2025年新高考数学专项复习：基本不等式提高版十大题型（解析版）

专题2-2基本不等式提高版十大题型汇总

。常考题型目录

题型1公式法....................................................................1

题型2多次使用均值不等式........................................................5

题型3消元法...................................................................10

题型4多元均值不等式...........................................................15

题型5基本不等式与二次不等式结合...............................................19

题型6换元法...................................................................23

题型7三角换元法...............................................................28

题型8万能k法.................................................................31

题型9因式分解法...............................................................33

题型10不等式链...............................................................36

U题型分类

题型1公式法

【方法总结】

基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

【例题1】(2022秋•河南郑州•高一新密市第一高级中学校考阶段练习)已知久〉0,y>0满

2

足2/y+Xy-y-8x-0,则y+2久的最小值为()

A.2V2B.4C.3V2D.V2

【答案】C

【解析】由题意可得y+2%=i+^,结合目标式即可构造出(y+2x)2=(y+2x)(i+；)

进而利用基本不等式求y+2久的最小值

2

【详解】由2%2y+xy—y—8x=0知：xy(2x+y)=y+8%,而％>0ry>0

.'.y+2x='+；,则(y+2x)2=(y+2x)(：+；)=(+等+1022—4-10=18

:.y+2x>3/

故选：C

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价

代换构造出基本不等式的形式求最值

【变式1-1]1.(2022秋•上海徐汇•高一上海市南洋模范中学校考期中)已知a,b均为正

数，且ab-a+4b,则登~^+b2-前勺最小值为.

【答案】6

【分析】由已知有&+，=1,则+房-：=1+庐-2，利用基本不等式求其最小值，

ClDloCLDlo

注意取值条件.

【详解】由a,b均为正数，且ab=a+4b,则(+[=1,

222

又《--+6--=—+h-(-+-)=—+h-2z

16ab16%b，16

3+6=(3+36+6)=2+”+£22+2=4,当且仅当竺=1，即£1=83=2取等号，

4ab4a4ba4b

所以2(q+b2)>(^+b)2>16,当且仅当a=8,b=2取等号，则(+炉28,

2

所以高+b2-2>6,当且仅当a=8,b=2取等号，目标式最小值为6.

故答案为：6

【变式1-1]2.(2023春・湖南衡阳•高一衡阳市衡钢中学校考开学考试)已知正实数a,6满

足2a+b=1,则"+寝的最小值是

ab+2-----------

【答案】:

【分析】由2a+6=1,得到2a+b+2=3,化简必+窸=2a+2+(*2)：普+2)+2

结合基本不等式，即可求解.

【详解】由正实数。，匕满足2a+b=1,所以2a+b+2=3,

则四出+上二=2a+工+(b+2)J4(b+2)+2

ab+2ab+2

1212

=2a+(b+2)+—+■-4=—Fb+2-1

ab+2:a

112

=-[2a+(b+2)]-(-+---)-l

OCXUI乙

1b+24a

=y(4+------十)-1

am

、I.,clb+24ay5

之式4+2』[为y-1.

当且仅当比=会且2a+b=3,即a=：,b=[时等号成立，

ab+242

口门2a2+i

即一+W的最小值是j.

a

故答案为：|.

【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，其中解答点关键是基本不等式的条

件的配凑，利用"1"的代换技巧的应用，着重考查推理与运算能力.

【变式1-1]3.（2022・天津•高三专题练习）.已知实数久,y满足x>y>0,则言+老的

最小值是

【答案】2+2V2

【分析】将所求代数式变形为2(%y)+篝+2,然后利用基本不等式可求最小值

x+y

【详解】X>y>0,

•••x+y>x—y>0,4汽=2[(x+y)+(%—y)],

4xx+y2(x+y)+2(x-y)x+y2(x-y)x+y.QQQ

-------1-------卜十甯尝=2+2夜,当且仅

x+yx-y=---x-+-y---1-x--y=--x+-y-1-x---yZNzz

当夜（%一y）=%+y时，即当％=（3+2/）y时,等号成立,

因此言+慧的最小值为2+2V2.

