2025年新高考数学专项复习：立体几何与空间向量十二大重点题型（原卷版）

专题1-8立体几何与空间向量十二大重点题型汇总

。常考题型目录

题型1空间向量的概念............................................................1

题型2空间向量的线性运算........................................................2

题型3空间向量的线性表示........................................................4

题型4空间向量的基本定理........................................................5

题型5空间向量共线问题..........................................................6

题型6空间向量共面问题..........................................................7

题型7空间向量的数量积、夹角与模长问题.........................................9

题型8空间向量的对称问题.......................................................11

题型9利用空间向量证明位置关系.................................................12

题型10利用空间向量计算空间角..................................................14

题型11利用空间向量算距离......................................................16

题型12空间中的动点问题........................................................18

但题型分类

题型1空间向量的概念

【例题1]（2023•全国•高二专题练习）已知正方体ABCD-的中心为。，则在下列

各结论中正确的共有（）

①次+砺与痔+比7是一对相反向量；

②而-沆与而-亦是一对相反向量；

③瓦？+OB+OC+而与。不+OB7+OC7+亦是一对相反向量；

④布-耐与反-沆7是一对相反向量.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1]1.（2023秋•高二课时练习）下列命题中为真命题的是（）

A.空间向量荏与瓦5的长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

【变式1-1]2.（2022・高二课时练习）下列说法正确的是（）

A.零向量没有方向

B.空间向量不可以平行移动

C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D.同向且等长的有向线段表示同一向量

【变式1-1]3.（多选）（2023秋湖北襄阳•高二襄阳五中校考开学考试）如图所示，在长

方体A8CD—4/IGA中，=3,4。=2,,则在以八个顶点中的两个分别为始

A.单位向量有8个B.与屈相等的向量有3个

C.京的相反向量有4个D.模为函的向量有4个

【变式1-1]4.（2021秋•高二课时练习）给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若|初=\b\,贝!=3或N=-b；

③对于任何向量a,b,必有n+b\<\a\+\b\.

其中正确命题的序号为.

题型2空间向量的线性运算

【例题2]（2023秋・河北石家庄•高二石家庄二十三中校考期末）已知四面体ABC。，G是CD

的中点，连接4G,则通+|（5D+BC）=（）

A.AGB.CGC.BCD.-2BC

【变式2-1]1.（2021秋・吉林长春•高二校联考期末）空间任意五个点4B、C、D、E,

则+AE+~CD-CB+丽等于

A.DBB.ACC.ABD.BA

【变式2-1]2.（2023秋・北京・高二北京八中校考期末）如图，在空间四边形力BCD中，设

E,F分别是BC,CD的中点，贝1]而+|（BC-BD）=（）

A.ADB.FAC.AFD.£T

【变式2-1]3.（2020秋•内蒙古乌兰察布•高二校考期末）已知点2（4,1,3）,5（2,-5,1）,

若而=[布，则点C的坐标为（）

17

A.*72

【变式2-1J4.（2020秋福建三明•高二校联考期末）已知4（1,-2,0）和向量五=（-3,4,12）,

且=2五，则点B的坐标为

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(—6,8,24)D.(-5,6,24)

【变式2-1]5.（2020秋・宁夏银川・高二宁夏育才中学校考期末）已知五=（2,-3,1）,b=

(2,0,3),c=(1,0,2),则五+6b-8c=

题型3空间向量的线性表示

【例题3](2023春・江苏•高二期末)如图，在四面体OABC中，布=2,南=39=,点

M在OA上，且满足丽=3MA,N为BC的中点，则而=()

A1-»37^1-»Q2->17^1->厂1->27^1-»p.3-»17^1-)

