2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分训练（解析版）

专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“/”字模型与三角板模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“/”字模型

与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型

…2

模型1.“8”字模型......................................................................2

模型2.“A”字模型.....................................................................7

模型3.三角板拼接模型................................................................10

习题练模型

................................14

例题讲模型］

模型1.“8”字模型

“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。

模型证明

图1图2

1）8字模型（基础型）

条件：如图1,AD、2。相交于点。，连接/2、CD；结论：®ZA+ZB=ZC+ZD■,®AB+CD<AD+BC.

证明：在A45O中，ZA+ZB+ZAOB=ISO°；

在AC。。中，ZC+ZD+ZC（9n=180o；

VZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；

在根8。中，AB<AO+BO；在ACOD中，CD<CO+DO-,

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BC

2）8字模型（加角平分线）

条件：如图2,线段4P平分线段C尸平分N8CD；结论：2/P=NB+/D

证明：I•线段4P平分N84D,线段CP平分/BCD；./BAP=/R4D,ZBCP=ZPCD

'：ZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2NP=N3+/D,则/尸=g（/8+N。），BP2ZP=ZB+ZD

模型运用

例1.（2023・重庆•八年级期中）如图，和。相交于点O,/A=/C,则下列结论中不能完全确定正确

的是（）

D

A./B=NDB.Z1=ZA+ZDC.Z2>Z£>D.ZC=ZD

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.

【详解】,：ZA+ZAOD+ZD=ISO°,NC+NCO2+N2=180°,N4=NC,NAOD=NBOC,

:.NB=/D,VZ1=Z2=Z^+ZZ),.\Z2>ZZ),故选项/,B,C正确，故选D.

【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.

例2.(2023春・山西临汾•七年级统考期末)如图，求乙4+/8+/C+/D+/E+/尸+NG的度数.

AB

【答案】^GAE+ZFBC+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540°

【分析】连结48,令BF与AG交于点、M,由三角形内角和得ZF+NG=NGN8+NE8N,从而所求角的和

转化为求五边形ABCDE的内角和问题解决.

【详解】连结如图，设BF与/G交于点

AB

VZF+ZG+ZFMG=180°,ZGAB+NFBA+ZAMB=180°,

又ZFMG=NAMB,ZF+ZG=ZGAB+ZFBA,

：.ZGAE+ZFBC+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=ZGAE+ZFBC+ZC+ZD+ZE+ZGAB+NFBA

=(ZGAE+NGAB)+(NFBC+NFR4)+NC+ND+NE

=ZEAB+ZABC+ZC+ZD+ZE=180°x(5-2)=540°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键.

例3.（2023•山东德州•八年级校考阶段练习）如图1,已知线段N8,C。相交于点。，连接,则我们

把形如这样的图形称为“8字型”.（1）求证：ZA+NC=/B+/D；（2）如图2,若NC48和。的平分线/P

和。尸相交于点尸，且与C。,分别相交于点/、N.①若NB=100o,NC=120。，求NP的度数；②若角

平分线中角的关系改为=»CDB"，试探究/尸与之间的数量关系.

33

【答案】⑴见解析⑵①110。；②NP=；(N2+2NC)

【分析】(1)利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；

(2)①根据角平分线的定义得到NCAP=N8/尸，NBDP=NCDP,再根据“8字形”得到

NCAP+NC=ZCDP+NP,NBAP+NP=ZBDP+ZB,两等式相减得到/C一/尸=N尸一/8,即

1112

ZP=-(Z5+ZC),即可求解.®®isZCAP=-ACAB,ZCDP=-ZCDB,可得N5/尸二§/B/C,

NBDP="BDC,再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2(/C-/尸)=/尸-/8,即可求解.

【详解】(1)证明：在“OC中，ZA+ZC=1800-ZAOC,

在ABOZ)中，NB+ND=180°-NBOD,VZAOC=ZBOD,：.ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)解：①和NADC的平分线/P和DP相交于点尸，；.NC4P=N84P,NADP=NCDP,

/CAP+NC=NCDP+NP①,ZBAP+ZP=ZBDP+AB®,

由①-②，得:NC-NP=NP-NB,即NP=g(/C+NB),

48=100。,“空120。,ZF=1(100°+120°)=11(F；

_1122

@VZCAP=-ACAB,ZCDP=-ZCDB,：,NBAP=—NBAC,/BDP=—/BDC,

3333

/CAP+NC=/CDP+/P,/BAP+/尸=/BDP+AB,

iii222

：・NC—/P=—/BDC——NBAC=—(ZBDC-ZBA0,ZP-ZB=-ABDC--ABAC=—(/BDC—/BAC

333、/333、

：.2(ZC-ZP)=ZP-ZB,：.ZP=1(Z5+2ZC)),故答案为：ZP=1(ZS+2ZC).

