2025年中考数学几何模型归纳训练：双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分训练（原卷版）

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型

线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出

发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部

分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

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例题讲模型'

■.........................................................................................................................................................2

模型1.线段的双中点模型...............................................................2

模型2.线段的多中点模型...............................................................4

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型.................................................6

习题练模型

1----------——................................................................................................................................................................11

例题讲模型

模型1.线段的双中点模型

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点M、N分别为线段/8、3c的中点，结论：MN^-AC.

2

证明：①当点3在线段4c上，如图1,

A、,-C

MBN

图1

N分别为48、8C的中点，...收=l48（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

MN=BM+BN,MN^-AB+-BC=-（AB+BC）^-AC-,

222'72

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

A।,-R

CMN

图2

,:M、N分别为AB、8c的中点，；.3朋=工/8（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

•:MN=BM-BN,：.MN^-AB--BC^-（AB-BC^-AC',

222''2

③当点B在线段CA的延长线上

B।・■C

MAN

图3

N分别为4B、8C的中点，皿1=148（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

"：MN=BN-BM,：.MN^BC-\AB=^BC-BA)=\AC；

模型运用

例1.（23-24七年级上•江苏扬州•期末）如图，点C在线段48上，点M、N分别是/C、8c的中点.

AMCN~B

⑴若48=18cm,5cm,求CN的长；（2）若就=6cm,求AB的长；

例2.（23-24七年级上•江西赣州•期末）如图，点C在线段48上，点N分别是线段AC,8C的中点.

1IIII

AMCNB

⑴若/C=10cm,C3=6cm,求线段AW的长；（2）若NC+C5=acm,求线段MV的长度.

例3.（23-24七年级•山东淄博・期末）已知点C是线段42的中点，点。是线段/C的三等分点.若线段

AB=12cm,则线段8。的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

例4.（23-24七年级上•安徽黄山・期末）如图，C,。是线段上两点（点。在点C右侧），E,尸分别是

线段AD,2c的中点.下列结论：

@EF=-AB-②若/E=5尸，则/C=&D；③-=2跖；@AC-BDEC-DF.

2

IIIII।

AECDFB

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

例5.（23-24七年级上•贵州遵义・期末）已知线段=24，点。为线段的中点，点。为线段NC上的

三等分点，则线段8。的长的最大值为（）

A'----------------------------'B

A.16B.18C.15D.20

例6.(23-24七年级上•辽宁阜新•期末)点A、B在数轴上所表示的数如图所示，尸是数轴上一点：

BOA

—।——।——।——i—।——।——।-----1—i—।——>

-5-4-3-2-1012345

(1)将点3在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点尸，求出A、尸两点间的距离

是多少个单位长度.

(2)若点8在数轴上移动了加个单位长度到点P,且A、P两点间的距离是4,求加的值.

(3)若点M为/尸的中点，点N为心的中点，点尸在运动过程中，线段"N的长度是否发生变化？若发生变

化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度.

模型2.线段的多中点模型

模型解读

条件：如图，点M在线段/N的延长线上，且线段MV=2“，第1次操作：分别取线段和NN的中点朋；、

M；第2次操作：分别取线段AM,和n乂的中点，小；第3次操作：分别取线段AM2和AN2的中点AG，

做；...连续这样操作"次，结论：

AN3M3N2M2NiMiNM

模型证明

证明：M是/〃r和NN的中点，，/,

:.M风=*M-；AN=；MN=a,'：M,,%是/四।和/乂的中点，

AM2=—AM,AN2=—/N],M2N2=———ANX=3M、N、=—iz,

M3,%是/必和/乂的中点，'监，AN,=^AN2,

二弘乂=；㈣-：飒=；此乂=；&=9]-a,……发现规律：必应=（：]

模型运用

例1.（23-24七年级上•贵州六盘水•期末）如图，数轴上的点。为原点，点A表示的数为-3,动点P从点O

出发，按以下规律跳动：第1次从点。跳动到。4的中点4处，第2次从点4跳动到//的中点应处，第3

次从点4跳动到4/的中点4处，…，第〃次从点4T跳动到4一/的中点4处，按照这样的规律继续跳动

到点4，4，4,…，4侬处，那么点4。24所表示的数为

例2.（23-24七年级上•河南濮阳・期末）已知：如图，点M在线段NN的延长线上，且线段MN=16,第一

次操作：分别取线段//和4V的中点〃i，第二次操作：分别取线段/AG和工乂的中点N2.

