2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之对角互补模型解读与提分训练（解析版）

专题22全等与相似模型之对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

建导航］

例题讲模型

1

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）..................................................................................................1

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）................................................................................................7

模型3.对角互补模型（全等型：a—180°-a）...........................................................................................13

模型4.对角互补模型（相似模型）...........................................................18

习题练模型

.........................................................................................................................................31

例题讲模型］

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）

模型解读

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型（90。一90。型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线,

构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知/AO8=/OCE=90。，0c平分NAOB.

结论：①CD=CE,②OD+OE=6OC,③S8CE=SC0E+SC8=LOC2.

C/ZJCCACC/ZSACC/LZ2

证明：过点。作。知_1。。，CNL0B,:./CMD=/CNE=9。。,V0CWZA0B,:.CM=CN,

又：/AOB=/Z)CE=90°,；./MCN=90°,：./MCD=/NCE,：.4MCD经ANCE；；.CD=CE,

根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又OD+OE^OM-DM+ON+NE,：.0D+0E=0M+0N=20N=也OC,

AMCD=/\NCE,；.SAMCD=SANCE，S=S+S=S+S—S=—OC2

COzDiJCCEc△COz/NVCiDy△CC/VNcE△COz/VNCCzJDCMD△CO//NVCAM72

2

结论：①CD=CE,®0E-0D=4i0C,@srnF-Srnn^-OC-

证明：过点C作。W_L。。，CN±OB,；./CMD=NCNE=9。。,；0C平分NAOB,:.CM=CN,

又；NAOB=N£)CE=90°,；./MCN=90°,:.NMCD=NNCE,

：.AMCD与ANCE；：.CD=CE,MD=NE,根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，

NCON=45°,0M=0N,X0E~OD^ON+NE-(.DM-OM),：.0E-0D=0N+0M=20N=6OC,

,：AMCD^ANCE,：.S&MCD=SANCE，S-S=S+S-(S-S}=S+S=-OC2.

△COEACCO/ZDJAC/NVCEACCOZ/VN\AC/WMZDJACAMZIOZ/ACCOZ/NV△CcAm7C/o2

模型运用

例1.（23-24九年级上.河南洛阳•期中）综合与实践

已知，在RtAABC中，AC^BC,NC=90。，。为AB边的中点，NEDF=90。,/EDF绕点、D旋转,它的两

边分别交AC,CB（或它们的延长线）于点E,F.

（1）【问题发现】如图1,当NEOF绕点。旋转到DELAC于点E时（如图1）,

①证明：AADE义ABDF；②猜想：SQEF+SACEF=S^ABC.

（2）【类比探究】如图2,当/瓦/绕点。旋转到。E与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断

SADEF+SACEF与SAABC的关系，并给予证明.

（3）【拓展延伸】如图3,当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，SJ）EF,SACEF,S4ABe又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

【答案】（1）①证明见解析；②（2）上述结论成立；理由见解析；

（3）不成立；SADEF-SACEF=^S^BC；理由见解析.

【分析】（1）①先判断出DE〃AC得出/ADE=NB,再用同角的余角相等判断出NA=NBDF,即可得出结

论；②当/EDF绕D点旋转到DEJ_AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；

（2）成立；先判断出NDCE=NB,进而得出ACDE之△BDF,即可得出结论；

（3）不成立；同（2）得：ADEC/ADBF,得出SADEF=S五边形阚EC=SACEE+SMBC=SACFE+；SAABC.

【详解】解：（1）①：NC=90°,ABCXAC,VDE±AC,；.DE〃BC,.,.ZADE=ZB,

VZEDF=90°,.,.ZADE+ZBDF=90°,

VDEXAC,，NAED=90°,；.NA+NADE=90°,AZA=ZBDF,

ZA=NBDF

•点D是AB的中点，；.AD=BD,在AADE和ABDF中|AD=BD,.-.AADE^ABOF（SAS）；

/ADE=ZB

②如图1中，当NEDF绕D点旋转到DELAC时，四边形CEDF是正方形.

E

图1图2图3

设4ABC的边长AC=BC=a,则正方形CEDF的边长为，a.

