2025年中考数学复习：与中点有关的线段相等问题

与中点有关的线段相等问题

一、线段垂直平分线

知识与方法

如图1-1-1,过线段BC的中点D作垂线，构建线段的垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点，构

建等腰三角形.

已知线段BC及中点0,于点D,

连接力8,月(?，可得XB=4C.

图1-1-1

推广：直角三角形与等腰三角形的互相转化：你中有我，我中有你.

典例精析

例1如图1-1-2,在丛8(2中,/©=30。,口是人(2的中点口£，人(2交互于日点0在直线DE上.

⑴若BC=10,则A0+B0的最小值是；:

⑵若OA=OB,OD=1,OE=2,则BE的长为。忌

答案:(1)10(2)4

【简析】(1)由题意可知DE是AC的垂直平分线，故考虑线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即

连接0C,从而C0=A0.要求A0+B0的最小值，即求C0+B0的最小值，进而根据两点之间线段最短得最小值为

BC=10.(2)由DE=3,NACB=3(T,DE_LAC易得CE=6.如图1-1-3,过点0作0F_LBC于F,易得NF0E=30°,EF=

|0F=1,则CF=CE—EF=6-1=5.由OA=OB,OA=OC,OFJ_BC易得BF=CF=5,所以BE=BF-EF=5-1=4.

进阶训练

1.如图1-1-4,在AABC中,D是BC的中点,AE平分NBAC,AE_LBE,AB=3,AC=5^!1DE=.

图1-1-4图1-1-5

2.如图1-1-5.在RtAABC中,/ACB=9（T,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F.若/F=3（T,DE=1厕EF的长

是.

3.已知正方形ABCD的边长为6,P是直线AD上一点，且3Ap=AD,连接BP,作线段BP的垂直平分线交直线BC

于点Q,交直线AD于点E,则线段CQ的长为.

二、倍长中线

知识与方法

倍长中线或将过中点的线段延长一倍构造三角形全等，也可整体形成平行四边形.

图1-1-6

如图1-1-6①,AD是AABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,连接BE.易证△ADCgAEDB（SAS）.

如图1-1-6②,D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD,连接EC,易证AFDB丝△EDC（SAS）.

典例精析

例2如图1-1-7,四边形ABCD中,E为AD的中点NA=105o,/D=12(r,AB=3,DC=2V^NBEC=90oJJ!|BC的长是.

【简析】如图1-1-8,将BE（或CE）延长一倍（也可看作把AABE（或ACDE）绕中点E旋转180。）构造“8字型”全等,

即把已知边和角转化到同一个三角形中，同时得到等腰三角形BCF.在ACDF（或AABF）中，已知两边及夹角，过C（或

B）作DF（或AF）的垂线构造直角三角形，可解ACDF（或AABF）,得BC=CF=回（或BC=BF=同）.

图1-1-8

进阶训练

4.如图1-1-9线段AB=6cm,P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB上方作等边三角形APC、等边

三角形BPD,连接CD,M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是cm.

5.如图1-1-1O,AD是AABC的中线,AB=8,AC=5,求AD的取值范围（请用两种以上方法求解）.

三、直角三角形斜边上的中线

知识与方法

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形（如图

例3如图1-1-12,CE,BF是AABC的高，连接EF,EF=8,BC=12.G是BC的中点,GDLEF于点D.

A

⑴求证:ED=DF;

(2)DG的长为.

图1-1-12

【简析】图中的两条高形成了直角三角形，其中"CE和ABCF共斜边，且G是斜边上的中点，可考虑添加斜边

上的中线，进而构造出等腰三角形，并通过三线合一求解问题.

解:⑴证明:如图1-1-13,连接GE,GF.

由CE,BF是AABC的高,BC=12,G是BC的中点,

可知GE=GF=\BC=6,

.•.△FEG是等腰三角形.图1-1-13

VDGXEF,

,>.ED=DF.

