2025年新高考数学专项复习：直线与圆二十一大重点题型（解析版）

专题2-3直线与圆二十一大重点题型汇总

。常考题型目录

题型1倾斜角与斜率..............................................................1

题型2直线与线段相交问题........................................................5

题型3直线方程..................................................................9

题型4直线过定点问题...........................................................13

题型5直线的位置关系...........................................................18

题型6距离问题.................................................................22

题型7与直线有关的对称问题.....................................................25

题型8与直线有关的最值问题.....................................................31

题型9圆的方程.................................................................38

题型10点与圆的位置关系.......................................................44

题型11直线与圆的位置关系......................................................49

题型12位置关系与参数问题......................................................53

题型13弦长问题................................................................57

题型14圆的切线与切线长问题....................................................63

题型15圆与圆的位置关系........................................................69

题型17圆的公共弦问题..........................................................73

题型18圆的公切线问题..........................................................77

题型19与圆有关的最值问题......................................................81

题型20圆的轨迹问题............................................................88

题型21反射光线问题............................................................96

但题型分类

题型1倾斜角与斜率

【例题1](2022秋•山东聊城•高二山东聊城一中校考期中)直线3x-巡y-2=0的倾斜

角a=()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.

【详解】由题意可得直线3x-Wy-2=。的斜率为四,

直线倾斜角为a,00<a<180°,则tana=V3,

故a=60°,

故选：B

【变式1-11（2022秋•浙江绍兴•高二校考期中）若。eR,则直线y=xcos0-1的倾斜角a

的取值范围为（）

A.[py]B.[05）呜号

C.[0,JUD.[0,JU（=,^]

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合余弦函数的值域求出直线斜率的范围，再利用斜率的定义求解

作答.

【详解】直线y=xcosd-1的斜率々=cos0G[-1,1],显然此直线倾斜角aW1,

因此0<tana<1或一1<tana<0,解得0<a<或把<a<TT,

44

所以直线y=xcos0-1的倾斜角a的取值范围为[0;U序砌

故选：C

【变式1-2】（2022秋福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为6的直

线/与直线x+V3y-3=。的夹角为60。，则8的值为（）

A.30。或150。B.60。或0。C.90。或30。D.60。或180。

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为0,根据tans=-净导到0=150°,根据夹角得到答案.

【详解】x+V3y-3=0,即y=-yx+V3,

设直线的倾斜角为9,（Pe[o,n）,贝！ItanR=,（P=150。,

夹角为60。,故，=90。或6=30°.

故选：C.

【变式1-3X2022秋•安徽黄山•高二屯溪一中统考期末股直线，的斜率为k<fc<l,

则直线珀勺倾斜角的取值范围为（）

unB

A-[°a）[y<）•[。,加（泞）

）D.[O,H）U[»

【答案】D

【分析】由斜率的定义及正切函数的图像和性质即可求得.

【详解】设直线珀勺倾斜角为8,则eG[0,TT）

当斜率-孚wk<1时，由斜率的定义及正切函数的图像和性质可知：

直线/的倾斜角的取值范围为M）u臀,TT）.

故选：D

【变式1-4]（2022秋・安徽亳州•高二校联考期末）过两点力（韬-3即）、8（2成-1）的直线

的倾斜角为45。，则m的值为.

【答案】4

【分析】根据斜率公式得到题-=-^―=tan45。=1,解得答案.

TTL—ZTTI—3

m

【详解】kAB=m2^_3=tan450=1,

解得m=4或m=-1（舍去）,

故m=4.

故答案为：4

【变式1-5]（2022秋・安徽亳州•高二安徽省亳州市第一中学校考期末潟直线3x-V3y=0

绕着原点逆时针旋转90。，得到新直线的斜率是（）

A-TB.聋C.8D.-V3

【答案】B

【分析】由题意知直线的斜率为次,设其倾斜角为a,将直线绕着原点逆时针旋转90。，得

到新直线的斜率为tan（a+90。），化简求值即可得到答案.

【详解】由3x-V3y-0知斜率为g,设其倾斜角为a,则tana=W,

将直线3“一岛=0绕着原点逆时针旋转90。,

则tan(a+90°)sin(a+90°)_cosa1V3

cos(a+90°)-sinatana3

故新直线的斜率是-冬

故选：B.

