2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分训练（全国版）

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客,

并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

例题讲模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）..................................2

模型2.等边截等长模型（定角模型）...................................................5

模型3.等边内接等边..................................................................7

习题练模型］

.........................................................................

例题讲模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(长短手模型)

模型解读

帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。

模型证明

条件：如图，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,结论：①DF=FE；②BC=2FG。

4

EE

证明：如图，过点。作。AC交5c于X,则/阳D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

222

模型运用

例1.(23-24八年级上•广东中山・期末)如图，ABC中，AB=AC,BC=10,点尸从点8出发沿线段

出移动到点A停止，同时点。从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P,。移动

的速度相同，连接尸。与线段8c相交于点。(不考虑点P与点A,8重合时的情况).

(1)求证：AP+AQ=2AB.(2)求证：PD=DQ.(3)如图，过点尸作PE于点E,在点P,。移动的过程

中，线段DE的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由.

AA

例2.（24-25九年级上•山西临汾•阶段练习）综合与探究

问题情境：在VABC中，AB=AC在射线AB上截取线段8。，在射线C4上截取线段CE,连结DE,DE

所在直线交直线BC于点M.

猜想判断：（1）当点。在边A3的延长线上，点E在边AC上时，过点石作所〃45交BC于点尸，如图①.若

BD=CE,则线段。欣、上”的大小关系为.

深入探究：（2）当点。在边A3的延长线上，点E在边C4的延长线上时，如图②.若BD=CE,判断线段

DM、EM的大小关系，并加以证明.

拓展应用：（3）当点。在边A3上（点Z）不与A、B重合），点E在边。1的延长线上时，如图③.若BD=1,

CE=4,DM=0.7,求EM的长.

例3.（2024•贵州铜仁•模拟预测）如图，过边长为6的等边AABC的边AB上一点P,作PEJ_AC于E,。为

8C延长线上一点，连尸。交AC边于D当孙=C。时，。石的长为（）

A.1B.2C.3D.4

例4.（2024・河南•校考一模）问题背景:已知在VABC中，边AB上的动点D由A向B运动（与A,B不重

合），同时点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点E点H是线段AF上

Ar

一点，求而的值.

（1）初步尝试：如图①，若VABC是等边三角形，DHLAC,且点D、E的运动速度相等，小王同学发现

Ar

可以过点D作。G//5C交AC于点G,先证G"=AH,再证Gb=C尸，从而求得"的值为

HF

（2）类比探究：如图②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=NBAC=30°,且点D,E的运动速度之比是

"求而的值;

（3）延伸拓展：如图③，若在VABC中，AB=AC,ZADH=ABAC^36°,记芸=机，且点D、E的运动

速度相等’试用含m的代数式表示而的值（直接写出结果’不必写解答过程）.

图②

模型2.等边截等长模型（定角模型）

模型解读

条件：如图，在等边VABC中，点。，E分别在边2C,AC±,S.AE=CD,8E与AD相交于点尸，BQ±AD

于点。.结论：①一ABE四_C4D；®AD=BE-③NBPD=60°；@BQ=2PQ.

模型证明

证明：在等边三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在和.CAD中，＜NBAE=NC,AASE四△C4D（SAS）,：.AD=BE,NCAD-ABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ±AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型运用

例1.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，点。、E分别是等边三角形ABC边8C、AC上的点，且BD=CE,

8E与AD交于点尸.求证：AD=BE.

E

F

C

BD

例2.（2024八年级・重庆・培优）如图，ABC为等边三角形，且=CN,AM与相交于点尸，则NAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50。D.大小不确定

例3.（23-24八年级•广东中山•期中）如图，在等边VABC中，点。、E分别在边3C、AC上，SLAE=CD,

班与AD相交于点尸，于点0.⑴求证：3E=A£＞；（2）若尸。=4,求取的长.