故答案为：2+2V2

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进

行变形，考查了计算能力，属于难题.

【变式1-U4.(2022•全国•校联考一模汜知正实数a,b满足2a>b,S.ab=之Z则喑ZCL—卢D的

最小值为

【答案】2V3

【分析】将式子竺冲1结合条件变形为(2a-与+六，再运用基本不等式求解即可.

2a—b2a—b

【详解】由题意得2a-b>0,且ab=|,

4a2+b2+l_4a2+b2-4ab+3_(2a-Z5)2+3

2a-b2a-b2a-b

=3-)+白22«2a-b)x急=2b,

当且仅当2a-6=告，等号成立，即口="隹，匕=与2

故答案为：2V3

【变式1-1]5.(2023春・天津河西•高三天津市新华中学校考阶段练习)已知正实数a,b

满足2a+6=2,则(4a2+1).&+1)的最小值为不潦+竺祥的最小值

为.

【答案】4|+V2

【分析】空1先把2a+b=2两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值,

(或根据柯西不等式直接求解)；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解.

【详解】空1方法一,由2a+b-2得4a2+4ab+b2-4,4a2+b2-4—4ab,

(4a2+1)-(b2+1)=4a2b2+4a2+b2+1=4a2b2—4ab+5=4(ab—0+4,

当ab=阻2a+b=2时,即a,b=1时，(4a?+1)•(62+1)取得最小值4.

空1方法二，由柯西不等式得

(4a2+1)•(b2+1)=(4a2+1)-(1+Z?2)>(2a+b)2=4.

当a=|,b=1时，(4M+1)•(庐+i)取得最小值4.

故答案为：4.

2a2一匕+4+b2-2a-22a+2a+2+b+匕-42a(a+l)+2+匕2-16+匕+4+8

空2,

a+1b+4a+1b+4a+1b+4

2828

=2aH------+b-3+=-14------+-

a+1b+4a+1b+4

=-1+81(/^2Tl+FT84)\[(2(a+l)+(b+4)]

12(b+4)16(a+1)\

=-1+84+8+

a+1b+4/

=T+X】2+2(匕+4)16(a+1)\

a+1b+4/

1,l、

>-l+-(12+8V2)

o

当a=4V2—5,b=12—8/取等号.

故答案为：|+鱼.

题型2多次使用均值不等式

【方法总结】

一般情况下均值用两次，要保证相同字母"取等"条件和数值一致。

【例题2】（2023•全国•高三专题练习）已知正实数居y满足4/+25y2=1,贝吟+和最小

值为（）

A.20B.40C.20V2D.40V2

【答案】C

【分析】由（三+三）2=（2）2=4/+25J+20町两次应用基本不等式即可求解.

\xyj\xyJxzyz

【详解】(-+-)2=(^)24x2+25y2+20xy40xy400400

\xyj\xyJ-%2y2—x2y2-2%.5y-4/+25y2

X-VT2

当且仅当2x=5y=三，即―时等号成立,

y-V-2

10

故:+2的最小值为20vl

故选：C.

【变式2-1]1.(2023•全国•高一专题练习)设。>26〉0,则+4+〒口的最小值

aba{a-2b)

为.

【答案】6

【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】。2+总+e^=a(a—26)+2ab+煮+就合

22ja(”2b)x^+2j2abx/=2+4=6,

(1zr-

abf=左a=\3

当且仅当,、助1取等号，即L6取等号，

a(a-2b)=-—b=工

Ia(a-2b)3

所以。2+[+7%的最小值为6.

aba{a—2b)

故答案为：6

【变式2-1J2.(多选X2022秋•安徽合肥•高一校考阶段练习)设。>b>c>0，则当2a2+

4+7、-10四+25c2取最小值时，下列说法正确的是().

aba^a-b)

A.a=V2B.b=2-\/2C.c=9D.a+b+c=3V2

【答案】AC

【解析】将原式整理为2+防+1+a(a-h)+a2-lOac+25c2,根据基本不等式和

aba(a-d)'

二次函数的性质可得选项.

