2025年中考数学分类复习：三角形及全等三角形（解析版）

4<08三含形及公等三廊形

■

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

2022•广东卷：三角形中位线

2023•广州卷：角平分定理，勾股定理

2021,广州卷：线段垂直平分线的性质，直角三角

考点1三角形

形30度角的性质

基础

2021•深圳卷：角平分线的性质、直角三角形的性

（5年5考）

质、垂直平分线的性质

2023•广东卷:勾股定理及其逆定理的应用和等腰

三角形的性质

2023•深圳卷：解直角三角形，折叠的性质，全等

三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定三角形是基础几何图形之一，中考

考点2三角形理等知识命题点侧重于对基础概念、命题的

与折叠变换2021,深圳卷：折叠的性质，三角形外角的性质，理解和运用，包括三角形内角和、

（5年5考）平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质三角形三边关系、三角形中重要线

2021•广州卷：轴对称、等腰三角形及平行线的性段、三角形面积、特殊三角形、勾

质、全等三角形的判定与性质股定理、尺规作图、全等三角形的

2024•广州卷：等腰直角三角形的性质，三角形全判定和性质等。中考复习需注重对

等的性质与判定几何定义、定理的理解与运用。

2023•广州卷：全等三角形的判定与性质

2022•广州卷：三角形全等的判定，等腰三角形的

考点3全等三

判定

角形的判定和

2021•广州卷：全等三角形的判定与性质

性质

2020•广州卷：三角形的内角和定理，全等三角形

（5年3考）

的判定及性质

2022•广东卷：三角形全等的判定

2020•广东卷：等腰三角形的判定，解题的关键是

熟知全等三角形的判定与性质

5年真题•分点精准练

考点1三角形基础

1.（2022•广东•中考真题）如图，在一ABC中，BC=4,点D,E分别为A5,AC的中点，则。石=（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】D

【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解.

【详解】回£＞、E分别为AB、AC的中点，

EIOE为0ABC的中位线，

SDE=-BC,

2

0BC=4,

M）E=2,

故选：D.

【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键.

2.（2023•广东广州•中考真题）如图，已知AD是一ABC的角平分线，DE,分别是△A3。和ACD

的高，AE=12,DF=5,则点£到直线AD的距离为.

【解析】

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点。到AC的距离等于点。到A3的距离

OE的长度，然后根据勾股定理求出AD，最后根据等面积法求解即可.

【详解】解：：是的角平分线，DE,分别是△A8D和ACD的高，DF=5,

：.DE=DF=5,

又AE=12,

AD=^AE~+DE2=13，

设点E到直线AD的距离为x,

,/-ADx=-AEDE,

22

AEDE60

,.x=-------二—•

AD13

故答案为：—.

13

【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的

关键.

3.（2021•广东广州•中考真题）如图，在RtABC中，ZC=90°,ZA=30°,线段A8的垂直平分线分别交

AC、A8于点。、E,连结若8=1,则的长为.

【答案】2

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到^ABD=ZA=30°,求得NCBD=30。，即可求出答案.

【详解】解：EZC=90°,

EBA+E1ABC=9O°,

回线段A2的垂直平分线分别交AC、AB于点。、E,

^AD=BD,

00AB£）=ZA=3O°,

0ZCBD=30°,

0CD=1,

SAD=BD=2CD=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题

的关键.

4.（2021•广东深圳•中考真题）如图，已知的C=60。，AD是角平分线且AD=10,作的垂直平分线交AC

于点F作。E/AC,则DEF周长为.

【答案】5+56

【分析】知道"40=60。和AD是角平分线，就可以求出NZME=30。，AD的垂直平分线交AC于点F可以

得到A代阳，在直角三角形中30。所对的边等于斜边的一半，再求出DE,得到

C/\DEF=DE+EF+AF-AE+DE.

【详解】解：AO的垂直平分线交AC于点孔

DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）

团C/^DEF=DE+EF+AF—AE+DE

iaza4c=60。，AD是角平分线

0ZZME=3O°

0AD=1O

EIOE=5,AE=5拒

0CAnFF=5+5A/3

【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性

质是解题的关键.

5.（2023,广东•中考真题）综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒

素材：一张正方形纸板.