第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点AG，电,连续这样操作4次，则M4N4=.

ANsM~iN2M2N\M\NM

例3.（23-24七年级上•湖南张家界・期末）如图，点M在线段NN的延长线上，且线段〃N=2,第一次操

作：分别取线段和/N的中点/1、乂；第二次操作：分别取线段和/乂的中点N2；第三次

操作：分别取线段和/生的中点朋〉华；...连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有

线段之和MN+M2N2+-+M2024N2024=.

।।।।।iiii

AN3M3N2M2N\M\NM

例4.（23-24七年级上•广东•期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了"次取线段中

点实验：如图，设线段。4=1,第1次，取的中点月；第2次，取《6的中点£;第3次，取4片的中

点月，第4次，取8A的中点与；…

।।一G单।

OPP3P5Po

（1）请完成下列表格数据.

次数P-P,线段O4的长

OP=OP-P.P=\-^

第1次}0}

O£=O4+4£=l_g+1

第2次

月=1++U

第3次

OP4=OP3+P3PLi；+；

第4次尸

第5次①_______②________

(2)小明对线段0P4的表达式进行了如下化简：

因为=l-g+,所以20~=2(1=2-1+,

121

两式相加，得3。勺=2+三，所以。〃=§+双梦.

请你参考小明的化简方法，化简。乙的表达式.

(3)类比猜想：P“.\P”=,OP=,随着取中点次数〃的不断增大，的长最终接近的值是

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中(两角共一边)，已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

图1图2图3图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分N/O5、/BOC；结论：ZDOE=-ZAOCo

2

证明：,：OD、。打分另U平分N4O5、ZBOC,AZDOB=-ZAOBNBOE'/BOC，

22

・1111

••ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC・・/DOE=—/AOC。

2222

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分另IJ平分N/O5、/BOC；结论：ZDOE=-ZAOCo

2

证明：•：OD、O£分另I」平分N4O5、/BOC,ZDOB=-ZAOB»/BOE='/BOC，

22

.1111

••NBOE-ZDOB=-ZBOC——ZAOB=-ZAOC，•-ZDOE=-ZAOC。

2222

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,已知//O8+N3OC+NNOC=360°,。尸i平分//OC、OP?平分NBOC；

结论：=180°-^ZAOB°

证明：：。尸1平分/4。。、OPi平分4BOC,：.ZPtOC=^ZAOC>NPQCugzBOC，

"：ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,：.ZBOC+ZAOC=360°-OB,

=N[OC-N巴OC=；N/OC+；N8OC=；（N/OC+NBOC）=18（T-；NNO8。

4）角〃等分线模型

条件：如图4,ZAOB=aQA、。4分别是和NMO8的平分线，04、。鸟分别是44。河和2可。耳

的平分线，。4、OB.分别是ZA.OM和ZMOB2的平分线…，％分别是和/MOB,-的平分

线；结论：.

证明：QZAOB=a,。4、分别是//（W和的平分线，

ZAQM=-ZAOM,NBQM=-ZBOM,AAflB=-（ZAOM+ZBOM）=-ZAOB=-a,

222x22

；。4、。当分别是43和*用的平分线，—,

ZAOB=~（ZAOM+ZBOM）=-AAOB=-x-ZAOB=,

222Xl2X}222

•・•OA3、OB3分别是ZA2OM和ZM0B2的平分线，ZA3OM=,NB30M=^-ZB2OM,

/.N4OB3——+/B20M）=—/AzOB2——x—/AQB]——x—x—Z_AOB———,...,

22222222

Of

由此规律得：Z4,os„=-o

模型运用

例1.（2023•河南周口•校联考一模）如图，点。为直线48上一点，OE平分'/BOC,平分//OC,

若NBOE=28°,则的度数为（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

例2.(2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末)如图，射线OC平分射线(9。平分/3OC,则下列等

式中成立的有()

®ZCOD=ZAOD-ZBOC；②NCOD=ZAOD-NBOD；③2NCOD=2ZAOD-ZAOB；④

ZCOD=-ZAOB.

