2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之婆罗摩笈多模型解读与提分训练（解析版）

专题16全等三角形模型之婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年〜660年。

他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角

形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于

月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以

他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔“定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗

摩笈多，，模型。

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例题讲模型-

1.........................................................................................................................................................2

模型1.“婆罗摩笈多”模型.....................................................................2

习题练模型］

.......................................................................................................................................................15

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型

模型1.“婆罗摩笈多”模型

模型解读

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从

交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。

模型特征：（1）ABCP和是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.

模型1）知中点证垂直

条件：分别以三角形/8C的边/8、4c为边,向三角形外侧外做正方形和正方形/C歹G,N

为EG的中点，M、4、N三点共线。结论：AM±BC；BC=2AN；S“BC=S“EG。

证明：（倍长中线法）延长NN到忆NW=NA,连接£火。

在△用EN和A/GN中，NW=NA（已作），ZWNE=ZANG（对顶角）,EN=GN（已知）

AWEN^\AGJV（SAS）,：.EW=GA,ZEWN=ZGANo

'：ZEWN=ZGAN：.EWIIGA,N用以+NE4G=180。（平行线同旁内角）。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=180°,：.ZWEA=ZCABo

"：EW=GA,y.'：GA=AC,：.EW=AC.

在AEJE4和A/C8中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：.\EWA^ACB(SAS).

：.WA=CB,ZEAW=AABC,"：NABCKEAW,:.S&EWA=SAACB。

AWEN=AAGN,S\WEN=S\AGN>•-S\ACB=S\EWA=S\AEN+S\EWN=S\AEN+S\AGN=SAAEGO

VWN=AN,：.BC=2AN,"：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又；/WAB=/ABM+/AMB(三角形外角性质),：.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB.

'：ZEAW=ZABC(ZABC即AABM),：.ZEAB+Z.ABM=ZABM+ZAMBo

AZEAB=ZAMB,：,ZAMB=90°,即NA/_L5C。

模型2)知垂直证中点

条件：分别以zVLBC的边48、/C为边，向二角形外侧外做正方形和正方形/CFG,AMLBC.

结论：N为EG的中点；BC=2AN；SAABC=SAAEG。

证明：(法1:平行线法)作£%7/G,交/N的延长线于忆\'EW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISO°,

；/E/2和/G/C为正方形的角，所以两个角均为90。，ZEAG+ZBAC=1SQ°,

：.ZWEA=ZBAC,'：EWHAG,：.ZEWN=ZGAN,

VZGAN+ZMAC=9Q°,,：AMLBC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在A/8C和△£/少中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.\ABCAEAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE=CA,'：CA=AG,：.WE=AG,'：EWHAG,：.ZWEN=ZAGN,

在△腔N和MGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,：.AWEN^AAGN(ASA),

：.EN=GN,即N为EG的中点，WN=AN,：.BC=AW=2AN,

AABC以AEAW,：.SAEWA=SAACB,"：AWEN义^AGN,：.S^EN=SAAGN,

S\ACB=S\EWA=S\AEN+SAEWN=SAAEN+SAAGN=SAAEG。

(法2:三垂直模型法)作£X_LNN,交/N的延长线于X,作GY_L/N,将NN于九

"：AMLBC,：.ZABM+ZBAM=9Q°,VZEAB=9Q°,：.ZEAN+ZBAM=90°,：.ZABM=ZEAN

在Rt\ABM和Rt\EAX中，：NABM=/EAN,：.ZAEX=ZBAM；

在Rt\ABM和Rt\EAX中，ZBAM=ZAEX,AB=EA,ZABM=ZEAX；

J.RtNABM^RtAEAX(4"),：.AM=EX,同理可证：：.Rt\AYG^RtACMA(ASA),：.GY=AM；

"：AM=EX,：.GY=EX,在和MAGKV中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY；

：.RtAEXN且RtNGYN(AAS),：.EN=GN,即N为EG的中点；

RtAABM义Rt\EAX,SAABM=SAEAX,BM=AX,'：RtAAYGgRt\CMA,SAAYG=SACMA,CM=AY；

RtAEXN乌RtNGYN,：.SREXN=SAGYN,XN=YN；

SAABC=SAABM+S\CMA=S^EAX+SAAYG=S\EAN+SAENX+SXANG-SAGNY=SNAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN.

