2025年中考数学分类复习：二次函数及其应用（原卷版）

冷来17二法备懿及其盛用

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2021•深圳卷：二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质

2024•广东卷：二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标

考点1二次函

特征等知识点

数的图象及性

2024•广州卷：二次函数以及反比例函数的图象和性质

质二次函数及其性

2022•广州卷：二次函数图像的性质

质是中考中重点

2023•广州卷：二次函数的增减性

考查内容，包括：

考点2待定系

二次函数的表达

数法求二次函2021•广州卷：待定系数法求抛物线解析式，和函数值

式、待定系数法、

数解析式

对称轴公式、顶

考点3二次函2021•广东卷、2020•广东卷：函数图像的平移

点坐标、函数值

数图象的平移

的大小比较，在

考点4二次函2023•广东卷：二次函数的图象与性质及正方形的性质

解题时，常需要

数与几何求值2021•广东卷：二次函数的性质，圆的相关知识

自己画出函数图

考点5二次函2021,广东卷：面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题

辅助分析，通过

数最值应用2020•广州卷：二次函数模型的应用求最小值

分类讨论及数形

考点6二次函2020•深圳卷：抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的

结合思想，寻找

数图象与系数对称性

解题关键点。同

的关系2020•广东卷：二次函数的图像和性质

学们，在复习时，

2024•广东卷：二次函数的实际应用-最大利润问题

还需注意二次函

2021•广东卷：分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用

数背景的实际问

2021•深圳卷：待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数

题、以及一些综

的性质求最值

合题也会涉及二

考点7二次函2022•广东卷：二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析

次函数的相关知

数的综合应用式间的关系，一次函数的解析式与图象

识点。

2022•深圳卷：二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理

解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键.

2021•广东广州二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合

思想的运用

5年真题•分点精准练

考点1二次函数的图象及性质

1.（2021•广东深圳•中考真题）二次函数＞=62+法+1的图象与一次函数y=2ox+6在同一平面直角坐标系

2.（2024,广东•中考真题）若点（0,%）,（1,%）,（2,%）都在二次函数y=/的图象上，贝I（）

A.%〉%>%B.%〉％〉为c.X>%>%D.必>

3.（2024,广东广州•中考真题）函数必="2+"+。与％=勺的图象如图所示，当（）时，％,必均随着尤

—1<x<0C.0<x<2D.x>l

4.（2022・广东广州•中考真题）如图，抛物线y=ax2+6x+c（a*0）的对称轴为》=-2,下列结论正确的是（）

y

A.a<0B.c>0

C.当x<-2时，y随x的增大而减小D.当x>-2时，y随x的增大而减小

5.（2023,广东广州,中考真题）已知点3（九2，%）在抛物线）;=/一3上，且。<玉<%,则%

%•（填或“>"或"="）

考点2待定系数法求二次函数解析式

6.（2021•广东广州•中考真题）抛物线y=苏+法+0经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5），则当x=2

时，y的值为（）

A.—5B.—3C.-1D.5

考点3二次函数图象的平移

7.（2021・广东•中考真题）把抛物线>=2/+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的

抛物线的解析式为

8.（2020・广东•中考真题）把函数y=（x-l）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

()

A.y=x2+2B.y=(x-l)2+l

C.y=(x-2)2+2D.y=(x-l)2-3

考点4二次函数与几何求值

9.（2023•广东・中考真题）如图，抛物线经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点2在V轴上,

A.-1B.-2C.-3D.-4

10.（2021•广东•中考真题）设。为坐标原点，点A、8为抛物线丁二炉上的两个动点，且袱，。及连接点

A、B,过。作于点C,则点。到y轴距离的最大值（）

A.-B.—C.—D.1

222

考点5二次函数最值应用

11.（2021•广东•中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古

希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为mb,c,记0=”广，则其面积

S=dp（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值

为（）

A.75B.4C.26D.5

12.（2020・广东广州•中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9,10.1,

10.0,若用。作为这条线段长度的近以值，当"〃〃篦时，（o-9.9）2+（o-10.1）2+（a-10.0）2</b.对另

一条线段的长度进行了〃次测量，得到〃个结果（单位：mm）x，%,若用x作为这条线段长度的近

似值，当工="Z机时，（尤_玉）2+（》_*2）2+…+（尤_%）2最小.