——DD.-D

A.2-a4+2-c——3a+-b2+-c2C.-2a——3b+-2cU.——4a+2+-2c

【变式3-1]1.（2023秋•安徽黄山•高二统考期末）如图，在三棱柱4BC-A/©中，E、

F分别是BC、CG的中点，G为△力8c的重心，则瑞=（）

A.-^AB+^AC+^AAlB-荏+2尼+三京

332L332L

C.-^AB+^AC-^AA；D一屈，前+白河

3321332L

【变式3-1]2.（2023秋广西防城港•高二统考期末）如图，设。为平行四边形力BCD所在

平面外任意一点，石为。。的中点，若布=^OD+xOA+yOB,则x+y的值是（）

A.-2B.0C.-1D.-

2

【变式3-1]3.（2023秋・湖北黄冈•高二统考期末）如图，已知空间四边形。ABC,M,N

分别是边OA,BC的中点，点G满足标=2GN，设耐=a,OB=b,OC=c，则而=（）

i.ir.in1.1r.1IIrI

AA.—dH—bH—cD.—ci4—bH—cC.—ci4—bH—cL）.—ct—bH—c

333633366666

【变式3-1J4.（2023秋・北京•高二中央民族大学附属中学校考期末应平行六面体48CD-

中，点M:两足2ZM=AC.右4/1=CL,AID^=b,A^A=c/则下列向量中与相

等的是（）

A.-a--b+cB.-a+-b+c

2222

C.——a+-b+cu.——a——b+c

2222

【变式3-1]5.（2021秋・湖北宜昌•高二葛洲坝中学校考期末）在棱长为1的正方体4BCD-

中，E,F,G分别在棱上,且满足战=:两,BF=^BC,BG=,

。是平面BiGF,平面"E与平面的一^公共点，设前=xBG+yBF+zBE,则x+

y+z=

A.B.-C.-D.-

5555

题型4空间向量的基本定理

【例题4】（2023春・河南开封•高二统考期末）若优3。构成空间的一个基底，则下列向量

可以构成空间基底的是（）

A.a+b,a—b,aB.a-\-b,a—b,bC.a+b,d—b,b+cD.a+b,d+b-\-c,c

【变式4-1]1.（2020秋・河南信阳•高二统考期末）已知五=（2,—1,3）,b=（-1,4,-2）,

c=（7,5,A）,若佰b,4不能构成空间的一个基底，则实数A的值为（）

A.0B.-C.9D.-

77

【变式4-1]2.（2023秋•云南大理•高二统考期末）若｛可互瓦｝是空间的一个基底，且向

量｛市=西+宅+百赤=瓦-2瓦+2国方=西+3瓦+福｝不能构成空间的一个基

底，贝心=（）

A.-B.-C.-iD.-

3244

【变式4-1】3.（多选）（2023秋・山西晋中•高二统考期末）但石,已是空间的一个基底，与

2+aN+群勾成基底的一个向量可以是（）

A.b+cB.fo-cC.bD.c

【变式4-1]4.（多选）（2022秋广东深圳•高二深圳外国语学校校考期末）设｛匕b,百是

空间一个基底，则下列选项中正确的是（）

A.若21b,bLc,贝！1c

B.a+c,b+c,c+2一定能构成空间的一个基底

C.对空间中的任一向量力，总存在有序实数组Q,y,z），使万^xa+yb+zc

D.存在有序实数对，使得a=xa+yb

题型5空间向量共线问题

【例题512023春・甘肃白银•高二校考期末股向量/百石不共面，已知荏=前+五+百，

前=瓦+2夙+药，丽=4瓦+8夙+4瓦，若人，（：，口三点共线，贝以=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式5-1]1.（2022秋•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考期末）已知他石,乙是空

间的一个基底，若沅=a+2b—3c,n—x（a+b）—y（b+c）+3（a+c），若布||元，则]=（）

A.-3B.-iC.3D.i

33

【变式5-1】2.（多选）（2023春安徽滁州•高二校考期末）如图,在三棱由18C-a/Q

中，P为空间一点，且满足前=ABC+〃西,A,/ZG[0,1],则（）

A.当4=1时，点P在棱BBi上B.当4=1时，点P在棱4G上

C.当4+白=1时，点P在线段/C上D.当4=“时，点P在线段8G上

【变式5-1]3.（2021秋•陕西渭南•高二统考期末）若向量N=（-4,2,1）与向量办=（2,x,y）

共线,贝1k-y=.