其实该模型也可以模仿模型1)中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！

模型运用

例1.（24-25九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，点A的坐标为（6,0）,点B为V轴的负半轴上的一个动点,

分别以08,N8为直角边在第三、第四象限作等腰Rt^OBF、等腰连接跖交N轴于P点，当

点8在V轴上移动时，则P8的长度为（）

【答案】C

【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质

等知识点的应用，作EN_Ly轴于N,求出=证AAB0咨ABEN,求出

ZOBF=ZFBP=ZBNE=90°,诙xBFP为NEP,推出=即可得出答案.主要考查学生综合运用

性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,

全等三角形的对应角相等，对应边相等.

【详解】解：作丁轴于N,如图所示：

•.•等腰Rt^OB尸、等腰Z.OB=BF,AB=BE,AABE=ZOBF=90°,

AENB=ZBOA=ZABE=90°,NOBA+NNBE=9Q°,ZOBA+ZOAB=90°,ANBE=ABAO,

ZAOB=ZBNE

在AABO和&BEN中，\ZBAO=ZNBE,:△ABO%BEN(AAS),：.OB=NE=BF.

AB=BE

ZFPB=ZEPN

在ABFP和ANEP中,,NFBP=ZENP=90P,FBFP%ANEP(A0,：,BP=NP,

BF=NE

又•点A的坐标为(6,0),.•.O4=JBN=6,，台尸二沏二？，故选C.

例2.(2024・重庆渝中•二模)如图，以V/BC的边NC、8c为边向外作正方形/CDE和正方形8CGF,连

接4G、AD相交于点O,连接CO、DG,取48中点M,连接并延长交。G于点N.下列结论：①

AG=BD；②MNJLDG；③CO平分NDCG；®S^ABC^S^CDG；⑤入1OC=45。.其中正确的结论有

(填写编号).

【答案】①②④⑤.

【分析】由“S4S'可证A/CGg△DC2,可得/G=3。，故①正确，通过证明点。，点4,点C,点。四点共

圆，可得N4DC=N/OC=45。，故⑤正确；由角的和差关系可得C。不一定平分入DCG,故③错误；由

可证A8CM之4ACH会ACDG,可得S/2C=S-CTtS.COG,ZACH=ZCDG,故④正确；由余角

的性质可求NCrm/OCN=90。，可得MN_LOG,故②正确；即可求解.

【详解】解:如图，连接N。，延长CM至“，使M7=CM,连接/〃，

:四边形/CDE是正方形，四边形8CGF是正方形，

：.AC=CD,BC=CG,ZACD=ZBCG=90°,ZADC=45°,AZACG=ZBCD,

：.AACG^ADCB(SAS),：.AG=BD,ZCAG=ZCDB,NDBC=NAGC,故①正确；

'：ZCAG=ZCDB,.•.点。，点/,点C,点。四点共圆，

AZDOA=ZACD=90°,ZADC=ZAOC=45°,故⑤正确；

ZBOC=45°=ZAOC,：.ZAGC+ZOCG=ZDCO+ZODC,

•••△ZC8是任意三角形，二/。不一定等于8C,即。C与8C不一定相等，

...NCD8与N/GC不一定相等，.../。。0与/6。0不一定相等，；.CO不一定平分NOCG,故③错误；

丁点M是48的中点，:.AM=BM,又•：CM=MH,ZCMB=ZAMH,:.丛BCMQ丛AHM(SAS),

：.AH=BC=CG,ZH=ZBCH,ZABC=ZHAM,SABCM=SMMH,：.S^ABC=SAACH,

VZDCG+ZACM+ZBCM=ISO°,ZH+ZCAH+ZACM=180°,：.ZCAH=ZDCG,

又；AC=DC,CG=AH,：./XACH^/XCDGCSAS),

：.SAACH=SACDG,ZACH=ZCDG,：.S^ABC=SACDG,故④正确；

VZACD=90°,ZDCN+ZACM=9Q°,：.ZCDN+ZDCN=90°,

：.MN±DG,故②正确，故答案为①②④⑤.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，余角的性质

等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

例3.（2024•山东泰安・中考真题）如图1,在等腰Rt448C中，NABC=90°,AB=CB,点、D,E分别在

C2上，DB=EB,连接/E,CD,取/E中点尸，连接8F.