【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解.

例4.(2023春•广东深圳•七年级统考期末)定理：三角形任意两边之和大于第三边.

(1)如图1,线段4D,3c交于点E,连接CD,判断NO+8C与Z3+CD的大小关系，并说明理由；

(2)如图2,OC平分ZAOB，尸为OC上任意一点，在。4,。上截取OE=OF,连接PE,PF.求证：PE=PF；

(3)如图3,在"3C中，AB>AC,尸为角平分线4D上异于端点的一动点，求证：PB-POBD-CD.

【答案】(1)4)+3C>4&+CD；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解

【分析】(1)根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE+BE>AB,CE+ED>CD,两式相加即可得出结

论；(2)根据"S证△。0也△。尸P即可得出结论；

(3)在45上取一点E,使/E=/C,连接。£交BP于点尸，vE^APE^APC,BPPC=PE,同理证CD=Z)E,

然后同理(1)得PB+CD>PC+BD,变形不等式即可得出结论.

【详解】(1)解：AD+BOAB+CD,理由如下：

•/AE+BE>AB,CE+ED>CD,AE+BE+CE+ED>AB+CD,BPAD+BC>AB+CD；

(2)证明：<OC平分N4OB,:"EOP=/FOP,

OE=OF

在AOEP和AOFP中，,ZEOP=ZFOP,:.AOEP^AOFP(S4S),PE=PF■,

OP=OP

(3)证明：在49上取一点E,使/£=ZC,连接交B尸于点尸，

•.•/。是/"(7的角平分线，，/瓦4尸=/。尸,

AE=AC

在V4PE和△ZPC中，尸尸，且A4PC("S),，PE=PC,同理可证DE=DC,

AP=AP

■：EF+PF>EP,BF+FD>BD,EF+PF+BF+FD>EP+BD,PB+DE>EP+BD,

PB+CD>PC+BD,PB-PC>BD-CD.

【点睛】本题考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题

的关键.

例5.(2023春・广东深圳•七年级部校考期中)探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则ZB,ZC,一。四个角的数量关系是；

(2)如图2,若/BCD,ZADE的角平分线CP,DP交于点P,则/尸与//,NB的数量关系为/尸=；

⑶如图3,CM,分别平分N2CD,ZADE,当NN+N8=70。时，试求/M+/N的度数(提醒：解

决此问题可以直接利用上述结论)；

(4)如图4,ZMCD=-ZBCD,ZNDE=-ZADE,当44+=〃。时，则/M+/N的度数为.

44---------

【答案】(1)//+Z8=/C+ZD(2)NP=90。-g(NN+Z8)(3)235°(4)225°-；n°

【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；(2)如图2,设NPCD=x,ZADP=y,根据外角的性质

得：ZP=y-x,ZCOD=2y-2x,所以/COO=2/P,最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3,

延长CM、DN交于点尸，根据(2)的结论，并将//+NB=70。，代入可得

结论；(4)如图4,同理计算可得结论.

【详解】(1)在"03中，ZA+ZB+ZAOB=180°,在△COD中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

,:ZAOB=NCOD,；.+=故答案为：ZA+ZB=ZC+ZD

(2)设/PCD=x,ZADP=j;,

CP,DP分别平分/BCD,ZADE,：.ZBCD=2x,NADE=2y,

'：ZP=ZPDE-ZPCD=y-x,：.ZCOD=ZODE-ZBCD=2j^-2x,:.NCOD=2NP,

'：NA+NB+ZCOD=180°,2/尸+//+=180°,

Z.P=90°-^(ZA+ZB),故答案为：ZP=90°-1(Z^+NB)

(3)由(2)可知：ZP=90°-1(Z^+ZS),

；NN+N8=70°,：.ZP=55°,：,ZPMN+ZPNM=125°,NGW+NOW=360°-125°=235°,

(4)如图4,延长CM、OV交于点P,设NPCD=x,NNDE=y,

:.NP=NPDE-NPCD=y—x,ZCOD=4y-4x,：.ZCOD=4ZP,4NP+N/+N3=180°,

.180°-(N/+N8).180°-H°

••Z—U-,••Z—L-,

44

ZPMN+ZPNM=180°-ZP,=180°-45°+-/zo,=135°+-?7°,

44

ZCMN+ZDNM=360°-(ZPMN+NPNM)=360。-(135。+L/)=225。-故答案为：225°--«°

444

【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方

程的思想思考问题.