【变式1-6]（2023春•河南南阳•高二统考期末）直线a,b,c的斜率分别为2,1,-2,倾

斜角分别为a,£,y,则（）

A.a>£>yB.y>a>0C.y>0>aD.a>y〉0

【答案】B

【分析】由于k=tanx,xe[0,n）,由正切函数的图像性质可得倾斜角a,£,逸大小关系.

【详解】由于k=tanx,%e[0,n）,x中：,

由正切函数的图像性质可知，当xe（0,以时，k为增函数，且k>0,

由2>1,可知]>a>0>0；

当x6aTT）时，k为增函数，且k<0,

-2<0,所以y>/

所以y>a>S,选项B正确.

故选：B

【变式1-7】（2023春•宁夏固原•高二校考期中）已知直线y=3x+1的倾斜角为a,则

sin（a+1）=__.

【答案】噂

【分析】根据直线的斜率求出倾斜角的正切值，结合三角函数平方关系可得cosa,再利用诱

导公式可得答案.

【详解】直线y=3x+1的斜率为3,所以tana=3>0,所以0<a<；,

.(-/io

(ozy_Sina_&cosa=------

由tanna—而-3解得io,

VIsi-nz2a+।cos2a=41si.na=3-V-1-。

l10

贝Hsin(a+1)=cosa=呼.

故答案为：曹.

【变式1-8](2023春・江西宜春•高二江西省丰城拖船中学校考期末)已知4(4,8),B(2,4),

C(3,y)三点共线，贝物=.

【答案】6

【分析】利用%B=%。可得出关于V的等式，由此可求得实数y的值.

【详解】由于4(4,8)、8(2,4)、C(3,y)三点共线,则心=施c，

即分=衿，解得y=6.

故答案为：6.

题型2直线与线段相交问题

【例题2](2023秋•新疆昌吉•高二奇台县第一中学校考期末)设点4(2,-3,-2),

若直线I过点P(l,l)且与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值范围是()

A.fc>|或k<-4B.fc>|或k<

C.-4<k<-D.--<fc<4

44

【答案】A

【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】如图所示：

依题意，kPA=41=-4,kPB=1=|,

要想直线I过点P(l,l)且与线段AB相交,

则k>:或k<-4,

故选：A

【变式2-1](2023秋•江西抚州•高二统考期末)已知坐标平面内三点

71(-1,1),B(1,1),C(2,V3+1)，。为△ABC的边AC上一动点，则直线斜率k的变化范围是

()

A.[o,y]B.(-oo,0]U惇+8)

C.[y,Vs]D.(-oo,0]U[V3,4-00)

【答案】D

【分析】作出图象，求出AB,BC的斜率，再结合图象即可得解.

【详解】如图所示,

k

AB=-=0,kBC==V3,

因为。为△ABC的边ac上一动点，

所以直线8。斜率k的变化范围是(-8,0]U[遮,+8).

故选：D.

【变式2-2](2023秋•广东深圳•高二统考期末)已知2(2,-3)、3(2,1),若直线/经过点

P(0,-l),且与线段AB有交点，则/的斜率的取值范围为()

A.(—8,—2]U[2,+8)B.[—2,2]

C.(-00,-1]u[1,+oo)D.[—1,1]

【答案】D

【分析】作出图形，数形结合可得出直线珀勺斜率的取值范围.

【详解】过点P作PC1AB,垂足为点C,如图所示：

设直线/交线段4B于点M,设直线/的斜率为k,且％==—1,gm=三=1,

u—zz—U

当点M在从点a运动到点c(不包括点c)时，直线/的倾斜角逐渐增大，

此时一1=kPA<k<0■,

当点M在从点C运动到点8时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时0<k<kPB^l.

综上所述，直线/的斜率的取值范围是[-1,4

故选：D.

【变式2-3](2023秋・安徽六安•高二六安一中校考期末)已知直线--y-k-1=。和以

M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为()

A.-i<fc<-B.-2</c<-

223

C.k<-3或k>jD.fc<-2或k>|

【答案】C

1

【分析】根据直线方程依-y-k-l=。得到恒过定点4(1,-1)，利用坐标得到弓斗

2

直线kx—y—k—1=。怛过定点4(1,—1),且=—|=|，由图可知,kW—1或k2|-

故选：C.