【详解】因为a>6>c>0,所以

原式=—+ah+,1、+a(a—h)+a2—lOac+25c2

aba^a-b)

———+ubH—----+d(d—b)+(a-5c)2

aba(a—b)

当且仅当a(a-/?)=1,即a=迎，b=曰，c=争寸,等号成立，此时a+b+c=,

-ct=5c

故选：AC.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式2-1J3.(2020秋•广东•高二校联考阶段练习)已知机>0zn>0，则当81W+4+

卢取得最小值时，n的值为()

【答案】D

【分析】直接利用基本不等式用即可得解.

【详解】由7n>0,n>0得81血2+*2+->18mn+>81,

zn8mn8mn

1

9m=n9m=nm=-

9=­

当且仅当Wmn=—mn=-I时，等号成立

8mnn=-2

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式2-1]4.(2022・全国•高三专题练习)a,b,c是不同时为0的实数，则黑：；：韵勺最

az+2oz+cz

大值为()

A.iB.-C.-D.恒

2422

【答案】A

【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【详解】若要使a上z+2黑&z+：cz最大,贝！1时,儿均为正数，即a,b,c符号相同，

不妨设a,b,c均为正实数，

m.|ab+bc_a+ca+c_a+c

小+2块+〃一驾匕2b-二#2yx2b-2J23+CZ)

_1la2+2ac+c2_111ac111ac_1

-2Q2(a2+c2)-212+a2+c2-2《2+2\/a2xc2~2'

当且仅当手=2b,且。=c取等，即a=b=c取等号，

即则我鬻鼻的最大值为|,

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成

立条件是否一致.

【变式2-1]5.(2022・全国•高三专题练习)设0,b,c＞。，且不等式点+"或一看2。恒

成立，则实数t的最大值为()

A.13B.6C.8D.62.

【答案】C

【分析】将不等式5+l+r-Jr20恒成立，转化为不等式t<(a+b+c)仔+：+9

2ab2ca+b+c\2ab2c/

恒成立，利用基本不等式求解.

【详解】因为a,b,c>0,且不等式;+：+；—>0恒成立，

2ab2ca+b+c

所以不等式t工S+人+。)(或+》—恒成立，

而(a+b+c)(―+：+工)=3+与+&+巴+二+2+等

''\2ab2cJb2a2c2a2cb

>3+21.2+2I---+2l---=8,

7b2a72c2a72cb

当且仅当6=2a=2c时，等号成立，

所以tW8,则实数t的最大值为8.

故选：C.

【变式2-1]6.(2022・高一单元测试)已知a>b>0,那么当代数式a?+"右取最小值

D^CL—D)

时，点P(a,b)的坐标为

【答案】(2,1)

【分析】根据题意有b(a-6)W(丝产)2,当且仅当6=a-6,即。=2b时取等号，所以

a2+-^―2a2+If216，结合a>b>0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b的值,

b{a—b)Q/

从而可求得答案

【详解】解：由a>6>0,得a-6>0,

所以b(a-6)W(咛丫=?,当且仅当b=a-b,即。=2b时取等号，

所以a?+3下>«2+^>16,其中第一个不等式等号成立的条件为a=2b,第二个不等

b{a—b)a£

式等号成立的条件为。2=当，

r716

CL——z_Q

所以当取最小值时，a=2b，解得仁:

<a>b>0

所以点P(a,b)的坐标为(2,1),

故答案为：(2,1)

【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但

不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题

【变式2-1】7.(2023•全国•高一专题练习)若a,beR,ab>0,则舄岛的最大值为

()

A.iB.-C.2D.4

42

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】a4+4b4=(a2)2+(2的2>4a2b2,当且仅当a?=2b2时，等号成立；

abab1

•________________v______________—____________

=+464+1—4a2炉+1一+±

ab

又4ab+^->2\\ab-=4,当且仅当4ab=々时，即a2b2=1等号成立；

abAJabab4

11ab

=2b2加/日2/271

」•a2b2=工，解信a?=[炉=/；•W；-

I4

所以扁片的最大值为9

故选：A

题型3消元法

【方法总结】

如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造"单变量”均值形式求解

【例题3](2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)已知a,b,c均为

正实数，ab+ac=4,则？+旨+占的最小值是

ab+ca+b+c

【答案】4

【分析】将b+c看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助"1"的代换，适

当变形后利用基本不等式求解即可.