例4.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在等边三角形ABC的AC,边上各取一点尸，Q（均不与端点

重合），且AP=CQ,AQ,砰相交于点。，下列结论不正确的是（）

B.AP2=POPB

C.若AB=8,BP=1,则如=3D.若PC=mAP,BO=nOP,则〃=”/+机

模型3.等边内接等边

模型解读

模型证明

1）等边内接等边（截取型）

条件：如图1,等边三角形A8C中，点。，E,尸分别在边AB,BC,CA上运动，且满足AO=8E=CF；

结论：三角形。E尸也是等边三角形。

证明：：ABC是等边三角形，：.ZA=ZB=ZC=^°,AB=BC=AC.

VAD=BE=CF,：.AF=BD=CE.

AF=BD,

在，ADF和BED中，\=ZB,AD0BED（SAS）,

AD=BE,

:.DF=DE.同理。尸=跖，ADF=DE=EF,__DEF是等边三角形.

2）等边内接等边（垂线型）

条件：如图，点、P、M、N分别在等边VABC的各边上，且MP_LAB于点尸，M0_L3c于点M,PN1.AC

于点N,结论：三角形。EF也是等边三角形。

证明：.是等边三角形，，NA=ZB=NC=60。，

MPLAB,NM±BC,PN±AC,ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

ZPMB=ZMNC=ZAPN=30°,ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,.•.△PMN是等边三角形，

模型运用

例1.（2024七年级下•成都•专题练习）如图，过等边三角形.ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂线MG、MN、NG,三条垂线围成。脑VG,若AM=2,则JWNG的周长为（）

A.12B.18C.20D.24

例2.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，已知等边三角形ABC,点A,鸟，6分别为边ARBC,CA

上的黄金分割点（A片<2片，BP2<CP2,CPi<APi）,连接4鸟，P2P3,PtP3,我们称鸟鸟为VABC的“内

含黄金三角形”,若在VA3C中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是.

例3.（23-24八年级下.广东云浮.期中）如图，点、P,M,N分别在等边三角形A3C的各边上，且

于点尸，NM1BC于点、M,尸NLAC于点N.（1）求证：一是等边三角形；（2）若AB=15cm,求BP的长.

例4.（2023・广西•中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点，E,尸分别在边AB,BC,CA

上运动，满足A£）=3E=CF.（1）求证：ADF%.BED；（2）设AD的长为x,DE尸的面积为y,求y关于

尤的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述，。£户的面积随AD的增大如何变化.

A

D

习题练模型

1.（23-24九年级上.山西晋中•阶段练习）如图，VABC是等边三角形，点。，E分别在2C,AC上，且

BD:DC=2:1,CE:AE=2A,8E与AD相交于点孔则下列结论：①/AEE=60。，@CE2=DFDA,

③AQBE=AE-AC.其中正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

2.（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形A8C中，点P,。分别是AC,BC边上的动点（都不与线

段端点重合），SLAP=CQ,A。、8尸相交于点。.下列四个结论：①若PC=2AP,贝|8O=6OP；②若BC=8,

BP=7,则PC=5；③A/=OPAQ；④若AB=3,则。C的最小值为石，其中正确的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.（2024・广西•一模）如图，在等边一ABC中，AB=3,点。，E分别在边BC,AC_L,S.BD=CE,连接

AD,BE交于点F,在点。从点8运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（）

4.（23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在VABC中，ZACS=90。,AC=3C,点尸在边A3上，

点。在边AC上，连接。尸并延长。尸交CB的延长线于点E,连接C尸，且CF=FD,过点A作AGLCb于

点G,AG交ED于点K,过点8作即7,CP交CP的延长线于点H,以下四个结论中：

®AG=CH-②AD=BE；③当NBG〃=45。时，2BH-EF=FG；@ZCAG=ZCEF.正确的有（）

个.

