2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之角平分线模型解读与提分训练（解析版）

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

.................................2

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................8

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）................................13

习题练模型'

例题讲模型］

模型1.角平分线垂两边(角平分线+外垂直)

模型解读

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

模型证明

条件：如图1,。。为NAO3的角平分线，C4LQ4于点A,CB上OB于点B.

结论：CA=CB、AOAC^AOBC.

证明：：为NAOB的角平分线，CALOA,CBLOB,

：.CA=CB,ZCBO=Z040=90°,:OC=OC,：.AOAC咨AOBC（HL）

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2,在AABC中，ZC=90°,为NC4B的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、ADACgAQ4E.（当AABC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+GD.）

证明：VZC=90°,AZ）为NC4B的角平分线，DE±AB,

：.DC=DE,ZAED^ZACD^90°,VAD=AD,：.ADACADAE（HL）

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3,0c是NA08的角平分线，AC=BC,过点C作COLOA、CE±OB.

结论：①ZBQ4+Z4CB=180。；②AD=BE；®OA+OB=2AD.

证明：：OC是/A08的角平分线，CDA.OA,CELOB,

：.CD=CE,ZCDA^ZCEB=90°,AC=BC,：.ADACAEBC（HL）,；.AD=BE,ZCAD=ZCBE；

"：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZGW=180°,Z.ZBOA+ZACB=1^0°,

同图1中的证法易得：ADOC\EOC(H£),：.OD=OE,

/.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型运用

例1.（2024•陕西・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,E是边A3上一点，连接CE,在BC右侧作收〃AC,

^.BF=AE,连接CF.若AC=13,3c=10,则四边形£»尸。的面积为.

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作1AB,CN1BF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出NABC=NCB。进而得到CM=OV,得到%BF=LCE，进而得

到四边形£BRC的面积等于“Me，设AAf=x，勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出N4BC的面积

即可.

【详解】解：VAB=AC,：.ZABC=ZACB,

,?BF//AC,：.ZACB=ZCBF,；.ZABC=ZCBF,：.8c平分ZABF,

过点C作CN1.BF,贝！J：CM=CN,

四边形EBFC的面积=S4CBF+S"CBE=S«ACE+S&CBE=S&CBA,

VAC=13,：.AB=13,^AM=x,贝lj：BM=13-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM-,

.,.132-X2=102-(13-X)2,解：尤=詈，,CM1132r詈1=詈,

•••SACBA=：AB-CM=6°，.•.四边形EB/(的面积为60.故答案为：60.

例2.（23-24八年级上.江苏南通.阶段练习）如图，VAOB的外角/C4B,“胡的平分线AP,3尸相交于

点、P,PE_LOC于E,PFLOD于F,下列结论：（1）PE=PF；（2）点尸在NCOD的平分线上；（3）

ZAPB=90°-ZO；（4）若Cw=17,则OE=8.5,其中正确的有（）

C

【答案】c

［分析］过点P作PG±AB,由角平分线的性质定理，得到PE=PG=尸产，可判断（1）⑵；由且△B4G,

△GPB学4FPB可得ZEPA=NGPA,NGPB=NFPB,ZAPB=-ZEPF,ZEPF+ZAOB^180°,得到

2

ZAPB=90°-^ZAOB,可判断（3）；CAOAB=OA+OB+AB=OE+OF,OE=OF,可判断（4）,进而

可得到答案.

【详解】解：过点尸作PGLA2,连接。尸,如图：

C

：4尸平分/C4B,BP平分/DBA,PE±OC,PF±OD,PG±AB,

：.PE=PG=PF-,故（1）正确；...点尸在NCOD的平分线上；故（2）正确；

•••PE=PG,AP=AP,NPEA=ZPGA=90°APAE^APAG,ZEPA=ZGPA,

11-PB=PB,PG=PF,ZPFB=ZPGB,△GP3丝△尸尸3,

ZGPB=ZFPB,NAPB=ZAPG+NBPG=-ZEPF,

2

又ZEP尸+ZAO3=180°,ZAPB=1x（180°-ZAOB）=90°--ZAOB；故（3）错误;

22

•1-APAE^APAG,△GPB^AFPB,■-AE=AG,BF=BG

PE=PF,PO=PO,ZPEO=ZPFO=90°APEO^APFO,:.OE=OF,

C/^OAB=OA+OB+AB=17,-：OE+OF=OA+AE+OB+BF

=OA+AG+OB+BG=OA+OB+AB=C^OAB=17,.-.O£=|CAOAB=8.5

正确的选项有3个；故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握

角平分线的判定和性质进行解题.