步骤1：如图1,将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.

猜想与证明：

c

图1图2

⑴直接写出纸板上/ABC与纸盒上NA4G的大小关系;

（2）证明（1）中你发现的结论.

【答案】（I）/ABC=/A4G

⑵证明见解析.

【分析】（I）"RC和。与G均是等腰直角三角形，/ABC=/A瓦G=45。；

（2）证明MC是等腰直角三角形即可.

【详解】（1）解：ZABC=ZA1B,C1

（2）证明：连接AC,

设小正方形边长为1,则===#>，AB=Vl2+32=A/10>

QAC2+BC2=5+5=回2,

.1ABC为等腰直角三角形，

团AG-4G=1，AG-LB]C],

团A耳G为等腰直角三角形，

,/ABC=NA与G=45。，

故ZABC=NA4cl

【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键.

考点2三角形与折叠变换

3

6.（2。23•广东深圳•中考真题）如图‘在旗C中'M=AC,ta“二，点。为小上一动点，连接AD,

s

将△ABD沿AD翻折得到VADE,DE交AC于点G,GE<DG,且AG:CG=3:1,则-°E=_____

3三角形A£>G

【分析】41/，瓦＞于点/，ANIDE于点、N,则AM=4V,过点G作GPL5C于点尸，设A〃=12a,根

据tanB=4^=1•得出曲1=16。，继而求得二二=《AM?+BM?=20a，CG=5a,AG=15a,再利用

BM4

tanC=tanB=||=|,求得62=340=4。，利用勾股定理求得GV=JAG?-4V?=9a，

EN7AE。-AN。=16a，故EG=EN-GN=1a,

【详解】由折叠的性质可知，D4是/3DE的角平分线，AB=AE,用HL证明AWM/AWN,从而得

至ljDM=ZW,设DM=DN=x,则DG=x+9a,DP=12a-x,利用勾股定理得到。产+G产=/x」即

1275

(12a-x)-+(3a)-=(x+9a),化简得了=了。，从而得出DG=1a,利用三角形的面积公式得到：

S三角形AGE；EG.ANEG7。「49

S三角形ADG-DGANDG—a75

27

作于点M,AN上DE于点、N,则AM=AN,

过点G作GPL3c于点尸，

AM3

团tanBn=-----=—,

BM4

设W2a,则5A/=16Q,AB=yjAM2+BM2=20a，

又E)AB=AC,AM±BD,

^CM=AM=\2a,AB=AC=20a,ZB=NC,

团AG:CG=3:1,即CG=』AC,

4

团CG=5a,AG=15a,

在RtAPCG中，CG=5a,tanC=tanB=——=-,

CP4

设GP=3m,则CP=4m,CG=\IGP2+CP2=5m

^\m=a

团GP=3a,CP=4a,

BAG=15a,AM=AN=12a,ANIDE,

国GN=1AG-AN2=9a，

团AB=AE=20a,AN=12afANIDE

^EN=y/AE2-AN2=16a，

@EG=EN-GN=Qa,

团AD=AD,AM=AN9AMLBD,ANIDE,

团△ADM经△ADN（HL）,

⑦DM=DN,

设DM=DN=x,则OG=DN+G/V=x+9a,DP=CM-CP-DM=16a-4a-x=12a-x,

在RtAPDG中，DP2+GP2=DG2,即（12a—xj+（3〃）？=（%+9〃）2,

化简得：%=?12,

75

团DG=%+9〃=—a,

7

■三角衫AGE；EGANEG7。_49

DG75

S三角衫ADG』DG-AN—a

27

49

故答案是：

【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等

知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键.

7.（202”广东深圳•中考真题）如图，在ASC中，D,E分别为BC,AC上的点，将—CDE沿DE折叠，得

到VEDE,连接8尸，CF,/BFC=90。,若EFHAB,AB=4也,EF=10,则AE的长为.

A

E

【答案】10-473

【分析】延长皮>,交CF于点、G,由折叠，可知OGLCF,可得ED//BF,延长£4,FB,交于点M,结

合AB//EF,可得NAf=N3FE=(z,ZM=ZABM=a,进而即可求解.

