2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分训练（解析版）

专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型

…........................................................................................................................................................2

模型1双角平分线模型（双内角）......................................................2

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）................................................8

模型3.双角平分线模型（双外角）

习题练模型

17

例题讲模型］

模型1双角平分线模型（双内角）

双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90。与第三个角的一半的和。

1）两内角平分线的夹角模型

图1图2图3

条件：如图1,在△A8C中，/4BC和的平分线3P,CP交于点尸；结论：ZP=90°+1-Z^o

证明：和的平分线3P,CP交于点P,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22o

ZP=180°-(/PBC+/PCB)=180°-1(NABC+/ACB)=180°-1(180°-//)=90°+-ZAo

222

2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1

条件：如图2,BP、CP平分N4BC、ZDCB,两条角平分线相交于点尸；结论：2/尸=//+/。。

证明：•:BP、CP平分NN2C、NDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22o

AZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1(ZABC+ZDCB)=180°-1(360°-Zy4-ZD)=-(ZA+ZD)a

222

即：2NP=NA+ND。

3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2

条件:如图3,CHOP平分入BCD、/CDE,两条角平分线相交于点P；结论：2ZP=ZA+ZB+ZE-180°=

证明：•:CP、DP平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD=-ZBCD,ZPDC=-ZCDE

22o

AZP=180°-(./PCD+/PDC)=180°-1(ZBCD+ZCDE)=180°-1(54Q°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

£-90°。即：2/尸=//+/£>+/£-180°

模型运用

例1.（2023秋•安徽阜阳•八年级统考期中）如图，在"BC中，点尸是内一点，且点尸到三边

的距离相等，若/8尸。=124。，则乙4=.

【分析】由条件可知8尸、C尸平分/N3C和//C3,利用三角形内角和可求得/N.

【详解】解：：点P到。3c三边的距离相等，

8尸平分CP平分NACB,

4=180°-（/ABC+ZACB）,=180°-2（NPBC+NPCB）

=180°-2x（180°-NBPC）=180°-2xQ80°-124°）=68°故答案为：68°.

【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键.

例2.（2023秋•山西太原•八年级校考期末）已知：如图，P是“BC内一点,连接P8,PC.

⑴猜想：NBPC与/ABP、ZACP,//存在怎样的等量关系？证明你的猜想.（2）若N/=69。，PB、PC分

别是//8C、//CB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得/2PC的度数为一.

【答案】（1"BPC=N4+N4BP+N4CP,证明见解析（2）106°

【分析】（1）根据三角形内角和定理得到N/+/4BC+//C2=180。，ZBPC+ZCBP+ABCP=180°,再结合

ZCBP=ZABC-ZABP,NBCP=N/C8-N4C尸即可得至I」结论；（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的

定义得到43C+Z4c5=111。，ZABP=^ZABC,ZACP=^ZACB,再代入（1）中结论求解即可.

【详解】（1）解：猜想；/BPC=NA+/ABP+NACP,

证明：由题意得：+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ACBP+ZBCP=180°,

,/NCBP=NABC-ZABP,NBCP=ZACB-ZACP,NBPC+ZABC-NABP+ZACB-ZACP=180°,

，ZBPC+(ZABC+ZACB)-(ZABP+ZACP)=180°,：.ZBPC+180°--(ZABP+ZACP)=180°,

ZBPC=ZA+ZABP+ZACP；

(2)解：：N4=69。，PB、PC分别是/4BC、//CS的三等分线，

AZABC+ZACB=180°-ZA=111°,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

NBPC=NN+；(/4BC+N/C5)=69+37=106.故答案为：106°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键.

例3.(2023秋・河南濮阳•八年级校考期末)模型认识：我们学过三角形的内角和等于180。，又知道角平分

线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动.

如图①，在。3C中，BP、C尸分别是N/3C和N/C8的角平分线.

解决问题：(1)若/ABC=40。，44cs=80。，则/BPC=______；(直接写出答案)

⑵若NR4C=100。，求出/8PC的度数；

拓展延伸：(3)如图②，在四边形4BCD中，BP、C尸分别是N48C和NOCB的角平分线，直接写出N3PC

与N/+/D的数量关系.

【答案】(1)120°(2)140°(3)ZBPC=-(ZA+ZD)

【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得/8PC的度数；

(2)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得N5PC的度数；

(3)根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得N8PC与NN+ND的数量关系.