（1）求证：CD=2BF,CDLAP；（2）将ADBE绕点8顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出3尸与的位置关系：；②求证：CD=2BF.

【答案】（1）见解析（2）①5尸，CD；②见解析

【分析】（1）先证明也ACBD得到/E=CD,ZFAB=ZBCD,根据直角三角形斜边中线性质得到

CD=AE=2BF,根据等边对等角证明NFS/=/SCO,进而可证明AF_LCD；

（2）①延长3尸到点G,使尸G=BF,连结/G,延长8E到M,使BE=3〃，连接并延长交CD于点

N.同（1）证明△NG3四△BDC得到/ABG=/BC。，然后利用三角形的中位线性质得到8尸〃/N,则

ZABG=ZBAN=ZBCD,进而证明/N_LCD即可得到结论；

②延长5尸到点G,使FG=BF,连接/G.先证明A/G厂名AEB尸，得至"NF4G=NFEB,AG=BE,进而

AG//BE,AG=BD.证明A/GB四△8DC得到CD=3G即可得到结论.

【详解】（1）证明：在AA8E和△CBD中，VAB=BC,AABE=ZCBD=90°,BE=BD,

:.AABE%CBD[SAS）,AE=CD,NFAB=/BCD.

•.•尸是RtZ\48E斜边ZE的中点，AE=2BF,CD=2BF,

■：BF=-AE=AF,NFAB=NFBA.:.NFBA=NBCD,

2

ZFBA+ZFBC=90°,ZFBC+ZBCD=90°./.BFLCD■,

（2）解：①BFLCD；理由如下：延长3尸到点G,使.FG=BF,连结/G,延长BE到M,使BE=BM,

连接AM并延长交CD于点、N.

证明AAGB义/XBDC（具体证法过程跟②一样）.二NABG=ZBCD,

•.•尸是4E中点，8是EAf中点，二8厂是中位线，:.BF//AN,

ZABG=ZBAN=ZBCD,:./ABC=NANC=90°,AN1CD,

BF//AN,BFLCD.故答案为：BF_LCD；

②证明：延长3尸到点G,使尸G=AF,连接NG.

VAF=EF,FG=BF,NAFG=NEFB,-.^AGF^EBF（SAS）,

ZFAG=ZFEB,AG=BE,:.AG//BE,：.ZGAB+ZABE=180°,

ZABC=ZEBD=90°,/4BE+/DBC=18。°,ZGAB=ZDBC.

---BE=BD,:.AG=BD.在A/G3和ABDC中，

AG=BD,ZGAB=ZDBC,AB=CB,:.^AGB^ABDC（SAS）,CD=BG,

■：BG=2BF,CD=2BF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角

形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与

运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键.

例4.（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）（1）如图1于N,3BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

等腰直角A/BC的顶点。、8分别在射线MN,射线N。上滑动（顶点。、3与点N不重合）在滑动过程中,

点/到直线的距离/&CN（填“>”、“<”或

（2）如图2,在（1）的条件下，等腰直角中，ZECF=90°,且△£€下的顶点C、尸也分别在射线

NM、射线酒上滑动（顶点C、/与点N不重合），连接NE交于点。，试探究/D与ED的数量关系,

并证明你的结论.

（3）如图2,AB=4cm,EF=6cm,在和A/BC保持原来滑动状态的过程中，的面积是否有

最大值？若有，请求出△NCE的最大面积并求此时8尸的长度；若的面积没有最大值，请说明理由.

【分析】(1)求出//CH=/C8N,证明ZUS丝△CBN即可得到4F/=CN；

(2)同(1)可证丝△CBN,4ECI沿4CFN,然后可得N〃=CN=E/,利用AAS证明△£7D乌△/〃£>

即可得到AD=ED；(3)根据全等三角形的性质证明S“CE=S“CH+S.ECI=S^CBN+$&CFN=S&CFB，过点歹作

F7J_2C交8c延长线于T,可得F0FT,则当FC=F7=3也，即FC与2C垂直时，&皿最大，然后可

求出面积的最大值，最后利用勾股定理求出8尸即可.