A.1B.2C.3D.4

5.（2023•福建莆田•一模）如图，一ABC和△3DE都是等边三角形，将△&）£先向右平移得到.G",再绕

顶点G逆时针旋转使得点尸，“分别在边A3和AC上.现给出以下两个结论：①仅已知一至。的周长，就

可求五边形DEC止的周长；②仅已知一AFH的面积，就可求五边形的面积.下列说法正确的是（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②均正确D.①②均错误

6.（23-24九年级上•北京昌平・期末）如图，VABC是等边三角形,D,E分别是AC,2C边上的点，且AT>=CE,

连接3D,AE相交于点F则下列说法正确的是（）

AT）1Ap1

①△ABD/CAE；②ZBFE=60。；③AAFBs^ADF；④若——=一，则——=-

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.（23-24九年级上•四）\I达州•期末）如图，4ABC是等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，且=CE,AD

与仍相交于点P.若AF=7,DF=1,贝旧力BC的边长等于（）

A

E

A.757-72B.病-&C.V58+V2D.V57+V2

8.（23-24八年级上.湖南长沙•阶段练习）如图所示，过等边VABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,C4的

垂线A/G,MN,NG,二条垂线围成一MNG,已知CG=4cm,贝的周长是cm.

9.（23-24天津九年级上期中）如图，点RE,厂分别在正三角形ABC的三边上，且AZ）E5也是正三角形.若

AABC的边长为。，ADEF的边长为6,则AAEF的内切圆半径为.

10.（2024・甘肃金昌・模拟预测）如图，在等腰直角VABC中，/A=90。,AB=AC=40,E为A3的中点，F

为AC上一点，连接E尸并延长，交BC的延长线于点。，若则£>£的长为_____.

4

A

E

RD

11.（23-24八年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，过边长为。的等边VA3C的边A3上一点P,作PELAC于

E,。为3C延长线上一点，当PA=C。时，连PQ交AC边于。，则DE的长为.

12.（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点尸，Q,使AP=C0,AQ,BP

相交于点。.若2。=6,PO=2,则AP的长，AO的长分别为.

13.（23-24八年级上•上海浦东新•期末）如图，在等边VA3C的AC,BC上各取一点D,E,使AD=CE,

AE,相交于点M,过点8作直线AE的垂线3",垂足为H.若BE=2EC=4,则MH的长为.

14.（2023•辽宁鞍山•一模）如图，在三角形A3C中，AB=AC,/84C=6O。，AD=CE,AE与相交

于点E若EF=4,则E到所的距离为.

15.（23-24九年级下.河南商丘•阶段练习）【问题提出】

数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1,在等边三角形A8C中，点。，E分别在AC,2C边上，AE,

交于点/，且AD=CE.

（1）线段AE,的数量关系为，N3EE的度数为.

【类比探究】老师继续提出问题，若改变VABC的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？

同学们根据老师的提问画出图形，如图2,VA3C是等腰直角三角形，/ABC=90。，点。，E分别在AC,

BC边上,AE,BD交于点、F,同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段AD,

CE的数量关系.

（2）请先将条件补充完整：线段AO,CE的数量关系为；再根据图2写出线段AE,8。的数量关

系和/BFE的度数，并说明理由.

【拓展探究】（3）如图3,VA8C是等腰直角二角形，AB=4,若点。沿AC边上一动点，点E是射线8上

一动点，直线AE,BD交于点F,在（2）的条件下，当动点。沿AC边从点A移动到点C（与点C重合）

时，请直接写出运动过程中C尸长的最大值和最小值.

16.（2023•浙江杭州•二模）如图，在等边三角形A8C中，点。，E分别是边3C,C4上的点，且8。=。石,

连结AO,BE交于点尸.⑴求证：ABE^CAD；（2）连接CP,若CPLAP时，①求的值;

②设VABC的面积为耳，四边形皿石的面积为$2,求包的值.