模型2."A”字模型

如图，B、C分别是/D4E两边上的点，连结3C,形状类似于英文字母4故我们把它称为Z”字模型。

模型证明

条件：如图，在AABC中，N1、/2分别为N3、/4的外角;

结论：①/l+N2=/N+180。；@Z3+Z4=Z£>+ZE

证明：@'：Z1=ZA+ZACB.•./1=//+18O°-N2，Nl+/2=N4+180°。

②在AA8C中，//+N3+N4=180。；在AADE中，ZA+ZD+ZE=18Q°：.Z3+Z4=ZD+ZE.

模型运用

例1.（2023•广西北海•八年级统考期中）按如图中所给的条件，N1的度数是（）

A.62°B.63°C.75°D.118°

【答案】A

【分析】根据邻补角求得/2=25。，然后根据三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：如图，

VZ2=180°-155°=25°,/I=37。+/2=37。+25。=62。，故选：A.

【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键.

例2.（23-24七年级下•福建泉州•期末）如图，在“8C中，44=55。，若剪去N/得到四边形3CDE,则

Zl+Z2=

【答案】2357235度

【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为180。计算，然后根据邻补角的定义计算即可.

【详解】解：V^A=55°,：.ZAED+ZADE=180°-=180°-55°=125°,

Zl+Z2=l80°-ZAED+180°-AADE=360°-（ZAED+ZADE）=360°-125°=235°,故答案为：235°.

例3.（23-24七年级下•河北石家庄•期末）如图1,直线/与AABC的边NC,分别相交于点。，E（都

不与点A重合）.

⑴若44=64。，①求4+N2的度数；②如图2,直线加与边48,/C相交得至上3和N4,直接写出/3+/4

的度数.(2)如图3,EO,分别平分N8ED和NCDE,写出/£8和//的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,在四边形8CDE中，点M,N分别是线段。C、线段BE上的点，NG,MG分别平分/的和

ZCMN,直接写出/NGM与/E,的关系.

【答案】⑴①244。；②244。(2)/£。D=90°-；/N,理由见解析(3)/£+/D+2/NGM=360°.

【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等

知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键.(1)①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算

即可；②根据①的结论即可解答；(2)由(1)的结论以及三角形内角和定理即可解答；

(3)由(2)的结论可得+=+再根据三角形内角和定理进行解答即可.

【详解】(1)解：①如图1,

；Nl=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,：.Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+ZA,

•：ZA+ZADE+ZAED=18CP,ZA=6^,/l+/2=/N+180°=64°+180°=244°；

②由①方法可得：Z3+Z4=Z1+Z2=244°.

(2)解：ZEOD=9Q°--ZA,理由如下：由(1)可得/BED+NCDE=180。+.

2

EO,。。分别平分ABED和NCDE,ZOED=-NBED/EDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=+ZCDE)=1(180°+Z^)=90°+1，

ZEOD=180°-(NOED+ZEDO)=180°-^90°+g//)=90°.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由图2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

,：NG,MG分别平分/82W和/CW,ZBNG=ZMNG=-ABNM,ZCMG=ZNMG=-ZCMN,

22

ZMGN=180°-(ZMNG+ZNMG)=180°-1(ZBNM+ZCMN)=18O°-1(ZD+Z£),

Z.2ZMGN+ZD+ZE=360°.

模型3.三角板拼接模型

模型解读

由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。

图①中：ZA=30°,ZC=60°,图②中：ZA=ZC=45°,

图①图②

模型证明

当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90。、30。、45。、60°）,

再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15。的整数倍。

常见角度拼接（证明特别简单，故略过）:

模型运用

例1.（2023春・贵州遵义•八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中

ZE=90°,ZC=90°,N/=45°,ZD=30°,贝!|/1+/2=.

【答案】210°

【分析】根据三角形外角性质得出4=/。+/。。/，/2=/E+/EPB,再根据三角形的内角和定理和解

答即可.