【详解】解：如图，延长ED,交CF于点G,

M

设/BFE=a

由折叠，可知。GLC厂,

田BF上CF,

⑦EDI/BF,

团ZFED=ZBFE=a,

延长K4,FB,交于点

SAB//EF,

SZBAC=ZFEC=1a,ZABM=ZBFE=a,

^ZM=Z.BAC-ZABM=a,

SZM=ZBFE=a,ZM=ZABM=a,

0EM=EF=10,AM=AB=4上,

SAE=EM-AM=10-4y/3.

【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质,

添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键.

8.（2021,广东广州•中考真题）如图，在ASC中，AC^BC,/3=38。，点。是边AB上一点，点8关于

直线CZ）的对称点为当BN>〃AC时，则ZBC。的度数为

c

【答案】33°

【分析】如图，连接C3',根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得NQ=/B=38。，

NDCB=ZDCB',并由平行线的性质可推出NACE==38°,最后由等腰三角形的性质及三角形内角和

定理即可求得结果.

【详解】解：如图，连接CM

回点8关于直线的对称点为？，

BCB=CB',DB=DB'.

0CD=CD,

^ADCB^ADCB'.

0ZB,=ZB=38°,ZDCB=ZDCB'.

^B'DUAC,

^ZACB'=ZB'=3^.

^AC=BC,

0ZA=ZB=38°.

0ZACB=180°-2ZB=104°.

国ZACB=ZACB'+ADCB+ZDCB'=ZACB'+2ZDCB=104°.

02ZDCB=104°-ZACB'=66".

0ZZ)CB=33".

故答案为:33°.

【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及

全等三角形的判定与性质是解题的关键.

考点3全等三角形的判定和性质

9.（2024,广东广州•中考真题）如图，在ABC中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边的中点，点E,F

分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的面积为（）

A.18B.9A/2C.9D.6叵

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VADE■2VCD广，将四边形AED9的面

积转化为三角形APC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AD,如图：

0ZR4C=9O°,AB=AC=6,点。是中点，AE=CF

BZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

0YADEACDF,

团S四边形AEDF=S公AED+^^ADF=+^^ADF=^AADC=/Z^ABC

又团SMC=6x6x；=18

回S四边形AEOF=万SABC=9

故选：c

10.（2023•广东广州•中考真题）如图，5是的中点，BC//DE,5C=D£.求证：/C=/E.

B,

DE

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据已知条件证得AB=BD,ZABC^ZD,然后证明一ABC-5DE（SAS）,应用全等三角形

的性质得到NC=NE.

【详解】证明：是AD的中点，

/.AB=BD,

BC//DE,

：.ZABC^ZD,

在「ABC和△BQE中，

AB=BD

<ZABC=ND

BC=DE

,ABCoo、BDE（SAS）,

：.ZC=ZE.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

U（2022•广东广州•中考真题）如图，点，E在0ABe的边8C上，0B=0C,BD=CE,求证：0ABD00ACE

【答案】证明见解析

【分析】由等腰三角形的判定得出AC=A8,再利用SAS定理即可得出结论.

【详解】证明：

在"8D和AACE中，

0AB=AC,0B=fflC,BD=CE,

EEL4BO0aAeE(SAS)

【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

12.(2021•广东广州•中考真题)如图，点E、F在线段BC上，AB//CD,ZA=ZD,3E=b，证明：AE=DF.

【答案】见解析

【分析】利用A4S证明财BBaaOCF,即可得到结论.

【详解】证明：BAB//CD,

aaB=iac,

^ZA=ZD,BE=CF,

EEA8EH3DC尸(AAS),

^AE=DF.

【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

13.（2020•广东广州•中考真题）如图，AB=AD,ABAC=ADAC=25°,NO=80。.求NBC4的度数.

【答案】75。.

【分析】由三角形的内角和定理求出EIDCA=75。，再证明EIABCEBADC,即可得到答案.

【详解】0ZZMC=25°,ZD=80°,

EEIDCA=75°,

S\AB=AD,ABAC=ADAC=25°,AC=AC,

aaABCEEADC,

00BCA=0DCA=75°.

【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题.