【详解】设。=乂，b+c=y,

原题转化为：已知%>0,y>0,且成=4,求|+；+W的最小值.

由三+-+=-（-+-）+-^―=-（y+%）+>2V4=4.

xyx+y2xyx+y2x+y

当且仅当3（y+%）=京即x=y=2时，等号成立.

所以马+马+会的最小值为4.

故答案为：4.

【点睛】方法点睛：一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：

从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；

从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双

勾函数型等等；

从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒

数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.

【变式3-1]1.（2017・北京・高三强基计划）已知a,b,c为正实数，则代数式*;+-^-+

D-roC8c十4a

击的最小值为（）

A.-B.1C.-D.-

48364

【答案】A

【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值.

【详解】设题中代数式为M，令b+3c=x,8c+4a=y,3a+2b=z，则a=-|x+|y+|z,

DOO

b,=-1x----3-y+,-1z.

2164

c=-1x.11z,

6——16zy---1-2-

于是M=_%+（Z+工）+（里+二）+（"+三）

48\8x2yJ\16z4yJ\2z6x7

等号当％:y:z=1:2:3时，也即a:b\c=10:21:1时取得,

因此代数式的最小值为巳.

48

故选：A.

【变式3-1]1.（2023•全国•高一专题练习）已知a>0,b>0,a+26=l,则甯1的

最小值为（）

A.yB.yC.6+V10D.3+VTo

【答案】D

【分析】根据条件得b=”，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】因为a+2b=1,所以6

b2+a+lb,1,11-a,1,a+2b11,1,11

即---r---1----=-----1----1-----=-------1----1----1—

2ab2a2b2ab4a2b2ab4a42b2ba

51115ba

(a+2/,)--=3+-+-

4a64信+力

r--f5b_a(a=毡丑

23+2怦q=3+aU,当且仅当元=3，即J时，等号成立

72abia+2b=l卜=孑

所以(嗡％n=3+VIU

故选:D.

【变式3-1]2.（2021秋•江苏•高一专题练习）已知ab=；,a,be（0,1）,则2+三的

41—CL1—D

最小值为

A.4B..6C.3+延D.4+—

33

【答案】D

【解析】根据b=:代入++7^：/变形为』-+7^7+2/等价处理成|+-^—)((4-

4a1-a1-b4-4a4a-l3v4-4a4a-l八'

4a)+(4a-1))+2,利用基本不等式求最值.

【详解】由题：ab=]a,b£(0,1),力=?

121218。-2+2

一+~~r=------+-------=---------+—：---:—

42

=—F-------+2

4—4a4a—1

221

=Q<G~^+Z^~T）（（4-4a）+（4a-1））+2

34—4a4a—1

=-（2+1+^^+—）+2>-（3+2V2）+2,

314-4a4a-l73'7

当且仅当好2=白勺时，取得最小值，

4-4a4a-l

解得当a==二时，取的最小值4+等

43

故选：D

【点睛】此题考查利用基本不等式求最小值，关键在于根据题目所给条件准确变形，根据积

为定值求最值，注意考虑等号成立的条件.

【变式3-1]3.（2022・全国•高三专题练习）已知a>0,且a?-b+4=0,则急有（）

A.最大值*B.最小值:C.最大值;D.最小值J

5544

【答案】A

【分析】根据题意可得到W,从而利用基本不等式即可求出w的最大值.

a+ba+a-+la+b

【详解】因为a?—+4=0,所以b=a2+4,

所以捻=—=含，

a

因为a>0,所以a+3+1>2[^+1=5,当且仅当a=&,即。=2时等号成立，

avaa

所以W=7―W；，当且仅当a=2时等号成立.

a+ba+l+l5

故选：A.