S1

AEC

17.（23-24九年级下•上海宝山•阶段练习）如图（1）,已知&ABC是等边三角形，点。、E、尸分别在边A3、

BC、C4上，且21=32=13.（1）试说明△DEF是等边三角形的理由.

⑵分别连接3尸，DC,8厂与DC相交于。点（如图（2））,求N30。的大小.

（3）将△/）跖绕/点顺时针方向旋转60。得到图（3）,AP与BC平行吗？说明理由.

图⑴

18.（23-24八年级下.辽宁沈阳・开学考试）VABC中（AB>AC）,点。是BC边中点，过点。的直线交AB边

于点M,交AC边的延长线于点N,且AM=AN.（1）如图①，当44c=60。时，求证：DN-DM=CN；

（2）如图②，当NR4C=90。时，请直接写出线段。N,DM,CV的数量关系.

19.（2024.广西南宁•模拟预测）如图，ABC是边长为2的等边三角形，点、D,E,歹分别在边AB,BC,CA

上运动，满足40=座=。尸.（1）求证：ADF^BED；（2）设AD的长为无，DEF的面积为》求y关于

》的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述，/）£户的面积随AO的增大如何变化.

20.（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题:

（4）

①如图（1）,在正44BC中，M、N分别是AC、AB上的点，与CN相交于点。，若NBON=60。，则

=CN；②如图（2）,在正方形ABC。中，M、N分别是C。、上的点，与CN相交于点O,若NBON

二90。，则BAf=CN.

然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3）,在正五边形A8CQE中，M、N分别是CZ）、£>£上的点，

与CN相交于点O,若/BON=108。，则8M=CN.

任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；

①在正力（«>3）边形A8COEF…中，M、N分别是C£>、OE上的点，与CN相交于点O,试问当/BON

等于多少度时，结论BM=CN成立（不要求证明）；

②如图（4）,在正五边形A2CDE中，M.N分别是。£AE上的点，与CN相交于点O,/BON=108。

时，试问结论8M=CN是否成立.若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

21.（23-24九年级•四川绵阳•期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：

【习题回顾工如图，在等边三角形ABC的AC、3c边上各取一点P,。使AP=C。，AQ,BP相交于点。,

求480。的度数.请你解答该习题.

【拓展延伸】：（1）如图1,在等腰的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,成平分/ABC,

AQ=42,ABAC=90°,求8尸的长.小明的思路：过点A作AG3c交3尸延长线于点G,证明

△AQCmXGPA、…

AR1

（2）如图2,在Rt^ABC的AC,3c边上各取一点尸、Q,使CQ=2AP,BP平分/ABC,—

ZBAC=90°,求A。BP的数量关系，请你解答小明提出的问题.

22.（23-24八年级上•福建福州•阶段练习）如图：VABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，

由点A向点C运动（尸与点A、C不重合），点。同时以点尸相同的速度，由点8向CB延长线方向运动（点

。不与点3重合），过点尸作于点E,连接尸。交A3于点。.

A

（1）若设"的长为x,则PC=,QC=

（2）当NBQD=30。时，求AP的长；（3）点P,。在运动过程中，线段即的长是否发生变化？请说明理由.

23.（2023•河南开封•一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容.

做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个

三角形.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角形

有多少种？

（1）【操作发现】如图1,通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形

全等.（填“一定”或“不一定”）

（2）【探究证明】已知：如图2,在VABC和DEF中，ZB=ZE,AC=DF,ZC+ZF=180°（ZC<ZF）.

求证：AB=DE.证明：在BC上取一点G,使AG=AC.请补全完整证明过程：

（3）【拓展应用】在VABC中，=AC,点。在射线54上，点E在AC的延长线上，^,BD=CE,连接DE,

DE与边所在的直线交于点过点。作3c交直线2c于点若3c=4,CF=1,则

.（直接写出答案）

图1

图2

24.（2023九年级上•江苏•专题练习）已知，如图1,在等腰VABC中，A3=AC=6,3C=1。，点E是射线创

上的动点，点。是边2C上的动点，且BD=DE,射线。E交射线C4于点?