14.(2022•广东,中考真题)如图，已知/AOC=/BOC,点P在。C上，PDLOA,PELOB,垂足分别为

D,E.求证：NOPD^OPE.

【分析】根据题意，用AAS证明尸E.

【详解】证明：SZAOC=ZBOC,

回0c为的角平分线，

又回点尸在0c上，PD±OA,PELOB,

国NPDO=NPEO=90。

又回PO=PO（公共边），

0OPD^OPE（AAS）.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键.

15.（2020•广东•中考真题）如图，在AASC中，点O,E分别是AB、AC边上的点，BD=CE,ZABE=ZACD,

物与8相交于点尸，求证：AABC是等腰三角形.

【答案】见解析

【分析】先证明ABDF^ACEF,得到BF=CF,ZFBC=ZFCB,进而得到ZABC=ZACB,故可求解.

【详解】证明：在ABDF和AC即中

NDFB=NEFC(对顶角相等)

<NFBD=NFCE

BD=CE

0ABDF^ACEF(AAS)

0BF=CF

@/FBC=NFCB

y.SZABE=ZACD

回ZFBC+ZABE=NFCB+ZACD

即NABC=/ACB

团AABC是等腰三角形.

【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.

1年模拟•精选模考题

16.(2024•广东揭阳•一模)如图，在..ABC中，点。是.ABC内一点，且点。到ABC三边的距离相等，4=50。,

贝joc=()

A.95°B.115°C.125°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用.由题意可知点。为，ABC的三条角平分

线的交点，可得=/OCB=g/ACB,根据三角形内角和定理求出NABC+NACB,可得

ZOBC+ZOCB的度数，再根据三角形内角和定理求出ZBOC的度数即可.

【详解】解：回点。至U.ASC三边距离相等，

回点。为6ABC的三条角平分线的交点，

0ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

0ZA=5O°,

回ZABC+ZACS=180°—ZA=130°,

ElZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=65°,

0Z.BOC=180。-(NQBC+NOCB)=115°,

故选：B.

17.(2024・广东梅州・模拟预测)如图，在ABC中，48=90。,乙肥。=67.5。,。为A3中点，且DESAB交

AC于点E,BC=3,则AC的长为()

B

D

A.3亚B.3+3忘C.6D.572

【答案】B

【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性

质是解题的关键.

连接BE,根据三角形内角和定理求出4=22.5。，根据线段垂直平分线的判定与性质求出历=E4,根据

等腰三角形的性质及三角形外角性质求出ZBEC=45。，根据三角形内角和定理求出NCBE=45。=NBEC,

解直角三角形求出3C=CE=3,BE=3y[2=EA，再根据线段的和差求解即可.

【详解】解：如图，连接8E,

二NA=180。—90。—67.5。=22.5°,

。为43中点，且交AC于点E,

.■.DE垂直平分AB,

:.EB=EA,

ZA=ZABE=22.5°,

:./BEC=ZA+ZABE=45°,

:.ZCBE=180。一90。-45。=45。=/BEC,

BC=CE=3,

:.BE=y/2BC=3y/2=EA,

.•.AC=C£+EA=3+3A/2-

故选：B.

18.（2024•广东汕头•二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=W,BC=16,将AC绕点C顺时针旋

转90。得到。C,连接8。，则tan/CBD的值为（）

【答案】D

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、求锐角三角函数值、旋转的性质等知识过点。作DEL5C

交8C的延长线于点E,过点A作AF13C于点色由旋转的性质可知AC=8=10,NACD=90。，由等腰

三角形三线合一得到8P=CT=:BC=8,求出==证明IAR?四二CED，贝I

AF=CE=6,CF=DE=8,即可得到BE=3C+CE=22,即可求出tanZCBD.