2

S正方形DECF=(—2=Ja2,BPSADEF+SACEF——SAABC;故答案为

2422

(2)上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：・・・AC=BC,NACB=90。，D为AB中点,

AZB=45°,ZDCE=-ZACB=45°,CD±AB,CD=』AB=BD,ZDCE=ZB,NCDB=90。,

22

ZCDE=/BDF

VZEDF=90°,・・・NCDE=NBDF,在^CDE和4BDF中，\CD=BD

ZDCE=ZB

ACDE=ABDF(ASA),SADEF+SCEF=SAADE+SABDF=_SAABC;

A2

(3)不成立；SADEF-SACEF=^S^BC；理由如下：连接CO,如图3所示：

同(2)得：ADEC四△DBF,NDCE=/DBF=135。

；・SADEF=S五边形DBFEC,=SACFE+SADBC,=SACFE+:"SAABC,SADEF-SACFE=-SAABC.

22

SADEF>SACEF、SAABC的关系是：SADEF-SACEF=-SAABC-

2

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性

质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键.

例2.(2024.陕西・一模)问题提出⑴如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，

一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2,移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直

角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直角

边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)PB=PE还成立⑶PB=PE还成立

【详解】试题分析：(1)根据正方形的性质得NBCD=90。，AC平分NBCD,而PMLCD,则四边形PMCN

是矩形，根据角平分线的性质可得PM=PN,根据四边形的内角和得到/PBC+NCEP=180。，再利用等角的

补角相等得至|J/PBM=NPEN,然后根据AAS证明APBMgZXPEN,则可证明；

(2)连接PD,根据正方形的性质和角平分线的性质，由“SAS”以及四边形的内角和得证；

(3)过点P作PM1.BC,PN±CD,然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“AAS”可证.

试题解析：(1)如图1,过点P作PMLBC,PNXCD,垂足分别为M,N,:四边形ABCD为正方形，.•./

BCD=90°,AC平分NBCD,：PM_LBC,PN_LCD,四边形PMCN为正方形，PM=PN,：NBPE=90。，

ZBCD=90°,.,.ZPBC+ZCEP=180o,而/CEP+NPEN=180°,ZPBM=ZPEN,在APBM和APEN

'NPBM=APEN

中，=.-.APBM^APEN(AAS),.\PB=PE(2)如图2,PB=PE还成立.理由如下：过点

PM=PN

P作PM_LBC,PN±CD,垂足分别为M,N,：四边形ABCD为正方形，/BCD=90。，AC平分/BCD,

VPM±BC,PN±CD,四边形PMCN为正方形，PM=PN,.,.ZMPN=90°,VZBPE=90o,ZBCD=

90°,AZBPM+ZMPE=90°,而/MPE+NEPN=90°,AZBPM=ZEPN,在APBM和APEN中，

ZPMB=NPNE

<PM=PN；.APBM^APEN(ASA),/.PB=PE(3)如图3,PB=PE还成立.理由如下：过点P作

ZBPM=ZEPN

PM_LBC交BC的延长线于点M,PNLCD的延长线于点N,•.,四边形ABCD为正方形，.•.NBCD=90。,

AC平分/BCD,VPM±BC,PN±CD,二四边形PMCN为正方形,PM=PN,ZMPN=90°,VZBPE

=90°,NBCD=90°,；./BPM+NBPN=90°,而/BPN+/EPN=90°,AZBPM=ZEPN,在APBM和

ZPMB=ZPNE

△PEN中，\PM=PN.,.△PBM丝△PEN(ASA),；.PB=PE

ZBPM=ZEPN

例3.(2024・河南•一模)已知NAOS=90。,点C是，的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角ZMCN

绕点C旋转，两直角边C0,CN分别与直线。4,08相交于点。，点E.

(1)如图1,若C0LQ4,猜想线段OD,OE,OC之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,若点。在射线0A上，且CD与。1不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段0。，OE,OC之间的数量关系，并加以证明.

（3）如图3,若点。在射线Q4的反向延长线上，且00=2,0E=8,请直接写出线段CE的长度.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）V34

【分析】（1）先证四边形0DCE为矩形,再证矩形0DCE为正方形，由正方形性质可得;（2）过点C作CG，Q4

于点G,CHLOB^^H,证四边形OGCH为正方形，MiiEACGD=ACHE(ASA),可得；(3)根据

△CGD=ACHE(ASA),OE-OD=OH+OG=亚0C.

【详解】解：(1)VZAOB=90°,NMCN=90°,CD±OA,，四边形0DCE为矩形.