(2)2V5

进阶训练

6.如图1-1-14,在线段AB上取一点C,分别以BC,AC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE,使点D在边CF上，连接

EG,H是EG的中点，且CH=4,则EG的长是.

图1-1-14

7.如图1-1-15,在AABC中,/B=2NC,AD_LBC于点D.M为BC的中点,AB=10厕DM的长度是.

8如图1-1-16,AABD和AACE都是直角三角形，且/ABD=/ACE=90。,连接DE,M为DE的中点，连接MB,MC.

求证:MB=MC.

四、三角形中位线

知识与方法

三角形的中位线定理(中位线法),可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.

图1-1-17

如图1-1-17,D为AB的中点，通过取AC的中点E,实现DE〃BC,且0E=|BC.

典例精析

例4如图1-1-18在四边形ACBD中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF,分别交

DC,AB于点M,N.求证:OM=ON.

A

C

O.

图1-1-18

【简析】条件中AB=CD,AB和CD不在同一三角形中，E,F分别是BC,AD的中点，但不是同一三角形中的

两边的中点，同时注意到AD,BC这两边所在的三角形共边为AC（或BD）,故考虑在AC（或BD）上取中点，通过连

接中点，构造三角形，通过中位线实现相关线段平行关系及一半关系，从而使问题得到解决.

证明:取AC中点H,连接FH,EH.如图1-1-19,由题意可得“=^AB.HFCDHF=犯。,所以HE=HF.所以/

HFE=NHEF.由HE〃AB,HF〃CD得/HFE=NCME,NHEF=NANF,所以NCME=NANF.所以OM=ON.

图1-1-19

另解,也可取BD上的中点G,连接FG,EG,解法同上.

例5如图1-1-20,正方形ABCD的边长为6,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,CD于G,F.若

M,N分别是DG,CE的中点，则MN的长为.

答案：V13

图1-1-20

【简析】M,N分别是DG,CE的中点，但不在同一三角形中，由条件可知AD〃EF〃BC，其中M,N分别是平行

线所截线段的中点，可分别构造平行线中的“8”字型，实现更多的中点，进而构造三角形的中位线求解.

解法一：如图1-1-21,G点绕N点旋转18O°,MN=|Z）W=V13.

图1-1-21

解法二:如图1-1-22,D点绕N点旋转180°,M/V=|CW=V13.

H-

图1-1-22

解法三如图1-1-23,E点绕M点旋转180°,M/V=|CH=V13.

解法四:如图1-1-24,C点绕M点旋转180°,M/V=|EW=V13.

H

AD

B

图1-1-24

解法五：如图1-1-25,MK=3DF=1,GK=KF=*=1,KH=2=2,NQ=泊=3,MN=

7MH2+NH2=V13.

解法六如图1-1-26,F点分别绕M点,N点旋转180Q,MN=^BH=V13.

9如图1-1-27所示，在AABC中,AB=AC,延长AB至1]D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证:CD=2CE.

10.如图l-：l-28在△ABC中,AOAB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF并延长与BA的

延长线交于点G.若NEFC=60。,连接GD,判断AAGF的形状并证明.

图1-1-28

综合训练

1.(1)如图1-1-29@,BD,CE是AABC的外角平分线，过点A作AD，BD,AE，CE,垂足分别为D,E,连接DE,求

证:DE〃BC,DE=](AB+BC+AC}.

⑵如图②,BD,CE是AABC的内角平分线，其他条件不变.如图③,BD是AABC的内角平分线，CE是AABC的外

角平分线，其他条件不变.则在图②，图③两种情况下，DE与BC还平行吗?它与AABC三边又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.

图1-1-29

2.在AABC中,/C=90o,AOBC,D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE,过点D作DF_LDE,交直线

BC于点F,连接EF.

⑴如图1-1-30①，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长(用含a,b的式子表示)；

(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图②，用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系，并证

图1-1-30

3.如图1-1-31①，在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中，点B,C,G在同一直线上,M是AE的中点.