【变式2-4](2023秋•湖北武汉•高二统考期末)经过点P(0,-1)作直线I,且直线I与连接

点4(1,-2),B(2,l)的线段总有公共点,则直线I的倾斜角a的取值范围是

【答案】[0,=]U的)

【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线[与线段4B有公共点的直线珀勺斜率的范围

与倾斜角的范围.

【详解】解：如图，

••・4(1,一2),,P(0,-l),

1

2Jo°=T'kpB=竟='

则使直线/与线段48有公共点的直线/的斜率k的范围为ke[-1,1],

又直线倾斜角的范围是：[0,n),且k=tana

••・直线I的倾斜角的范围为ae[0用U的).

故答案为:[o,2u耳,n).

题型3直线方程

【例题3](2023春•湖北恩施•高二校考期末)过点4(2,3)且平行于直线2x+y-5=。的直

线方程为()

A.x—2y+4=0B.2x+y-7=0C.x—2y+3=0D.%—2y+5=0

【答案】B

【分析】由平行关系设出直线方程，再根据过点4(2,3),可得到答案.

【详解】•••所求直线与直线2*+y-5=0平行，

二可设所求直线方程为2x+y+c=0(c*-5),

又过点2(2,3),贝[|4+3+c=0,解得c=-7,

•••所求直线方程为2x+y-7=0.

故选：B.

【变式3-1](2021秋•安徽合肥•高二安徽省肥东县第二中学校考期末)直线1过点(-1,2)目

与直线2%-3y+4=。垂直，则/的方程是()

A.2%—3y+5=0B.3%+2y+7=0

C.3%+2y—1=0D.2%—3y+8=0

【答案】C

【分析】求出直线/的斜率，然后利用点斜式可写出直线珀勺方程，化为一般式可得出答案.

【详解】直线2X-3y+4=。的斜率为|,则直线/的斜率为-|,

因此，直线珀勺方程为y-2=—|(x+1),即3x+2y-1=0.

故选：C.

【变式3-2](2022春湖南衡阳•高二衡阳市一中校考期末)下列说法中，正确的是()

A.过点P(l,l)且在轴截距相等的直线方程为久+y-2=。

B.直线y=3x-1在y轴上的截距为-1

C.直线x++1=。的倾斜角为60°

D.过点(1,4)并且倾斜角为90。的直线方程为y-4=0

【答案】B

【分析】根据直线截距的概念、倾斜角与斜率之间的关系逐一判断即可.

【详解】对于A,过点且在轴截距相等的直线方程为x+y-2=0或x-y=0,

故A不正确；

对于B,y=3x-1,令x=0,可得y=-1,所以在y轴上的截距为-1,故B正确；

对于C,%-V3y+1=0=>y=yx+y,则直线的斜率k=tana=y,所以直线的倾斜

角为30。，故C不正确.

对于D,过点(1,4)并且倾斜角为90。的直线方程为x-1=0,故D不正确.

故选：B.

【变式3-3](2023秋・广东广州•高二广州市天河中学校考期末)已知直线Z：(2m+l)x+

(m+l)y+m=0经过定点P,直线，经过点P,且/'的方向向量2=(3,2),则直线1的方程

为()

A.2%—3y+5=0B.2%—3y—5=0

C.3%—2y+5=0D.3%—2y—5=0

【答案】A

【分析】直线/方程变为X+y+m(2x+y+1)=0,可得定点P(-1,1).根据1的方向向量

a=(3,2),可得斜率为|，代入点斜式方程，化简为一般式即可.

【详解】(2m+l)x+(m+l)y+m-0可变形为x+y+m(2x+y+1)=。，

解葭得,即「点坐标为ID

因为a=(3,2)=3(1,|),所以直线厂的斜率为|,又过点P(-1.1),

代入点斜式方程可得y-l=|(x+l),整理可得於-3y+5=0.

故选：A.

