2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型解读与提分训练（原卷版）

专题08三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型

弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题,

相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久

远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学

思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量,

它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航一

例题讲模型

.........................................................................................................................................................2

模型1.弦图模型......................................................................2

模型2.勾股树模型....................................................................7

习题练模型

......................................................................................................................................................11

例题讲模型］

模型1.弦图模型

“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等

直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围

城正方形的边长时就叫外弦图模型。

数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵

活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时

能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。

模型证明

Ar------------------------------------------夕&---DA\―及y----Ai----代---D

(1)内弦图模型：

条件：如图1,在正方形/5CD中，AELBF于■点、E,皮LLCG于点尸，CG_L。〃于点G,DH_LAE于点、H,

结论：4ABE沿ABCF名ACDG沿ADAH；

证明：:/ABC=NBFC=NAEB=9Q°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又，：AB=BC,.MABE丝ABCF,同理可得A/BE之△BCFZ/iCDG0

(2)外弦图模型：

条件：如图2,在正方形A8CD中，E,F,G,〃分别是正方形/BCD各边上的点，EFG8是正方形,

结论：4AHE咨4BEF咨4CFG咨ADGti；

证明：•：/B=/EFG=/C=90。,：./BEF+NEFB=NEFB+/GFC=9Q°,：./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,：.4EBF咨AFCG.同理可得AEB厂乌CG咨△GAHgZYttiE.

(3)内外组合型弦图模型：

条件：如图3、4,四边形/88、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2s正方形EFG片S正加UBCD+S正方形尸加乂

证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用以表示他们的面积。

S正方影4BCD=S正方形P@W7v+8sA;S正方兆EFGH=S正方形P0&W+4sA；

••S正方形，BCD+S正方彩P%W=S正方形P%CV+8SA+S正方%P2MV=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。

（4）半弦图模型

条件：如图5,4g于点N,GBLAB于点、B,EF±FG,EF=FG,结论："FE冬ABGF；EA+GB=AB.

证明：于点/,GBLAB于点、B,EF±FG,:.NA=/B=/EFG=90°

：.ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：.ZAFE=ZBFG.

又"：EF=FG,:AAFE义ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=AB0

条件：如图6,E4J_4B于点/,GB_L48于点3,EF±FG,EF=FG,结论：AAFE”ABGF；EA-GB=AB。

证明：同图5证明可得：“FE冬ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

条件：如图7,在必A/BE和必△BCD中，AB=BC,AELBD,结论：MBE妾ABCD；AB-CD=EC.

证明：•.•△Z8E和△BCD是火/△,AE±BD,：.ZABE=ZC=ZAFB=90°o

：.ZA+ZABF=ZABF+ZDBC=90°.：.ZA=ZDBCo

又；AB=BC,:MABEmABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=EC.

上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼

就要想到用弦图的相关知识解决问题。

模型运用

例1.（23-24八年级下•北京门头沟•期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称

该图为“赵爽弦图”.如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.如

果该大正方形面积为49,小正方形面积为4,用x,V表示直角三角形的两直角边（x＞力,

下歹!J四个推断：@x2+y2=49；②x-y=2；③2砂+4=49；@x+y=7.

C.①③④D.①②③④

例2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这

四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

C.40D.44

例3.（2023•山东枣庄,二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图图②由弦图变化得到，它是由八

个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形N8CD,正方形跖G8,正方形M3的面积分别为

印邑，邑.若正方形跖G8的边长为2,则H+邑+$3=

图①图②

例4.（2024•陕西西安・模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”

经修饰后的图形，四边形/BCD与四边形EFG"均为正方形，点石是DE的中点，阴影部分的面积为27,

例5.（23-24八年级下•福建龙岩•阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角三角形围成的，若/C=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一

倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

例6.（2023・河北•八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,

它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5,小正方形的边

长为1.（1）如图1,若用a,b表示直角三角形的两条直角边（a<b）,则仍=.

（2）如图2,若拼成的大正方形为正方形N8C3,中间的小正方形为正方形£PG〃，连接NC,交BG于点、

P，父DE于点A/,—S&JGP=_____-

例7.（2024・山东济南•二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将

两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10

的正方形/BCD,则空白部分面积为

A

例8.(23-24八年级上•浙江温州•期中)如图，在V4BC中，NACB=90°,AC=BC,/E是3c边上的中

线，过点C作垂足为尸，过点3作8c的垂线交C尸的延长线于点D.

⑴求证：AE=CD.(2)若8。=1,求4E.

例9.(23-24八年级下•广东揭阳•期末)综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1

所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形/BCD,四边形EFCH和四边形〃总都是正方形.某班开展综合与实践

活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展.

G

图1

(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段/瓦3G,48之间的数量关系:、

(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段欢,KG之间的数量关系：:

(3)小明将图3中的KG延长至点"，使得KM=KF,连接瓦0与K尸相交于点N,请你在图3中画出图形.若

FN=3NK,求线段与疝之间的数量关系.