：0尸是NAO3的角平分线，ZDOC=ZEOC=45°,：.OD=CD,

二矩形ODCE为正方形，，OC=0OD,0C=60E；0D+0E=y/i0C.

(2)如图，过点C作CGLQ4于点G,CH，0B于&H,

尸平分203,NAOB=90。，.•.四边形OGC”为正方形，由（1）得：OG+OH=6OC，

ZCGD=ACHE=90°

在ACGD和ACHE中，＜CG=CH，,ACGD=ACHE(ASA),：.GD=HE,：.OD+OE=忘OC.

ZDCG=ZECH

(3)OG+OH=0OC，ACGD=ACHE(ASA),：.GD=HE.

,：OD=GD-OG,OE=OH+EH,：.OE-OD=OH+OG=^OC，

OC=3忘，CE=后，CE的长度为后.

【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）

模型解读

对角互补模型（60°-120。型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转

的构造，构造手拉手全等。

模型证明

条件：如图，已知NAO8=2/OCE=120。，0c平分/AOA

结论：①CD=CE,②。。+OE=OC,③Sc+SCOE=2OC.

证明：过点C作CN±OB,:.NCMD=/CNE=90。,：OC平分NAOB,:.CM=CN,

又；/AO3=2/Z)CE=120°,AZAOB+ZDC£=180°,：.ZCDO+ZCEO^18Q°,

'：ZCDO+ZCDM=180°,ZMDC=ZCEO,：.&MCD空XNCE；：.CD=CE,MD=NE,

1

,?OC平分NA03,ZCON=ZCOM=60°,：.ON=OM=—OC,NC=MC=OCo

22

又"?OE+OD=ON+NE+OM-DM,：.OE+OD=ON+OM=OC,

*^^CD=/\NCE,..SAMCD=SAA，C£>••S&COD+\cOE=^^CMO~1CM。+S《NE+S&CON=SKON+S-CMOo

2)“等边三角形对120。模型”(2)

条件：如图，已知NAOB=2/Z）CE=120。，0c平分/AOB,NQCE的一边与8。的延长线交于点。，，

①CD=CE,②OD-OE=OC,③S曲-S侬力。。.

结论:

^C.(JURUE4

证明：过点C作CM_L。。，CNLOB,：.NCMD=NCNE=90。,；0C平分NAOB,:.CM=CN,

又：NAO8=2/OC£T=120°,AZAOB+ZDCE=180°,ZAOB+ZMCN^1SO°,:.NDCE=/MCN=60。

：.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,：,ZMCD=ZNCE,：.^MCD^ANCE；：.CD=CE,MD=NE,

：OC平分NAOB,ZCON=ZCOM=60°,：,ON^OM=-OC,NC^MC=—OC.

22

y.'：OD-OE=OM+DM-(NE-ON),：.OD-OE=ON+OM=OC,

=2

,4MCD之△NCE,♦•S&McbS"NCE，••S—S=S+S—(S—S)=S+S-——OC0

△COD△CCOOECMOCMDCNE《CUONN/△CCCO//NV△CC/MWCO/4

3)“120。等腰三角形对60。模型”

条件：4钻。是等腰三角形，且N8AC=120。，ZBPC=60°,B4平分N3PC。结论：PB+PC=6PA；

证明：将△朋C绕点A顺时针旋转120。至△Q48,即AE4c四△Q4B,

AZACP=ZABQ,ZCAP=ZBAQ,AP=AQ,PC=QB；

VZBAC=120°,ZBPC=60°,：.ZACP+ZABP^18Q°,：.ZABQ+ZABP^0°,故尸、B、。共线。

又；/BPC=60°,B4平分/8PC,ZAPQ=60°,\"AP^AQ,：.ZAQP=60°,

根据勾股定理易证：PQ=-j3PA,X,?PQ=PB+QB=PB+PC,:.PB+PC=6PA。

模型运用

例1.(2024重庆八年级期末)如图，已知/498=120。，在/AOB的平分线0M上有一点C,将一个60。角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线04。8相交于点。、E.

(1)当NOCE绕点C旋转到C。与。4垂直时(如图1),请猜想OE+。。与OC的数量关系，并说明理由;

(2)当NDCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由;

(3)当/DCE绕点C旋转到CO与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明;

若不成立，线段。。、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】(1)详见解析；(2)(1)中结论仍然成立，理由详见解析；(3)(1)中结论不成立，结论为0E-

OD=OC,证明详见解析.