⑴求证：ABCsDBE；（2）连接A£>,如果△AED是以AE为腰的等腰三角形，求线段9的长；

（3）如图2,当点E在边上时，连接若NBFD=NACE,线段8。的长为

25.（2024•陕西渭南•一模）【问题提出】（1）如图1,4〃，2,A、。在乙上，B、C在4上，AB//CD,若AB=5,

则CO的长为；

【问题探究】（2）如图2,已知VABC是等边三角形，D、E分别为BC、AC上的点，且CD=AE,连接

AD、BE.求证：BE=AD；

【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地ABCD,其中AD〃台C,3c=400米，C£>=390米，

tanC=2.4,P、。分别在AB、CD上，SLDP=AD,PQ是平行于2C的一条绿化带，E、尸是线段PQ上的

两个动点（点E在点F的左侧），砂=100米，M在线段。P上运动（不含端点），且保持。心=尸产，管理

人员计划沿3EAM铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即

BE+AM的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值.（绿化带、水管宽度均忽略不计）

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客,

并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

例题讲模型

.......................................................................................................................................................20

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）.................................20

模型2.等边截等长模型（定角模型）..................................................26

模型3.等边内接等边.................................................................30

习题练模型一

例题讲模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）

模型解读

帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。

模型证明

条件：如图，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,结论：①DF=FE；②BC=2FG。

证明：如图，过点。作。AC交5c于X,则/阳D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

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模型运用

例1.（23-24八年级上•广东中山・期末）如图，ABC中，AB=AC,BC=10,点尸从点8出发沿线段

出移动到点A停止，同时点。从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P,。移动

的速度相同，连接尸。与线段8c相交于点。（不考虑点P与点A,8重合时的情况）.

AA

(1)求证：AP+AQ=2AB；(2)求证：PD=DQ.(3)如图，过点尸作PELBC于点E,在点P,。移动的过程

中，线段DE的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由.

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶即为定值5,理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，

准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键.

(1)利用P、。的移动速度相同，得到CQ=M,利用线段间的关系即可推出AP+AQ=2"；(2)过点

尸作P尸〃AC,交BC于点F,利用等边对等角结合己知可证，尸如丝.QCD(AAS),即可得出结论；

(3)过点尸作P尸〃AC,交BC于点尸，由(2)得PB=PF,可知为等腰三角形，结合FD=CD,

可得出=即可得出ED为定值.

【详解】(1)证明：P、。的移动速度相同，...CQ=P8,

AB=AC,AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2AB.

(2)如图，过点P作尸尸〃AC,交BC于点、F,

PF//AC,：./PFB=ZACB,ZDPF=ZDQC,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.ZB=ZPFB,:.BP=PF,由(1)得BP=CQ,PF=CQ,

ZPDF=ZQDC

在与，。CQ中，\ZDPF=ZDQC,..eCD(AAS),:.PD=DQ;

PF=CQ

（3）解：即为定值5,理由如下：如图，过点尸作尸尸〃AC,交BC于点F,

由（2）得：尸2=尸尸，.•.△PSP为等腰三角形，

PE1BC,;.BE=EF,由（2）得八PFD冬八QCD,：.FD=CD,

:.ED=EF+FD=^BF+^CF=^（BF+CF）=^BC=5,二ED为定值5.

例2.（24-25九年级上•山西临汾•阶段练习）综合与探究

问题情境：在VABC中，AB=AC,在射线A3上截取线段在射线C4上截取线段CE,连结£>E,DE

所在直线交直线2C于点M.

猜想判断：（1）当点。在边的延长线上，点E在边AC上时，过点E作砂〃AB交2C于点凡如图①.若

BD=CE,则线段。暇、的大小关系为.