考点6二次函数图象与系数的关系

13.（2020・广东深圳•中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（於0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）

B.^ac-b2>0

C.3。+。=0D.ax2+bx^c=n+l无实数根

14.（2020广东•中考真题）如图，抛物线y=+c的对称轴是工=1.下列结论：①而c>0；②

b2-4tzc>0;③8a+cv0；④5〃+b+2c>0,正确的有（）

C.2个D.1个

考点7二次函数的综合应用

15.（2024・广东•中考真题）广东省全力实施"百县千镇万村高质量发展工程"，2023年农产品进出口总额居全

国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元

出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商

如何定价才能使每天的"利润"或"销售收入"最大？并求出其最大值.（题中"元"为人民币）

16.（2021•广东•中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的

传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000

元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价

提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价尤元（504元465）,〉表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的

函数解析式并求最大利润.

17.（2021•广东深圳•中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）

与销售量》（件）的关系如下表所示:

X（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

18.（2022・广东・中考真题）如图，抛物线>=炉+云+。（6,c是常数）的顶点为C,与x轴交于A,B两点,

A（l,0）,AB=4,点尸为线段AB上的动点，过P作尸。〃BC交AC于点Q.

⑴求该抛物线的解析式；

（2）求ACPQ面积的最大值，并求此时尸点坐标.

19.（2022・广东深圳•中考真题）二次函数y尤\先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲

线画在平面直角坐标系上.

y八

(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=-3/+5与>=：/的交点坐标；

⑶点网4乂),。(9,％)在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若兀>/，则

%%(填">"或"<"或"=")

20.（2021,广东广州,中考真题）已知抛物线y=f-（租+l）x+2加+3

（1）当加=0时，请判断点（2,4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线的顶点随着机的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3）已知点E（-L-l）、F（3,7）,若该抛物线与线段所只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.

1年模拟•精选模考题

21.（2024・广东深圳•三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数'=5+匕与二次函数、=0?+如的图像可

能是（）

22.（2024•广东广州•二模）已知二次函数y=*+（a-4）x+"5（°为常数）的图象经过（-帆和（帆〃）两

点，则二次函数与y轴的交点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,-1）C.（0,-5）D.（0,4）

23.（2024・广东汕头・二模）若函数>=0-1）/+2工-1的图象与直线〉=1有交点，则实数机的取值范围是（

111

A.m<—B.m>—C.加W—且加wlD.

222

24.（2024•广东,三模）在平面直角坐标系中，抛物线>=-/+2以+°3>0）的顶点到x轴的距离为6,与工

轴两个交点之间的距离为4a,则该抛物线与y轴的交点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,手）C.（0,乎）D.（0,1）

25.（2024广东广州三模）已知二次函数y=*+bx+c（axO）的图像经过（1,0）,下列结论：①若图像对称

轴在y轴左侧，贝Uac<0；②x=2是方程。（3-力+36=法一。的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在

（4,0）和（5,0）之间,则（O+3a）（，-3a）>4«c；④点A6,9）,3（如为）在抛物线上，若0<c<。，则当

再</<1时，其中正确结论的序号为（）

A.①②③B.①②④C,①③④D.②③④

26.（2024•广东佛山•三模）己知二次函数,=加+法+。（。70）的部分图象如图所示，图象经过点（0,2）,其

对称轴为直线x=-l.下列结论：①。<0；②若点（Y.5,yJ,（3,%）均在二次函数图象上，则”>%;③

关于尤的一元二次方程0^+6无+c+i=。没有实数根;④满足"2+6x+c>2的x的取值范围为-2<尤<0.其

中正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

27.（2024广东深圳•二模）在Rt^ABC中，ZC=90°,。为AC上一点，CD=®，动点尸以每秒1个单

位的速度从C点出发,在三角形边上沿CTBfA匀速运动,到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设

点尸的运动时间为塞，正方形DP跖的面积为S,当点P由点3运动到点A时，经探究发现S是关于r的二

次函数,由图象可知线段A8的长为（

A.7B.6C.5D.4

28.（2024•广东广州•二模）如图，抛物线G:%=a（x+l>+2与抛物线"：%=-。-2/-1交于点8（1,-2）,

且分别与y轴交于点。，E.过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A,C.则以下结论:

