）

A.若a>b>0,贝！IM>b?

B.若a<h<0,贝!>ab>b2

C.若a>b>0,则@>-

i'~a+2匕b

D.若a>0,b>0,且a+b=1,则｝+[的最小值为4

【变式1-1]5.（2022秋•广西百色•高一统考期末）已知实数a,b,c,其中a>6>1,则下列关系中恒成立

的是（）

.ab>b2B.ac2>be2

ii

C.CL-c>b—cD.aH—a—b

题型2比较大小

【例题2】（多选）（2021秋•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺

智石》一书中首先把"="作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和">"符号，并逐渐

被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为a和6（0<a<

b）,其全程的平均速度为u,则下列选项正确的是（）

A.a<v<4abB.v=Vab

C.Vab<v<D.v=

2a+b

【变式2-1]1.（2021春•四川南充•高一统考期末）已知a力1且aeR,试比较出与1+a的大小.

【变式2-112.（2021春•黑龙江鹤岗•高一统考期末）已知a>0,b>0,试比较^与震的值的大小.

【变式2-1]3.（2022秋河北邯郸•高一武安市第一中学校考期末）xeR,比较（％+1）（%2+1+1）与（久+

》（%2+%+1）的大小.

题型3代数式取值范围

【例题31（2023秋•四川眉山•高一眉山市彭山区第一中学校考期末）已知1<x<3,-3<y<l，则x-3y

的取值范围是（）

A.（0,12）B.（-2,10）C.（-2,12）D.（0,10）

【变式3-1]1.（2023秋•江苏•高一校联考期末）已知2Wa-633且3Wa+bW4,求4a-2b的取值范

围（）

A.（9,13）B.[9,13]C.（-00,9）u（13,+00）D.（-00,9]U[13,+00）

【变式3-l】2.（2023秋•福建宁德•高一福建省霞浦第一中学校考期末圮知实数x,y满足-4<%-y<-l,

—1W2x—y<5,则y的取值范围是（）

A.{y|0<y<9}B.{y|-5<y<4]

C.{y|l<y<13}D.{y|0<y<13}

【变式3-1]3.（2021春广西玉林•高一陆川中学校考期末）已知1VQV2VIV4,则苏+b的取值范

围为（）

A.（3,6）B.（2,6）C.（3,8）D.（4,8）

【变式3-1]4.（2021春•安徽六安•高一六安一中校考期末）已知a,S满足爹安，贝必+30的

Ix、a十乙p_D

取值范围是

A.[1,7]B.[-5,13]C.[-5,7]D.[1,13]

【变式3-1]5.（多选）（2023秋•广东佛山•高一统考期末）已知14。42,3<建5,则（）

A.a+b的取值范围为[4,7]B.b-a的取值范围为[2,3]

C.ab的取值范围为[3,10]D."的取值范围为乐|]

题型4一元二次不等式

【例题4]（2023秋•河南新乡•高一校联考期末）已知集合4={小2一2%-8<0},B={x\x21},则

anB=（）

A.{x|l<%<2]B.[x|l<x<4]

C.{x|—2<x<4}D.{x\x>—2}

【变式4-1]1.（2023秋•江西吉安•高一井冈山大学附属中学校考期末）已知全集为U=R,M=

{x|%2一%>0},N={x|U<o}，则有（）

A.MUN=RB.Mn/V=0

C.5=MD.CuN£M

【变式4-1]2.（2022秋•云南曲靖・高一校考期末）已知a<0,则不等式/-2ax-3a2<0的解集

为

【变式4-1J3.（2022秋•江苏扬州•高一期末港集合4={x\x-5爪+6>0}6={x]三|22}，则（CR4）U

B=

【变式4-1]4.（2022秋•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期末）已知不等式a/一3%+6>4的解集

为{x|久<1或x>b].

⑴求a,b;

(2)解关于X的不等式a——(ac+b)x+be<0.

题型5分式、绝对值不等式

【例题5](2023秋•江苏常州•高一常州市北郊高级中学校考期末)不等式=<0成立的充分不必要条件

%+5

可以是()

A.{x\x>6}B.{x|-5<x<6}

C.{x|—5<x<6}D.{%|—5<%<6]

【变式5-1]1.(2023秋•山东潍坊•高一统考期末)设尤eR,则"|x-1|<1"是"会<0"的()

X—5

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式5-112.(2015春・北京东城•高一统考期末)下列选项中，使》</成立的支的取值范围是

A.(-8,—1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

【变式5-1]3.(2021秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末)求下列不等式的解集：

(1)—>5

(2)|2x-3|<3x-2

【变式5-1]4.(2022春•四川成都•高一统考期末)解不等式：x>次二F

x-l

题型6高次不等式

【例题6】(2021春・陕西榆林•高一校考期末)不等式(尤-l)(x+1)。-3)>0的解集为()