【变式3-1]4.（2023春・湖南长沙•高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知a>

0,b>0且a?-b+4<0,则（）

A.有最小值昔B.有最大值昔C.有最小值？D.有最大值？

5566

【答案】A

【解析】根据-b+4w0，变形为b>a2+4，再利用不等式的基本性质得到a+b>a2+

a+4,进而得到一W2—*工,然后由暗=3-弋，利用基本不等式求解.

a+baz+a+4a+ba+b

【详解】因痴2_b+4wo,

所以b>a2+4,

所以a+b>a2+a+4,

所以高三百，

所以-

a+b~a2+a+4'

所以2a+3b=3-23-^^

a+b

当且仅当a=2,b=8时取等号,

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为号=3-W,再由6>«2+4,

a+ba+b

利用不等式的性质构造-W>,再利用基本不等式求解.

a+baz+a+4

【变式3-1]5.（2023•全国•高三专题练习）已知a,6,c6R且a+b+c=0,a>b>c，则巴：。一

的取值范围是（）

A.[2,+oo）B.（—oo,—2]C.（-1，-2]D.Q|]

【答案】C

【分析】首先求得a，。及工的取值范围，再把立包转化为关于£的代数式巴+£,利用函数

aacaca

f©=t+的单调性去求£+（的取值范围即可解决

【详解】由a+b+c=0,a>b>c,可彳导a>0,c<0fb=—a—c

贝>-a-c>c,贝[]-2<-<令t=-,贝！]一2<tV一工

a2a2

又f(t)=t+?在(-2,-1)单调递增，在(-1,一分单调递减

/(-2)=-2+^=-|,/(-1)=-1+)=_2,/(一"—"$=一

则<—2,即一|<0一<—2

22ac

故选：C

题型4多元均值不等式

x—2y—z+2w=0,

【例题4】(2020•北京•高三强基计划)设正实数x,y,z,w满足2yz-wx=0,则

z>y,

话的最小值为()

y

A.6+V2B.6+2V2C.6+3V2D.6+4近

【答案】D

【分析】消元后根据基本不等式可求话的最小值.

y

【详解】考虑消元，由于『十非二寒+Z'

Ixw—/yz,

根据均值不等式，2y+z=x+2w>2A/2=W=4^/yz.

从而2+->4R,基本解得三>6+4A/2,

y7yy

等号当％=2w时取得.因此所求的最小值为6+4V2.

故选：D

【变式4-1J1.(2023秋•高一单元测试)已知正数x,y,z满足/+*+=1，则5=强

的最小值为.

【答案】4

【分析】变化条件，利用基本不等式求解即可.

【详解】由条件得/+y2=1-z2=(1-z)(l+z),则1+z=,

1+z_x2+y22xy_1

:S=-2-xyz=2xyz(l-z)-2xyz(l-z)z(l-z)

>「z+：a?=4,当且仅当x=y，且z=l—z,即z=，=y=1时取等号.

故答案为：4.

【变式4-1]2.(2023・江苏•高三专题练习)设实数a,b,c，满足a+b=2c-1,a2+b2=

c2+2c-3,则ab的取值范围是.

【答案】上言，卜啕

【分析】用c表示帅,再根据基本不等式求出c的取值范围后可求成的取值范围.

【详解】因为ab=/(a+b)2-a2-的，

所以ab=|[(2c—l)2—c2—2c4-3]=|(3c2—6c+4),故ab=|[3(c—l)2+1],

222

又小+ft>2ab,所以/+2c—3>2x|[3(c—l)+1]=3c—6c+4z

整理得到2c2—8c+7<0即萼<c<^.

又子>1,故y-j[3(c-1)2+i]在[等，竽]为增函数，

当‘=竽时,y=—=+喙当c=竽时,丫=5+苧；

所以处的取值范围是件-乎中+誓]

【点睛】多元变量的最值问题，基本的处理策略是利用消元法尽量降低变元的个数，从而把

问题归结为一元函数的值域，另外消元时可用整体消元的方法且需注意变量范围的传递.