【详解】解：如图可知：=Z2=ZE+ZEPB,

；NDOA=NCOP,NEPB=NCPO,

Z1+Z2=ZD+ZE+ZCOP+ZCPO=ZD+ZE+180°-ZC=30°+90°+180°-90°=210°,故答案为：210°.

【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答.

例2.（23-24七年级下•四川成都・期末）将一副直角三角板如图摆放，点/落在DE边上，AB//DF,则N1

的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理.根据平行线的性质，可得/8ZE=ND=90。,

从而得到/C4£=60。，再由三角形内角和定理，即可求解.

【详解】解：,/AB//DF,£）0=90°,:./BAE=/D=90°,

,：ABAC=30°,ZCAE=60°,VZE=45°,/I=180°-/E-/G4E=75°.故选：D

例3.（2023春•江苏无锡・七年级统考期末）有一副直角三角板4BC、DEF,其中N/C3=N。昉=90。，

乙4=30。，Zr>=45°.如图，将三角板。E尸的顶点E放在48上，移动三角板。E尸，当点、E从点、A沿AB

向点2移动的过程中，点E、。、。始终保持在一条直线上.下列结论：①当DE1/8时，ZACE=60°；

②NBEF逐渐变小；③若直线DF与直线AB交于点M,则NACE+ZDME为定值;④若^ABC的一边与^DEF

的某一边平行，则符合条件的点£的位置有3个.正确的有.（填序号）

F

【答案】①③④

【分析】①由即可判断；②过点C作即可判断；③分别讨论当直线。尸与线段43相

交、直线。尸与线段48的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断.

【详解】解：①•：DE,点、E、C、。始终保持在一条直线上...(】£/48

,/44=30°NACE=60°故①正确；②如图1：过点C作CH_L

当点E从点A移动到点〃位置时，NDEB的度数在逐渐增大NBEF的度数在逐渐减小

当点E从点〃移动到点B位置时，NBEF的度数在逐渐增大故②错误；

③当直线。尸与线段48交于点如图2：:NDEB=NA+NACE,ND+NDEB+NDME=180。

：.ZACE+300+45°+ZDME=180c：.ZACE+ZDME=105°

当直线。尸与线段N3的延长线交于点如图3：：/。£8=a4+//虑,乙0+/。匹+/。旌=18)

ZACE+300+45°+ZDME=18QC：.ZACE+ZDME=105°

故若直线DF与直线AB交于点M,则ZACE+ADME为定值故③正确；

④当点£在线段49■上时，且/BEF=/B=6Q。,则跖〃8C；

当点E在线段88上时，且/8昉=乙4=3),则E尸〃/C；

当NEC8=/D=45。时，则。尸〃BC；...若“8C的一边与S斯的某一边平行，则符合条件的点£的位

置有3个故④正确；故答案为：①③④

【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点.掌

握相关数学结论是解题关键.

例4.(23-24七年级下•贵州黔南•期末)如图1,将一副三角板放在直线血W上，两个直角顶点重合在一起,

交直线于点C,其中//=30。，ZEDC=45°.

(1)如图2,将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中，/ECB与//CD的数量关

系是;（2）将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时CE在/ZC8

的内部，与N3相交于点P,当/EC3=30。时，求/。尸3的度数；（3）将图1中的三角板CDE绕点。按

逆时针方向旋转，当〃48时，/DC5的度数为.（直接写出结果即可）

【答案】⑴NECB=/4CD⑵/DPB=135。；（3）75。或105。.

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平

行线的性质，分情况讨论，作出图形是解答此题的关键.（1）利用同角的余角相等，即可得到=

（2）证明N3〃CD,利用两直线平行，同旁内角互补，即可求解；

（3）分两种情况讨论，利用平行线的性质结合三角形的外角性质求解即可.

【详解】（1）解：/ECB=NACD,理由如下：

,/ZACB=ZDCE=90°,NECB=90°-NACE=ZACD,即NECB=NACD；故答案为：ZECB=ZACD；

（2）解：由（1）得=；.NA=30。=NECB=ZACD,：.AB//CD,

'：ZEDC=45°,/DPB=180°—"=135°；

,/DE//AB,：.ZDFC=ZABC=6CP,：.AMCE=ZDFC-Z£=60°-45°=15°,ZDCB=75°；

如图，设。£与MN的交点为尸，DE//AB,：.ZDFC=ZABC=6(F,

AZDCB=ZD+ZDFC=450+60°=105°；综上，NDCB的度数为75。或105。.故答案为：75。或105。.