例3.（2023春•安徽宿州•八年级统考阶段练习）已知AB〃CD,3尸和CP分别平分/ABC和ZBCD,点E,

产分别在A3和CD上.（1）如图1,过点P,且与A2垂直，求证：PE=PF；

（2汝口图2,所为过点P的任意一条线段，试猜想=还成立吗？请说明理由.

图1图2

【答案】（1）证明见详解（2）PE=PF成立，理由见详解

【分析】（1）过点尸作PM13C于点由角平分线的性质定理即可得出结论；

（2）过点尸作于点G,交CD于点、H,证明APGE四△2//,即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图，过点P作尸M人3c于点

BP和CP分别是/A3c和NBCD的平分线，

且PMSC,EFLAB,EF1CD,

:.PE=PM,PM=PF.:.PE=PF.

（2）PE=PF成立.理由如下：

如图，过点尸作GHLAB于点G,交8于点H,

BEGA

图2

-,-AB//CD,:.PG±AB,PHLCD,ZPGE=ZPHF=90°,

由（1）得PG=PH,在&PGE和中，

ZPGE=ZPHF

■：＜PG=PH;.^PGE^APHF（ASA）,:.PE=PF.

ZEPG=FPH

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分

线的性质，证明三角形全等是解题的关键.

例4.（23-24九年级下.辽宁本溪.阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图

1,AD平分/54C,M为上一点，N为AC上一点，连接线段。M,DN,若ZBAC+ZA©A/=18O。.求

证：DM=DN.

①如图2,小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在AC上截取=连

接DE,易证AADM2AADE,将线段DM与ZW的数量关系转化为DE与DN的数量关系.

②如图3,小雅同学也是从己知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过。点向-3AC的

两边分别作垂线,垂足分别为点E,F,易证△ADE^AADF,得到DE=DF,接下来只需证AFDM丝AEDN,

可得DM=DN.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答.

如图4,在VA3C中，AB=AC,8。平分/ABC交AC与点。，在线段BC上有一点E,连接AE交3。与

点R^ZCAE=ZABD.求证：AD=CE.

【学以致用】（3）如图5,在VABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点在CB的延长线上取一点E,

9

使NEAB=/a4C,在线段EB上截取Eb=AB,点G在线段AE上，连接尸G,使ZEFG=ZEAB,若4。=丁

EG*,BF=小乎,求四边形GEB4的面积.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知

识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.（1）①小文，由“SAS”可证可得

DM=DE,ZAMD=ZAED,由补角的性质可得ND£2V=NONE,可证。E=DN即可求解;②小雅：由“SAS”

可证△?1£）£丝可得DE=DF,由“AAS”可证△DRW/ADEN,可得DM=DN；（2）由“SAS”可证

△ARD=ACAM,可得AD=CM,ZADB=NM,由三角形内角和定理可求//4£牙=々叮=/6£70=41,

aT^CE=CM=AD；（3）由“SAS”可证AABM丝AEEG,可得NEGF=NAMB,FF=AB,由等腰三角形的

性质和勾股定理可求的长，A3的长，最后由三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：（1）①证明：如图2,在AC上截取AE=AM,连接DE,