(1)探究线段MD,MF的位置及数量关系，并证明.

(2)将图①中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC

在同一条直线上，如图②，原问题中的其他条件不变，⑴中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证

明.

图1-1-31

4在AABC中,P为边AB上一点.

⑴如图1-1-32①，若NACP=NB,求证:AC?=AB.AP

⑵若M为CP的中点,AC=2.

①如图②，若/PBM=NACP,AB=3,求BP的长；

②如图③若/ABC=45。,/A=/BMP=60。,直接写出BP的长.

图1-1-32

答案

进阶训练I

1.1

2.2

3.4或16［解析四边形ABCD是正方形,

AD//BC,AD=BC=AB=6.

V3AP=AD,

；.AP=2.

分为两种情况：

①如图①所示:点P在DA的延长线上时，设QE与BP交于点0,连接BE.

•••QE是BP的垂直平分线，

/.PE=BE,PO=OB.

设PE=BE=x，贝!|AE=x-2,

在RtAAEB中,由勾股定理得:2配+AB2=B£2,gp(x-2)2+62=X2,

解得:x=10,

即PE=BE=10.

VAD/7BC,

ZP=ZQBO.

在APEO和△BQO中，

NP=Z.OBQ,

PO=OB,

Z-POE=乙BOQ,

：.ZXPEO也△BQO(ASA).

->.BQ=PE=10.

VBC=6,

.\CQ=6+10=16;

②如图②所示：点P在线段AD上时，

②

同理可得BQ=10,

；.CQ=10-6=4.

故答案为：4或16.

4.3［解析］如图，分别延长AC,BD交于点H,过点M作GN〃AB,交AH于G,交BH于N,连接PH.

AAPC,ABPD都是等边三角形,

ZA=ZB=ZDPB=ZCPA=60°.

；.AH〃PD,BH〃CP.

，四边形CPDH是平行四边形.

CD与HP互相平分

；.M是PH的中点.

故在点P运动过程中，M始终是HP的中点，

；•点M的运动轨迹即为AHAB的中位线，即线段GN,

1

GN=248=3cm.

故答案为：3.

5.分析：所给条件与所求问题无直接关系，故考虑倍长中线构造两三角形全等，实现所给条件的转移，进而将

无直接关系的线段转移到同一个三角形中，再运用三角形三边关系求解问题.

解如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,

VAD是△ABC的中线，

/.BD=CD.

在ZkADC与AEDB中，

CD=BD,

Z-ADC=乙BDE,

AD=DE,

：.ZXADC之△EDB(SAS).

AEB=AC=5.

根据三角形的三边关系彳导8-5<AE<8+5,.\3<2AD<13.

故AD的取值范围为|<AD<^.

其余方法辅助线构造如图，

(l)AABD绕点D旋转180。(倍长中线法)

A

B

E,

（2）1:2缩小（中位线法）

CB

（3）2:1放大（中位线法）

【要点：线段中点有关的构造常用两种：“8字型全等”（旋转180。）和“A型相似”（1:2缩小或2:1放大）】

6.8

7.5［解析］如图，取AB的中点N,连接DN,MN.

在RtAADB中,N是斜边AB的中点，

1

DN=-AB=BN=5..-.4NDB=4B.

在AABC中,M,N分别是BC,AB的中点

；.MN〃AC.

ZNMB=ZC.

又；/NDB是ANDM的外角，

ZNDB=ZNMD+ZDNM,

即/B=NNMD+/DNM=/C+/DNM.

又；ZB=2ZC,.\ZDNM=ZC=ZNMD.

/.DM=DN./.DM=5,，

8.证明:如图.延长BM交CE于点GXn

VAABD和AACE都是直角三角形，Z<r

・・・CE〃BD.

JNBDM=NGEM.

M是DE的中点,I.DM=EM.

ZBMD=ZGME,

JABMD^AGME.ABM=MG.

・・・M是BG的中点.

・••在R3CBG中,BM=CM.