【变式3-4](2023秋・广东•高二统考期末羟过两条直线2x+y-8=。和x-2y+1=0的

交点，且垂直于直线3久-2y+4=。的直线的方程是()

A.2%+3y—13=0B.2%+3y—12=0

C.2%—3y=0D.2%—3y—5=0

【答案】B

【分析】联立方程计算交点为(3,2),根据直线垂直得到k=-|,得到直线方程.

【详解】-8=0(解得号=3,故直线交点为(3,2),

直线3x-2y+4=0的斜率七=|,故垂直于它的直线斜率k=-|,

故所求直线方程为y=-|(x-3)+2,整理得到2x+3y-12=0.

故选：B

【变式3-5](2023秋・浙江嘉兴•高二统考期末)已知直线1与直线2x-y+2=。和小”+

y-4=。的交点分别为48,若点P(2,0)是线段AB的中点，则直线4B的方程为.

【答案】尤+4y-2=0

【分析】设4Q1，2/+2),B(X2,4-X2),由中点公式列出方程组,求得X]=号,山=苫，

进而求得直线的斜率为k=-；,结合直线的点斜式方程，即可求解.

4

【详解】因为直线/与直线4：2%-y+2=。和%：%+y-4=0的交点分别为4B,

设Z(%i，2/+2),/如4一冷)，

因为点P(2,0)是线段4B的中点，由中点公式可得[勺二:=0，

解得％=—1,&=?,所以直线4B的斜率为k=匕二出二=-i

33%214

所以直线4B的方程为y-0=—[(x-2),即x+4y-2=0.

故答案为：久+4y—2=0.

【变式3-6](2023春•江西吉安・高二井冈山大学附属中学校联考期末)已知△ABC的三个

顶点分别为力(3,-4),B(6,0),C(-5,2).

(1)求边AC上的高所在直线的方程；

(2)求边AC上的中线8E所在直线的方程.

【答案】⑴4x—3y—24=0

(2)x—7y—6—0

【分析】(1)由两点式斜率公式求出ac斜率，利用垂直关系得8。的斜率，代入点斜式即可

求解；

(2)求出点E的坐标为(-1,-1),由两点式斜率公式求出BE的斜率，代入点斜式即可求解.

【详解】(1)由题意得矶=三4=-L且总-kAC=-1,所以峪。=*

则边4c上的高BD所在直线的方程为y=1久-6),化简得4x-3y-24=0.

(2)由题知4C的中点E(—1,-1),所以/CBE=之,

则边AC上的中线BE所在直线的方程为y=-6),化简得x-7y-6=0.

【变式3-7](2023秋•浙江绍兴・高二统考期末)直线。经过点4(1,-2)与点8(2,1),经过点

P(0,-1)的直线小

⑴求直线。的方程；

(2)若点4B到直线1的距离相等，求直线"的方程.

【答案】(l)3x-y-5=0.

(2)3x—y—1—0或x—3y—3=0

【分析】(1)两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程；

(2)讨论/"/小，2过48中点两种情况，两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程；

【详解】(1)由题设3=1(2)=3,所以匕：y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.

(2)①若/"/l2,则，2：y+1=3%,整理得％3x-y-1=0；

②若％过力B中点(|,一|)，于是k%=zJJ=［，则％：y+l=~x，整理得：L：x-3y-3=0.

2

所以直线)的方程为3x-y-1-。或k一3y-3=0.

题型4直线过定点问题

【例题4］(2023秋•江西宜春•高二统考期末)直线kx-y+1=3fc,当k变动时，所有直

线恒过定点坐标为()

A.(0,0)B,(0,1)C,(3,1)D.(2,1)

【答案】C

【分析】整理所得直线方程为-3)-y+1=0,根据题意，即可求得结果.

【详解】把直线方程整理为3*-3)—y+1=0,

令］。二,故仁：:,所以直线恒过定点为(3,1).

故选：C.

【变式4-1】(2023秋•重庆北暗高二统考期末)若直线=k(x+2)与直线%关于点(1,2)

对称，则直线L恒过的定点为()

A.(4,0)B.(4,2)C.(2,4)D.(4,4)

【答案】D

【分析】求出直线。恒过的定点，并求出其关于点(1,2)对称点即可.