【分析】⑴根据。河是/AOB的角平分线，可得乙4。8=60。，贝Ij/OCE=30°,再根据30。所对直角边是斜边

的一半，得出OO=；OC,同理：OE=；OC,即可得出结论；(2)同(1)的方法得至UOF+OG=OC,再根据AAS

证明△CF。丝△CGE,得出。尸=EG,贝I]OF=OO+OF=OO+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出

结论.⑶同⑵的方法得到EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.

【详解】(D：OM是/AOB的角平分线，ZAOC=ZBOC=^ZAOB=60°,

'：CD±OA,：.ZODC=90°,：.ZOCD=30°,：.ZOCE^ZDCE-ZOCD=30°,

在RtAOC。中，OD」OC,同理：OE=-OC,：.OD+OE=OC,

22

(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CFLOA于尸，CGLOB于G,如图，

AZOFC=ZOGC=90°,VZAOB=120°,AZFCG=60°,

同(1)的方法得，OF=^OC,OG=；OC,OF+OG=OC,

-：CFLOA,CG±OB,且点C是/AOB的平分线0M上一点，:.CF=CG,

'：ZDCE=60°,ZFCG=60°,：.ZDCF=ZECG,:.ACFD式ACGE,：.DF=EG,

：.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,：.OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,：.OD+OE=OC-,

(3)(1)中结论不成立，结论为：OE-OD=OC,理由：过点C作CPLOA于RCGL08于G,如图，

ZOFC=ZOGC=90°,>/ZAOB=120°,：.ZFCG=6Q°,同(1)的方法得，OF=：OC,OG=^OC,：.OF+OG=OC,

'JCFLOA,CGLOB,且点C是/AOB的平分线OM上一点，/.CF=CG,

VZDCE^6Q0,ZFCG=60°,;.NDCF=NECG,：./^CFD^ACGE,

，DF=EG,：.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,：.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,：.OE-

OD=OC.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是

解题的关键.

例2.（2024广东中考一模）如图，已知NAC®=60。，在的角平分线上有一点C,将一个120。角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线。A相交于点D,E.

（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到。与。4垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当-OCE绕点C旋转到CD与。4不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于的反向延长线上时，求线段OE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）OD+OE=4iOC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE-OD=y/3OC

【分析】（1）先判断出/OCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出OD=@OC,同OE=」loC,即可得

22

出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=^OC,再判断出ACFD咨ZXCGE,得出DF=EG,最后等量代换

即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论.

【详解】解：（1）QOM是—AC®的角平分线.・•/AOC=/BOC=J/AO3=30。

CD±OA,ZODC=90°,/.ZOCD=60°ZOCE=ZDCE-ZOCD=60°

在R/AOCD中，OO=OC-cos3（）o=立OC,同理：OE=^OC;.OD+OE=6（）C

22

（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF_LOA于尸，CGLOB于G

ZOFC=ZOGC=90°ZAOB=60°/.ZFCG=120°

由（1）知，OF=—OC,OG=—OCOF+OG=^OC

22

:CFLOA,CGLOB,且点C是ZAOB的平分线OM上一点:.CF=CG

ZDCF=120°,ZFCG=120°/.ZDCF=ZECG,:.ACFD=ACGE

：.DF=EG：.OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE—EG

OF+OG—OD+EG+OE—EG—OD+OEOD+OE-y[3OC

（3）结论为：OE-OD=^OC.

理由：过点C作CF_LOA于F,CG_LOB于G,ZOFC=ZOGC=90°,

an_

VZAOB=60°,.\ZFCG=12O0,同（1）的方法得，OF=^OC,OG=^-OC,/.OF+OG=73OC,

22

VCFXOA,CGXOB,且点C是NAOB的平分线OM上一点，

；.CF=CG,VZDCE=120°,NFCG=120。，AZDCF=ZECG,

AACFD^ACGE,；.DF=EG,/.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

0F+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,/.OE-OD=百OC.

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，

正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.

例3.（23-24九年级上•重庆江津•期中）在AABC中,ZA=60°,点D是线段BC的中点，NEDF=12Q°,

（2）如图2,将（1）中的NEZ）尸绕点。顺时针旋转一定的角度，。尸仍与线段AC相交于点况求证：BE+CF=

-AB.（3）如图3,若/瓦不的两边分别交A3、AC的延长线于E、B两点，（2）中的结论还成立吗？如果

2

成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段3及AB,b之间的数量关系.