图2图3

：AZ）平分，3AC,/.ZBAD=ZCAD,

XVAD=AD,：.△M4D^AEAD（SAS）,DM=DE,ZAMD=ZAED,

"：ZBAC+ZNDM=180°,/.ZAMD+ZAND=180°,

ZAED+ZDEN=180°,Z.ZDEN=ZDNE,：.DE=DN,：,DM=DN；

②证明：如图3,过D点向N2AC的两边分别作垂线，垂足分别为点E,F,

平分，BAC,/.ZBAD=ZCAD,

XZAED=ZAFD=90°,AD=AD,：.△APE^AADF（AAS）,

DE=DF,NBAC+NNDM=180°,ZAMD+ZAND=180°,

ZAMD+ZDMF=180°,ZDMF=ZDNF,

又,/ZDEN=ZDFM=90°,/.ADFM丝AJDEN(AAS),/.DM=DN；

(2)证明：延长AE至点M使40=皮)，连接CM,

又：NCAE=ZABD,AB^AC,：.AABZ^AC4M(SAS),AAD^CM,ZADB=ZM,

：.BD为ZABC的平分线,；.ZABD=ZCBD=ZCAE,

XVZAFD=ZBFE,:.ZADF=NBEF=NCEM,：.Z.CEM=ZM,：.CE=CM=AD-

(3)如图：在AC上截取AM=GF,连接BM,

又ZGFE=ABAC,FF=AB,：.△ABA修AFEG(SAS),；.ZEGF=ZAMB,

,/ZGFE=ZBAG,ZGFE+ZGFB=180°,/.ZBAG+ZGFB=180°,

ZABF+ZAGF=360°-180°=180°,；.ZAGF=ZABC=ZC,

6

ABMA+ABMC=180°,:./BCM=/BMC,：.BM=BC=EG=~,

,?AB=AC,ADLBC,：.BD=-BC=~,：.AC=^CD1+AD1=-^=EF,

255

BE=BF+EF=^-+i0~3^-=2,：.S^=-BE-AD=-.即△ABE的面积为

55A255

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

模型解读

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

模型证明

图1图2图3

条件：如图1,。。为NAOB的角平分线，ABLOC,

结论：AAOC0ABOC,AQ4B.是等腰三角形，OC是三线合一等。

证明：•••。。为乙403的角平分线，；./。。4=/。。8,

,/ABLOC,ZBCO=ZACO=90°,VCO=CO,：.AAOC^^BOC（ASA）,

AO=6O,AtMB.是等腰三角形，：闻3,0。，OC是三线合一。

条件：如图2,BE为NABC的角平分线，BE上EC,延长BA,CE交于点F.

结论：ABECMABEF,ABFC是等腰三角形、BE是三线合一等。

证明：同图1的证法，

模型运用

例1.（23-24八年级下.安徽马鞍山•期末）如图，AABC中，AB=8cm,AC=6cm,点E是BC的中点，若

AD平分一朋C,CDLAD,线段。E的长为（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长。交A3于尸，利用“角边角”

证明△ADR和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC,CD=FD,再求出即并判断出DE

是△3CF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得Z组=8F，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图，延长。交43于尸点,

A

：AT>平分/5AC,AZCAD=ZFAD,VCDLAD,Z4DC=ZADF=90。,

ZCAD=ZFAD

在△AD厂和A4DC中，\AD=AD,AAE>F^AAT>C（ASA）,

ZADCZADF=90°

：.AF=AC,CD=FD,：.BF=AB-A£=8-6=2(cm),

又•••点E为BC的中点，OE是△瓦万的中位线，••.DE=；E7=；*2=l(cm),故选：B.

例2.(2024•广东深圳•八年级校考阶段练习)如图，AABC中，BC=10,AC-AB^5,AD是NBAC的角

平分线，CDLAD,则S小BDC的最大值为.

【答案】12.5

【分析】延长AB,CD交点、于E,可证AADE当AADC(ASA),得出AC=AE,DE=CD,则％ocugs.E，

当破，3c时，&BEC取最大值，即取最大值.

【详解】解：如图：延长8交点于E,

A

♦.•池平分/BAC,:.ZCAD=ZEAD,-：CDLAD,ZADC=ZADE=90°,

ZADE=ZADC

在VADE和AADC中，\AD=AD,:.AADE^ADC（ASA）,AC=AE,DE=CD；

ZEAD=ACAD

：即；

-AC-AB=5,;.AE-AB=5,3E=5-.DE=DC,.'.SBDC=|SABC£,

...当BE_L3C时，S/c取最大值，即工me取最大值.S^BDC=|x|xl0x5=12.5.故答案为：12.5.

【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性

质得到SLBDC=—s‘BCE-

例3.（2024广东•九年级期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,

图1图2图3

(1)如图平分NABC交AC于点。，F为BC上一点,连接AF交3。于点E.

(i)^AB=BF,求证：BD垂直平分AF；(ii)若AF_LSD,求证：AD=CF.(2)如图2,平分NABC

交AC于点。，CELBD,垂足E在CD的延长线上，试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,F为BC上一点、,NEFC=g/B,CE±EF,垂足为E,E尸与AC交于点D,写出线段CE

和ED的数量关系.(不要求写出过程)

【答案】(1)(i)见解析；(ii)见解析；(2)BD=2CE,理由见解析；(3)CE=/D.