【变式4-1】3.(2022秋•四川•高一四川省平昌中学校考阶段练习)设2,b,ce(0,+8)且

a?_2ab+962_°=0,则当段取最大值时，三+：—2的最大值为

cabc---

【答案】3

【分析】将c表示为a"的形式，利用基本不等式求得当也取最大值时，a=36,c=12b2,

c

再根据二次函数的性质求得三+:-2的最大值.

abc

2

【详解】a,b,CE(0,+8)且小_2ab+9h—c=0z

即c=a2—2ab+9fe2,

ab_ab_1

22

'ca-2ab+9bba-

当且仅当g=—,a=3b时等号成立，止匕时c=a2-2ab+9b2=12b2,

ba

r-|\|3,291,2331,1

所C以-o

八aH--b----c-=-bH---b----4-b-2-=--4-X—b2+3X-b,

根据二次函数的性质可知，当>-斗=2,b=粗寸，

2

一：x白+3x，取得最大值为一:x22+3x2=3.

4bzb4

故答案为：3

【点睛】结论点睛：求一个表达式的最值，可以考虑以下两种方法，一种是利用基本不等式

来求最值，利用基本不等式求最值，要注意"一正二定三相等"；一种是利用二次函数的性

质来求最值，利用二次函数的性质来求最值，要注意开口方向和对称轴.

【变式4-1]4.(2022•江苏•高一专题练习)设a,b,c,d均为大于零的实数，且abed

=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为()

A.8B.4+2V3C.5+2V3D.4^3

【答案】B

【分析】根据条件可得a?+b2+ma2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd,然后利用重要不

2

等式和基本不等式可求出a?+b+m的最小值.

【详解】解：a,6,c,d均大于零且abed_1,m-a(b+c+d)+b(c+d)+cd,

a2+b2+m=a2+b2+(<a+b)(c+d')+ab+cd.

>2ab+2y[ab-2Vcd+ab+cd=4+3ab+cd

》4+273abcd-4+2v5,

当且仅当a=b,c-d,3ab-cd,即a—b—(1)J,c-d—3a时取等号，

a2+b2+tn的最小值为4+2v5.

故选：B.

【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档

题.

【变式4-1]5.（2022・全国•高三专题练习）已知正数x,y,z满足/+y2+z2=1,则5=

庄+工的最小值是（）

xyz

A.2+3V2B.3+2V2C.3+2V3D.4+3A/2

【答案】B

【分析】利用不等式进行变型，转化为庄>2,所以原式

xy1-z

s=l^l>-^i=^-（ze（0,1））,结合基本不等式即可得到答案.

xy+z1-z+zz（l-z）、'/

【详解】•:x2+y2+z2=1,A1-z2=x2+y2>2%y（当且仅当%=y时取等号）

・•・1—z2>2xy,・•・>2

xy

又因为已知正数x,y,Z满足/+y2+z2=1,所以0<z<1即/>g

故S=^+}NE+}=（£+》（1—Z+Z）=3+W+?23+2/，

当且仅当z=&-1时等号成立，

故S=庄+工的最小值是3+2V2

xyz

故选：B

【点睛】本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应

用，利用单调性求最值，属于较难题.

【变式4-1】6.（2020春・新疆伊犁•高二校考期末圮知a,b,c都是正数目4a+96+c=3,

则：+"+为勺最小值是.

【答案】12

【分析】由三+：+工=G+!+3谭+3b+今，展开后利用基本不等式，即可求解.

abcabc33

【详解】由4a+96+c=3,可得费+3d+f=1,

所以鸿+E=K+鸿+3匕+5I+?+^+3+£+^+I+S+T

=3+|+需+第+/+菜+森+9=3+

54

-+4+-+2=12,

当且仅当a=；,b=Jc=§时取等号，

4oZ

所以为勺最小值是12.

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质及其应用，着重考查式子的变形能，以及推理与

运算能力，属于中档试题.

【变式4-1】7.（2023•全国•高三专题练习）已知x,y,z均为正数，？+工=2,久+2y+2z=

xy

xyz,则孙z的最小值为.

【答案】16

【分析】》等+（=2化简，代入久+2y+2z=久yz可得2xy+2z=xyz,再根据基本不等式

求解最小值即可.