【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立.结论：BE-CF=~AB

2

【分析】（1）如图1中，只要证明N2瓦>=90。，根据直角三角形30度角性质即可解决问题.

（2）如图2中，过点。作£>M_LA8于作ON_LAC于N.只要证明ABUM四△CDN,AEDM学△FDN

即可解决问题.（3）（2）中的结论不成立.结论：BE-CF=-AB,证明方法类似（2）.

2

【详解】解：（1）如图1中,

'：AB=AC,ZA=60°,.♦.△ABC是等边三角形，AZB=ZC=60°,BC=AC=AB=4,

丁点。是线段BC的中点，；.BD=DC=LBC=2,'：DF_LAC,即/C尸£)=90。，AZCDF=30o,

2

又ZEDF=120°,；.ZEDB=30°,/.ZBED=90°：.BE=-BD=1.

2

(2)如图2中，过点。作。M_LAB于M,作DN_LAC于N.

VZB=ZC=60°,BD=DC,NBDM=/CDN=30。,：./\BDM^/\CDN,：.BM=CN,DM=DN,

又ZEDF=\20°=ZMDN,：.ZEDM=ZNDF,

又•：NEMD=NFND=90°,：./\EDM^/\FDN,：.ME=NF,

：.BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=-AB.

2

(3)结论不成立.结论：BE-CF=-AB.

2

VZB=ZC=60°,BD=DC,ZBDM=ZCDN=30°,:ABDM^4CDN,：.BM=CN,DM=DN,

又NEDF=120°=NMDN,：.NEDM=NNDF,

XVZEMD=ZFND=90°,：./^EDM^^FDN,：.ME=NF,

：.BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=-AB.

2

模型3.对角互补模型（全等型：«—180°-«）

模型解读

对角互补模型（a—180。位型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的

构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“a对180。F模型”

条件：四边形ABC。中，AP=BP,ZA+ZB=180°o结论：0P平分NA。瓦

证明：过点P作PF±OB,；./AEP=NBFP=9。。,

VZA+ZB=180°,ZOAP+ZB4£=180°,；./EAP=/B。

"：AP=BP,：.LPAE^/\PBF,：.PE=PF,尸平分/AOB。

注意：如下图：①AP=BP,②NA+/B=180。，③。尸平分/A08,以上三个条件可知二推一。

条件：AP=BP,ZAOB=ZAPB,结论：0尸平分NAOB的外角。

证明：过点尸作尸E_LO4,PFLOB,：.ZAEP=ZBFP=9Q°,,：ZAOB=ZAPB,：.ZA=ZBO

'JAP^BP,:ZAE迫MBF,：.PE=PF,：.0PZAOB.

模型运用

例1.（2024・福建厦门•九年级校考期中）如图，ZAOB^a^a是常量）.点P在/A03的平分线上，且0P=2,

以点P为顶点的"PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，/MPN的两边分别与。3,Q4相交于

N两点，若/A/PN始终与互补，则以下四个结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③四边形

PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】B

【分析】如图作PEJLOA于点E,PFLOB于点F,只要证明KAPEgMAPR?,Rf»EN学RMPFM即可

一一判断.

【详解】解：如图所示：作PEJLOA于点E,PFLOB于点F,

ZPEO=ZPFO=90°,NEPF+ZAOB=180°,ZMPN+ZAOB=180°,/.ZEPF=ZMPN,

Z.EPF=ZEPN+ZNPF,ZMPN=ZMPF+ZNPF,:.Z.EPN=ZMPF,

•.•O尸平分/AO3,PEYOA,PFVOB,:.PE=PF,

\PO=PO,、

在RRPEO和WAPFO中，\pE_pF>:.RQPEgRMPFO(HL),:.OE=OF,

AEPN=ZFPM

在△PEN和ZXPFM中，<PE=PF，:.RMPEN/RSPFM(ASA),

/PEN=ZPFM

EN=FM,PN=PM,故①正确，S2EN=S&FM,..S四边形,"ON=S四边形PEOF=定值，故③正确,

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=^1,故②正确，

•.•M、N的位置是变化的，N之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会

添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

例2.（2023春•江苏•八年级专题练习）感知：如图①，AD平分/BAC,ZB+ZC=180°,2B90?.判断

探究：如图②，AD平分，54C,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,08与DC的大小关系变吗？请说

明理由.应用：如图③，四边形ABDC中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少

（用含机的代数式表示）

【答案】感知：DB=DC,证明见详解；探究：03与。C的大小关系不变，理由见详解；应用：A8与AC

差是血m.