【详解】解：(1);△48C是等腰直角三角形，ZACB=90°,：.AC=BC,ZACH+ZBCN=9Q°,

■:MN1PQ于N,：.ZMNQ=90°,ZBCN+ZCBN=9Q°,：.ZACH=ZCBN,

ZACH=ACBN

在44cH和4CBN中，<NAHC=NCNB=9S,；.AACH”ACBN(AAS),；.AH=CN,故答案为：=；

AC=BC

(2)AD=ED,证明：过点/作于点”，过点£作£/„于点/,

同(1)可证△/CH■四△CBN,XECI%ACFN,：.AH=CN,EI=CN,：.AH=EI,

又,：NEDI=/ADH,NEID=/AHD=90。,：.4EID沿4AHD(AAS),:.AD=ED；

(3)V^5=4cm,£F=6cm,.•.由勾股定理可得8c=2&，CF=372,

如图，也△・ACHCBN，

CBN,KECI^/XCFN,:S.=S.S^ECI=S^CFN,

•^EID=i^AHDy..S*EID=S*AHD，•,S&ACE=S«ACH+SaECI=S.CBN+SaCFN=^^CFE,

过点F作FTIBC交BC延长线于T,则S^CFB=^BC-FT,

'：FC>FT,，当FC=FT=3C，即尸C与8C垂直时，$.用最大，

此时S.CFB=；BC.FC=；x2JIx36=6,

的最大面积为6,此时夕尸=+FC?=J(2亚『+(3白『=726.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积计算，勾股定

理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.

例5.（2024・湖北•二模）【特例发现】如图1,在△ASC中，/GL2C于点G,以/为直角顶点，分别以48,

NC为直角边，向A/8C外作等腰和等腰MA/CF,过点£、/作射线G/的垂线，垂足分别为P、

Q.求证：EP=FQ.

【延伸拓展】如图2,在ZU8C中，/6,8。于点6,以/为直角顶点，分别以/C为直角边，向A/BC

外作用■和必A/CF,射线G/交跖于点X.若AB=kAE,AC=kAF,请思考/ffi与//F之间的数量关

系，并直接写出你的结论.

【深入探究】如图3,在A/BC中，G是边上任意一点，以N为顶点，向A/BC外作任意A/8E和

射线G/交于点〃若/E4B=/AGB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗？

并证明你的结论.

【应用推广】在上一间的条件下，设大小恒定的角分别与的两边NE、/尸分别交于点M、N,

若△4BC为腰长等于4的等腰三角形，其中/A4c=120。，且/IHJ=/AGB=9=6Q°,k=2；

求证：当/〃力在旋转过程中，AEMH、AffiWN和AFW均相似，并直接写出线段九W的最小值（请在答题

卡的备用图中补全作图）.

【答案】（1）证明参见解析；（2）HE=HF；（3）成立，证明参见解析；（4）证明参见解析，儿W最小值为1.

【分析】特例发现：易证4AFQ2ACAG,即可求得EP=/G,FQ=AG,即可解题；

延伸拓展：②易证△/CGSZ\E4。，得至I］尸£=；/G,FQ=^-AG,即可求解；

深入探究：判断得至AAQF^ACGA,FQ=,得至|J尸0=J/G,再判断△EPH/

kk

△FQH,即可；

应用推广：由前一个结论得到a4防为正三角形，再依次判断△M77NS△mWs/XAffi”,即可.

【详解】特例发现解：VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

VZEPA=ZAGB,AE=AB,:.△PEA妾/\G4B,：.PE=AG,

同理，4QE4/AGAC,：.FQ=AG,：.PE=FQ；

延伸拓展过点E作EPLHG于P,过点尸作FQLHG于。，

B

VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

PEAE

：.ZEPA=ZAGB,.••△PEAS^GAB,：.——=——,

AGAB

PEAE1FOAF

,:AB=kAE,----=------,:・PE=—AG,同理,LQFA^/\GAC,—,

AGkAEk?AQAC

■:AC=kAF,：.FQ=-AG,：.PE=FQ；

k

深入探究如图2,在直线ZG上取一点尸，使得/EP4=/4GB,作EQJIPE,

VZEAP+ZBAG=\SO°-ZAGB,ZABG+ZBAG=1SO°-ZAGB,：.ZEAP=ZABGf

PEAE1

VZEPA=ZAGB,:•△APES^BGA,：.——=——,・：AB=kAE,:・PE=—AG,

AGABk

FOAF

由于4FQZ=N£4C=N4GC=1800-NZG5,同理可得，"QFsACGA,：.-=——，

AGC

•:AC=kAF,:・FQ=；AG,：・EP=FQ,•:EP〃F。,：.ZEPH=ZFQH.