9.证阻取AC的中点F,连接BF.

VAB=AC,E,F分别是AB,AC的中点,

・・・AE=AF.

•・・ZA=ZA,AB=AC,

.,.△ABF^AACE(SAS).

.\BF=CE.

VBD=AB,AF=CF,

・・・DC=2BF.・・・DC=2CE.

10.解:z\AGF是等边三角形.

证明:如图，连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.

・・・F是AD的中点，

1

・•・HFAB,HF=-AB.

2

AZ1=Z3.

同理，HECD.HE=^CD,

：.Z2=ZEFC.

VAB=CD,

・・・HF=HE.

AZ1=Z2.

ZEFC=60°,

JZ3=ZEFC=ZAFG=60°.

**•AAGF是等边三角形.

I综合训练I

1.解:⑴证明:如图①，分别延长AE,AD交BC于点H,K.

(乙ABD=乙DBK,

在2XBAD和"KD中|BD=BD,

[ABDA=Z-BDK,

ABAD^ABKD(ASA).

・・・AD=KD,AB=KB.

同理可彳导AE=HE,AC=HC.

1

・•・DEBC.DE=-HK.

又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC,

1

/.DE=-(AB+AC+BC).

⑵猜想结果：图②结论为。EBC,DE=久/8+AC-BC).

证明:如图②，分别延长AE,AD交BC于H,K.在"AD和△BKD中,

ZABD=乙DBK,

BD=BD,

^BDA=(BDK,

：.ABAD^ABKD(ASA).

・・・AD=KD,AB=KB.

同理可得AE=HE,AC=HC.

1

・•・DE||BC,DE=-HK.

又,/HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC,

1

•••DE=-(AB+AC-BC).

猜想结果：图③的结论为=|(^C+AC-AB).

证明如图③，分别延长AE,AD交直线BC于点H,K.

在"AD^ABKD中，

(乙ABD=乙DBK,

,BD=BD,

/BDA=Z.BDK,

JABAD^ABKD(ASA).

・・・AD=KD,AB=KB.

同理可得AE=HE,AC=HC.

1

・•・DE||BCfDE=-KH.

又THK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-很・•・DE一砌.

2.解:(1)：D是AB的中点,E是线段AC的中点

ADE为AABC的中彳立线，且CE=AE=a.

1

•••DE||BC,DE

ZDEC+ZC=180°.

ZC=90°,.\ZDEC=180°-ZC=90°.

•••DF±DE,.*.ZEDF=90°.

四边形DECF为矩形.DE=CF.

11

CF=-BC=-(BF+CF).

.\CF=BF=b.

贝！］在RtACEF中,EF=yJCE2+CF2=Va2+Z)2.

(2)依题意补全图形略.

EF2=AE2+BF2.

证明：过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG.

：BG〃AC,ZEAD=ZGBD,ZDEA=ZDGB.

YD是AB的中点七

.\AD=BD.

.♦.△EAD0△GBD(AAS).„/r^\

:/

.\ED=GD,AE=BG.

又•••DF±DE,.\DF是线段EG的垂直平分线.

.\EF=FG.

ZACB=90o,BG/7AC,

.\ZGBF=ZACB=90o.

.•.在RtABGF中,由勾股定理得:FG?=BG2+BFe.

■.EF2=AE2+BF2.

3.解:(1)MD=MF,MD±MF.

证明:如图①，延长DM交EF于点P,

,/四边形ABCD和四边形FCGE是正方形,B,C,G共线,二AD〃EF,/CFE=90。.

ZMAD=ZMEP,ADFP是直角三角形.

M为AE的中点,AM=EM.

又/AMD=NEMP,，z\ADM0Z\EPM.

.\AD=PE,DM=PM.AM是DP的中点.

1

・•・MF=-DP=MD.

2

・・•四边形ABCD和四边形FCGE是正方形，

・・・CF=EF,CD=AD.

DF=CF-CD,PF=EF-PE=EF-AD