【变式5-1]4.（2023秋•湖南长沙•高二统考期末）已知向量五=（15-1）,3=（—2,3,5）.

（1）若（k五+母〃（五-3b）,求k的值；

（2）以坐标原点。为起点作瓦5=a,OB=b,求点。到直线4B的距离d.

题型6空间向量共面问题

【例题6]（2020秋•宁夏银川・高二宁夏育才中学校考期末）A,B,C三点不共线，对空间

..T2T1T1T

内任意一点O,若。p=”a+*B+*c）[]P,A,B,C四点（）

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断是否共面

【变式6-1】1.（多选）（2020秋•山东烟台•高二统考期末）已知A,B,C三点不共线，

O为平面ABC外的任一点,则"点M与点A,B,C共面”的充分条件的是（）

A.丽=20A-OB-OCB.OM^OA+OB-0C

------------------1、、1、-1、1、

C.0M=OA+-OB+-0CD.0M=-0A+-OB+-0C

23236

【变式6-1]2.（2023春福建莆田•高二统考期末）若点Pe平面28C,且对空间内任意一

点。满足而=；谶+4而+J反，则屈勺值是（）

4o

A.--B.--C.-D.-

8888

【变式6-1]3.（2023秋•辽宁丹东•高二统考期末）已知空间向量N=（-2,1,-4）,b=

（1,-1,2）,c=（一7,-5刖）若,a,b,洪面，则实数m的值为（）

A.-14B.6C.-10D.12

【变式6-1]4.（2023秋•重庆长寿・高二统考期末）已知空间三点坐标分别为4（1,1,1）,

5（0,3,0）,C（-2,-1,4）,点P（-3,居1）在平面A8C内,则实数x的值为

【变式6-1]5.（2021・全国•高二期末）如图,已知0、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个

点，且。E=kOA,OF=kOB,OH-kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k,mGR.

⑴A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

⑵初质;

（3）OG=kOC.

【变式6-1]6.（2022秋广东深圳•高二统考期末）如图，在正方体A8CD-a/iGA中，

M,N,E,F分别为棱4B,BC,44i，0iCi的中点,连接CDi，EM,MN,EN,NF,EF.

⑴证明：〃平面EMN；

⑵证明：E,F,N,M四点共面.

题型7空间向量的数量积、夹角与模长问题

【例题7]（2023秋•内蒙古包头•高二统考期末）如图，平行六面体ABCD-&B1GA所有

棱长都为1，底面2BCD为正方形，乙41aB=^AD=60°.则对角线4G的长度为（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【变式7-1]1.（2023春•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末）如图，二面角2-

EF-C的大小为45。，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则8、。两点间的距离是

（）

A.V2B.V3C.73-V2D.73+72

【变式7-1】2.（2023春•四川•高二统考期末）如图所示，平行六面体ABCD-也中，

以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。,求西■前的值是（）

【变式7-1]3.（多选）（2021秋•江苏•高二校联考期末）在三维空间中，定义向量的外积：

dX3叫做向量a与笳勺外积,它是一个向量，满足下列两个条件：

①210x司，3，0x可，目五，舜口Nx诉勾成右手系（即三个向量的方向依次与右手的

拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；

②nx3的模恒x同=同同sin（&㈤（值，3）表示向量日,3的夹角）.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有以下四个结论,正确的有（）

A.\AB1XAC\=\AD1X~DB\B.&C；x币与西共线

C.ABxAD=ADxABD.6|前x与正方体表面积的数值相等

【变式7-1]4.（2022秋・浙江金华•高二校联考期末）如图，在三棱锥P-4BC中,AB1BC,

PA，平面ABC,AE1PB于点E,M是AC的中点,PB=1厕所•前的最小值为.