习题练模型

1.（2023•河北邯郸・统考一模）如图，已知在Rt448C中，ZC=90°,若沿图中虚线剪去/C,则/1+N2

的度数是（）.

A.270°B.240°C.180°D.90°

【答案】A

【分析】利用四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：：在中，ZC=90°,：.ZA+ZB=9Q°,

VZl+Z2+Z^+ZS=360°,；.Zl+/2=360。-（4+4）=270。故选：A.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为360。和直角

三角形的性质求解.

2.（2024•河南商丘•八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中44=90。，4=45。,

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】B

【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出加=D/+D8=135°,D2=DD+DE,

由NC=30。，求出N3=180°-30°=150°,再由外角和是360。即可求出答案.

【详解】解:如图，•••4=90。，ZB=45°,\D1=D^+D5=135°,

•••ZC=30°,Z3=180o-30o=150°,

•.-Dl+D2+D3=360°,\D2=360°-285°=75°,

'.-D2=DD+DE,\DD+DE1=75O.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键.

3.（2023・江苏盐城•统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含45。角的直角三角板的直角顶点在另一个

三角板的斜边上，若/1=18。，则N2的度数是（）

A.18°B.23°C.28°D.33°

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可.

【详解】解：如图，由题意得：4=45。，48=30。，

VZl=18°,Z3=Z1+ZT1=63O,Z2=Z3-ZS=33°.故选：D.

【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和.

4.（2023•广东江门•八年级校考期中）如下图，N1+/2+/3+/4+N5+/6的度数为（）

6

3

圻叫八5

A.540°B.500°C.460°D.420°

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理可得/1+/2=140。，根据平角的定义和四边形内角和可得

N3+/4=/l+/2=140。，同理可得/5+/6=/3+/4=140°,据此即可求解.

【详解】解：如图所示，

；4=40。，/.Zl+Z2=180°-40°=140°,

VZl+Z7=180°,Z2+Z8=180°,AZl+Z2+Z7+Z8=360°

,/Z7+Z8+Z3+Z4=360°AZ3+Z4=Z1+Z2=140°,

同理可得：Z5+Z6=Z3+Z4=140°,/.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=140°x3=420°,故选：D.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于360。是解题的关键.

5.（2023・广东清远•八年级校考阶段练习）如图所示，//+N2+/C+/D+/E的结果为（）

A.90°B.360°C.180°D.无法确定

【答案】C

【详解】如图，连接2C,

ZD+ZE+ZDOE=ZBOC+ZOCB+ZBOC=1SO°,ZDOE=ZBOC,：.ZD+ZE=ZOBC+ZOCB,

5L'：ZA+ZABO+ZACO+AOBC+Z.OCB=180°,/.ZA+ZABO+ZACO+ZD+ZE=1SO°.故选：C.

6.（2024•安徽•八年级校考期中）如图，若/CGE=125。，贝!|N4+/3+/C+ND+/E+NF=.

【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出/£MG=/D+/C,NHGN=NC+ND+NE,

ZAHG=ZB+55°,ZANG=55。+NF,再根据乙4+乙如，3+/巾加+/4¥6=360。，进行求解即可得出最

后结果.

【详解】解：如图，进行标注，

---NEMG是AMDC的一个外角,NEMG=ZD+ZC,

•.•/"GN是AMEG的一个外角，:"HGN=NE+2EMG,BPZHGN=ZC+ZD+ZE,

VZAHG是ABHG的一个外角，ZAHG=ZB+ZBGH,

■：ZBGH=180°-ZCGE=180°-125°=55°,ZAHG=Z8+55°

ZANG是YNGF的一个外角，

ZANG=NNGF+/b=180°一125°+/b=55°+AF,■：ZA+ZAHG+ZHGN+ZANG=360°

:.ZA+ZB+55°+ZC+ZD+ZE+ZF+55°=36Q°

.•.4+ZB+/C+ZD+/E+/尸=360。-55。-55。=250。，故答案为：250。.

【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键.

7.（2023•四川绵阳•八年级统考期中）如图，已知/1=60。，/C+/D+/E+/F+44+/8=.

【答案】240。/240度

【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果.

