2025年新高考数学重难点专项复习：直线与圆易错题十大题型（原卷版）

重难点12直线与圆易错题十大题型汇总

题型解读

好量满分技巧/

易错一.斜率公式k=纥"中的条件冷牛对容易被忽略.

%2一%1

易错二.忽视直线斜率不存在的情况

由于直线的斜率k=tana,a为直线的倾斜角.，当a=90。时k不存在，在解题时容易忽略.

易错三.混淆直线斜率与直线倾斜角的关系致错

直线的斜率是倾斜角的正切，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90。的直线没有斜

率.

易错四.忽略直线的截距为零的情况

在利用截距式'+设方程时，容易忽略截距为零的情况.

aab=1

易错五.两直线平行时忽略重合的情况

在求解两条直线平行的问题是，一定要检验是否平行

易错六.忽视两条平行直线距离公式系数统一

在运用举例公式时，不要忘记统一系数

易错七.半圆问题不要忽略范围

数形结合是通过数与形之间的转化，来达到解题的目的，在转化过程中难免会出现范围的变化，在解题过

程中，应注意.

易错八.圆的一般式方程忽视成立的条件

1.当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程,其圆心为

半径为r=5tD2+E2-4F.

(DE)

2.当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点=、.

3.当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.

易错九.求过一点的切线方程时忽略斜率不存在

求切线方程时，如果需要设直线的斜率时，需要考虑直线的斜率部存在的情况是否满足题

意.

易错十.两圆相切时忽略内切外切两个情况

圆与圆相切时，有两种情况即内切和外切，但是在题设告知相切的情形下，我们往往会考虑其中一种情况,

而忽视另外一种情况.

蜀*题型提分练

题型1忽略斜率公式的应用条件

【例题1](2023上•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中)已知直线Z：mx+y+1^0,

4(l,0),B(3,l),则下列结论正确的是()

A.直线I恒过定点(0,1)

B.当爪=1时，直线I的倾斜角为?

4

c.当巾=0时，直线I的斜率不存在

D.当m=2时，直线I与直线不垂直

【变式1-1]1.(2022上•江苏连云港•高二期末)若4(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的

值为()

A.—2B.2C.13D.3

【变式1-1]2.(2023上•云南曲靖・高三曲靖一中校考阶段练习)若直线x+ysina+2=0(aeR)的倾斜

角的取值范围是

【变式1-1]3.(2023上•河南三门峡•高二校考阶段练习)过点4(犯3),B(-l,m)两点的直线与直线I垂

直，直线I的斜率为-1，则澳=

【变式1-U4.(2023上•安徽亳州•高二蒙城县第六中学校考期中)过4(/0),8(1,2)的直线的斜率大于2,

则满足条件的一个a值可以为

【变式1-1]5.(2023上•高二课时练习)已知4(—L2),B(m,3)

(1)求直线AB的斜率k；

⑵已知实数小£[-^-1,0],求直线AB的倾斜角a的取值范围.

【变式1-1]6.(2023・高二课时练习)已知AABC中的两个顶点是C(0,6),B(0,-6),4B边与力C边所在直

线的斜率之积是]求顶点4的轨迹.

题型2忽视直线斜率不存在

[例题212023•全国•模拟预测)/=1"是"直线》+ay=2与直线ax-y=2垂直"的条件(填

"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要")

【变式2-1】L(2023上•陕西西安・高二长安一中校考期中直线4：ax+y+1=0与直线必效+ay+2=0

平行，则实数a的值为

【变式2-1】2.(2020上•天津•高二校联考期中)已知点4(1,3)和点8(5,2)到直线1的距离相等且1过点(3,-1),

则直线泊勺方程为

【变式2-1J3.(2023上•四川凉山・高二宁南中学校联考期中)已知实数满足x-3y+5=0(1<x<4),

则言的取值范围为

【变式2-1]4.(多选)(2021上•河北邢台・高二统考阶段练习)某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标

分别为4(-3,-4),B(6,3),交通枢纽C(0,-1)，计划经过C修建一条马路1(1看成一条直线,1的斜率为k),

则下列说法正确的是()

A.若A,B两个镇到马路I的距离相等，贝必=全垮

B.若A,B两个镇到马路I的距离相等，则k=；或|

C.若A,B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为(|,1)

D.若A,B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为u(1,+8)

【变式2-1J5.(2023上•全国•高二专题练习)直线x+a2y+6=。和(a-2)x+3ay+2a=。无公共点，

则a的值为()

A.-1或2B.0或3

C.-1或0D.-1或3

题型3混淆斜率与倾斜角的关系

【例题3](2023上•辽宁・高二辽宁实验中学校考期中)设直线/的方程为x-ysine-2=0,则直线珀勺倾

斜角a的范围是()

A.[0,TT]B.。图

<=.[得

【变式3-1]1.(2023上•山东•高二校联考阶段练习)直线sin60)+cos30>+2=0的倾斜角是()

A.30°B.60°C.135°D.150°

【变式3-1]2.（2023上河北石家庄•高二石家庄二中校考期中）直线（4a2-2比-2y+3=0（a为常数）

的倾斜角的取值范围是（）

A/词U&郡.[崂u皆可

C•[词u管，n）D-[°-3u[?-n）

【变式3-1]3.（2020上浙江绍兴•高二统考竞赛）已知点4（cos70o,sin70。），B（cos20。,sin20。），则直线

的倾斜角a=

【变式3-1]4.（2022・高二课时练习）已知点Q（-2,0）,A（1,V3）,B（1,-㈣，P为动点.当点P

在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围.