【详解】解：过点。作。交的延长线于点过点A作Ab/BC于点R

^\AB=AC=10,BC=16,AF1BC

团BF=CF」BC=8,

2

国AF=，AB2-BF2=6,

^ZACD=90°f

国ZACF+/DCE=90。,

团NACF+NC4F=90。，

©NDCE=/CAF,

^ZAFC=ZCED=90°

团AC=CD

团AFCMCED,

©AF=CE=6,CF=DE=8,

⑦BE=BC+CE=22

DF84

mmZCBD=——,

BE2211

故选：D

19.（2024・广东深圳•二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒A3,BC,CD,OE在桌面上摆

成如图所示的图形，其中点A,C,E在同一直线上，BC1CD,若AE=10,则点8,。到直线AE的距离

之和为（）

B

ACE

A.5B.276C.5A/2D.10

【答案】A

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质,，点到直线的距离，作物于

DNLAE^N,由等腰三角形的性质推出CM=，AC,CN=-CE,由余角的性质推出"CV=NCBM,

22

由AAS证明DCN^CBM,得到DN=CM,BM=CN,于是得到

BM+ON=CM+CN=#C+CE)=*=*0=5.

【详解】解：作于M,DNLAE^N,

回AB=BC,

^\CM=-AC,

2

同理：CN=-CE,

2

国BC上CD,

也/BCD=90。,

团ZDCN+ZBCM=180。一90°=90°,

团/BCM+/CBM=90。,

@ZDCN=/CBM,

^ZDNC=ZBMC=90°,

团DC=BC,

0DCTV^CBM(AAS),

出DN=CM,BM=CN,

回……+34R俎“卜0=5

团点2,£）到直线AE的距离之和为5.

故选：A.

20.（2024•广东东莞・三模）如图，将以。为中心点的量角器与含30。角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，

此时点。，C,8在同一条直线上，且L>C=23C.过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E

在量角器上所对应的锐角度数是（）

DB

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质.此题难度适中，解题

的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.设半圆的圆心为。，连接。4,由题意易得AC

是线段的垂直平分线，即可求得NAOC=NABC=60。，又由AE是切线，证明Rt.AOE丝RtAOC,继

而求得上4OE的度数，则可求得答案.

【详解】解：设半圆的圆心为。，连接Q4,

SOC=BC,

0ZACB=90°,即AC_LO3,

BOA^BA,

^ZAOC^ZABC,

13NS4c=30。，

0ZAOC=ZABC=60°,

I3AE是切线，

EINAEO=90°,

SZAEO=ZACO=90°,

在RtZ\AOE和RtAOC中，

fOA=OA

[OE=OC'

0RtAOE^RtAOC(HL),

SZAOE=ZAOC=60°,

0ZAOD=180°-60°-60°=60°,

即点E在量角器上所对应的锐角度数是60。.

故选：D.

3

2一2。24・广东深圳•模拟预测）如图'在.ABC中'M=AC=6,tan4AC="点。是AC边上任意一

点，连接3。，将△■BCD沿着5。翻折得△BCD,且CD_LAB且交AB于点E,则Z)E=1

【答案】I9

【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，解题的关键是掌握相关的知识.作

，AC于点H,则ZAHB=ZBHC=90°,根据三角函数值可设设BH=3x,则AH=4x,得到AB=5x=6,

求出==y,CH=|,证明二2&BDE,得到==最后根据三角函数即可求

解.

【详解】解：如图，作于点H,则NAHB=/3HC=90。，

•,・设BH=3x,则AH=4x,

AB=5x=6,

6

••x=—,

AH=4x=,BH=3x=—,

246

...CH=AC-AH=6——=

55

在ABDH和ABDE中,

ZBDH=ZBDE

</BHD=/BDE=90。,

BD=BD

BDHmABDE(AAS),

1Q

...BE=BH=—,

5

AE=AB-BE=6——=—,

55

„DE3

tanNBAC-——,

AE4

39

..・DE=—・AE=—,

45

9

故答案为：—.

22.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，三角形ABC中，=点。在A5上，Z4CD=45。，点E在5c

的延长线上，^.ZBAE=3ZBCD,若4）=5,CE=1,则跖的长为.

【答案】11

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，

过点A作AGL5C于点G,交CD于点H,过点A作A方，CD于点尸，交BE于点T,过点H作“K,AC于

点K.设/3=2tz,得到/BCD=45。-0,得至叱石=45。+。，证明,AFD乌CFT（ASA）,进一步得到

AD=CT=5,/ZMF=/OCB=45。—。，则得到ZA7E=N8+/ZMT=45o+tz,证明AT=A£,则TG=GE,

由CT=5,CE=1得到ET=6,则GT=GE=3,CG=GE—CE=2,得到AD=AH=5,由等积法求出

AC=线，得到CK=HK,在RtAA2中，由勾股定理得到长〃=巫，进一步得到=应陋=百，

KH2

由勾股定理得到GH=VE7二涛=1，得到AG=AH+GH=6,在RtAABG中，由勾股定理得到3G=8,

即可得到答案.