【详解】直线=k(x+2)恒过定点(-2,0),

又(-2,0)关于点(1,2)对称点为(4,4)

所以直线%恒过的定点为(4,4)

故选：D.

【变式4-21多选)(2023秋•湖南益阳•高二统考期末)已知直线/：x+y-3+m(2x-y)=

0,其中小为实常数，则()

A.直线/过一定点

B.无论m取何值，直线/不经过原点

C.当m>0时，直线1与y轴交于它的负半轴

D.当爪=0时，直线I与坐标轴围成的三角形的面积是1

【答案】ABD

【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解.

【详解】对于A,因为直线1的方程为x+y-3+m(2%—y)=0,令『(二二。，

解得：［；二;，所以直线I过定点(L2),故选项A正确；

对于B,若直线I经过原点，贝！］0+0-3+mx0=-3大0,所以无论m取何值，直线［不

经过原点，故选项B正确；

对于C,令x=。可得:y=-^-(m丰1),当m>1时,y<0，直线/与y轴交于负半轴；当爪=1

1—771

时，直线/与y轴没有交点；当爪<1时，y>。直线/与y轴交于正半轴，故选项C错误；

对于D,当m=。时，直线/的方程为：x+y-3=0,与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,3),

所以直线/与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项D正确，

故选:ABD.

【变式4-3](多选)(2023秋•山东威海•高二统考期末)已知直线Z：ax-y-a+3=

0(aeR),则()

A./恒过定点(0,3)B.当a23时，/不经过第二象限

C.1与直线x+ay+1=。垂直D.当a=3时，点(3,2)到1的距离最大

【答案】BC

【分析】根据点斜式方程判断A；结合当a>3时，直线(与x轴的交点横坐标为1-56(0.1]

判断B；根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根据直线/与过点Q(3,2)和P(l,3)的直线垂

直时，点(3,2)到珀勺距离最大求解判断D.

【详解】解：将直线/：ax—y—a+3=0(aeR)整理变形得/:y—3—tz(x—l)(aeR),

对于A选项，由点斜式方程得直线Z:a久-y-a+3=0(aeR)过定点P(l,3),故A错误；

对于B选项，当a>3时，直线l与x轴的交点横坐标为1-|€(0,1],又直线(过定点(1,3),

所以直线，不经过第二象限，故B选项正确；

对于C选项，由于ax1+(-1)xa-0恒成立，所以/与直线久+ay+1-。垂直，故C选

项正确；

对于D选项，当直线/与过点Q(3,2)和P(l,3)的直线垂直时，点(3,2)到2的距离最大，此时

“=-1,又因为直线/的斜率为的=a,故当a=2时，点(3,2)到/的距离最大,故错误；.

故选：B

【变式4-4](多选)(2023春•江西抚州・高二江西省乐安县第二中学校考期末)已知直线

I:(a?+a+l)x—y+1=0,中a6R，则()

A.直线I过定点(0,1)

B.当a=-1时，直线I与直线久+y-。垂直

C.若直线I与直线x~y-。平行，贝！Ja=0

D.当a=0时，直线I在两坐标轴上的截距互为相反数

【答案】ABD

【分析】A.令x=0判断；B.由两直线的位置关系判断；C.由两直线的位置关系判断；D.

由直线的方程判断.

【详解】对于A,当％=0时，y=1,与a的取值无关,故直线I过定点(0,1),所以A正确；

对于B,当。=一1时，直线I的方程为x-y+1=0,其斜率为1,

而直线久+y=。的斜率为-1,

所以当a=-1时，直线I与直线x+y=。垂直，所以B正确；

对于C,若直线I与直线久-y=。平行，则a?+a+1=1,解得a=。或a=-1,所以C

错误；

对于D,当a=0时，直线I的方程为％-y+1=0,横截距和纵截距分别是-1,1,互为相

反数，所以D正确.

故选：ABD

【变式4-5](2023秋・河北唐山•高二唐山一中校考期末)直线Z：(1+4A)x+(2-A)y-7-

2=0(4eR)恒过的定点是.

【答案】(1,3)

【分析】依题意可得(4x-y-l)A+(%+2y-7)=0,再令I;二:，解得即可.