【详解】(1)解：CP分别是/NBC和乙4cB的角平分线，ZABC=40°,/4CB=80。,

：.NPBC=gNABC=gX40°=20°,/PCB=N4CB=gx80°=40°.

AZBPC=180°-ZFSC-ZPCB=180°-20°-40°=120°；故答案为：120°；

(2)；BP、CP分别是/48C和N/C8的角平分线，

/PBC=gNABC,/PCB=gZACB.

AZ5PC=180°-ZP5C-ZPCS=180°-y（180°-NB/C）=90°+yABAC,

'：ZBAC=\0Q°,：.Z5PC=90°+yZ5/lC=90o+yxl00°=140°；

（3）,:BP、CP分别是/48C和4DC5的角平分线，:./PBC=g/ABC,/PCB=；/DCB.

：.ZJgPC=180°-ZPSC-ZPC5=180°-1（360°-ZA-ZD）=yCZA+ZD）.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个

解答思路求解是解题的关键.

例4.（23-24八年级•山东青岛・期末）【基础探究1】（1）如图1,“8C中，BP平分NABC,CP平分/ACB,

探求ZBPC与N4之间的数量关系；

【基础探究2】（2）如图2,08c中，BR、是N/8C的三等分线，/、玛是NZC3的三等分线，

则NBRC与NA之间的数量关系是；

【基础探究3】（3）如图3,“3C中，BP、、BP］、妣是//3C的四等分线，（与、CR、CR是/ZC8的

四等分线，则/BAC与2/之间的数量关系是；

【拓展与探究】（4）如图4,“3C中，BR、BP?、....BP—、瓦"是//3C的”等分线，C＜、CP2.....

CP„_2、CP-是ZACB的n等分线,请用一个等式表示/BRC、/BR-C、N4三者之间的数量关系是；

【探究与应用】（5）“3C中，BP、、BP2、……、即023是/48C的2024等分线，"、CP1、……、CPW23

是//CH的2024等分线，若/廖。与22c的和是//的7倍，则=______°♦

AAAA

—C上

图1图2图3图4

12ZBPC=U5°+^ZA(4)

【答案】（1）/BPC=90°+—/A（2）ZBPC=6f）°+-ZA(3)3

23

ZB^C+ZBP^C=\SCP+ZA（5）105

【分析】本题考查三角形的内角和定理，〃等分线的定义.

，由角平分线得到NPBC=g//3C,

（1）由三角形的内角和定理可得443C+//CS=180。-4

NPCB=gzACB,从而ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-^-(ZJ5C+ZACB)=9Q°+ZA；

22

(2)由三等分线可得N48C=1/A8C,APXCB=-AACB,从而

22

ZBPtC=180°-2P、BC-Z^C5=180°-j(ZABC+ZACB)=60°+-ZA；

(3)同(2)思路即可求解；

]F7—1—1]

(4)同(2)(3)思路即可/BqC=—480。+——/A,ZBP^C=——180。+—乙4,两式相加即可解答；

nnnn

(5)同(4)思路可得/86。+/8鸟022c=180P+//,又NBP,+NBP©2c=/A,即可求得乙4=30。，同

理有/期。/=蝮4800+3"//,即可解答.

101220242024

【详解】解：(1)'：ZA+ZABC+ZACB=1SO°,：.ZABC+ZACB^180°-ZA,

'：BPABC,CP平分N4CB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZBPC=180°—NPBC-NPCB=180°--ZABC--ZACB

22

=180°-1(ZylSC+Z^C5)=180°-1(180°-Z^)=90°+1z^.

(2),:BR、8鸟是//3C的三等分线，期、C£是NNCB的三等分线,

22

ZPBC=-ZABC,NRCB=-ZACB,

1313

922

AZBPXC=180°-ZPXBC-APXCB=180°--ZABC--^CB=180°-y(AABC+ZACB)

222

=180。-§(180。-//)=60。+§//.故答案为：ZBP1C=60°+-ZA

(3)；BP、、BP]、8A是N/8C的四等分线，C＜、CP-玛是//C5的四等分线，

ZP3BC=^ZABC,ZP3CB=24cB,

:BP3c=180。-/P3BC-HCB=180°-^ZABC-^ACB=180°-；(NABC+N/C3)