模型2.勾股树模型

模型解读

勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如

下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。

模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图

形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。

模型证明

条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边

为元素所作图形的面积为Si,S2,以斜边为元素所作的图形的面积为邑。结论：Sl+S2=$3

证明：设图中两直角边为a、b,斜边为c；且°、b、C三边所对应的等边三角形面积分别为$、$2、邑。

由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：立4；

2

.•5=/母"%'同理：邑="；

由题意可得：a2+b2=c2;.•.*+52=必/+也〃="年+阴=",2=邑

444v74

由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。

第一代勾股树第二代勾股树

条件：如图，正方形Z3CD的边长为。，其面积标记为百，以C0为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角

三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑，…按照此规律继续下去，结论：。

证明：：正方形48CD的边长为a,ACOE为等腰直角三角形，

222

：.DE+CE=CD,DE=CE,AS2+S2=St.观察，发现规律：

22

Sz=；S]=；/，=1^=^a>S4=153=|a>…，Sn=a

2ZzoI2/

条件：如图，“勾股树”是以边长为加的正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角

边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一一棵树而得名.假设

下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，

结论：第〃代勾股树中正方形的个数为：N,,=2向-1;第"代勾股树中所有正方形的面积为：S„=（»+l）.m2-

证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3=22-1（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+2?=7=23-1（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+2?+2?=15=2£1（个），

由此推出第〃代勾股树中正方形有1+2+2?+23+…+2"=2向-1（个）。

设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为。和方,斜边长为c,根据勾股定理可得：a2+b2=c2=m2,

第一代勾股树中所有正方形的面积为=/+〃+c2=c2+c2=2m2；

2

同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=2/+2〃+c?=3c2=3m;

第三代勾股树中所有正方形的面积为=4c?=；

第n代勾股树中所有正方形的面积为=（n+l）c2=（n+l）-m2»

模型运用

例1.（23-24八年级下•河北承德・期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,以直角三

角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形.那么，这四个图形

中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作品、$2、

结论I：H、S、$3满足岳+邑=$3只有（4）；

结论n：：a+6>c,，SI+S2>S3的有（1）（2）（3）.

对于结论I和II,判断正确的是（）.

A.I对n不对B.I不对n对c.I和II都对D.I和II都不对

例2.（23-24八年级下•河南开封•期中）如图，在四边形ABCD中，NDAB=NBCD=90°，分别以四边形ABCD

的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若6+c=12,则a+d=.

例3.（23-24九年级上•辽宁盘锦•开学考试）如图，正方形/BCD的边长为2,其面积标记为H，以CD为

斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S?,....按

照此规律继续下去，则5201的值为.

例4.（23-24八年级下•山东日照•期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三

角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而

得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果

第一个正方形面积为1,则第2024代勾股树中所有正方形的面积为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

例5.（2023春・重庆•八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:

图(4)

图（3）

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正

方形的个数是（）

A.12B.32C.64D.128

例6.（2023春•广西南宁•八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明

古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家

欧几里得证明这个定理使用的图形.以RMBCQBC=90°）的三边a,6,c为边分别向外作三个正方形：正方

形4CED、正方形AFHB、正方形BCNM,再作CG_LF/7垂足为G,交48于尸，连接3。，CF.则结论：

①NDAB=NCAF,②ADABACAF,③S正方彩圆=2号的，④S矩畛咿=2$以-正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

习题练模型1

1.（2023秋・湖北•九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是

我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面积是16,

直角三角形的直角边长分别为Q,b,且/+/=必+10,那么图中小正方形的面积是（）

A.2D.5

2.（2024•广西•中考真题）如图，边长为5的正方形力BCD,E,F,G,〃分别为各边中点，连接/G,BH,

CE,DF,交点分别为N,P,Q,那么四边形”人？。的面积为（）

A.1B.2C.5D.10

3.（2024•江西吉安•二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正

5,连接5方并延长交CD于点则。M的长为（

A.(

B.1

4.（2024・广东汕头•一模）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带.数

学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形N3C的三条边为边长向外作正方形正方形

ABED,正方形BCG尸，连接3/,CD,过点C作C/，DE于点J,交4B于点K.设正方形NCHZ的面积

为岳，正方形BCG尸的面积为S2,长方形NKJD的面积为邑，长方形K画的面积为反，下列结论：①

25-8=5；②H=星；③S[+S4=S2+S3；④椒商=肉+邑.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2024•浙江•中考真题）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形瓦ABCRACDG,△刃〃）和

中间一个小正方形组成，连接。E.若4E=4,BE=3,则DE=（）

6.（2024•云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:

孑…

图⑴图（2）图（3）图⑷

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形,图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正

方形的个数是（）

A.12B.32C.64D.128

7.（2024・福建・中考真题）如图，正方形43CD的面积为4,点E,F,G,H分别为边BC,CD,

AD的中点，则四边形EFGH的面积为

8.（2024•北京・中考真题）如图，在正方形中，点£在上，AFLDE于点,F,CG_LZ）£于点G.若

AD=5,CG=4,则△/£1尸的面积为

9.（23-24九年级上•山西晋中•期末）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形

恰好拼成对角互补的四边形相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰RM/BE和等腰

RtASCF,③和④分别是RtACDG和RMD4”,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边防，

DG5

CG,DH,4E■上.若——=—,/〃=3cm,则8E的长是cm.