k

■:/PHE=/QHF,:•△EPHmAFQH,：.HE=HF；

应用推广如图3,在前面条件及结论，得到，点、H是EF中点、，：.4E=4F,

:NEAB=NAGB,/E4C=NAGC,：.AEAB+AFAC=\^°,

，NE/尸=360°-(ZEAB+ZFAC)-ZBAC=60°,

：./\AEF为正三角形.；.ZHEM=ZHFN=60°=ZMHN,

■:点、H是EF中点:.NEHM+NFHJ=12O°,ZFNH+ZFHJ=12Q°,：.ZEHM=ZFNH.

AAHMEH

.AAEF=Z.AFE,:.丛HEMs丛NFH,——=一,

HNFN

HMFH

'：EH=FH,：.——=——，且/MHN=/HFN=60°,:.△MHNS△HFN,

HNFN

:.丛MHNs丛HFNs&MEH,在.4HMN中,ZMHN=60°,

根据三角形中大边对大角，.•.要MN最小，只有△力必是等边三角形，.../4W=60。，

VZAEF=60°,J.MN//EF,；A4EF为等边三角形,

：.MN为“EF的中位线，；.MN=-EF=-x2=l.

min22

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，特殊三

角形的性质，根据条件判定三角形全等和相似是解本题的关键.

例6.(23-24九年级上•福建厦门•期中)定义:如图13,在AABC中，把43绕点A顺时针旋转«(00<»<180°)

得到/Q，把4c绕点N逆时针旋转"得到/C',连接8'C'.当a+£=180。时，我们称△/9。是“3C的

“旋补三角形"，△48'C'边8'C'上的中线AD叫做“3C的“旋补中线''，点/叫做“旋补中心

(1)在图1中，△48'C'是"8C的“旋补三角形"，AD是的“旋补中线”，若。8C为等边三角形，贝U

与的数量关系为：AD=BC.

(2)在图2中，当“3C为任意三角形时，猜想/。与3c的数量关系，并给予证明.

(3)如图3,在四边形48CD中，DS=90°,4=150。，BC=U,AB=2^>,AD=6.若四边形内部恰好

存在一点尸，使是△PDC的“旋补三角形”，请直接写出△PDC的“旋补中线”长是.

【答案】⑴-2）ND=；3c⑶屈

【分析】（1）根据等边三角形和旋转的性质得到对应边相等，根据等腰三角形三线合一的性质和含30。的直

角三角形性质即可求得；（2）延长中线得平行四边形，利用平行四边形性质和旋补角度关系得

ZBAC=ZAB'M,即可证明AA4c也即利用对应边相等求得答案；（3）作延长线、中垂线、垂线

及中线，利用含30。角的直角三角形性质证明边与角之间的关系，等到Aq尸会V3E4,再利用全等性质证

明/Pq为平行四边形，根据角度得出△4PO为等边三角形，贝腹为△尸DC的旋补三角形，利用勾股

定理即可求得解

【详解】（1）解：：为等边三角形，:.AB=BC=CA=AC'=AB',ZBAC=60°,

：是的“旋补中线"，AB'D=CD,：.AD1B'C,

•：ABAC=60°,NB'AB+/C'AC=180°,;.NB'AC'=120°,：.ZB'=ZC=30°,则.

22

（2）延长/。到点〃，使得4D=DM,连接Md，MB',如图，

B'D=CD,AD=DM,四边形NBC。为平行四边形，B'M=AC=AC,ZB'AC+ZAB'M=180°,

■：NB'AB+ZC'AC=180°/.ZB'AC+ABAC=180。，；.ABAC=ZAB'M,

BA=B'A

在4c和V/3'M中，[NBAC=NAEM：.ABAC公YAB，M,：.BC=AM,则==工8(7.