①抛物线X可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；

②无论x取何值，%总是负数；

③当-3<x<l时，随着x的增大，的值先增大后减小；

④四边形AECD为正方形.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

29.（2024•广东广州・二模）二次函数y=o?+bx+c（aw0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-l,

交y轴于点有如下结论：①次<0；②3a+c>0；③A（-3,yJ,网也%）都在该函数的图像上,

贝U%>%;④关于尤的不等式依2+fex+c+l>0的解集为x>0或x<—2.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

30.（2024•广东广州•二模）二次函数丁=加+法+。图象过点A（3,4）,3（机4）对称轴为直线％=-1,则

31.（2024•广东东莞•三模）若点4（一1，%），*3,%）在抛物线y=（x-2）2+%上，则%,%的大小关系为_

（用">"连接）.

32.（2024•广东深圳•二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程|/-4|=机⑺为实数），若

该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是.

33.（2024•广东广州•二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元.超市规定每箱售价

不得少于45元且不得多于55元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱.每箱

售价每提高1元，每天要少卖出20箱.

⑴如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为多少元？

（2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？

34.（2024・广东广州•三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线％=依2+法+1（。>0）,直线%=x.

⑴若抛物线与直线只有一个交点.

①求。与。之间的关系式；

②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为4、%（%<%），当x<不时，％随尤的增大

而减小，求f的最小整数值；

（2）若抛物线与直线有二个交点（为,无）,（4，/），且满足X<2〈尤2<4,此时设抛物线对称轴为直线x=〃J

求m的取值范围.

35.（2024•广东珠海•三模）某班"数学兴趣小组"对函数y=炉一21x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下,

请补充完整.

⑴自变量X的取值范围是全体实数，X与y的几组对应值列表如下:

_55_

X-3-2-10123

~22

1£

3m-10-103

y44

其中，m=__________

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象

的另一部分.

⑶观察函数图象，写出两条函数的性质.

⑷进一步探究函数图象发现：

①函数图象与无轴有个交点，所以对应的方程丁-20有个不相等的实数根；

②方程炉-21x|=2有个不相等的实数根；

③关于X的方程--2|止.有4个不相等的实数根时，。的取值范围是.

36.（2024・广东东莞•三模）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）,围成中间

隔有一道篱笆（平行于48）的矩形花圃.设花圃的一边为面积为yn?.

⑴若要围成面积为63m2的花圃，则A3的长是多少？

⑵求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积.

37.（2024•广东云浮•二模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=1/+Zzx+c经过点。（0,0）,

4

对称轴过点3（2,0）,直线/过点。（2,-2）,且垂直于'轴.过点8的直线《交抛物线于点河、N,交直线/于

点Q,其中点/、。在抛物线对称轴的左侧.

⑴求抛物线的解析式;

（2）当3M：M2=3:5时，求点N的坐标.

38.（2024・广东阳江•二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高50%后作为售价，

已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元.

⑴设该玩具每件的进价为优元和售价为〃元，求出垃和〃的值.

（2）调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为〃元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1

元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元.设每件玩具的售价上涨了x元时，月销售利润为

y元.

①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围.

②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？

39.（2024•广东深圳•二模）根据以下素材，探索完成任务.

绿化带灌溉车的操作方案

一辆绿化带灌溉车正在作业，水从

1

喷水口喷出，水流的上下两边缘可

一--4

以抽象为两条抛物线的一部分：喷1

素

水口离开地面高1.6米，上边缘抛物浊啰瓣等^

材

线最高点离喷水口的水平距离为3

1

米，高出喷水口0.9米，下边缘水流__3

形状与上边缘相同，且喷水口是最

高点.

素

材路边的绿化带宽4米

2

绿化带正中间种植了行道树，为了f

素防治病虫害、增加行道树的成活率，

*

材园林工人需要给树木"打针针一般

3打在离地面1.3米到2米的高度（不

包含端点）.

问题解决

建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式.

任

_3

确定上边缘水流形状

务0.9

11.6、

OX

任

灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理

务探究灌溉范围

由.

2