例3.（2023春•黑龙江•七年级校考阶段练习）如图，射线OG是//OC的角平分线，射线是N498的

角半分线，射线ON是/80C的角平分线，则下列结论成立的有（）个.

①NMON=NCOG；®ZMOG=^(ZAOG-ZBOG)；③NGON=；(/COG+/JBOG)；(4)

AMON=g(Z4OC+NBOG)；

A.0个B.1个C.2个D.3个

例4.（2023•河南•七年级校联考期末）如图，4O3=a,Q4］、分别是//（W和NMO8的平分线,

例、分别是〃和乙区汉的平分线，。4、。员分别是和/九的层的平分线，…，OA„,OB,

分别是N4-QM和ZMOBu的平分线，则NAQB,的度数是.

例5.（2022秋・山西太原•七年级统考期末）图，ZAOC=ZBOD=90°,03在。的内部，OC在/BOD

的内部，OE是的一条三等分线.请从45两题中任选一题作答.

A.当/8。。=30。时，/EOD的度数为.

B.当NBOCna。时，/EOD的度数为（用含a的代数式表示）.

例6.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）如图，点A,O,B在同一条直线上，OD,OE分别平分//OC

和180C.（1）求/DOE的度数；（2）如果NCOD=60。.①求//OE的度数；②若乙40尸=20。，直接写出

/FOD的度数.

AOB

例7.（2023秋・江苏无锡•七年级校考期末）解答题：（1）如图，若//。8=120°,乙40c=40。，OD、OE

分别平分//OB、ZAOC,求/DOE的度数；

（2）若N/OB,//OC是平面内两个角，ZAOB=m,ZAOC=n（«<m<180°）,OD、OE分别平分//OB、

ZAOC,求NOOE的度数.（用含加、”的代数式表示）

例8.（2023春・山东济南•七年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线。。在NZO8的内部，图中共有3个角：ZAOB,N/OC和NBOC,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线。。是/更加的“巧分线”.⑴一个角的平分线.这个角的“巧分线”，（填“是”

或“不是”）.（2）如图2,若NMPN=60。,且射线尸。是NMPN的“巧分线”，则/儿。。=（表示出所有

可能的结果探索新知）.（3）如图3,若NMPN=a,且射线尸。是/MPN的“巧分线”，则（用

含a的代数式表示出所有可能的结果）.

习题练模型

1.（2023秋・福建泉州•七年级统考期末）在直线上任取一点/,截取48=6cm,再截取/C=14cm,则/8

的中点。与/C的中点E之间的距离为（）

A.4cmB.8cmC.4cm或10cmD.3cm或8cm

2.（2023秋•江西上饶•七年级统考期末）如图，C、。是线段NB上两点，M、N分别是线段4D、3C的中

点，下列结论：①若AD=BM,则/8=38D；②若AC=BD,则,二砒；③AC-BD=2（MC-DN）；

®2MN=AB-CN.

其中正确的结论是（）

IIIIII

AMCDNB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

3.（2023秋・江苏徐州•七年级校考期末）如图，点"在线段/N的延长线上，且线段〃N=10,第一次操作:

分别取线段AM和/N的中点M、、N、；第二次操作：分别取线段AM,和AN,的中点/2，生；第三次操作:

分别取线段和/必的中点AG，做；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之

和+以忆+―-+/2023g23=（）

AMMN]M2N\M\NM

A-10+^TB-10+^Fc-10-^FD-

4.（2023秋•河南驻马店•七年级统考期末）如图，已知408=130。，以点。为顶点作直角NCO8,以点O

为端点作一条射线OZX通过折叠的方法，使OD与OC重合，点B落在点9处，OE所在的直线为折痕，

若NCOE=15。，则乙405'=（）.

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.（2023秋•山西大同•七年级统考期末）在的内部作射线OC,射线OC把分成两个角，分

别为ZAOC和ZBOC,若ZAOC=或ZBOC=,则称射线OC为ZAOB的三等分线.若

ZAOB=60°,射线0c为的三等分线，则N/0C的度数为（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

6.（2023春,山东青岛,七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根48长为80cm,另一根CD长为130cm,

在它们的中点处各有一个小圆孔加、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，

放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离儿W是.

