2025年中考数学几何模型归纳训练：解直角三角形模型之12345模型解读与提分训练（原卷版）

专题30解直角三角形模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的

独特魅力。

模型1*12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，贝！|NP48+NPA4=。（点/,B,尸是网格交点）。

8

力

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸/2和/尸84便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45。之外，用三角函数的观点来看:

tanZPAB=-,tanZPBA=-,对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

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模型证明

12345基础模型模型还可变式为

tana=—tana=—,_a

,一。；变式LL-；变式2：.石*然。

证明：（基础模型）如图，作矩形/BCD,且48=CZ>3,AD=BC=4,在8C上取一点E使得AB=1,在DC

上取一点F使得D尸=2,根据矩形性质得：EC=3,CF=1,iktanZDAF=-,tanZBAE=~,tanZFEC=~,

233

易证："BE"AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

VZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=9G°,：.ZEAF=45°

证明：（模型变式1）如图，作矩形/8C。，且/8=CD=a,AD=BC=a+b,在3c上取一点E使得3£=a,在

OC上取一点下使得DF=6-a,根据矩形性质得：EC=b,CF=a,

,,b-aa,a

故------,tanZ.BAE=—,tan/FEC=—,

a+bbb

易证："BE"AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

,/ZBAE+ZAEB=9Q°,：.ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。

(5)Zct+Zp=90°；(6)ZADB+ZDBA=ABAC-,(6)/ADB+NDBA=/BAC；

上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的,

但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。

模型运用

例1.（2022・四川乐山・中考真题）如图，在比A/3C中，ZC=90°,BC=生，点、D是AC工一点、,连接

BD.若tanN/=,，tanZABD=-,则CD的长为（）

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A.2>/5C.V5

例2.（2024・吉林长春•校考二模）如图，正方形N2CZ）中，AB=8,G是3c的中点.将A/BG沿NG对折至

LAFG,延长Gr交。C于点£,则DE的长是（）

例3.（23-24八年级下•江苏南京•期中）如图，在四边形/BCD中，/A=NB=90P,AB=BC=4,AD=3,

E是48上一点，且4DCE=45。，则。E的长度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6

a

例4.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在正方形4BC。中，点E,F分别为BC,48的中点，连接/E,

点G是线段AE上一点，连接G厂，延长FG交CD于点“，若N2=4,4AGF=45°,则CM的长为.

例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形48CD中，AB=2,BC=4,点£、9分别在5C、CD上，若

AE=MZEAF=45°,则NF的长为.

例6.（23-24九年级上•福建泉州•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线了=-尤+加分别交x轴，V轴于4B

两点，已知点C（2,0），点尸为线段的中点，连结尸4PC,若NCPA=/4BO,则机的值为.

例7.（2023•龙华区九年级上期末）如图，已知正方形48C。的边长为6,E为8C的中点，将沿直

线/E折叠后，点3落在点尸处，/尸交对角线AD于点G,则尸G的长是

BEC

8.（2024九年级上•浙江・专题练习）如图，将已知矩形纸片4BC。的边8C斜着向ND边对折，使点3落在40

上，记为"，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点。落在"C边上，记为。外折痕为C尸，B'D'=2,

BE=GBC.则矩形纸片ABCD的面积为.

例9.（2023•湖北黄冈•统考中考真题）如图，矩形/BCD中，AB=3,BC=4,以点3为圆心，适当长为半

径画弧，分别交8C,BD于点、E,F,再分别以点£,R为圆心，大于工所长为半径画弧交于点P,作射线

2

BP,过点C作8尸的垂线分别交于点M,N,则CN的长为（）

A.VWB.VHC.273D.4

例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形48co的边长为2vL点E是。。的中点，BE与4C交于点

M,厂是4D上一点，连接"分别交ZC,4E于点G,H,且连接,则/8=,

MH=.

习题练模型

1.（23-24广东汕头•模拟预测）如图，正方形4BCD中，AB=6,G是BC的中点.将A48G沿/G对折至

A4FG,延长GF交。C于点E,则GE的长是（）

A____________ft

段

BGC

A.5B.4C.3D.2

2.（2024•山东淄博•校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9,点E,F分别在边AB,AD上，若E是

AB中点，且NECF=45。，则CF的长为（）

AEB

A.12B.3C.3710D.375

3.（23-24九年级下•江苏南通•阶段练习）如图，在四边形48。中,ZA=ZB=90°,AB=BC=8,AD=6,

£是边45上一点，且/。CE=45。，则。E的长度是（）

AD

O

BC

A.8B.7.4C.7D.6.8

4.（23-24九年级上•贵州铜仁・期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x~\~m（加？0）分别交x

轴，了轴于4,3两点，已知点C（3,0）.点P为线段03的中点，连接上4,PC,若NCQ4=45。，贝U冽的

值是

5.（2024•辽宁葫芦岛•二模）如图3,在矩形N5C。中，点£,歹分别在边5C,CD上，将矩形/3CD沿/E,

4尸折叠，点3落在点M处，点。落在点G处，点4,M,G恰好在同一直线上，若DF=2CF,AB=6,

AD=10,则线段BE的长为.

G

6.（2024・广东•模拟预测）在正方形/BCD中，边长为6,BE=2AE,连接DE,在40、2c上分别存在点G、

F,连接G歹交。£于〃点，且/G〃D=45。，求线段尸G=.

7.（2023・山东・中考模拟）如图，在矩形/2C。中，48=4,/。=6,点E,尸分别在边BC,CD

上，ZEAF=45°,BE=2,则。9的长为.

7.（23-24九年级•江苏无锡•期末）如图，在正方形N8CD中，尸是8C的中点，把△巴3沿着E4翻折得到

△PAE,过C作CF_LZ>E于足若CF=2,则DF=.

AD

/E

B4JC

8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，/、B、C、。都在

格点处，AB与CD相交于。，贝”劭/5。（的值等于

I

寸

I

Il\I

I-

一-一一一o一

9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片CM5C放入平面直角坐标系中，使04、。。分别落在x轴、

y轴上，连接03,将纸片04BC沿03折叠，使点/落在点，位置，OB=亚，tan/BOCuL,则点/'的

坐标为____________

10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片/8CO,折痕是DM,点C落在点£处,

分别延长攻，DE交AB于点、F,G,若点“是3C边的中点，则尸G=cm.

11.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为布，对角线AC、BD交于点0,

点E在BC上，且CE=2BE,过B点作BFLAE于点F,连接0F,则线段OF的长度为.

12.（2024咛夏银川•三模）如图，在矩形/BCD中，AB=6,BC=10,将矩形NBC。沿BE折叠，点/落

在©处，若EH的延长线恰好过点C,贝的值为.

13.（23-24九年级•天津河西•期末）正方形/BCD的边长/8=2,£是的中点，尸是8C的中点，AF分

别与。£,3。相交于点M,N,则的长为.

14.（23-24八年级上•江苏南京•期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图像与x轴、＞

轴分别交于点4、B,将直线AB绕点8顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式为.

15.（2324・深圳•模拟预测）如图，已知点N的横坐标与纵坐标相等，点8（0,2）,点N在反比例函数y=一

x

的图象上.作射线AB,