题型4截距式忽视过原点

【例题4】（多选）（2023上•陕西西安•高二校考期中）下列命题正确的是（）

A.任何直线方程都能表示为一般式

B.直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是（0,2）

C.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等

D.直线方程ax+（a+l）y=a（a+1）可化为截距式为忘+^=1

【变式4-1】1.（多选）（2023上・安徽铜陵•高二校联考期中）过点P（2,l）且在两坐标轴上的截距的绝对值

相等的直线方程为（）

A.x+y—3=0B.Jt+y+3=0C.x—y—1=0D.x—2y—0

【变式4-1]2.（多选）（2023上•浙江•高二校联考期中）直线I经过点（2,-3）,且在两坐标轴上的截距

的绝对值相等，则直线I的方程可能是（）

A.3x+2y=0B.2x+3y=0C.x—y—5=0D.x+y+l=0

【变式4-1]3.（2023上湖北•高二那阳中学校联考期中）已知直线I：（a+2）x+（1-a）y+a-7=0,

aeR.

⑴证明：直线I过定点P,并求出P点的坐标；

(2)直线I与坐标轴分别交于点A,B,当截距相等时，求直线I的方程.

【变式4-1]4.(2023上•黑龙江哈尔滨•高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中)已知(2,m)为直

线dx+y+l=0的方向向量，,A为MN的中点.

(1)求出点A的坐标；

(2)若直线1过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的[,求直线厂的方程；

题型5平行问题忽视重合

【例题5](2023上•四川凉山•高二统考期中)直线4：2x+ay+2=0：3—l)x+y—2=0,贝!J"a=

2"是7坨”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式5-1]1.(2023上•山东潍坊•高二统考期中)已知直线匕：(m+l)x+y+m=04：%+O+l)y-

2=0,则下列结论正确的是()

A.若人与%相交，贝!H-2B.若二与L平行，贝U血=-2

C.若%与%垂直，则爪=-1D.若。与%重合，则爪=0

【变式5-1J2.(2023上福建泉州•高二泉州市城东中学校联考期中汜知直线"：x-(a-l)y-a-2=0

与0:a比一2y-2=。平行，贝！Ja的值是()

A.1B.2C.1或2D.-1或2

【变式5-1]3.(2023上•河南•高二校联考期中)"a=4"是"直线%:(a+2沈+即+2=0和直线

%：(a-l)x+(a-2)y-1=0平行"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式5-1]4.（2023上•江苏徐州•高二统考期中）已知直线%：x+（m+l）y+m-2=0,Z2：2mx+4y+

16=。平行，则这两条平行直线之间的距离为

【变式5-1]5.（多选）（2023上•四川凉山•高二宁南中学校联考期中）已知直线+（a-l）y+1=0,

直线%:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是（）

A4在x轴上的截距为-1B.1恒过定点（。，-1）

C.若hIIG，贝必=T或a=2D.若"1%,则a=|

【变式5-1J6.（2022上•安徽黄山•高二校联考期中圮知直线4：（2a+1）尤-（a+2）y+3=0，直线式（a-

l）x+2y+2=0.

⑴若“/%，求实数a的值；

（2）若h112,求实数a的值.

题型6平行线距离公式忽视系数统一

【例题6]（2023上•四川凉山•高二宁南中学校联考期中）两条平行直线x+2y-1=0与奴+4y-3=0

之间的距离为（）

A.—B.—C.-D.-

55102

【变式6-1]1.（2023上•四川凉山・高二统考期中）已知点P是直线I：3x-y-6=0与x轴的交点，直

线I绕点P逆时针方向旋转45。得到直线%,则直线人与直线4久+2y+l=0之间的距离为（）

AYB.迪cdD.迪

551010

【变式6-1J2.（多选I2023上•云南昆明•高一校考期中）已知直线匕：ax+y-1=0,%=2x+（a+l）y-

2a=0：,且IJ/1?1则（）

A.a=—2B.a=1

C4与直线X+2y=0垂直D.4与％与间的距离为言

【变式6-1】3.（多选）（2023上•广东广州•高二校联考期中）已知aeR,直线匕：x+ay-a=0,直线

/2:a%—（2a—3）y+CL—2=0,贝[|（）

A.若,则a=1或一3B.若,则11与小间距离为誓

C.若h1I2,则a=0或2D.若"在x轴和y轴上的截距相等，则a=1

【变式（上贵州高二校联考期中已知两条平行直线

6-1J4.2023••）k：2x+y+l=0,l2：ax+2y+c=0

间的距离为有,则a+c=.