=180。-：(180。-//)=135。+：//.故答案为：ZBP3C=\35°+^ZA

(4),:BP、、BP]、……、BP2、8勺_1是/48C的"等分线，C＜、CP»……、CP—、。匕7是//CB的

〃一11n—11

〃等分线，；・/PiBC=——/ABC,NP小BC=—NABC,NRCB=——NACB,❷阳=—NACB,

nnnn

H—1pl—1

・・.NBP】C=180。—ZPXBC-ZP、CB=180。—〜ZABC-—ZACB

nn

n—1〃—IIH—1

=180°--------(ZABC+ZACB)=1SO0--------(180°-4)=-180°+——N4,

nnnn

/BP,—©=180°-%iBC-ZP^CB=180°--ZABC--ZACB

nn

=1SQ0--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA}-180°+-Zy4,

nnnn

1n—\n—11

ABPC+ZBP_,C=--180°+——/4+------1800+-ZA=180°+ZA.

Xnnnnn

故答案为：NBRC+/BP,-C=180P+//

(5),:BP、、BP?、.........B/23是//3C的2024等分线，/、CP2,.......、C%m是//酸的2024等分

线,

2022220222

：.ZP.BC=------NABC,NP.BC=-------NABC,ZPCB=-------ZACB,苗22c台=----ZACB,

202420222024?2202420222024

20222022

.・・NBP1c=180°-ZRBC-ZRCB=180°-^^AABC-^^NACB

20242024

2022/、2022/、22022

=180。-----(ZABC+ZACB}=1SO0----------(180。—N4)-------180°+-------/A,

20241720241720242024

22

^BP2Q22C=180。—“2022BC-ZP202KB=180。-----/ABC----------ZACB

202220242024

2?20222

180°---------(ZABC+ZACB}=1SO0---------(180。—//)=-----180°+-------,

2024172024v720242024

2202220222

/BP2c+NBRo22c=-180°+------ZA+--------180°+------ZA=180°+ZA

2024202420242024

,:/BP?C+/BP2022c=7/A.-.180°+ZA=7ZAf=30°,

同理可得/J86n2C=2|j80o+2jN/=90o+Jx3()o=105。.故答案为：105

乙u4r*乙u4(乙

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）

模型解读

双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。

模型证明

1）一个内角一个外角平分线的夹角模型

条件:如图1,在AABC中,AP平分N48C,CP平分/NC8的外角，两条角平分线相交于点P；结论：/尸=.

证明：•:BP、CP平分N4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

AZP=ZPCD-ZPBC=-（./ACD-/ABC）=-ZAO

22

2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）

条件：如图2,ZA=a,AABC.N/CD的平分线相交于点4,4"，与。的平分线相交于点6，AP.BC,

/8CD的平分线相交于点g……以此类推；结论：的度数是0.

证明：；BPi、CPi平分/4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

ZPi=ZPiCD-ZPiBC=-CZACD-ZABC)=-ZA=Lao同理.ZP2=-ZPI=—a,ZP„=^L

222'2222"

模型运用

1.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，OG平分NMCW,点48是射线CW,ON上的点，连接按

以下步骤作图：

M

G

/cX/、

o"BL）N

①以点3为圆心，任意长为半径作弧，交于点C,交BN于点。；

②分别以点C和点。为圆心，大于1C。长为半径作弧，两弧相交于点E;

2

③作射线BE,交OG于点P.若a13N=140。，AMON=50°,则/OP3的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根据条件可知5P平分N4BN,则可求出/P8N,根据OG平分NMON求出/8OG,进而利用

2PBN=NPOB+ZOPB即可求出答案.

【详解】由作法得8P平分乙4BN,/尸8"=,乙48"=工'140。=70。，

22

OG平分AMON，：.ZBOP=-ZNOM=-x50°=25°,

22

,?ZPBN=ZPOB+ZOPB,/.ZOPB=ZPBN-ZPOB=70°-25°=45°.故选B.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题

的关键.

例2.（2023・河北•九年级专题练习）问题情境：如图1,点。是△48C外的一点，点E在3C边的延长线上,

BD平分/ABC,CD平分/4CE.试探究与//的数量关系.

图1图1图3

（1）特例探究：如图2,若△/8C是等边三角形，其余条件不变，则/。=；

如图3,若A/BC是等腰三角形，顶角N/=100。，其余条件不变，则；这两个图中，与//度

数的比是；（2）猜想证明：如图1,△/3C为一般三角形，在（1）中获得的/。与//的关系是否还

成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由.