【详解】解：如图，过点A作AGL3C于点G,交CD于点H,过点A作A尸LCD于点凡交BE于点T,

过点//作“，AC于点K.

设ZB=2a,

国BA=BC,

^ZBAC=ZACB=^(180°-2a)=90°-a,

团NACE)=45。，

国/BCD=45°—a,

⑦NBAE=3NBCD,

团NE=180。—2。-3(45°-％)=45。+。，

SAFICD,

回NAFC=90。,

ZFAC=ZFCA=45°f

^FA=FC,

⑦/DAF=/TCF,

国ZAFD=NCFT,

0AFD^CFT(ASA),

国AD=CT=5,ZDAF=ZDCB=45°-a,

^ZATE=ZB+ZDAT=45O+a,

^ZATE=ZE,

BAT=AEf

EAGLET,

国TG=GE,

团CT=5,CE=1,

团ET=6,

出GT=GE=3,CG=GE-CE=2,

国ZAFH=NCGH=90。,ZAHF=NCHG,

©NGCH=ZHAF=/DAF,

^\ZADF+ZDAF=9Q°,ZAHF+ZHAF=90°,

⑦ZADF=ZAHF,

国AD=AH=5,

团sACH=-AHCG=-ACHK,

AC"22

团AC」,

KH

。,

⑦/HKC=90ZHCK=45°f

©CK=HK,

在RtAAK”中，则有5?=8片+（处-"］，

解得，KH=叵或2下,

2

S--KH>0,

KH

SHK2<10，

QKH=2也不符合题意舍去，

EIK”=巫，

2

SCH=42KH=45,

^GH=y/CH2-CG2=1>

I3AG=AH+G"=6,

在RtaABG中，贝I］有AB2=AC2=AG2+8G2,

0（BG+2）2^62+BG2,

0BG=8,

SBE=BG+GE=n,

故答案为：IL

23.（2024•广东广州•二模）如图，在ABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分线，若8=2,AD=BD,

则△AB。的面积为.

【答案】4指

【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理.直角三

角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解

题的关键.

先过。点作DE2AB于E,再利用角平分线的性质定理得DE=DC,然后根据等腰三角形的性质得到

ZDAB=ZB,计算得出NC4£>=NA4B=N3=30。，得到AD的长，再由勾股定理得到AE的长，即可求解.

【详解】解：过。点作■上AB于E,如图所示，

D

ZC=90°,

B

DC±ACf

又DELAB,是NBA。的角平分线，CD=2,

/.DE=DC=2f

0AD=BD,

回AE=BE,

团NDAB=NB,

团NC=90。，

ZCAD=ZDAB=ZB=30°f

⑦AD=2DE=4,

^AE=ylAD2-DE2=2A/3>

0AB=4^

S=-AB-DE=-X4^X2=4A/3；

ZMVLRDZnJ22

故答案为：4A/3.

24.（2024・广东广州•二模）如图，在等腰ABC中，AB=AC,延长边48到点。，延长边C4到点E,连接

DE,若AD=BC=CE=DE,则N3AC=.

【答案】100。/100度

【分析】过点。作。尸〃BC,CF//BD,易得四边形。3cp为平行四边形，进而得到。歹=8。,8。=。尸,

证明」./ME丝ECF,推出,，。即为等边三角形，设N54C=a,根据等边对等角，表示出NAOE,乙4。尸，

根据N4DE+ZADF=60。，列出方程进行求解即可.