【变式7-1]5.(2022秋•浙江台州•高二校联考期末)已知2=(2,-2,0),b=(fc,0,3),a,

旗角为与，则k=.

【变式7-1]6.(2023秋•吉林白城•高二校考期末)已知2=(x,4,l),b=(-2,y,-l),c=

(3,—2,z),a.//b,b1c,：

a)a,b,c-,

(2)a+c^b+才所成角的余弦值.

题型8空间向量的对称问题

【例题8](2023春・山东潍坊•高二统考期末)在空间直角坐标系中，。为原点，已知点

P(l,2,—1),4(0,1,2),贝U()

A.点P关于点4的对称点为(2,3,-4)

B.点P关于左轴的对称点为(1,-2,-1)

C.点P关于y轴的对称点为(-1,2,1)

D.点P关于平面久Oy的对称点为(1,-2,1)

【变式8-1]1.(2022秋・山东聊城•高二统考期末)在空间直角坐标系Oxyz中，点

2(1,百2)关于y轴的对称点为8,则点P(0,0,l)到平面CMB的距离为()

A.-B.立C.-D.i

5432

【变式8-1]2.(2022秋•山东日照•高二校联考期末)设点4(1,-1,&)关于坐标原点的对

称点是B,则|48|等于()

A.4B.2V3C.2V2D.2

【变式8-1]3.(2022秋•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末)在空间直角坐标

系中,点4(2,-1,3)关于。孙平面的对称点为8,则a-05=()

A.-4B.-10C.4D.10

【变式8-1]4.(2021秋安徽黄山・高二南郑中学统考期末)在空间直角坐标系中，点

力(2,-1,3)关于平面久Oz的对称点为B,则布-OB=

A.-10B.10C.-12D.12

【变式8-1]5.（多选）（2022秋福建三明•高二统考期末）已知正方体4BCD-4/母也的

棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系。孙z，则（）

A.点G的坐标为（2,0,2）B.襦1=（2,—2,—2）

C.的中点坐标为（1,1,1）D.点当关于v轴的对称点为（-2,2,-2）

题型9利用空间向量证明位置关系

【例题9]（2023秋•湖南娄底•高二校联考期末）如图，在三棱柱ABC-4/iQ中，1

底面力BC，乙CAB=90。，AB=AC=2,A4i=禽，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的

动点.

（1）求证：平面4PM1平面BBiGC；

（2）试判断直线BC1与4P是否能够垂直.若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由.

【变式9-1]1.（2021秋•安徽安庆・高二安庆市第十中学校考期末）如图，正方体4BCD-

中，M、N分别为48、BiC的中点.

(1)用向量法证明平面&BD〃平面84必；

(2)用向量法证明MN1平面&BD.

【变式9-1]2.(2022秋•北京西城•高二统考期末)如图，在四棱锥P-力BCD中，PD，平

面4BCD,底面4BCD为平彳亍四边形,/.ADC=120°,PDAD=2.点M在PB上,S.PB1平

面

P

(3)求点M到平面P2D的距离.

【变式9-1J3.(2023秋•江苏南京・高二南京市秦淮中学校考期末)如图，由直三棱柱力BC-

&B1G和四棱锥。-BB1GC构成的几何体中,乙BAC=90。,48=1,BC=BBr=2,CrD=

C

(1)求证：AC1DCr；

(2)若M为DC1中点，求证：AM//平面OB%；

【变式9-1]4.(2023秋•江西吉安•高二井冈山大学附属中学校考期末)如图，已知四棱

锥P-ABCD的底面是直角梯形，zABC=zBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧

面PBC,底面ABCD,E为PB的中点.求：

(1)求证：CE〃平面ADP;

(2)求证：平面PAD,平面PAB;

题型10利用空间向量计算空间角

【例题10](2020秋•广东湛江•高二统考期末)将边长为2的正方形48CD沿对角线BD折

叠，使得平面AB。1平面CBD,AE1平面4BD,F是8。的中点,S.AE=&.