深入探究：（2）当点。在边A3的延长线上，点E在边C4的延长线上时，如图②.若BD=CE,判断线段

DM、EM的大小关系，并加以证明.

拓展应用：（3）当点。在边A3上（点。不与A、8重合），点E在边C4的延长线上时，如图③.若3£>=1,

CE=4,DM=0.1,求府的长.

【答案】（1）DM=EM-（2）DM=EM,理由见解析；（3）EM=2.8

【分析】（1）过点E作跖〃AB交BC于点儿证明，瓦加f乌FEM（AAS）即可得解；

（2）过点£作砂〃AB交CB的延长线于点片证明BDMZaEaaAAS）即可得解；

（3）过点E作EF〃AB交CB的延长线于点孔证明BDM^.-.FEM,由相似三角形的性质即可得解.

【详解】（1）解：DM=EM,理由如下：过点石作跖〃相交2C于点足

图①

VAB=AC,:.ZABC=ZC,VEF//AB,:.ZEFC=ZABC,:.NEFC=NC,:.EF=CE

BD=CE;.BD=EF,VEF//AB,：.ZMEF=ZD,

ND=NMEF

在aBDM和AFEM中，,ZBMD=NFME,：.BDM-FEM（AAS），,DM=EM；

BD=EM

（2）解：DM=EM

理由如下：如图，过点E作砂〃AB交CB的延长线于点凡

AB=ACZ.ABC—Z.CZ.EFC—/CEF=CEBD=CE/.BD=EF

ZEFM=/DBM

在SDM和AFEM中，,NBMD=ZFME,/.BDMgFEM(AAS),DM=EM；

BD=EF

（3）解：如图，过点E作所〃AB交CB的延长线于点尸

VEF//AB,:.ZF=ZABCAB=AC:.ZABC=ZC:.ZF=ZC

CE=4:.EF=CE=4QBD〃EFBDM^FEM—

MEFE

0.71

DM=0.7,EF=4,BD=1,-----=—EM=2.8.

ME4

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平

行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

例3.（2024・贵州铜仁•模拟预测）如图，过边长为6的等边的边A3上一点尸，作尸于E,。为

5C延长线上一点，连尸。交AC边于O,当B4=C。时，的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则AAPM也是等边三角形，在等边三角形APM中，

PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得APMD也ZkQCD,则DM=CD；此

时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解.

【详解】解：过P作PM〃:BC,交AC于M,

ABC是等边三角形，且PM〃BC,.「△APM是等边三角形;

又YPELAM,.\AE=EM=1AM;（等边三角形三线合一）

VPM/7CQ,；./PMD=/QCD,ZMPD=ZQ；

ZPDM=ZQDC

又：PA=PM=CQ,在APMD和AQCD中，＜ZPMD=ZQCD,

PM=QC

/.APMD^AQCD(AAS)；；.CD=DM=；CM；

.,.DE=DM+ME=y(AM+MC)=3AC=3.故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边

三角形AAPM是解答此题的关键.

例4.(2024・河南•校考一模)问题背景：已知在VABC中，边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重

合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F,点H是线段AF上

一点，求黑的值.

HF

(1)初步尝试：如图①，若VABC是等边三角形，DHLAC,且点D、E的运动速度相等，小王同学发现

可以过点D作£>G〃3C交AC于点G,先证GH=AH,再证Gb=CF,从而求得寸的值为________；

HF

(2)类比探究：如图②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=ZBAC=30°,且点D,E的运动速度之比是

AC

61,求煞的值；

(3)延伸拓展：如图③，若在VA3C中，AB=AC,ZADH=ABAC=36°,记丁；=根，且点D、E的运动

AC

速度相等，试用含m的代数式表示会的值（直接写出结果,不必写解答过程）.