【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点。作于点E,DFLAC,交AC延

长线于点尸，根据角平分线的性质定理可得。由题意可得进而可证AOEB四△。/C,

然后问题可求证；应用：过点。作。于点H,DGLAC,交AC的延长线于点G,连接A。，由题意

易证ADHB咨ADGC,则有r>//=£>G,进而可得AG=AH,然后根据等腰直角三角形的性质可得

DG=CG=DH=BH=—m,则有AG=AH=AC+巫相，最后问题可求解.

22

【详解】感知：DB=DC,理由如下：

VZB+ZC=180°,?B90?,ZB=ZC=90°,即_LAB,DC_LAC,；AD平分，5AC,=DC；

探究：D3与。C的大小关系不变，还是相等，理由如下：

过点。作。ELA2于点E,DFLAC,交AC延长线于点R则/。防=/£>/^=90。，如图所示：

：AZ）平分/3AC,：.DE=DF,VZABD+ZACD=180°,ZDCF+ZACD=180°,:./B=/DCF,

：.ADEB^ADFC（44S）,/.DB=DC；

应用：过点。作。HLAB于点H,DGLAC,交AC的延长线于点G,连接AO,如图所示：

VZB=45°,ZC=135°,/.ZB+ZC=180°,,：ZACD+ZDCG=180°,NB=NOCG=45°,

ZDHB=ZDGC=90°,DB=DC=m,

:.ADHB乌ADGC（A4S）,且AOHB与AOGC都为等腰直角三角形，

/.DG=CG=DH=BH,由勾股定理可得DH2+BH2=DB1，

?.2DH2=m2,DG=CG=DH=BH=-m,在Rt^AHD和Rt^AGD中，AD=AD,DH=DG,

2

:.Rt&AHD空RtXAGD（.HL）,：.AG=AH=AC+［m,：.AB=AH+BH=AC+亚m，：.AB-AC=yflm.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的

性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

例3.（23-24八年级上•吉林长春•阶段练习）如图（1）~（3）,已知NAO3的平分线0M上有一点P,NCPD

的两边与射线。4、交于点C、D,连接CD交OP于点G,设乙403=研0。＜。＜180。），ZCPD=J3.

⑴如图（1）,当。=月=90。时，试猜想PC与PD,NPDC与NAO3的数量关系（不用说明理由）；

（2）如图（2）,当a=60。，£=120。时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由.

（3）如图（3）,当々+£=180。时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若

不成立，请说明理由.

【答案】⑴PC=PD,2NPDC=NAO3⑵成立，理由见详解（3）PC=PD,2ZPDC=ZAOB

【分析】（1）过尸点作PELOB于点E,作PPLOA于点/点，延长。尸交。4于点N,根据角平分线的性

质可得尸4PE,先证明/EPF=/CPD,再证明/CPE=/EPD,即可证明贝!］有PC=PD,

ZPDC=ZPCD,贝！］有2NPZ）C=NCPN,根据NAOB+/CPD=180°,ZCPD+ZCPN=l80°,可得

CPN,即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）.