GH4

B

10.（23-24九年级上•湖南长沙•期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合

在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，

引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证.在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其

为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了

数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网

友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是（填

写数字序号即可）.

①皿汨。（懂得都懂）②VKOS（永远的神）③心。（觉醒年代）④0G7W（强国有我）

13.（2024・浙江・二模）如图，AB_LBD于点、B,CD_L3。于点。，P是50上一点，且4P=尸C,APIPC.

⑴求证：ZX/B尸丝△尸DC；（2）若NB=1,CD=2,求NC的长.

14.（23-24八年级下•浙江杭州•期末）综合与实践

问题情境:第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图1,

在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形

（ADAE,A4BF,ABCG,ACDH）和中间一个小正方形EFG8拼成的大正方形4BCD,_&ZABF>ZBAF.

特殊化探究：连接谈BF=a,AF=b.

“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：（1）若NB=5,FG=\,求aAB尸的面积.

“武林小组”从。与b关系的特殊化提出问题：（2）若6=2°,求证：ZBAE=ZBHE.

深入探究：老师进一步提出问题：（3）如图2,连接8E,延长见到点/，使4=48,作矩形8EU.设矩形

8FZ7的面积为H，正方形4BCD的面积为$2，若仍平分N4B五，求证：5,=S,.请你解答这三个问题.

15.（23-24八年级下•湖北武汉•期中）问题发现：梓航在学完勾股定理后，翻阅资料，发现《几何原本》中

有一种很好的勾股定理的证法：如图1,作CGLFH于点G,交N8于点P,通过证明/方形3c=S长方物/5，

S正方形BCMVf=S长方形BHGP的方法来证明勾股定理.

爱思考的梓航发现一个结论，如图2,若以RQ48C的直角边/C,为边向外任意作口BCNM,

斜边48上的延长DE,MN交于有、Q,直线0c被口/即3所截线段为尸G,当CQ=PG时，此

时工ADEC+$口BCNM=^uABHF成立.请你帮他完成证明.

FGHFGHJFGTHFGH

图1图2图3图4

问题证明：（1）先将问题特殊化，如图3,当四边形ADEC,四边形8CNM,四边形均为矩形，且

CQ=PG时，求证：S^DEC+S矩BCNM=S«^HF，（按梓航的分析，完成填空）

分析：过A作K7〃尸Q交直线。。，HF于K,J,过B作RT〃PQ交QM,HF于R,T；

==

可证S也（DECSa4Koe=^oAPGJ；同理可证S矩BCNM^aBCQR=^cBTGP；

另外易得/\AFJ=可得S也（DEC+SjgflCNM=^oABJT=^^ABHF成AL.

（2）再探究一般情形，如图2,当四边形4DEC,四边形BGVM,四边形48HF均为平行四边形，且C。=尸G

时，求证：S°ADEC+SOBCNM=S。ABHF-

问题探索：（3）将图2特殊化，如图4,若ND=ZCNM==60。，/。=,CN="，/F=f,且ZQPB=75°,

请你直接写出/的值（用含加，〃的式子表示）.

16.（24-25八年级上•湖北荆州•阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形

全等模型图（如图2、图3）,即“一线三直角”模型和“K字”模型.

图4

【问题发现】（1）如图2,已知，V48c中，CA=CB,ZACB=90°,一直线过顶点C,过42分别作其

垂线，垂足分别为£,F.求证：EF=AE+BF；

【问题提出】（2）如图3,改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若BF=4AE,EF=3,求VBC尸的面

积；（3）如图4,四边形4BCD中，N4BC=/C4B=/4DC=45°,的面积为20,且CD的长为8,

求△BCD的面积.

17.（2020•山西•模拟预测）综合与实践：正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1,在正方形4BCD中，以8c为直径作半圆O,以。为圆心，Q4为半径作左，与半圆。交

于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系

还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.

（图1）（图2）

性质探究：如图2,连接DP并延长交NB于点E,则DE为半圆。的切线.

证明：连接。尸，OD.由作图可知，DP=DC,OP=OC,

又•.•OO=OD.:.xOPDaOCDlSSS）/OPD=NOCD=90°,DE是半圆。的切线.

问题解决：（1）如图3,在图2的基础上，连接OE.请判断NBOE和/CDO的数量关系，并说明理由;

（图4）（图5）

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE,BE,CD之间的数量关系；

（3）如图4,已知点尸为正方形/3CD的一个“奇妙点”，点。为3c的中点，连接DP并延长交N8于点£,

连接。并延长交43于点尸，请写出BE和的数量关系，并说明理由；

（4）如图5,已知点E,