【答案】（1）30。；50。；1:2（2）成立，见解析

【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用//和表示出//CE,再根据

角平分线的定义得到N4CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用//和表示出//CE,再根据角平分线

的定义得到N/CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【详解】(1)解：如图2,是等边三角形，.•.N/BC=60。，ZACE=120°,

QBD平分NABC,CD平分NACE.ZDBC=30°,ZDCE=60°,

■：ADCE=AD+ADBC,ZD=30°；

如图3,•••MBC是等腰三角形，=100°,ZABC=ZACB=4CP,ZACE=140°,

QBD平分ZABC,CD平分NACE.ZDBC=20。,ZDCE=70°,

ZDCE=ZD+ZDBC,ZD=50°；故答案为30。，50°,1:2；

(2)解：成立，如图1,在A48c中，ZACE=ZA+ZABC,

在AD3C中，ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

;CD平分/4CE,BD平分N4BC,：.ZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

又：N4CE=NA+N4BC,2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由(1)x2-(2),：.2ZD+2ZDBC-(ZA+2ZDBC)=0,,-,ZA=2ZD.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答

是关键.

例3.(2023春•浙江•七年级专题练习)N/CD是A/BC的外角，N48C的平分线与//CD的平分线交于

点4，/48C的平分线与乙4q。的平分线交于点次，…，N/.TBC的平分线与乙品。。的平分线交于点

An.设贝！］“=_________,N4202i=_____________.

An

r较安10

【合茶】,五r

【分析】据角平分线的定义可得NAiBC=g/ABC,ZAiCD=yZACD,再根据三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和可得NACD=NA+NABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,整理即可求出/Ai的度数，

同理求出/A2,可以发现后一个角等于前一个角的根据此规律即可得解.

【详解】解：：AiB是NABC的平分线，AC是NACD的平分线，

.".ZAiBC=|ZABC,ZAiCD=yZACD,

XVZACD=ZA+ZABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,

Ay(ZA+ZABC)=yZABC+ZAi,.".ZA^yZA,

0n°nn

XA=0,/.aZAl=—,同理可得：Z^An=­,**•Z^A2021=^2021,故答案为：~^22021,

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角

平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的3是解题的关键.

模型3.双角平分线模型(双外角)

模型解读

双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90。与第三个角的一半的差。

模型证明

1)两外角平分线的夹角模型

条件：如图1,在ZUBC中，BO,CO是A/BC的外角平分线；结论：ZO=90°--ZA.

2

证明：•:BO、CO平分/CBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22o

AZ0=180°-(/OBC+/OCB)=180°-1(ZEBC+ZBCF)=180°-1CZA+ZACB+ZABC+

22

=180°-1(180°+//)=90°+!//。

22

2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

条件：如图2,BD平分/ABC,CD平分//C2的外角，两条角平分线相交于点。；结论：AD平分/CAD。

证明：如图3,过点。作DM_LA4、DNLAC、DHLBC,

'：BD平分N/BC,CD平分//C8的外角，

：.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分NG4D。，

模型运用

例1.(2023.广东八年级期中)如图，在△NBC中，ZB=46°,三角形的外角ND/C和//C/的平分线交于

点、E,则N/EC=.

【答案】67°.

【分析】先根据三角形内角和定理计算出NB/C+/8(N=180。-48=134。，则利用邻补角定义计算出/

DAC+ZFCA=\SQ°-ZBAC+1800-ZBCA=226°,再根据角平分线定义得到JNEC4=g

ZFCA,所以NE/C+NEC4=g(NDAC+NFCA)=113。，后再用三角形内角和计算N/EC的度数.

【详解】解：VZB=46°,ZBAC+ZBCA=ISO0-46°=134°,

AZDAC+ZFCA=\S0°-ZBAC+1S00-/8。=360°-134°=226°,

■:AE和CE分别平分乙D/C和ZFCA,/EAC=|ZDAC,ZECA=yZFCA,

AZEAC+ZECA=^(ZDAC+ZFCA)=113°,

ZAEC=ISO°-CZEAC+ZECA)=180°-113°=67°.故答案为：67°.

【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质.在本题解题过程中，有

些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算(如：NBAC+NBCA,NDAC+NFCA),故掌

握整体思想是解决此题的关键.

例2.(2023•安徽宿州•八年级校联考期末)(1)如图(a),BD平分/ABC,CO平分

①当N/=60°时，求，。的度数.②猜想//与/。有什么数量关系？并证明你的结论.