【分析】(1)(i)由等腰三角形的性质即可证得结论；

(ii)过点C作CM_LA/交4斤的延长线于点M,如图1,先根据AAS证明可得AE=CM,

然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得/歹CM=/E4£>,进而可根据ASA证明AAEDg

ACMF,于是可得结论；（2）延长54、CE相交于点尸，如图2,先利用ASA证明A3CE和△BFE全等，可

得CE=ER根据余角的性质可得/A8D=/ACR然后利用ASA可证明"8。和"Cr全等，进而可得

BD=CF,进一步即得结论；（3）过点尸作PG〃丘4,交AC于H,交CE的延长线于点G,如图3,先利用

ASA证明可得CE=GE,然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明ACGH

咨/XFDH,于是可得CG=DF,从而可得结论.

【详解】（1）（i）证明：8。平分/4BC,

J.BE1AF,AE=EF,即2£)垂直平分AF；

（ii）证明：过点C作CMLAF交AF的延长线于点如图1,

图1M

'：ZBAC=90°,AF±BD,：.ZABE+ZBAE=90°,ZCAM+ZBAE=90°,：.ZCAM=ZABE,

ZAEB=ZAMC

在AABE和ACA〃中，\^ABE=ZCAM,：.AABE^ACAM(A4S),：.AE=CM,

AB=AC

'：AF±BD,AF±CM,：.BD//CM,：.ZFCM^ZCBD,

平分NABC,AZABD=ZCBD,：.ZFCM=ZABD,AZFCM=ZEAD,

NEAD=NFCM

在AAEZ)和△CMF中，｛AE=CM,：.AAED^/\CMF(ASA),：.AD=CF；

ZAED=ZCMF

(2)解：BD=2CE.理由如下：如图2,延长54、CE相交于点凡：切)平分/ABC,/AB£>=NCBD,

图3

图2

ZCBE=ZFBE

在ABCE和"PE中，,BE=BE,:.ABCE咨LBFE(ASA),：.CE=EF,

NBEC=ZBEF=90°

VZBAC=90°,CE±BD,：.ZACF+ZF=90°,ZABD+ZF=90°,：.ZABD=ZACF,

NABD=ZACF

在AABD和AACF中，\AB=AC,.,.△ABD^AACF(ASA),：.BD=CF,

ABAC=ZCAF=90°

CF=CE+EF=2CE,：.BD=2CE.

(3)解：CE=^FD.过点F作FG〃区4,交AC于H,交CE的延长线于点G,如图3,

•：FG//AB,ZEFC=ZB,:./EFC=/GFE,又,：CELFE,：.ZCEF=ZGEF=90°,

ZCFE=NGFE

在ACEP和AGEF中，|FE=FE,.,.△CEF/AGEF(ASA),：.CE=GE,即CE=?CG,

ZFEC=ZFEG-

'.,FG//AB,NA=90°,AB=AC,:.NCHG=NDHF=90。,CH=FH.

又,：/GCH=/DFH,:ACGH”工FDH(ASA),：.CG=DF.：.CE=^FD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等

知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

模型解读

角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到

对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型证明

条件：如图1,。。为NAOB的角平分线，A为任意一点，在08上截取OB=Q4,连结CB.

结论：AOAC沿kOBC,CB=CA。

证明：•.•。。为4403的角平分线，，/(7。4=/(7。8,

,?OB=OA,CO=CO,：.&AOCmABOC(SAS),：.CB=CA»

条件：如图2,BE、CE分别为AABC和ZBCE的平分线，AB//CD，在BC上截取5尸=AS,连结所。

结论：ABAE^ABFE,ACDEACFE,AB+CD=BCo

证明：为NABC的平分线，AZABE=ZFBE=-ZABC,

2

BF=AB,BE=BE,：.^BAE经帖FE(SAS),:.NAEB=/FEB,

'：AB//CD,：.ZABC+ZBCD^O°,：CE为N3CE的平分线，；./FCE=/DCE=1/BCD,

2

AZEBC+ZBCE=-ZABC+-ZBCD=90°,:./FEC+/FEB=9Q°,ZAEB+ZCED=90°,

22

：.ZFEC=ZCED,"：EC=EC,:.ACDE"kCFE,:.FC=DC,：.AB+CD=BF+FC=BC.

模型运用

例1.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=100°,3D是/ABC的平分线,

延长至点E,DE=AD,试求NEC4的度数.