HF

m

【详解】解:(1)2；

【解法提示】如解图①,过点D作。G3c交AC于点G,

图③

AABC是等边三角形，，AAGD是等边三角形,

AD=GD,由题意知CE=AT>,:.CE=GD,

,：DGBC,，Z.GDF=ZCEF,

ZGDF=ZCEF

在dGDF与ACEF中,<ZGFD=ZEFC,AGDF^ACEF(AAS),：.CF=GF,

CE=GD

VDHLAG,:.AH=GH,：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),HF=GH+GF,：.—=2；

HF

(2)如解图②，过点D作。GBC交AC于点G,则ZADG=ZA8C=90,

VZBAC^ZADH=30,：.AH=DH,NGHD=NBAC+ZADH=6。，

ZHDG=ZADG-ZADH=60,.♦.△DGH为等边三角形，GD=G"=D"=AH,A£>=GDtan60=^GD.

由题意可知，AD=ACE.:.GD=CE.'：DGBC,ZGDF=ZCEF.

ZGDF=ZCEF

在，GDF与ACEF中，<NGFD=NEFC,：._GDF^CEF(AAS),：.GF=CF.

CE=GD

1AC

GH+GF=AH+CF,HF^AH+CF,：.HF=-AC=2,即——=2；

2HF

A「yyi_1_1

(3)黑="二如解图③，过点D作。GBC交AC于点G,

HFm

易得AD=AG,AD=EC,ZAGD=ZACB.

在VABC中，VZBAC=ZADH=36,AB=AC,

:・AH=DH,ZACB=/B=72,ZGHD=ZHAD+ZADH=72,ZAGD=ZGHD=72,

•:Z.GHD=/B=ZHGD=ZACB,AABC^ADGH.

BCGH

-----=m,：.GH=mDH=mAH.由△ADG^AABC可得些=生二"=

ACDHADABAC

FG_GDGD

・.・DGBC,---二m.FG=mFC.

~FC-ECAD

：.GH+FG=m(AH+FC)=m(AC—HF),^HF=m(AC-HF)..•.止

HFm

模型2.等边截等长模型（定角模型）

模型解读

条件：如图，在等边VABC中，点O,E分别在边BC,AC±,S.AE=CD,8E与AD相交于点P,BQ±AD

于点2.结论：①ABE^CAD-,®AD=BE；③/9工＞=60。；®BQ=2PQ.

模型证明

证明：在等边三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在」.ABE和CAD中，＜NBAE=ZC,AASE丝△C4D(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ1AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型运用

例1.(2024・四川宜宾・中考真题)如图，点。、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且8D=CE,

班与AD交于点尸.求证：AD=BE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出"=BC,

ZABD=/BCE=60。,然后根据SAS证明一ABD也一BCE,根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】证明：：ABC是等边三角形，AAB=BC,ZABD=NBCE=60。,

又BD=CE,：.AABD^ABCE(SAS),:.AD=BE.

例2.(2024八年级.重庆・培优)如图，ABC为等边三角形，且3M=CN,AM与M相交于点P,则ZAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D.大小不确定

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明

△ABM^ABCTV(SAS),得到ZBAM=NCBN,在三角形外角性质求解即可.

【详解】：等边，ABC，:.BC=CA=AB,?BCN?CAB?ABC60?,

AB=BC

•：<AABM=ZBCN,：.AABM^ABGV(SAS),:.NBAM=/CBN,

BM=CN

V?APN?ABP?BAM,：.1APN2ABp?CBN?ABM60?,故选B.

例3.（23-24八年级•广东中山•期中）如图，在等边VABC中，点E分别在边3C、AC上，且AE=CD,

班与AD相交于点尸，于点。.⑴求证：BE=AD；⑵若PQ=4,求8尸的长.

【答案】（1）见解析（2）8

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌

握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.（1）证明，ABE会二CW即可得证；

（2）求出NPBQ=3。。，再根据含30。角的直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】（1）证明：为等边三角形，；.A5=AC,ZBAC=ZC=60°,

AB=AC

在，A