(1)求证'.DELAC-,

(2)求二面角B-EC-F的大小.

【变式10-1】1.(20219春・湖南•高二统考期末)如图，在四棱推P-ABCD中，底面ABCD

是正方形，侧棱PD,底面ABCD,PD=2,BD=2或,E为PC的中点,F在PB上且PF=3PB.

(2)求证：PB,平面EFD.

(3)求二面角C-PB-D的大小

【变式10-1]2.(2020秋•北京房山•高二统考期末)如图，在直三棱柱ABC-4/iG中，

2C=3,8C=4,4B=5,A4i=4,点。是AB的中点.

(1)求异面直线2C与BCi所成的角；

(2)求证：4G〃平面CD%.

【变式10-1]3.(2019秋・湖北黄冈•高二统考期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD^.PA1

底面ABC。,4。1AB,AB//DC,AD=DC=AP2,AB=1,点E为棱PC的中点.用空间向量进

行以下证明和计算:

(1)证明:BE1DC；

(2)若尸为棱PC上一点，满足BF12C,求二面角F-AB-P的正弦值.

【变式10-l】4.(2019秋湖南长沙•高二统考期末在长方体A8CD-481GD1中AB=2,

BC=1,是面又寸角线上一点,S.CE

BBLECDi=|CDt.

(2)设异面直线AB1与BO1所成角的大小为a,求cosa的值.

题型11利用空间向量算距离

【例题11](2023秋・辽宁沈阳・高二沈阳二十中校联考期末)如图①菱形ABC。"B=

60°,BE=EC=1.沿着45将4B4E折起到△B'AE，使得乙DAB，=90°,如图②所示.

图①图②

⑴求异面直缀1B与CD所成的角的余弦值；

(2)求异面直线A夕与CD之间的距离.

【变式11-1】1.(2022秋・浙江杭州•高二学军中学校考期末)已知直三棱隹WC-

中，侧面aa/iB为正方形.AB=BC=2,E,F分另（J为AC和CG的中点，BF1A^.

⑴求四棱锥E-BBiGF的体积；

（2）是否存在点D在直线&Bi上，使得异面直线BF,DE的距离为1?若存在，求出此时线段

DE的长；若不存在，请说明理由.

【变式11-1】2.（2023春・江西宜春•高二江西省宜丰中学校考期末）如图，在四棱锥P-

4BCD中，P41平面ABC。,底面ABCD是边长为2的正方形，P4=2,G为CD的中点，E.F

是棱PD上两点（F在E的上方），且EF=V2.

（1）若DE=/,求证：BF||平面4EG；

（2）当点F到平面2EC的距离取得最大值时，求DE的长.

【变式11-1】3.（2023秋・山西临汾•高二统考期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，

平面P2B1平面4BCD,底面4BCD为矩形,AP=BP=^,AB2,AD=3,用是棱2。上一

点，且AM=2MD.

(1)求点B到直线PM的距离；

⑵求平面PMB与平面PMC夹角的余弦值.

【变式11-1J4.(2018秋•安徽合肥・高二合肥一六八中学校考期末)如图，四棱锥P-A8CD

中,底面A8CD为梯形,PD1底面4BCD,AB//CD.AD1CD,AD=2B=1,BC=&，过A

作一个平面a使得a〃平面PBC.

(1)求平面a将四棱锥P-4BCD分成两部分几何体的体积之比；

(2)若平面a与平面PBC之间的距离为1,求直线P4与平面PBC所成角的正弦值.

O

题型12空间中的动点问题

【例题12】(2023春•福建漳州•高二统考期末)如图所示的几何体中，平面PAD1平面

ABCDAPAD为等月要直角三角形，^APD=90°,四边形A8CD为直角梯形，AB//DC.AB1

(1)求证：PD〃平面QBC；

⑵