【答案】40°

【分析】在BC上截取3尸=AB，连接DR,通过证明IBO0AEBOCSAS）,可得/Z*C=180°—NA=80。，

再通过证明ADCE%DCF（SAS）,即可求得ZECA=ZDCB=40°

【详解】解：如图，在BC上截取8尸=筋，连接DF,

QBD是/ABC的平分线，:.ZABD=ZFBD,

AB=FB*

在△ABD和&FBD中，＜乙钻。=ZFBD,

BD=BD,

:.AABD^AFBD(SAS),:.ZBFD=ZA,AD=DF,

.\DE=DF,.-.ZDFC=180o-ZA=80o,又ZABC=ZACB=40°,NFDC=60°,

•/ZEDC=ZADB=180°-ZABD-ZA=60°,/.ZEDC=NFDC,

DE=DF,

在△£>(7£1和ADCV中，<NEDC=ZFDC,..△OCE四△OCF(SAS),故ZECA=ZDCB=40°.

DC=DC,

A

【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

例2.（2022•北京九年级专题练习）在四边形中，C是边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分44E,ZAC£=90°,则线段AE、AB,DE的长度满足的数量关系为

（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分44E,EC平分ZAED,若NACE=120。，则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】(1)AE=AB+DE；(2)AE=AB+DE+|BD,证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得AACB四AACF,根据全等三角

形的性质可得BC=FC,NACB=NACF,根据三角形全等的判定证得△CEFZ^CED,得至ljEF=ED,再

由线段的和差可以得出结论;

（2）在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根据全等三角形的

判定证得AACBgaACF和△ECD04ECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得ACFG是等边三

角形，就有FG=CG=[BD,从而可证得结论.

【详解】解：（1）如图（1）,在AE上取一点F,使AF=AB.：AC平分/BAE,/.ZBAC=ZFAC.

图⑴

AB^AF

在AACB和AACF中，＜ZBAC=ZJE4C/.AACB^AACF(SAS).，BC=FC,ZACB=ZACF.

AC=AC

：C是BD边的中点，.\BC=CD.；.CF=CD.

VZACE=90°,•,.ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°./.ZECF=ZECD.

CF=CD

在ACEF和ACED中，ZECF=ZECD.-.ACEF^ACED(SAS).；.EF=ED.

CE=CE

VAE=AF+EF,，AE=AB+DE.故答案为：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+|BD.

证明：如图(2),在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

图⑵

是BD边的中点，.,.CB=CD=^BD.：AC平分/BAE,AZBAC=ZFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，■ZBAC=ZFAC.-.AACB^AACF(SAS)..\CF=CB,ZBCA=ZFCA.

AC=AC

同理可证：△ECD04ECG；.CD=CG,ZDCE=ZGCE.VCB=CD,；.CG=CF.

VZACE=120°,ZBCA+ZDCE=180°-120°=60°.ZFCA+ZGCE=60°..,.ZFCG=60°.

.♦.△FGC是等边三角形..\FG=FC=^BD.VAE=AF+EG+FG,AAE=AB+DE+|BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键.

例3.(2023•山东烟台•九年级期末)已知在AABC中，满足NACB=2NB,

(1)【问题解决】如图1,当NC=90。，为皿C的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC,连接DE,

求证：AB=AC+CZ).(2)【问题拓展】如图2,当NCW90。，为ZBAC的角平分线时，在A2上取一点

E使得AE=AC,连接。E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

(3)【猜想证明】如图3,当AD为AABC的外角平分线时，在54的延长线上取一点E使得AE=AC,连接DE,

线段A3、AC、。又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想他+AC=CD,证明见解析

【分析】(1)先根据&4s定理证出△血)三AACD,根据全等三角形的性质可得ED=CD,ZAED=ZACD,

再根据三角形的外角性质可得/3=/班组=45。，然后根据等腰三角形的判定可得£B=ED,从而可得

EB=CD,最后根据线段和差、等量代换即可得证；(2)先根据S45定理证出AA£D-AACD,根据全等三

角形的性质可得£D=CD,ZAED=NC,再根据三角形的外角性质可得NB=NBDE,然后根据等腰三角

形的判定可得EB=EE>,从而可得£B=C。，最后根据线段和差、等量代换即可得证；

(3)先根据&4S定理证出AAEO三AACD,根据全等三角形的性质可得£D=CD,ZAED=ZACD,从而可

得NFED=NACB,再根据三角形的外角性质可得=然后根据等腰三角形的判定可得£B=£D,

从而可得理=CD,最后根据线段和差、等量代换即可得证.