【详解】解:直线I.(1+4A)x+(2—A)y—7—A=0(AGR),

即(4x-y-l)A+(x+2y-7)=0,令~7=0'解得:3，

所以直线1恒过定点(1,3).

故答案为：(1,3)

【变式4-6](2022秋广东深圳•高二统考期末)已知直线/：(m+2)%-(2m+l)y-3=

0(meR),直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点.

⑴证明：直线I过定点；

⑵已知点P(-1,-2),当可•丽最小时，求实数m的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)m=—|

【分析】(1)根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解；

(2)有(1),设直线方程为工+[=1,a>0,b>0,可得2+1,根据平面向量数量积

abab

的坐标表示和基本不等式中的用法可得直线I的方程，即可求解.

【详解】(1)已知直线1：(m+2)x-(2m+l)y-3=0(mGR),

则(%—2y)m4-2x—y—3=0,

由卜二7Uo,解得忧3

即直线I过定点(2,1)；

(2)设直线的方程为；+?=l,a>0,b〉0,

则2(a,0),B(0,b),又直线I过定点(2,1),

则鸿=1，又点P(T-2),则

同.丽=(a+l,2)-(l,b+2)=a+2b+5=(|+1)(a+2b)+5=9+[+J>9+

2/-x-=13,

7ab'

当且仅当?=耨％=2b即a=4,b=2时取等号，

所以直线I的方程为x+2y—4=0,

所以直线I过(4,0),即4(m+2)—3=0,

解得m=-1

【变式4-7](2022•全国•高二期末)已知直线/：kx-y+2+4k^0(keR).

(1)若直线/不经过第三象限，求k的取值范围；

(2)若直线I交X轴的负半轴于点4，交y轴的正半轴于点B,。为坐标原点，设AAOB的面积为S,

求S的最小值及此时直线1的方程.

【答案】⑴H，。］

⑵S的最小值为4,此时直线珀勺方程为y=1%+4

【分析】(1)根据直线不经过第三象限以及直线所过定点，求得k的取值范围.

(2)求得S的表达式,利用基本不等式求得S的最小值，进而求得直线/的方程.

【详解】(1)直线上kx—y+2+4k=0(kER)fy=k(x+4)+2,

直线I过定点E(-4,2),k=~~=~~

0E—4Z

若直线，不经过第三象限，所以-1wk<0,

即k的取值范围是［-go］

(2)直线Z:kx—y+2+4k=0(keR),y=k(x+4)+2,直线/过定点E(—4,2),斜率存

在，

依题意，直线［交x轴的负半轴于点2,交y轴的正半轴于点5。为坐标原点，则k>0,

由kx—y+2+4k=0,令久=0，得y=2+4k；令y=0彳导％=——4,

所以4(一：一4,0),8(0,2+4外，

所以S=|xg+4)x(2+4k)=g+4)x(1+2k)

=8+声8k28+2J.8k=16,

当且仅当:=8k,k=3寸等号成立，

此时直线/的方程是y=|(%+4)+2=|%+4.

题型5直线的位置关系

【例题5］(2023秋•山东济南•高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末)已知直线中值乂+

y-1=。，若直线G与4垂直，则"的倾斜角为()

A.30°B.60°C,120°D.150°

【答案】A

【分析】由直线％与匕垂直得到L的斜率的z，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.

【详解】因为直线)与0垂直，且的x=-V3,

所以曷1x。=一1,解得的z=y，

设L的倾斜角为a,tana=y,所以a=30°.

故选：A.

【变式5-1](2023春・贵州安顺•高二统考期末)已知直线％：ax+(a+2)y+1=032：

x-ay+3=0,其中aeR,则"a=-1"是"lr1l2"的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线垂直求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】直线4：ax+(a+2)y+1-0,l2'x—ay+3=0，由％±l2，得a—a(a+2)=0,

解得a=。或a=-1,

所以"a=-1"是Z1的充分不必要条件.

故选：C

【变式5-2](2023秋・山东德州•高二统考期末)已知直线k：x+(a-4)y+1=0,Z2：ax+

5y+5=。且I//%,则实数a的值为()

A.5B.1C.5或一1D.—1

【答案】D

【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.