A.(—1,1)u(3,+8)B.(1,3)C.(―8,—l)u(l,3)D.(3,+8)

1

【变式6-1]1.(2021秋•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期末)已知石<%-1,则实数%取值范围

为

【变式6-1】2.（2021秋•上海•高一格致中学校考期末）不等式一=<0的解集为

xz+2x—3

【变式6-1】3.（2020•浙江杭州•高一期末）设。eR,若x>0时均有[（a-l）x-1]（G一g-1）20,则

a

【变式6-1]4.（2023秋•河北保定•高一校考期末）已知集合力={x|（x+3）（x-l）2（x-2）3>0},B

%普川

Q)求集合A,B;

(2)求集合AnB.

题型7一次、绝对值、分式不等式与参数

【例题2023秋•江苏无锡•高一统考期末）已知p:实数x满足（x-a）（3a-x）>0，q：实数x满足筌<0,

当a<0时，若q是p的充分条件,则实数a的取值范围是（）

A.(-2,-1)B.[-2,-1)

C.[-2,-1]D.(-co,—2)u(—1,+co)

【变式7-1]1.（2022秋•重庆合川・高一重庆市合川中学校考期末）已知集合4=卜|言N2},B=

{x|0<x<a},若2£B,则实数a的取值范围是（）

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.(1,+8)D.(4,+oo)

【变式7-1]2.（2022秋•江苏扬州•高一期末）关于%不等式ax+b<0的解集为{x|x>3},则关于x的不

等式含30的解集为

【变式7-1]3.（2021秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考期末）已知关于x的不等式黄>1在[2,5]

有实数解，则实数a的取值范围为

【变式7-1]4.（2021春・四川眉山•高一统考期末）设关于，的不等式j沸:;誓令：：二<。的解集是一

些区间的并集，且这些区间的长度和（规定：区间（a,b）的长度为b-a）不小于12,则a的取值范围为（）

A.a<-1或a>5B.a<-1或a>5

C.a<-2或a>3D.a<-2或a>3

【变式7-1]5.（2023秋•辽宁本溪•高一校考期末）若关于x的不等式a%+b<0的解集为（-2,+8）,则

关于的不等式。产+法-3a>0的解集为

题型8一元二次不等式与参数

【例题8]（2020春•安徽合肥•高一统考期末）若关于x的不等式/+Px+q<0的解集为口|2<%<3｝,

则关于x的不等式*q>0的解集是（）

X—ZX—O

A.（2,3）B.（-00,-2）U（4,+oo）

C.（—2,2）U（3,4）D.（—8,—2）U（2,3）U（4,+oo）

【变式8-1]1.（多选）（2023秋•辽宁葫芦岛•高一校考期末）已知函数y=ax2+bx-3,则下列结论正

确的是（）

A.关于%的不等式a-+ft%-3<0的解集可以是｛%|x>-3｝

B.关于%的不等式a/+b%-3<0的解集可以是｛%|x>2或％<1｝

C.函数y=ax2+bx-3的图象与%轴有一个交点时，必有炉+12a=0

D.〃关于%的方程a/+.—3=0有一个正根和一个负根〃的充要条件是%>0〃

【变式8-1】2.（多选）（2023秋•河南郑州•高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于%的不等式

ax2+bx+c>0解集为｛%Ix<一3或%>4],则下列结论正确的有（）

A.a>0

B.不等式b%+c>。的解集为｛%Ix<-6]

C.a+h+c>0

D.不等式c——ft%+a<0的解集为｛%I%-[或%>]｝

【变式8-1]3.（多选）（2023秋•辽宁沈阳•高一统考期末）若关于x的方程答="1的解集中只含有一

个元素，则满足条件的实数k可以为（）

A.—3B.—2C.0D.1

【变式8-1]4.（2023秋河北廊坊•高一校考期末）若不等式组+"（；二蓝+lk<0的解集中所含

整数解只有-2,贝此的取值范围是

【变式8-1]5.（2022秋・甘肃兰州•高一校考期末）不等式（a-2）%2+2（a-2）%-4>0的解集为0,则实

数a的取值范围是

【变式8-1]6.（2023秋•江苏盐城•高一盐城市第一中学校联考期末）若关于x的不等式1<kx2+x+k<3

的解集中只有一个元素，则实数k的取值集合为.