(1)证明：为的角平分线，.•./E4D=/C4D,

AE=AC

在AAED与AACD中，\NEAD=ZCAD,：.^AED^ACD(SAS),：.ED=CD,ZAED=ZACD,

AD=AD

又：ZAC3=90°,ZACB=2NB,：.ZB=45°,ZAED90°,

：.ZBDE=ZAED-ZB=45°,AZB=ZBDE,:.EB=ED,:.EB=CD,：.AB=AE+EB=AC+CD.

(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：为NBAC的角平分线时，.•.NE4D=NC4D,

AE=AC

在AAED与AACD中，，/EAD=ZCAD,；.AAED^AACD(SAS),

AD=AD

：.ZAED=ZC,ED=CD,VZACB=2ZB,:.ZAED=2ZB,

XVZAED=ZB+ZEDB,；.ZB=ZEDB,：.EB=ED,：.EB=CD,：.AB=AE+EB=AC+CD.

(3)解：猜想M+AC=CD,证明如下：平分NE^C,NE4D=NC4D,

AE=AC

在A/IED与AAC£＞中，〈/£A£»=/CA。，AAED^ACD(SAS),：.ED=CD,ZAED=AACD,

AD=AD

如图，；.180°—ZAED=180°—ZACD,即NFED=ZACB,VZACB=2.ZB,：.ZFED=2ZB,

XVZFED=ZB+ZEDB,：.ZEDB=ZB,:.EB=ED,AAB+AE=EB=ED=CD,：.AB+AC^CD.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法

是解题关键.

例4.(24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习)问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等

三角形问题.

如图①，在四边形ABDE中，点C是3D边的中点，AC平分4AE,NACE=90。，证明：AE=AB+DE.

讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思

广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AF=AB,连接CF,先证明△ABC/4AFC,再证明

△EF-AEDC,即有砂=DE,即AE=AB+ED.

解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明

AE=AB+DE,理由如下：如图②，在AE上取一点尸，使AF=AB,连接CF.

AB=AF

'：AC平分，,ABAC=ZFAC,在AACB和△Ab中，-ZBAC=NFAC：.AACB^ACF(SAS)

AC=AC

：.BC=FC,ZACB=ZACF.

B

（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧.

拓展探究：已知：如图③，在△ABC中，NB=60。，D、E分别为A民3C上的点，且AE,CD交于点尸.若

AE,CD为△ABC的角平分线.（2）ZAFC=°；（3）证明：DF=EF.

（4）如图④，在AABC中，ZACBW90。，延长△A3c的边取到点G,4。平分NGAC交BC延长线于点。，

^AB+AC=CD,ZABC=30°,贝l|NACB=_。.

【答案】（1）见解析；（2）120；（3）见解析；（4）60

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明

△ECD^AECF（SAS）得出EF=ED,进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得

NEAC=|ZBAC,NDCA-|zBC4,进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在AC上截取AG=AD,

证明AD4r均G4F（SAS）,ACFE均CFG（ASA）,根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在AG上截取

AE^AC,证明AACD丝AA£D（SAS）,结合已知可得BE=ED,进而根据等边对等角可得

/EBD=NEDC=30。,进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解.

【详解】（1）补充证明如下：ZACE=90°,ZACB+NECD=90°,ZACF+ZFCE=90°

又ZACB=ZACF：.ZACF+ZECD=90°,NECD=ZECF

:点C是3。边的中点，ABC=DC,又；BC=FC：.FC=DC,

FC=DC

在AECD,AECF中，■NECF=NECD：.AECDZAEC尸（SAS）/.EF=ED,

EC=EC

5LAB=AF,：.AE=AF+EF=AB+DE,AE=AB+DE；

（2）ZB=60°,AZBAC+ZBCA=120°,

:AE,CD为AABC的角平分线，ZEAC=|ABAC,ZDCA=|ZBCA

：.44/^:=180。-（/£4。+/。04）=180。-；（/^^+/804）=1800-3x120。=120。，故答案为：120.