22

AC=B'M

(3)延长D4,CB交点M,作CEL4D交4D于点£,作线段BC的垂直平分线交CE于点尸，交BC于点、

F,连接尸£＞、PA、PB,作APNB的中线尸N,连接/尸交尸2于点O,如图，

VZDAB=150°,ZMAB=30°,在必中，AB=2也，AABM=90°,贝!]=4,8"=2,AM=60°,

在心△〃£(?中，由MC=Affi+8C=2+12=14,AM=60°,^EM=1,NMCE=30°,

：・EA=ME—MA=7—4=3,u：AD=6,:,ED=3,

\CE^AD,：.PA=PD,9：PF1BC,：.PB=PC,

BF6

在Rt/\FBA中，由ZB=273,BF=6tanZ.BAF---=—点=m,即Z_BAF=60°，

AB2j3

NDAF=ZDAB-NABF=150°-60°=90°,即ZEAF=NCED,/.CE//AF,：.NBCE=NBFA,

ZPBC=NPCF,：.NPBF=NAFB,:ZBFA+ZBAF=90°,ZFBP+ZBPF=90°,

：.ZBPF=ZBAF=60P,贝!]A尸8P丝V5E4,:.BA=PF,又；N2〃尸尸，.•.四边形4W喈为平行四边形;

,/ZABF=90°,ZBAP=90°,；.ZDAP=60°,贝UAAPD为等边三角形,；.ZDPA=60°,

---ZCPF=ABPF=60°,则NC尸8=120°,：.ZAPD+ZBPC^180°,贝U为△尸DC的旋补三角形，

在RiAPAN中，PA=AD=6,AN=C，•-PN=^AP2+AN2=739.

【点睛】本题主要考查等边三角形性质、旋转的性质、含30。的直角三角形性质、平行四边形的判定和性质

和延长中线等知识点，利用题目给定知识点和判定线段和角度之间关系，解题的关键点为结合给定定义作

辅助线证明结论成立.

习题练模型

1.（23-24九年级上•浙江温州•期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相

垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”.如图，在O。中，四边形/BCD是“婆氏四边

形”，对角线/C,8。相交于点£,过点E作即，DC于点“，延长HE交于点R则二的值为（）

【答案】A

【分析】先证明=,再根据同弧所对的圆周角相等推出NE4£=NFEN,则/尸=£尸，再证

FFFF1

明NBEF=NEBF,得到EF=BF,则片=，一°一=/•

ADAr+Dr2

【详解】解：•/ACLBD,EH1.CD,：.ZCED=ACHE=90°,

ZCEH+ZECH=90°=ZEDC+ZECH,ZEDC=ZCEH,

'：ZBAC=NBDC,NAEF=ZCEH,ZFAE=ZFEA,AF=EF,

,/ZAEB=90°,二ZFAE+/ABE=90°=/FEA+ZBEF,

EFEF1

：.NBEF=NEBF,..EF=BF,..—=------------=一，故选A.

ABAF+BF2

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形两锐

角互余，证明/尸=斯，E尸=8歹是解题的关键.

2.（23-24九年级下•江西南昌・期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂

直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”.如图，四边形A8CD是。。的内接四边形,

且是“婆罗摩笈多四边形”、AB2+BC-+CD2+=8,则。。的半径为.

A

C、J

【答案】1

【分析】连接/C,BD交于点、E,连接CO并延长交OO于R连接。歹，设。。的半径为r,根据圆周角定

理的推论得出442。=48。尸，然后求出F，再利用勾股定理得出4笈+少2=4产，同理可得

BC2+AD2=4r2,然后得出N炉+叱2+（7£»2+及2=8/=8,即可求出O。的半径.

【详解】解：连接/C,8。交于点E,连接CO并延长交OO于尸，连接。尸，设。。的半径为r,

C

；。厂是直径，ZCDF=ZBDC+ZBDF=90°,由题意知ZC/8。，ABAC+ZABD=90°,

'：ABAC=ZBDC,：.ZABD=ZBDF,:.俞=箴,/.AB=DF»AB=DF,

'：ZCDF=90°,；.AB2+CD2=DF2+CD2=CF2=（2r）2=4r2,

222

同理可得8。2+=4/，...AB^+BC+CD+DA=8/=8,

：.r=l,即OO的半径为1,故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，作出合适的辅助线，证

明尸是解题的关键.