【详解】连接CG,NA+NB=ZACG+NBGC,

：.ZA+ZB+ZACF+ZF^ZACG+ZBGC+ZACF+NF

=ZACG+ZACF+ZBGC+ZF=180°-ZFGB=180°-Zl=120°

又〃+/£=180。一/1=120。,

：.ZACF+ZD+ZE+ZF+ZA+ZB=120°x2=240°.故答案为：240。.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质

以及三角形内角和定理是解决问题的关键.

8.（2023・上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠

放在一起，当4CE<180。，且点E在直线ZC的上方时，他发现若乙4CE=,则三角板3CE有

一条边与斜边平行.

D

【答案】30。或120。或165。

【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题.

【详解】解：有三种情形：①如图1中，当NQ”8C时.

:AD〃BC,：.AD=ZBCD=30°,

"?ZACE+NECD=ZECD+NDCB=90°,ZACE=ZDCB=30°.

②如图2中，当时，ZDCE=ZD=30°,可得//。£1=90。+30。=120。.

③如图3中，当AD力BE时,延长3C交AD于林

,/AD//BE,：.ZAMCZB=45°,；.N/CM=180。-60。-45°=75°,4CE=75°+90=165°,

综上所述，满足条件的乙4CE的度数为30。或120。或165。.故答案为：30。或120。或165。.

【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类

讨论的首先思考问题，属于中考常考题型.

9.（2023•广东•八年级假期作业）如图，若N£OC=115。，贝I]44+/3+/C+ND+/E+/F=

A

B

D

【答案】230°

【分析】根据三角形外角的性质，得到NEOC=N£+N2=115。，Z2=ZZ)+ZC,/EOC=N1+N尸=115。，Z

\=AA+AB,即可得到结论.

【详解】解：如图•.,/EOC=/E+N2=115。，Z2=Z£>+ZC,AZE+ZD+ZC=]\50,

VZ£OC=Z1+Z^=115°,Z1=ZA+ZB,：.ZA+ZB+ZF=U5°,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=230°,故答案为：230。.

【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质.

10.(2023•广东揭阳•八年级校考期末)探索归纳：

(1)如图1,已知A/BC为直角三角形，ZA=90°,若沿图中虚线剪去N4则Nl+N2=。.

(2)如图2,已知A/BC中，ZA=40°,剪去/N后成四边形，则/1+/2=°.

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想/1+/2与//的关系是.

A

图1图2

【答案】2700/270度220°/220度180°+//

【分析】(1)利用了四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解；

(2)根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；(3)根据(1)(2)可以直接写出结果.

【详解】解：(1)二•四边形的内角和为360。，直角三角形中两个锐角和为90。，

.".Zl+Z2=360°-(Z5+ZC)=360°-90°=270°,N1+N2等于270°,故答案为：270°；

(2)Zl+Z2=360°-(Z5+ZC)=360°-(180°-Z/1)=180°+/N=180°+40°=220°,故答案是：220°；

(3)N1+N2与//的关系是：Zl+Z2=180°+Z^；

证明：Zl+Z2=360°-（ZS+ZC）=360°-（180°-//）=180°+ZA；故答案为：180°+//.

【点睛】主要考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理.熟练掌握三角形的内角和定理、四边形内

角和定理是解题的关键.

11.（2024•重庆•八年级校考期中）如图，在Rt/UBC中，ZACB=90°,乙1=65。，。是A8边上一点，连接CD,

将根。沿CD翻折，使A点落在8c边上的E点处，则NADE的度数为度.

【分析】根据折叠的性质和三角形内角和的性质，求得/NOC的度数，即可求解.

【详解】解：根据折叠的性质可得N/Cr>=/DCE=」N/C8=45。，ZADC=NCDE

2

由三角形内角和的性质可得：AADC=180°--AACD=70°,

/.NADE=2ZADC=140°二NBDE=180。一NADE=400故答案为：40

【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.

12.（2024・湖北武汉•八年级校考阶段练习）如图所示，48、CO相交于点O,//=48。，ZD=46°.

（1）若BE平分NABD交CD于F,CE平分NACD交4B于G,求/3EC的度数；

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出NOBD=4CD+2。，由平分线的定义可得出

NDBF=g/4CD+l。、ZOCG=^ZACO,再结合三角形内角和定理即可得出NBEC=NO+1。，代入度数即

可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出=根据三角形外角性质结合（1）

中ZDBF=；ZACD+1。即可得出/MFC=ZD+^ZACD+1。，再根据三角形内角和定理即可得出

NBMC=91°-ND,代入ND度数即可得出结论.