【详解】?|+；==2,2y+x=2xy,x+2y+2z—2xy+2z=xyz,因为x,y,z均

为正数,所以xyz=2（xy+z）>2x2^xy-z,故xyz>4dxyz,即Jxyz>4,xyz>16,

当且仅当xy=z=4,即x=4+2V2,y—2—V2,z-4或x=4—2vxy-2+V2,z-4时

取等号，所以孙z的最小值为16.

故答案为：16.

题型5基本不等式与二次不等式结合

【例题5］（2021秋•江苏•高一专题练习）已知实数a,b,c满足a?+b2+2c2=1，则2ab+c

的最小值是

A•一”•3C•TD.V

【答案】B

【解析】根据题意利用小+炉与2帅的基本不等式，再转换为含c的二次不等式求解即可.

【详解】若2ab+c取最小值，显然a,b异号且c<0.故1-2c2=a2+b2>2\ab\=-2ab,

即2ab>2c2—1,故2ab+c>2c2+c—l=2（c+工）-->-

\4/88

当且仅当c=-1a,b分别取士¥时等号成立.

44

故选：B

【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用，需要注意分析a,6,c的正负

再利用基本不等式，属于中等题型.

・

【变式5-1]1.（2023全国•高一专题练习）若正数满足工+?=1,则4/+y2_16xy

xy

的最小值是（）

A.-108B.-100C.-99D.-96

【答案】B

【分析】由!+j=1可得2x+y=xy=>xy>8,原式化为（孙7-2Oxy,利用二次函数的性

质求解即可.

【详解】由工+2=1可得2x+y-xyxy>2j2xy=>xy>8,x-2,y-4时等号成立，

xy

所以4/+y2-16xy=（2x+y）2-2Oxy=（xy）2—2Oxy=（xy—10）2—100,

所以xy=10时，4%2+y2-16孙的最小值是一100,

故选：B

【变式5-1]2.（2021秋•高一单元测试）已知正实数满足町2（%+y）=由则2x+y的

最小值为.

【答案】2V2

【解析】根据/必+町^_4=0,利用一元二次方程的解法结合x>0,y>0,

得到X=-f+1ly2+^，进而得到2x+y=Jy2+患,利用基本不等式求解.

【详解】因为正实数与y满足xy2（久+y）=4,

所以％2y2_|_Xy3_4=0z

解得％=心笋！=一

当且仅当x=-l+V2,y=2,取等号,

所以2x+y的最小值为2a

故答案为：2V2

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得X,将问题转化为"+y=

y2+凸解决.

【变式5-1J3.（2020•浙江衢州•衢州二中校考一模）已知实数a,b,c满足a?+肝+2c?=1,

则ab+c的最小值是

【答案】一"

lo

【解析】先分离出a?+b2,应用基本不等式转化为关于C的二次函数，进而求出最小值.

【详解】解:若ab+c取最小值,则洋异号,c<0,

根据题意得：1一2。2=小+炉，

又由a?+ft2>2\ab\=—2ab,即有1—2c2>—2ab,

贝！Jab+c>c2+c-|=（^c4-i）一看，

即2ab+c的最小值为一盘,

lo

故答案为：-4

lo

【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.

+

【变式5-1]4.(2020•浙江•校联考模拟预测)已知实数x,y,z满足匕片2^V.o，

则xyz的最小值为

【答案】72y/2—104

【解析】利用基本不等式求得z的取值范围，结合二次函数的性质，求得孙z的最小值.

【详解】由%y+2z=2得%y=2-2z,

2222222

所以8=4%+y+z>2，4%2.y2+z=4|xy|+z=4|2—2z|+z=8|1—z|+z,

当且仅当|%|=|y|时等号成立.

222

所以5/+z=8,5x=8-z>0z所以—2a<z<2V2.

由于8Z8|1-Z|+Z2,

当z<1时，即8>8(1—z)+z2=>z2—8z<0=>0<z<8,所以0<z<1.

当z>1时,即8>—8(1—z)+z2nz2+8z—16工0=—4—4&<z<—4+4A/2,所以

1Vz<—4+4^2.

综上所述r0<z<—4+4A/2.

所以久yz=(2-2z)•z=-2z2+2z=-2(z-0+1,其对称轴为z=j,开口向下，所以