3.（23-24八年级•江苏•假期作业）如图，以AASC的边45,ZC为腰分别向外作等腰直角、/CD,

连接ED,BD,EC,过点/的直线/分别交线段DE,BC于点、M,N,以下说法：①当48=/C=BC时,

4即=30。；②EC=BD；③当直线U3C时，点M为线段DE的中点.正确的有.（填序号）

EMiD

【答案】①②③

【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余

角相等、等角的补角相等等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.由=AC=8C,得"4C=60。,

因为4E=4B,AC=AD,ZBAE=ACAD=90°,所以/E=AD,ZEAD=120°,贝UN/EO=NADE=30°,

可判断①正确；由NC/D=N8/E=90。，推导出/C4E=ND/8,可证明AC4E包。得EC=BD,可判

断②正确；当直线/L8C时，作直线儿W/8C于点N,过点。作DGLMN于点。，过点£作即，血乂于

点、H,证明■均/BN(AAS)及A/CN今加G,再求解可判断③正确，于是得到问题的答案.

【详解】①当/8=/C=8C时，AA8C是等边三角形，

二ZBAC=60°,：.ZEAD=360°-90°-90°-60°=120°,

:等腰直角A/5£、AACD,：.BA=AE,AC=AD,：.AE=AD,

：.//£。=乙4。£=：、(180。一120。)=30。.故①正确.

②：等腰直角△ABE、"CD,：.AB=AE,AD=AC,ZBAE=ADAC=90°,

ABAD=NEAC,；.ABAD均EAC,：.EC=BD.故②正确.

③如图所示，作直线儿W」8c于点N,过点。作DGLMN于点。，过点E作即，于点

,?ZBAE=90°,MNIBC,：.NABN+ZBAN=90°,又NEAM+ABAN=90°,ZEAM=AABN,

又,：EA=4B,：.^EAH^ABN(AAS),同理得“CN丝AD4G,

Z.GD=AN,AG=CN,EH=AN,AH=BN,

,?NEMH=ZDMG,ZEHM=ZDGM=90°,:.AEHM4DGM(AAS),

：.EM=DM,即M是EZ)的中点，故③正确，故答案为：①②③.

4.(2024•湖北黄石•模拟预测)如图，以A/BC的边NC、BC1为边向外作正方形/CDE和正方形3CGF,连

接/G、5。相交于点。，连接C。、DG,取中点M,连接并延长交。G于点N.下列结论：①/G

=BD；®MN±DG；③C。平分NDCG；④SAABC=S<DG；⑤N4OC=45。.其中正确的结论有

(填写编号).

【答案】①②④⑤

【分析】利用正方形的性质，通过证明三角形全等以及利用四点共圆的判定和圆周角定理逐一判断即可得

出正确答案.

［详解】解：；正方形ACDE和正方形BCGF,：.CB=CG,AC=CD,ZACD=ZBCG；

ZACD+ZDCG=ZBCG+ZDCG,即N/CG=/BCD,A^CG四△DCB(&4S),

AAG=BD,NC1G=NCDB.•.①正确；:/CAG=NCDB,.•.点/、D、。、C四点共圆，

(注意如果没有学习圆的相关知识也可以通过构造手拉手全等证明下面结论)

如图，连接40,，N/OC=NNDC=45°,故⑤正确；同理可证NBOC=45°,

ZAGC+ZOCG=ZBDC+ZOCD=45°,由△^CG丝△。C3(S4S)知//GC=/。8C,

而/D2C与NBDC不一定相等，与/OCD不一定相等，因此③不一定成立；

如图，延长。0至〃，使MH=CM,连接■点是48的中点，；.AM=BM,

又■；/AMH=/BMC，：./\AMH=/\BMC(S45),SAAMH=S^BMC,S^AHC=5Alsc

：.AH=BC,ZMAH=ZMBC：.AH=CG,ZCAH=ZCAM+ZMAH=ZCAM+ZMBC,

ZCAM+ZMBC+ZACB=180°,ZDCG+ZACB=360°-90°-90°=l80°,

ZCAM+ZMBC=ZDCG,即Z.CAH=ZDCG,：.^AHC^^CGD(SAS),SAAHC=SACGD,

•:S^CMSACGD，故④正确；由AAHC咨ACGD(SAS),：./ACH=/CDN,

：.ZCDN+ZDCN=ZACM+ZDCN=\^0°-ZACD=90°,:•NCND=90°，故②正确;

因此①②④正确；故答案为：①②④⑤.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、倍长中线

法构造全等三角形等内容，本题综合性较强、需要学生熟练掌握相关知识并进行灵活运用，本题蕴含了数

形结合的思想方法等.