【变式6-1]5.（2023上•四川内江•高二校考期中）两平行直线匕：2久+y+1=0,%：3+2y+3=0的

距离为

题型7半圆问题忽视范围

【例题7]（2023上•江苏无锡•高二校联考期中）若直线y=-x+6与曲线x=7T二记恰有一个公共点，

则b的取值范围是（）

A.[-V2]B.[-1,V2]C.[—1,1）u{V2}D.1,1]u{-V5}

【变式7-1]1.（2023上•广东广州•高二校联考期中）已知直线y=fc（x+1）与曲线y=，4一（x-21有两

个交点，则实数k的取值范围为（）

A.[。呼）B.（吟）

c-（-¥­v）D-（-¥-°]

【变式7-l】2.（2021・高二课时练习港直线kx-y-2=0与曲线C:Jl-（y-1尸=x-1有两个交点，

则实数k的取值范围是（）

B4D+

A.（Q]'（?）C-[-2-9U（?2]-（?°°）

【变式7-1]3.（2023上•河北保定•高二统考期中）已知直线上依-y-3k+4=。与曲线y=7§=正有

且只有一个公共点，则k的取值范围为

【变式7-1]4.（2023上•甘肃白银•高二校考期中）关于x的方程0=正-kx+k-1^。有两个不等的

实数根，则实数k的取值范围为

题型8圆的一般方程忽视成立条件

【例题8]（2023上河北•高二校联考期中）若方程/+y2+4x+2y-m=0表示一个圆，则m的取值

范围是（）

A.（—8,—5）B.（—5,+8）C.（—8,5）D.（5,+8）

【变式8-1】1.（2023上•湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中）2>4〃是〃方程%2+了2+依+（左—

2）y+5=。表示圆的方程”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式8-1】2.（2023上•北京丰台•高二统考期中圮知圆C：/+y2_mx+3y+3=o关于直线/：皿+y一

m=。对称，则实数a=（）

A.-V3B.-1C.3D.-1或3

【变式8-1]3.（多选）（2023上•江苏徐州•高二统考期中）已知曲线C：mx2+ny2=l（其中爪,n为

参数），下列说法正确的是（）

A.若m=几>0,则曲线C表示圆

B.若nrn>0,则曲线C表示椭圆

C.若mn<0,则曲线C表示双曲线

D.若nm=0,m+n>0,则曲线C表示两条直线

【变式8-1]4.（多选）（2023上•广东江门•高二校考期中）若方程a?/+①+6）y2+2ax=0表示一个

圆，贝！la的取值可能为（）

A.3B.2C.—2D.—3

【变式8-1]5.（多选）（2023上•河南•高二校联考期中）若关于"的方程/+4y2+（1一M）到+x-y-

2=0表示的曲线为C，则（）

A.当4=一1时，C表示双曲线

B.当2=0时，C表示两条直线

C.当4=1时，C表示圆

D.当4=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆

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【变式8-1]6.(2023上•甘肃白银•高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中)已知圆C:x+y+aX-2y+

a=0.

(1)求a的取值范围；

(2)若倾斜角为60。的直线=kx与圆C相交于A,B两点，S.\AB\=V3,求a.

题型9圆的切线方程忽视斜率不存在

【例题9](多选)(2023上福建厦门•高二校考期中)过点P(2,4)作圆(x-I)2+(y-l)2=1的切线,

则切线方程为()

A.3%+4y—4=0B.4%—3y+4=0

C.x=2D.y=2

【变式9-1]1.(2023上•陕西西安・高三长安一中校考开学考试)已知圆C的方程为/+y2=1.

⑴求过点P(l,2)且与圆C相切的直线珀勺方程；

⑵直线小过点P(l,2),且与圆C交于4,B两点，若|48|=V2,求直线小的方程.

【变式9-1J2.(2023上•江苏宿迁•高二统考期中)已知圆C：(久-a)2+(y-2尸=4直线2比一y+3=0,

1与圆C相交于4,B两点，|4B|=2/.

(1)求实数a的值；

(2)当a＞。时，求过点(-1,6)并与圆C相切的直线方程.

【变式9-1]3.(2023上•河北唐山•高二校联考期中)已知点M在圆D:/+必+2x-3=0上运动，点

N(4,0),P为线段MN的中点，设点P的轨迹为曲线C,

⑴求曲线C的轨迹方程.

⑵过点Q(*2)作曲线C的切线/,求切线帕勺方程.

【变式9-1]4.(2023上•天津•高二天津市第一百中学校联考期中)已知圆心为C的圆经过点4(1,-1)和

5(4,2),且圆心C在直线x-y+l=0±,

Q)求圆C的标准方程.

(2)过点M(-2,1)作圆的切线，求切线方程

⑶求x轴被圆所截得的弦长|MN|

【变式9-1]5.(2023上•北京顺义・高二校考期中)已知圆C：x2+y2-2%-4y+l=0

Q)求圆的圆心和半径；

(2)求经过点(3,-2)的圆C的切线方程；

⑶求直线I：2x-y+2=。被圆C截得的弦长.

题型10圆与圆相切时忽视内切外切

【例题101(2023上•四川内江•高二四川省内江市第六中学校考期中)已知两个圆/