(2)如图(b),8。平分外角/C8P,CD平分外角/BC0,(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确，请

你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

A

图（a）

【答案】（1）①120。；②/D=90°+g//；证明见解析；（2）不正确；ZD=90°-^ZA

【分析】（1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可；

②结论：ZD=90°+yZA.根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可；

（2）不正确.结论：/D=9（F-g/A.根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理三角形的外角的性质

计算即可.

【详解】解：（1）①•.•//=60。，ZABC+ZL4C5=180°-60°-120S

VZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,ZDBC+ZDCB=-x120°=60°,NO=180°-60°=120°；

222

②结论：ZD=90°+-Z^.理由：ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

222

ZDBC+ZDCB=|x（ZABC+ZACB）=；（180°一//）=90°-^ZA

ZD=180°-（90°~^ZA）=90°+^ZA；

（2）不正确.结论：ZD=90°.理由：•;NDBC=（NPBC,NDCB=；NQCB,

:.NDBC+NDCB=gx（ZPBC+NQCB）=g（N4+N4CB+N4+N4BC）=1（180°+Z^）=90°+^ZA,

ZD=180。-（90。+；〃=90。-；4.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

例3.（2023秋・贵州遵义•八年级校考阶段练习）如图（1）,ZCBF,乙4CG是的外角，N/CG的平

分线所在直线与NABC的平分线BD交于点与ZCBF的平分线BE交于点E.⑴若乙4=70°,则/D=_度;

（2）若44=£，求/£的度数；（3）在图（1）的条件下，沿8/作射线W,连接如图（2）.求证：AD

平分4c.

M

ADD

E

图⑴图⑵

【答案】(1)35。(2)90。-：7(3)见解析

【分析】(1)由角平分线的定义得到〃CG=12/CG,ZDBC=-ZABC,然后根据三角形的内角和即可

22

得到结论；(2)根据角平分线的定义得到/D3C=」443C,NCBE=g/CBF,于是得到/4)8£=90。,

22

由(1)知根据三角形的内角和得到/£=90。-1a；(3)过点。作。于点H,DKVBM

22

于点K,。/_1/。于点/,由角平分线的性质可得，DK=DH,DI=DH,则DK=。/,即可得到结论.

【详解】(1)解：平分4CG,BD平分/ABC,：.ZDCG^-ZACG,ZDBC^-ZABC,

22

VZACG=ZA+ZABC,/.2ZDCG=ZACG=ZA+/ABC=ZA+2NDBC,

,/NDCG=ZD+NDBC,2ZDCG=2ND+2NDBC,

:.NA+2NDBC=2ND+2NDBC,：.ZD=-AA=35°；故答案为：35°

2

(2)BD平分ZABC,BE平分NCBF,；.NDBC=-ZABC,NCBE=-ZCBF,

22

?.ZDBC+NCBE=1(ZABC+ZCBF)=90。，；.NDBE=90°,

ND=—N4,Z_A.=a,*'•ND=-a,NE=90°—cc；

222

(3)如图2,过点。作。H_L3G于点"，DKLBM于点、K,D/_L/C于点/,

图⑵

:BD平分/4BC,CD平分UCG,?.DK=DH,DI=DH,?.DK=DI,

:DKLBM于点K,D/_L/C于点/,平分4c.

【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运

用三角形外角的性质是解题的关键.

例4.（2023•甘肃天水•七年级统考期末）已知在A/BC中，图1,图2,图3中的AABC的内角平分线或外

角平分线交于点O,

（1）如图1,点。是A/BC的两个内角平分线的交点，猜想与之间的数量关系，并加以证明.

（2）请直接写出结果.如图2,若//=60。，4/台。的内角平分线与外角平分线交于点O,则/。=；

如图3,若乙4=60。，A/BC的两个外角平分线交于点。，则/。=.

【分析】（1）根据角平分线的性质可以得到=NOCB=a4CB,再根据三角形的内角和

定理得到和△O8C的三个内角的和是180。，对角度进行等价代换即可；

（2）图2中，根据角平分线的性质可以得到=AOCM=\^ACM,再根据三角形外角的

性质得到/O=/OCM-/O3C和4=//CN-/ABC,最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角

平分线的性质可以得到NOBC=|APBC,AOCB=；NQCB,再根据三角形的内角和定理得到^ABC和

△OBC的三个内角的和是180。，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可.

【详解】解：（1）ZO=90°+-ZA.