5.（2024•河南新乡•模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务.

婆罗摩笈多定理：

如图，四边形/BCD内接于OO,对角线NC18。，垂足为如果直线MEL8C,垂足为£,并且交边力。

于点尸，那么"=①）.

B

/0•\）证明：VAC1BD,MELBC,

V

D

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.

：.ZCBD=ACME.

又＜2CBD=Z①（同弧所对的圆周角相等）

ACME=NAMF,

ZCAD=ZAMF.

二/尸二②一....

任务：（1）材料中①处缺少的条件为,②处缺少的条件为；

（2）根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：

如图，已知中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,/C分别交O。于点。，E,连接ND,BE交于

点尸.过点、P作MN〃BC,分别交DE,48于点M,N.若ADLBE,求/N的长.

【答案】⑴①CAD；②MF（2）1

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性

质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键.（1）根据圆周角定理和等角对等

边的性质可得结论；（2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解..

【详解】（1）证明：MELBC,

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.：.ZCBD=ACME.

XVZCBD=ZCAD,（同弧所对的圆周角相等）ZCME=ZAMF,

：.ZCAD=ZAMF.：.AF=MF.…故答案为：①CZD；②MF；

（2）解：,••四边形4RDE是。。内接四边形，.•.NB/C+NaDE=180。，

■：ZBAC=9Q°,ABDE=90°,即D£_LC3,

■：NM//CB,:.MNIDE,■;ADYBE,AN=BN,：.PN=-AB=1.

2

6.（2024・湖北•一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1）,在V/5C中,

4B=8,AC=6,求5c边上的中线4D的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作A/CD关于点。中心对称的图形，其中点A的对应

点是点请你帮助小明完成画图和后面的解答.

尝试运用：如图（2）,4。是V/BC的中线，AB=AE,ACAF,ZBAE=ZCAF=90°,试判断线段

与斯的关系，并加以证明.

ArAp1

迁移拓展：如图（3）,4。是V/BC的中线，%=喂=左，NBAE=NCAF=90。，直接用含左的代数式写

ABAC

出与A/CD之间的面积关系.

【答案】(1)作图见解析，1<40<7(2)EF=2AD,EFLAD(3)~^=2k2

^^ACD

【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三

边关系，中心对称图形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

(1)由中心对称的性质知AMDB也A4DC,可得8A/=/C=6,再根据三角形的三边关系即可求解，

(2)利用SAS证明AABM%AEAF,可得=EF/BAM=ZAEF,再根据平角的性质可得

ZBAM+ZEAN=90°,进而可求解；(3)证明△以/尸，再根据相似三角形的的性质可得

SAF

—=(右7)2=斤2,再推出S"B"=2S/S，即可求解.

【详解】解：(1)问题背景：作图如图.

由中心对称的性质知^MDBaADC,BM=AC=6.

在ANBN中，AB-BM<AM<AB+BM,<8+6,即2</胡<14,:.1<AD<7.

(2)尝试运用：EF=2AD,EF1AD.

理由如下：如图，延长4D到点使得。河=/。，延长DA交EF与点、N,连接

由前面知，ABDM沿人CDA,：.BM=AC,/BMA=/CAM,AC/IBM,NBAC+NABM=180。，

•••ZBAE=ZFAC=90°,ABAC+ZEAF=1^0°,ZABM=ZEAF,

•：AC^AF,BM=AF,­.•AB=EA,:.AABMmAEAF,:.AM=EF,NBAM=NAEF.

AM=2AD:.EF=2AD,;NBAM+NEAN=9S,ZAEF+ZEAN=90°,：.ZENA=90°,EFVAD■,

(3)迁移拓展：如图，延长4D到点“，使得。M=4D,延长交EF与点N,连接,

AFApAEAF,

由(1)可知：BM=AC,v——=——=k----=-----=k,

ABACABBM

又由(2)可知/ABM=ZEAF,:SAM^£\AEF,

•・•DM=AD,,S&ABM=2S.BDM，又YAMBD沿AACD=2sA4,..gp"EF=2k2

coS^ACD

7.（2023福建•模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边