【详解】解：过点。作。w〃BC,CF//BD,连接E尸，

则：四边形D8CF为平行四边形,

mDF=BC,BD=CF,

SAD=BC=CE=DE,AB=AC,

^AD-AB=CE-AC,DE=DF,

团AE—BD,

团AE—CF,

团CF〃AD,

⑦NECF=NEAD,

团DAE会ECF,

国DE=EF,

⑦DE二DF,

⑦DE=EF=DF,

团,DEF为等边三角形，

回/EZ加=60°,

设NR4C=c,贝i|：ZADF=ZABC=1(180°-a),ZZME=180°-a,

0ZADE=180°-2ZZ14E=2«-180°,

0ZEDF=ZADE+ZADF=2a-180°+1(180°-«)=60°,

解得：a=100°,

0Z&4C=1OO°；

故答案为：100。.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形

的判定和性质等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊图形.

25.(2024・广东广州•一模)如图，已知AD是ABC的角平分线，DE,。尸分别是和,、ACD的高，

四边形AED尸的面积为60,DF=5,则VADE中AD边上的高为.

【答案】

【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出

DE=DF,/DAE=ZDAF,证明丝△的衣，得出5人加=30,由面积公式求出A尸=12,再根据勾

股定理得出">=13,最后再根据面积公式求出VADE中AD边上的高.

【详解】解：团AO是ASC的角平分线，且DE,。尸分别是△ABD和，ACO的高，

BDE=DF,ZDAE=ZDAF,ZDEA=ZDFA=90°,

团DEA^.DFA,

=

回SDEASDFA'

又S四边形AEOF=SDEA+SDFA~6°,

回SDFA~/S四边形AEDF=3°，

即b.。尸=30,

2

团DF=5,

团AF=12,

在RtAN中，由勾股定理得，AD=ylAF2+DF2=V122+52=13-

设VADE中AD边上的高为〃，则有：—xl3x/z=3O,

2

解得，h=^,

即VADE中A。边上的高为,

故答案为：鲁,

26.（2024•广东珠海•一模）如图，将，ASC绕点C顺时针旋转，使点8落在A8边上的点。处，点A落在点

E处，DE与AC相交于点居若ABIICE,DE1AC,AD=2,则A3的长为.

【答案】2+20

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，通过题意构造辅助线是解题的

关键.

如图，过点C作，4?于点证明RtCMB=RtCMD,得到=BM=DM，再证明

CDMCDF,得到==D尸，由ABCE及旋转可得到NA=45。，由勾股定理得到

DF=BM=DM=3，即可求出A3长.

【详解】解：如图，过点C作1四于点”，

AE

由旋转可知：CB=CD,ZB=ZCDE,ZA=ZE,

CMLAB,

.\ZCMB=ZCMD=90°,

CB=CD,CM=CM,

/.RtCMB^RtCMD(HL),

.\ZB=ZCDM,BM=DM,

:./CDM=/CDF,

DELAC,

;./CFD=/CFE=ZAFD=9。。,

，/CFD=/CMD,

在VCDAf和4a*中，

ZCMD=ZCFD

<ZCDM=/CDF,

CD=CD

:_CDM-CDF(AAS),

:.DM=DF,

:.BM=DM=DF,

ABCE,

:.ZA=ZACE,

:.ZACE=ZEf

ZCFE=90°,

\1ACEIE45?,

.•.NA=45。，

:.AF=DF,

AD=2,

•••A尸尸2=4，

/.AF=DF=①,

BM=DM=6,

•••AB=2+应+0=2+20,

故答案为：2+20.

27.（2024•广东广州二模）如图：小文在一个周长为22cm的；ABC中，截出了一个周长为14cm的八4£＞。,

发现点D刚好落在A3的垂直平分线上，请问AB的长是cm.

【答案】8

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成

为解题的关键.

根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD,再根据三角形周长公式可得AD+DC+AC=22cm、

AB+BC+AC=22cm,AB+BD+DC+AC=22cm,然后将AB+3C+AC=22cm整体代入即可解答.

【详解】解：国点。刚好落在的垂直平分线上，

0BD=AD,

团AADC的周长为14cm,

BAD+DC+AC-22cm,

团.ABC的周长为22cm,

0AB+BC+AC=22cm,即AB+BD+DC+AC^22cm,

SAB+AD+DC+AC=22cm,即AB+（+DC+AC）=22cm

0AB=22cm-AD+DC+AC）=22cm-14cm=8cm.