题型9基本不等式

【例题9】（2021春云南保山•高一统考期末）设犯的正数，且m+n=2,贝%+总勺最小值为（）

A.2B.-C.4D.-

22

【变式9-1】1.（2023秋•四川南充•高一校考阶段练习）已知a>b>0,则2a+高+工的最小值为（）

A.4B.6C.3x3D.10

Ya2-b2

【变式9-112.（多选）（2021秋福建莆田•高一校考期末）若。>0,b>0,且a+b=4,则下列不等

式恒成立的是（）

22

A.a+/?>8B.—ab>-4

C.'ab22D.—aI—b41

【变式9-1]3.（2023春贵州毕节高一统考期末）已知%>0,则旧-4%-三的最大值为.

••X

22

【变式9-1]4.（2023秋•安徽亳州•高一校考阶段练习）设a,b,C均为正数且a+b+c=1,则M+b+c

的最小值为（）

A.1B.3C.-D.2

3

【变式9-1]5.（2021春・四川达州•高一统考期末）若实数x,y满足/+外=2则壬的取值范围

x+y—z.

是.

【变式9-1]6.（2023秋诃北唐山•高一滦南县第一中学校考期末）已知关于%的不等式：心_3%+2<0

的解集为{久I1<久<b},则函数y=（2a+b）x--~J~-（久>1）的最小值为

Djyx-ij

题型10一元二次不等式与恒成立

【例题101（2023秋•安徽马鞍山•高一统考期末）已知对一切工£[2,3],ye[3,6],不等式7^2一孙+y22o

恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【变式10-1】1.（2023秋•云南红河•高一统考期末）不等式a——依+。+1>。对v%eR恒成立，则实

数a的取值范围为（）

A.（0,+8）B.[0,+8）

C.（-00,-0U（0,+00）D.（-8,_§u[0,+00）

【变式10-1】2.（2021秋•广东云浮•高一统考期末）若关于x的一元二次不等式2/-依+1>0对于一

O

切实数X都成立，则实数k满足（）

A.[k\k<±V3）B.{k\k<-V3}C.（fc|-V3<k<V3}D.{k\k>75}

【变式10-1】3.（2023秋•广东深圳・高一红岭中学校考期末）若对于任意爪e[-1,1],任意yeR，使得

不等式/+（3-m）x-6<|y-1|+|y-3|成立，则实数x的取值范围是

【变式10-114.（2021秋•重庆开州•高一重庆市开州中学校考期末）若不等式2x-1>a（/—1）对满足

-l<a<1的所有a都成立，则久的取值范围是

【变式10-115.（2021秋•上海普陀・高一校考期末）若不等式⑷一1）/一①一1）久一1<0的解集为R,

则实数a的取值范围是

题型11一元二次方程根的分布

【例题11X2023春•上海杨浦•高一复旦附中校考期末股方程/一2X+巾=0的两个根为a,0且|a—例=

2,则实数m的值是

【变式11-1】1.（2023秋•四川成都•高一成都七中校考期末）已知一元二次方程/+x+a-2=0有一

个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是

【变式11-1】2.（2021秋•上海杨浦•高一上海市杨浦高级中学校考期末）若方程（x-2）（%2-4%+m）=0

的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数小的取值范围是

【变式11-1】3.（2023秋・甘肃白银・高一统考期末）方程/-2皿+--1=0的一根在（0,1）内，

另一根在（2,3）内，则实数m的取值范围是

题型12基本不等式与恒成立

【例题12]（2023秋•河北邯郸•高一校考期末）已知久>2时，不等式x+^->m（m-2）恒成立，则实数

%—Z

m的取值范围是（）

A.—2<m<4B.—2<m<4

C.—2<m<4D.—2<m<4

【变式12-1]1.（2023秋•吉林松原•高一校考期末）已知%>0,y>0且工+3=1,若x+y>病+8根恒

%y

成立，则实数m的取值范围是（）

1

A.{x\x>-}B.{x\x<—3}}C.{x\x>1}D.{x|-9<%<1]

【变式12-1】2.（2022春•四川绵阳高一统考期末）若两个正实数x,y满足％+y=3，且不等式a+y>

m2-3m+5恒成立,则实数m的取值范围为（）

A.{m|—4<m<1}B.{m\m<—1或m>4}

C.{m|—1<m<4}D.{m\m<0或TH>3}

【变式12-1】3.（2021春云南昆明•高一统考期末）已知不等式（x+y）（i+-）>16对任意正实数恒成

%y

立，则正实数a的最小值为（）

A.3B.5C.7D.9

【变式12-1]4.（2023秋•山东济南•高一校考期末）若两个正实数x,y满足;+福=1,且不等式五+

7x7y

4招>m2-6nl恒成立，则实数m的取值范围是.

题型13实际应用题

【例题13]（2023秋•四川凉山•高一统考期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育

场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套

座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为y万元与总座椅数x千套，两者满足关系式：y=^（0<%<

8）.15年的总维修费用为80万元，记w为15年的总费用.（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维

修费用）.请问当设置多少套座椅时，15年的总费用w最