（3）证明：如图所不，在AC上截取AG=AD,

B

G

VZAFC=120°,：.ZAFD=60°,<AE是2B4C的角平分线，：.ZDAF=ZGAF,

AG=AD

在△IMF,△GIF中，ZDAF=ZGAF：.△JDAF^AG4F(SAS),：.DF=FG,ZAFG=ZAFD=60。，

AF=AF

VZAFC=120°,AZCFG=ZAFC-ZAFG=60°,

又・・・ZEFC=ZAFD=60°ZEFC=ZGFC丁CD是ZBCA的角平分线，ZECF=/GCF,

ZEFC=ZGFC

在小CFEqCFG中，lFC=FC：.£FE%CFG(ASA)：.EF=FG：.EF=DF；

ZECF=ZGCF

(4)解：如图所示，在AG上截取AE=AC,U：AD^ZGAC：.ZEAD=ZCAD,

AE=AC

在AACD/AED中，<NEAD=ZCAD：.AACT)^AAED(SAS),：.ED=CD,ZEDA=ZCDA,

AD=AD

•；AB+AC=CD,：.BE=AB+AE=AB+AC=CD,：.BE=ED,

ZABC=30°,JZEBD=ZEDC=30°/EDA=ZCDA=-/EDC=15°,

2

JACAD=ZEAD=ZB+ZzWC=300+15°=45°,

AZACB=ZC4D+ZADC=45°+15o=600故答案为：60.

习题练模型

1.（2024山东烟台•中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线OP为的平分线的有（）

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为-AO3的平分线;

第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB,：.AC=BD,

'：ZAOD=ZBOC,，△AO足△BOC,ZOAD^ZOBC,

'：AC=BD,ZBPD=ZAPC,Z.^BPD^^APC,：.AP=BP,

VOA=OB,OP=OP,Z\AOP^/\BOP,：.AAOP=Z.BOP,O尸为/A08的平分线；

第三个图，由作图可知4。=405。7=0,，。〃30,ZCOP=ZCPO,

：.?CPO?BOP：.ZCOP=ZBOP,二O尸为—AO3的平分线；

第四个图，由作图可知：OPLCD,OC=OD,；.OP为的平分线；故选D.

2.（2024・广东深圳・中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分N54C的

是（）

A.①②B.①③C.②③D.只有①

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的

定义.利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本作图可判断AD平分NB4C；

在图③中，利用作法得=AM=AN，可证明g44EN,^ZAMD=ZAND,可得ME=NF,

进一步证明乌&VZ%，得DM=DN,继而可证明△ADMgAWN,^ZMAD=ZNAD,得到AD是

/A4C的平分线；在图②中，利用基本作图得到。点为5c的中点，则AD为3c边上的中线.

【详解】在图①中，利用基本作图可判断位＞平分/BAC；

在图③中，利用作法得AE=AF,AM=AN,

在和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

：.△AFA修△A£N（SAS）,

：.AAMD=AAND,

­.­AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在和尸中

ZAMD=ZAND

<NMDE=/NDF,

ME=NF

：.△MD&JVD尸（AAS）,

DM=DN,

•.・AD=AD,AM=AN,

：.^ADM^ADN（SSS）,

：.ZMAD=ZNADf

，AD是NA4c的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为8c的中点，则AD为3c边上的中线.

则①③可得出射线平分NBAC.

故选：B.

3.（2024•重庆.校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且NR4C=NZMC,AB=15,AD=12.过

AF

顶点C作CELAB于E,则—的值为（）

A.V73B.9C.6D.7.2

【答案】B

Ap

【分析】要求三值，主要求出AE和35的长即可，注意到AC是角平分线，于是作交A。的延长

BE

线于点凡可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题.

【详解】解：作CfUAD交的延长线于点R贝iJ/CfT>=90。，

VCE±AB,：.ZCEB=90°,：.ZCFD=ZCEB=90°,

VZBAC^ZDAC,平分NBA。，:.CE=CF,

四边形ABC。对角互补，；.ZABC+ZADC=180°,

又---ZCDF+ZADC=180°,：.ZCBE=ZCDF,

i?CEB?CFD

在ACBE和ACr)/中，i?CBE?CDF,：./\CBE^ACDFQAAS),：.BE=DF,

\CE=CF

i?AEC2AFC

在AAEC和AAFC中，1?EAC1FAC,.,.AAEC^AAFC(A4S),：.AE=AF,

IAC=AC

没BE=a,则。尸=a,\"AB=]5,AD=12,；.12+2a=15,得。=1$,

；.AE=12+a=13.