故答案为：8.

28.（2024•广东东莞•一模）毕达哥拉斯树，也叫"勾股树"，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可

以无限重复的树形图形.欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在ASC中，ZACB-90°,

分别以ABC的三条边为边向外作正方形，连接BF,CD,过点C作。0_LDE于点若=3,ZFBA=30°,

则的面积为__________.

【答案】乎

【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解

题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

先由已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出，E4B丝CAD,然后得到NFB4=/aM=30。，

13

BF=CD=3,进而得到/OQ0=NADC=3O。，DM=—CD=—,然后利用勾股定理求出

22

CMNcA-DM?=空,最后利用三角形面积公式求解即可.

2

【详解】解：回四边形ACG尸和四边形ABED是正方形

回NE4C=NSAD=90。，FA=CA,BA=DA,

⑦/FAC+NBAC=ZBAD+ZBAC,

^ZFAB=ZCADf

,在，和CAD中，

AF=AC

</FAB=ACAD,

AB=AD

:.^FAB^_CAD（SAS）,

/.ZFBA=ZCDA=30°fBF=CD=3f

^1AD//CM,

^\ZDCM=ZADC=30°,

aCMIDE,

13

团DM=—CD=—,

22

BCM=yJCD2-DM2

2

^NCDM的面积==』乂3义速=型.

22228

故答案为：迎.

8

29.（2024•广东广州•三模）如图，点AE,F,5在直线/上，AE=BF,AC//BD,且AC=5Q,求证：

ZC=ZD.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由钻=8b可得=由AC〃刖可

得/CAF=/DBE,即可由SAS证明△ACF丝△DBE,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】证明：回点AE,F,B在直线/上，AE=BF,

SAE+EF=BF+EF,

即AF=BE,

^AC//BD,

SZCAF=ZDBE,

5l^AC=BD,

0ACF^DBE(SAS),

0ZC=ZD.

30.(2024•广东河源•一模)如图，在ASC中，ZC=90°,AD=AC,DE=CE,试猜想与A8的位置关

系，并说明理由.

【答案】DEJ.AB,理由见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.证明.ADE丝ACE(SSS),推出NADE=NACE=90。，可得

结论.

【详解】解：结论：DEJ.AB,

理由：连接AE.

在，ADE与ACE1中,

AD=AC

■DE=CE,

AE=AE

ADE^ACE(SSS),

ZADE=ZACE=90°,

:.AD±DE,即

31.(2024•广东广州•二模)如图，A、。、B、厂在一条直线上，DE//CB,BC=DE,AD=BF.求证:

△ABCmAFDE.

【答案】见详解

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据两直线平行得出内错角相等，再结合线段和的关系

得出=即可证明△ABC四△fDE(SAS).

【详解】解：QDE/ICB,

0NCBD=NEDB,

SAD=BF,

^\AD+BD=BF+BD,

即AB=RD,

0BC=DE,

0△ABC丝△FDE(SAS).

32.(2024•广东东莞•一模)如图，在ABC中，Z1=Z2,Z3=Z4,证明：四△ACD.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，等角对等边，先证明3ACD,再根据"SAS"进行证明即可.

【详解】证明：回/3=/4,

BBD=CD,

在△ABD和，ACD中,

AD=AD

<Z1=Z2,

BD=CD

回△ABD且zXACD(SAS).

33.(2024•广东广州•二模)如图，8、C、E三点在同一直线上，AC//DE,AC=CE,=.求证：AB=CD.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，也考查了三角形内角和定理.根据平行的性

质可得/4CB=ZE,再根据三角形内角和定理可以得到NA="CE,即可证明ACB名CED,故得证.

【详解】证明：SAC//DE,

SZA+ZB+ZACB=ZE+ZD+ZDCE=180°,ZD=NB,

0ZA=ZDCE,

又回AC=CE,

0ACB空CED（ASA）,

SAB=CD.

34.（2024・广东广州•二模）古人诗云："草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟.儿童散学归来早，忙趁东风放

纸莺."纸莺，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形

（如图所示），已知AB=3C,ZABD=NCBD,求证：AD=CD.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.根据

AB=BC,ZABD=NCBD,BD=BD,利用SAS