【详解】直线久+(a-4)y+1-0,l2：ax+5y+5-0,由a(a—4)—5=。解得a=5或

a——1,

当a=5时，直线人:尤+y+1=。与%：5x+5y+5=。重合，不符合题意，

当a=-1时，直线k：x-5y+1-。与%：%-5y-5=0平行，

所以实数a的值为-1.

故选：D

【变式5-3】(2023秋河南平顶山•高二统考期末)已知血CR,"直线4：g+y=0与

2

Z2：9x+my—m—1-0平行”是=±3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据平行的成比例运算即可求解.

【详角单】直线mx+y=。与%：9%+my—m2—1-0平彳亍

所以62=9,

解得m=±3,

经检验，m=±3均符合题意，

故选：C.

【变式5-4](2023秋•北京西城•高二统考期末)设4(-3,2),B(1,-4),则过线段4B的中点,

且与力B垂直的直线方程为.

【答案】2%-3y-1=0

【分析】求出线段48的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.

【详解】因为4(—3,2),8(1,—4),所以线段AB的中点。(一1,一1)，且%B=三三=一|.

所以与4B垂直的直线的斜率为k=--i-=-^=|,

所以过线段4B的中点，与48垂直的直线方程为y+l=|(x+l),BP2x-3y-1=0.

故答案为：2久—3y-1=。

【变式5-5](2023春・上海宝山•高二统考期末)已知直线比+3y+l=0,+

(m+2)y+2m—1=0.

(1)若4〃%,求实数小的值；

(2)若直线"在两个坐标轴上的截距相等，求实数M的值.

【答案】⑴m=-3

⑵-1或日

【分析】(1)根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；

(2)根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解.

【详解】(1)直线+3y+1=0,l2：x+(m+2)y+2m-1=0.

则+2)=1x3,解得m---3或m=1,

当m=1时/i：x+3y+l=0/2：x+3y+l=0,则直线二，%重合，不符合题意；

当m=-3时，Zi：-3x+3y+l-0,l2：x-y-7-0,则直线4不重合，符合题意，

故m=-3.

(2)当2nl-1=0,即m=(时，％：%+，=。，直线)在两坐标轴上的截距为。，

满足直线％在两个坐标轴上的截距相等；

当27n—1=#0且zn丰—2时，

则直线"在左轴上的截距为1-2m,在y轴上的截距为震,

由题意可知，1-2m=竦詈，解得m=-1，

当血=-2时直线0:%=5,显然不符合题意，

综上所述，m=-1或].

题型6距离问题

【例题6】(2023春•湖北咸宁•高二统考期末)已知O为坐标原点,直线"：x+my-2=0

与G：mx-y+2m-0交于点P,则|OP|的值为.

【答案】2

【分析】根据两直线经过定点，即可根据加力0和m=0,利用斜率得垂直关系即可分情况

求解.

【详解】直线4过定点4(2,0)过定点8(-2,0),

当小牛0时，两直线的斜率分别为七=-A,卜2=6，七七=-1,故4P1BP,从而。P=

*=2；

当爪=。时，易求得P(2,0),此时|OP|=2,

综上可知，|OP|=2.

故答案为：2

【变式6-1](2023秋・广西河池•高二统考期末)已知直线x+ay+2=0,l2-.2x+4y+

3=。相互平行，则小"之间的距离为()

A.-B.匹C.—D.-

10552

【答案】A

【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出a的值，再由两平行线之间的距离公式计

算即可.

【详解】因为直线人：％+ay+2=0；%：2%+4y+3=。相互平行,

所以2a-4=07解得a=2,

所以匕:％+2y+2=0,即2%+4y+4=0,

所以i%之间的距离d=黑=系

故选：A

【变式6-2](多选)(2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考期末)已知

2(3,4),B(—6,—3)(4B生2)两点到直线/:ax+y+1=。的距离相等，贝必的值可能为()

A-4C.-lD.l

【答案】AD

【分析】直接利用两点距离公式列方程计算即可.

【详解】•••4(3,4),8(—6,-3)Q4,8庄/)两点到直线Lax+y+1=。的距离相等，

.・・$=「"解得a"或a=l.

故选：AD.