M_______________N_______________

A|IBCIID

图1图2

7.（23-24七年级上•四川成都•阶段练习）如图所示，已知/B=12,C是线段上的一个点，M是C/的中

4AN

点，N为5c中点，且满足ZC+,求=.

3AM-------

I।।।।

AMCNB

8.（2023秋•福建福州•七年级校考期末）已知线段48和线段CD在同一直线上，线段43（/在左，3在右）

的长为0,长度小于的线段CD（。在左，C在右）在直线上移动，M为NC的中点，N为的中

点，线段跖V的长为6,则线段CD的长为（用a,6的式子表示）.

9.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）如图，点C,。在线段上，P,。分别是ND的中点，若

…尸C

AB=3CD,则砺=.

PCQD

A'-------------j-------—-------'B

10.（2023秋・广东梅州•七年级校考阶段练习）已知403=50。,由定点。引一条射线，使得ZBOC=30。,

0M、ON分别是/Z08和280C的平分线，贝l|/MON=度.

11.（2024•山东•七年级专题练习）如图，在N/O8的内部有3条射线OC、OD、OE,若N/OC=70。，Z

BOE^-ZBOC,ZBOD=-ZAOB,则°.（用含”的代数式表示）

nn

12.（2023秋・福建福州•七年级校考期末）已知有理数a,6满足：,-2N+（2-6）2=0.如图，在数轴上,

点。是原点，点/所对应的数是a,线段3C在直线CM上运动（点2在点C的左侧），BC=b.

O1A

下列结论：①a=4,b=2；②当点3与点。重合时，/C=3；

③当点C与点/重合时，若点尸是线段3c延长线上的点，则尸O+R4=2尸3；

④在线段3C运动过程中，若M为线段03的中点，N为线段/C的中点，则线段的长度不变.

所有结论正确的序号是.

13.（2023春・天津滨海新•七年级校考期中）如图，。为直线48上一点，/CO。=90。，OE平分N/OC,

0G平分/80C,OF平6/BOD,下列结论：®ZEOG=90°；②NDOE与NBOF互补;

@ZAOC-ZBOD=9CP；®ZDOG=-ZAOC.请你把所有正确结论的序号填写在横线上______

2

14.（2023春•安徽合肥•七年级校考开学考试）平面内，乙108=120。，C为内部一点，射线平分

ZAOC，射线CW平分ZBOC,射线OD平分AMON,当AAOC-ZCOD=30°时,ZBOC的度数是.

15.（2023秋•河南新乡•七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣:

如图1,点C在线段48上，M,N分别是/C,3c的中点.若43=6,AC=2,求MN的长.

IIIII

AMCNB

图1

iiiii

AMCNB

图2

（1）根据题意，小明求得儿W=.

（2）小明在求解（1）的过程中，发现九W的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始

深入探究.设=C是线段上任意一点（不与点A,3重合），小明提出了如下三个问题，请你帮

助小明解答.①如图1，M,N分别是NC,3c的中点，则儿W=.

②如图2,M,N分别是NC,3C的三等分点，即M=BN=；BC,求跖V的长.

③若M,N分别是ZC,8c的”（“22）等分点，即BN=-BC,则肱V=

nn

16.（2023秋・福建泉州•七年级校考期末）【概念与发现】

当点C在线段上，=时，我们称〃为点C在线段上的“点值”，记作

例如，点C是的中点时，即则名］=（；反之，当勺］=:时，则有=

21ABj2\AB）22

因此，我们可以这样理解：与"/。="/十'具有相同的含义.

（1）【理解与应用】如图，点C在线段上.若/C=3,AB=4,则小空］=;若d%］=2,

IABJIAB）m

则条——■

ACB

（2）【拓展与延伸】已知线段NB=10cm,点尸以lcm/s的速度从点/出发，向点2运动.同时，点。以3cm/s

的速度从点3出发，先向点/方向运动，到达点/后立即按原速向点2方向返回.当尸，。其中一点先到

达终点时，两点均停止运动.设运动时间为单位：s）.

①小王同学发现，当点。从点8向点N方向运动时,的值是个定值，求正的值;

3

②f为何值时，d

5

17.（2023秋•河北邢台•七年级校联考期末）已知ZAOB=NCOD=90P,OE平