【详解】（1）PC=PD,2NPDC=ZAOB,

证明：过尸点作PEJ_OB于点E,作PFLOA于点E点，延长。P交。4于点N,如图,

平分AOB,/.ZAOP=ZBOP,,JPFLOA,PELOB,：.ZPFO=ZPEO=90°,PF=PE,

'：ZAOB+ZODC+ZOCD=180°,ZPCD+ZPDC+ZCPD=180°,

ZAOB+ZODC+ZOCD+ZPCD+ZPDC+ZCPD=360°,；.四边形OCP£)的内角和为360°,

同理，四边形OFPE的内角和为360°,ZAOB+ZPFO+ZPEO+ZEPF=360°,

：.ZAOB+90°+90°+Z£PF=360°,BPZAOB+ZEPF=180°,

VZAOB=ZCPD=90°,即/AOB+NCPD=180°,:.NEPF=NCPD,

,/ZEPF=ZEPC+ZCPE,ZCPD=ZEPC+ZEPD,：.ZCPE=ZEPD,

又；NPFO=NPEO=90°,PF=PE,：.4FPC沿AEPD,:.PC=PD,：.ZPDC^ZPCD,

'：ZPDC+ZPCD=ZCPN,：.2ZPDC=ZCPN,

'：ZAOB+ZCPD=180°,ZCPD+ZCPN=1SO°,：.ZAOB=ZCPN,：.2ZPDC=ZAOB,结论得证；

(2)成立，理由如下：过尸点作PELOB于点E,作尸尸，OA于点尸点，延长。P交04于点N,如图,

平分AOB,ZAOP=ZBOP,'：PF_LOA,PEYOB,：.ZPFO=ZPEO=90°,PF=PE,

•：四边形OFPE的内角和为360°,；.ZAOB+ZPFO+ZPEO+ZEPF=360°,

：.ZAOB+90°+90°+ZEPF=360°,即NA08+/EP尸=180°,

：NA08=60°,ZCPD=120°,BPZAOB+ZCPD=180°,AZEPF=ZCPD,

VZEPF=ZEPC+ZCPE,ZCPD=ZEPC+ZEPD,：.ZCPE=ZEPD,

又,：NPFO=/PEO=9Q°,PF=PE,：.^FPC^/XEPD,：.PC=PD,：.ZPDC=ZPCD,

'：ZPDC+ZPCD=ZCPN,：.2ZPDC=ZCPN,

VZAOB+ZCPD=1SO0,ZCPD+ZCPN=180°,：.ZAOB=ZCPN,：.2ZPDC=ZAOB,结论得证;

（3）成立，PC=PD,2ZPDC=ZAOB,

证明：过尸点作PEJ_OB于点E,作PFLOA于点E点，延长。P交。4于点N,如图,

平分AO8,ZAOP=ZBOP,'JPFLOA,PEVOB,：.ZPFO=ZPEO=90°,PF=PE,

'：四边形OFPE的内角和为360°,；.ZAOB+ZPFO+ZPEO+Z£PF=360°,

Z.ZAOB+90°+90°+ZEPF=360°,BPZAOB+ZEPF=ISO°,VZAOB+ZCPD=ISO°,：.ZEPF=ZCPD,

,/ZEPF=ZEPC+ZCPE,ZCPD=ZEPC+ZEPD,：.ZCPE=ZEPD,

XZPFO=ZPEO=90°,PF=PE,:.△FPC"AEPD,：.PC=PD,：.ZPDC=ZPCD,

'：ZPDC+ZPCD=ZCPN,：.2ZPDC=ZCPN,

VZAOB+ZCP£>=180°,NCPD+NCPN=180°,：.ZAOB=ZCPN,：.2ZPDC=ZAOB,结论得证.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识,

证明AFPC0是解答本题的关键.

模型4.对角互补模型（相似模型）

模型解读

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线,

从而证明两个三角形相似.

模型证明

1）对角互补相似1

条件：如图，在RdABC中，ZC=ZEOF=90°,点。是AB的中点,

结论：如图，过点。作OQLAC,OHLBC,垂足分别为。，H,则：①△ODE〜△OHB②匹=生

OFAC

证明：VOZ)±AC,OHLBC,垂足分别为。，H,：.ZEDO=ZFHO=90°,

VZC=90°,・•・四边形OHCD为矩形，AZDOH=90°,DO=CH：.ZDOF+ZHOF=90°,

,OE_OP

NEO尸=90。,・•・ZDOF+ZDOE=90°：.ZHOF=/DOE,：.AODE〜AOHF,

9^~OF~~OH

.OPBH

・・・NC=NOHD=90。，点。是AB的中点，「.H为BC中点,:・BH=CH,:.BH=DO,

，9~OH~~OH

.BHBC.OE_ODBH_BC

VZC=ZOHZ)=90°,NB=/B,：・〉OHB〜2ACB,，9

~OHACOF~OH~OH~AC

2）对角互补相似2

条件：如图，已知NAO8=NQCE=90。，ZBOC=a.

结论1：如图L过点。作。几LOA,CG±OB,垂足分别为RG；贝（J①AECG〜△OCE②CE=CD・tana.

证明：法LVCFXOA,CGLOB,垂足分别为RG；：.ZEGC=ZDFC=90°,

VZAOB=90°,・•・四边形OGC尸为矩形，：.ZGCF=90°,CF=OG,：.ZFCD+ZDCG=90°,

CC1

VZ£)CE=90°,：.ZGCE+ZDCG=90°：.ZGCE=Z