【变式6-3](2022秋・广东广州•高二广州市从化区从化中学校考期末)过点P(l,2)引直线，

使力(2,3),B(4,-5)两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是()

A.3%+2y—7=0B.x+2y-5=0

C.3%+2y—7=0或4%+y—6=0D.3%+2y—7=0或％+2y-5=0

【答案】C

【分析】设所求的直线为2,则直线/平行于4B或直线，过线段4B的中点，分情况讨论即可求

解.

【详解】设所求的直线为2,则直线Z平行于28或直线1过线段48的中点，

因为4(2,3),8(4,—5),所以%B=~~~=—4,

所以过点尸(L2)且与48平行的直线为：y-2=-4(%-1)即4%+y-6=0,

因为4(2,3),8(4,-5),所以线段48的中点为(3,-1),

所以过点P(l,2)与线段4B的中点为(3,-1)的直线的方程为：y-2=言X(x-1),

即3x+2y—7=0,

所以这条直线的方程是：3x+2y-7=0或4x+y-6=0,

故选：C.

【变式6-4](2023春・北京海淀•高二清华附中校考期末)设4为动点P(cosasinJ)到直线x-

y-2=。的距离,则d的最大值为()

A.V2-1B.券C.1+V2D.3

【答案】C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

【详解】点P(cos8,sin。)到直线x-y—2=0的距离d=部含7=片T,

因为一1<cos(0+9w1,贝!I一/-2<V2COS(0+以-2W&-2,

所以当cos(。+=-1时dmax==1+V2.

故选：C

【变式6-5](2023春辽宁•高二校联考期末)已知函数y=-x+爪的图象与函数y=2*+1

和函数y=2X~2+1的图象分别交于A,B两点，若|AB|=V2,则m.

【答案】4

【分析】设4(久1，月),B(x2,y2),则/<犯，乃>先，根据距离公式及两点的斜率公式求

出修,即可求出4点坐标，再代入计算可得.

【详解】因为2、+1-(2X-2+1)=2、一2X~2=|x2x>0,

所以函数y=2才+1的图象恒在函数y=n2+1上方，

设a01，%),B(x2,y2),则<x2,yi>y21

2

由IABI=&可得(%1一冷)2+(yi-y2)=2,

又因为AB所在直线的斜率为g=-1,所以冷-XI=%-丫2=1,

%1—%2

因为二，所以为_%=(2%+1)_(2冷-2+1)=1,

即2右-2xi-1=1,解得=1,

因为丫1=2如+1=3,所以4(1,3),代入函数y=-x+m,可得m=4.

故答案为：4

【变式6-6](2022秋・上海金山•高二上海市金山中学校考期末)已知。为坐标原点，在直

线y=k(x-4)上存在点P,使得|OP|=2,则k的取值范围为—.

【答案】—当小三日

【分析】解不等式d=号*W2即得解.

【详解】由题得直线的方程为依-y-4k=0,

所以原点到直线的距离d=兽W2,

Vfcz+1

所以卜2W]

解得一手＜左4曰.

故答案为：-/WkW/

题型7与直线有关的对称问题

【例题7](2023秋•四川广安•高二统考期末)已知点A与点B(2,l)关于直线x+y+2=0对

称，则点A的坐标为()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(—3,—4)D.(—4,—3)

【答案】C

【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线%+y+2=。上且直线AB与直线

x+y+2=0垂直.

【详解】设4(3),因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线久+y+2=0上且直线

AB与直线x+y+2-。垂直,

出+"+2=0

x=-3

则22

3=1y=-4

x-2

即点A坐标为(—3,—4).

故选：C

【变式7-1](2023秋・湖北武汉•高二统考期末)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于

直线y=比对称，那么()

1-1

A.a==6B.a=-,b=-6C.a=3,h=-2D.a=3,b=6

【答案】A

【分析】由题意在y=ax+2上任取一点(0,2)，其关于直线y=%的对称点在y=3%-b上，

代入可求出b,然后在y=3久-b上任取一点，其关于直线y=%的对称点在y=a%+2上，

代入可求出a.

【详解】在y=ax+2上取一点(0,2),

则由题意可得其关于直线y=%的对称点(2,0)在y=3%-b上，

所以。=6-b,得b=6,

在y=3%-6上取一点(0,-6),

则其关于直线y