2

证明：：台。平分//3C,CO平分//C3,/.AOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

NO=180°-（NO3C+NOC2）=180。-生/g+；//0“

=180°-1（ZABC+Z^C5）=180°-1（180°-Z^）=90°+：//.即/0=90。+3//.

(2)30°；60°.如图2所示:

:BO平分/ABC,CO平分4cA/,AZOBC=-ZABC,ZOCM=-ZACM,

22

NO=ZOCM-ZOBC=-ZACM--ZABC=-(AACM-NABC)=-ZA.

2222

,/4=60。/.Z0=1z^=1x60°=300.即/O=30。.

如图3所示：•；BO平分NPBC,CO平分N0C2,AZOBC=-ZPBC,ZOCB=-ZQCB,

~22

ZO=180°-(ZOBC+ZOCB)=18O°—(g/PBC+gN0C“

=180°-1(180°-Z^JBC)+1(180°-Z^CS)=；N4BC+；N4cB

=^(ZABC+ZACB)=1(180°-Z^).

,?N/=60°/.ZO=1(180°-Z^)=1x(180°-60°)=60°.

即NO=60。.故答案为：30°；60°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是

解题关键，特别注意等价代换的使用.

习题练模型

1.（2023春•山东泰安•七年级统考期末）如图，^ABC的外角NACD的平分线CP与内角/ABC的平分线BP

交与点P,若/8PC=40。，则/。4尸=（）

A.45°B.60°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根据外角与内角性质得出NA4c的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明

RtAPK4^RtAPAM(HL),得出/=尸，即可得出答案.

【详解】解：延长民4,作PN工BD,PFLBA,PMLAC,设/PCD=x。，

•；CP平分/4CD,ZACP=ZPCD=,PM=PN,

■：BP^ZABC,AABP=ZPBC,PF=PN,PF=PM,

NBPC=40°,N4BP=NPBC=ZPCD-NBPC=&-40>,

:.ZBAC=ZACD-ZABC=2v°-(r°-40>)-(r°-4CP)=8CP,ZCAF=100°,

—PA

在Rt△0E4和RtZVW中，

[PM=PF

RtAPK4^RtAPA£4(HL),/.ZFAP=ZPAC=50°.故选：C.

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平

分线的性质得出尸M=PN=PF是解决问题的关键.

2.（2023•江苏•八年级统考期末）A43c中，点。是A48C内一点，且点。到A43c三边的距离相等；乙4=40。，

贝ijNBOC=()

C.130°D.140°

【解答】解：到三角形三边距离相等，.是内心，

即三条角平分线交点，AO,BO,C。都是角平分线，

ZCBO=ZABO=-/ABC,ZBCO=ZACO=-ZACB,

22

NABC+NACB=180°-40°=140°,ZOBC+ZOCB=70°,

ZJBOC=180°-70°=110°.故选：A.

3.（2023秋•四川绵阳•八年级统考期末）如图，在A/BC中，NN=30。，£为8C延长线上一点，NABC与

//CE的平分线相交于点。，则/。等于（）

15°C.20°D.30°

【答案】B

［分析］先根据角平分线的定义得到Z1=Z2,Z3=Z4,再根据三角形外角性质得/I+/2=/3+/4+44,

Z1=Z3+ZD,则2/1=2/3+44,利用等式的性质得到,然后把的度数代入计算即可.

【详解】解答：解：•••UBC的平分线与N4CE的平分线交于点。，.•./1=N2,Z3=Z4,

VZACE=ZA+ZABC,即Nl+N2=N3+N4+4,二2/1=2/3+//,

：Nl=/3+/D,/.ZD=-Z^=-x30°=15°.故选：B.

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【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180。

和三角形外角性质进行分析是解题关键.

4.（2023春・广东•七年级专题练习）如图，已知AABC,O是AABC内的一点，连接OB、OC,将/ABO、

/ACO分别记为Nl、Z2,则/I、/2、/A、/O四个角之间的数量关系是（）

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【分析】连接NO并延长，交于点。，由三角形外角的性质可知乙ZCOD=ZCAD+

Z2,再把两式相加即可得出结论.

【详解】解：连接/O并延长，交3c于点。，

：N3OD是A/OB的外角，NCOD是ZUOC的外角，

AZBOD=ZBAD+Z10,NCOD=NC4D+N2②,

①+②得，ZBOC=（ZBAD+ZCAD）+Z1+Z2,EPZBOC=ZBAC+Z1+Z2.故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答

此题的关键.