【详解】解：(1)•••+ZOBD+ZBOD=180°,+ZACO+ZAOC=180°,/BOD=ZAOC,

ZD+AOBD=AA+AACO,VZA=48°,ZD=46°,/.ZOBD=ZACD+2°.

•:BE平分NABD交CD于F,CE平分//CD交于G,

NDBF=-ZOBD=-AACD+l°,ZOCG=-ZACO.

222

ZD+ZDBF+ZBFD=180°=NBEC+ZOCG+NCFE,NBFD=ZEFC,

:.ZD+-ZACD+10=ZBEC+-ZACD,:.NBEC=ND+1°=47°.

22

(2)ZACD+ZDCH,CM平分NDCH交直线5尸于M,

ZDCM=gZDCH=i(180°-Z^CD)=90°-1z^CD,

•••ZMFC=ZD+ZDBF=ZD+-ZACD+1°,ZMFC+ZDCM+ZBMC=180°,

2

ZBMC=180°-ZMFC-ZDCM=180°-(ZZ)+|z^CD+l0)-(90°-；乙8)=91°-ZD=43°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键

是：（1）根据三角形内角和定理找出NBEC=NO+1。；（2）根据三角形内角和定理找出N3A/C=91。-/。.本

题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐.

13.（2023•广东湛江•八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMV放置在“8。上（p点

在“BC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点8和点C.探究/4BP与N/CP是否存

在某种确定的数量关系.（1）特殊探究：若乙4=50。，贝！I/A8C+乙4cB=度，NPBC+NPCB=

度，AABP+AACP=度；（2）类比探索：请探究/A8P+N4c尸与//的关系；（3）类比延伸：如图②，

改变直角三角板尸龙W的位置，使P点在AABC外，三角板必加的两条直角边尸河、尸N仍然分别经过点8和

点C,（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由.

①②

【答案】(1)130；90；40(2)乙48尸+//C尸=90P-N/(3)不成立，ZACP-ZABP=90°-ZA,理由见解析

【分析】(1)已知N/=50。，根据三角形内角和定理易求/A8C+4CB的度数，已知/尸=90。，根据三角

形内角和定理易求ZPBC+ZPCB的度数，进而得到乙4BP+//CP的度数；

(2)由(1)中448C+乙4cB的度数，NPBC+NPCB的度数，相减即可得到443尸+乙4c尸与//的关系;

(3)由于在AZIBC中，ZABC+ZACB^18Q0-ZA,在APBC中，ZPBC+ZPCB=9(T,相减即可得到结论.

【详解】(1)解：•；N/=50°,/.ZABC+Z^C5=180°-=180°-50°-130°,

ZP=90°,；.ZPBC+ZPCB=90°,

AZABP+ZACP=(ZABC+ZACB)-(ZPBC+ZPCB)=130°-90°=40°.故答案为：130；90；40.

(2)443尸+4C尸与//的关系为：ZABP+ZACP=9CP-ZA,

理由如下：由(1)得：ZABC+ZACB=180°-ZA,VZP=90°,:.NPBC+NPCB=9b,

：.ZABP+ZACP=(ZABC+ZACB)-(NPBC+ZPCB)=180°—一90°=90°-/A.

：.ZABP+ZACP=9CP-ZA.

(3)不成立，存在44cp-ZA8P=90。-,

理由如下：在A/I8c中，N4BC+N4cB=180°-ZA,在APBC中，VZP=90°,：.ZPBC+ZPCB=90°,

：.(ZABC+ZACB)-(ZPBC+ZPCS)=180°-Z^-90°,/.(ZACB-ZPCB)-(ZPBC-ZABC)=90°-N4,

ZACP-ZABP=90°-ZA.：.(2)中的结论不成立.

【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

180°.注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出ZABC+N4C3,4PBC+N尸CB的度数.

14.(2023春・河南洛阳•七年级统考期末)如图，NC4D与NC3D的角平分线交于点P.

(1)若/。=35。，Z£>=29°,求/尸的度数；(2)直接写出/D,NC,NP的数量关系；(3)若/C4D与NC5D

的大小发生变化，(2)的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子.

【答案】(1)32。(2)/尸=g(/C+/D)(3)(2)的结论仍然成立，见解析

【分析】(1)顶角相等可得NBFD=NAFP,利用三角形的内角和定理得

ZC+ZCAE=ZP