2025年中考数学模拟考试卷（含答案广州地区）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.广州作为“志愿之城”，截至2021年底，全市实名注册志愿者人数达4261700人，将4261700用科学记数

法表示应为（）

A.426.17X104B.42.617X105C.4.2617X106D.0.42617X107

2.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别

代表“立春”、”谷雨”、”白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

3.若式子2-有意义，则实数尤的取值范围是（）

x-1

A.9-2且中1B.x^lC.1D.x>-2

4.如图，该几何体的左视图是（）

5.某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4,3,5,5,2,

5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为（）

B.4,5C.5,4D.5,5

6.如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是1处油面宽为1处则截面上有油部分的面积为（

27T-3V32.71—3?471—3^3n471-32

A.m2B.--------mC.-----------mzD.-------m

12121212

4

7.如图，已知在平面直角坐标系中，R3A8C的顶点A（0,3）,B(3,0),ZABC=90°.函数y=£(x

>0）的图象经过点C,则AC的长为（）

A.3近B.2V5C.2V6D.V26

8.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点

D,贝!!tan/AQC=()

9.如图，正方形A8CZ）的面积为12,点E在边CZ）上，且CE=2,/42E的平分线交AD于点R点

N分别是8E,8尸的中点，则MN的长为（）

17

A.V6-V2B.---C.2V3-2D.V3-1

10.下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三

角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角

形的个数是（）

△△△△

△△△△△△

△△△△△△

△△△

△△△△△△△△△△△△

①②③

A.69B.73C.77D.83

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11.分解因式：（x-y）2+16（y-x）=

3—x1

12.分式二的值比分式三的值大3,则x的值为

13.为了解北京市2025年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温,并绘制成如图的统计

图.若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为名，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为

si,下旬（21日至31日）的最高气温的方差为受，则或，s"的大小关系为

（用“＜，，号连接）.

北京市2023年3月每日最高气温统计图

A最高气温/℃

30

25

20

15

10._•_・・•

5

0

51015202530日期

14.如图，半径为1的。。与正五边形A8CDE相切于点A、C,则劣弧前的长度为.

15.如图，正方形ABC。的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,以BE为边

作正方形BEFG,〃为边的中点，当线段的长最小时，tan/ECB

16.在平面直角坐标系xOy中，点A（3,“）关于x轴的对称点为B（b,4）,则的值是

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

3+%4%+3

17.斛不等式：二一一IV-;—

26

18.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE,ZA=ZEDF,NE=NABC.求证：AC=DF.

[(-1_1

19.已知"(a-R+丁.

(1)化简M-,

(2)如图，在菱形ABC。中，AB=a(a>0),对角线3。=2,若△A3。的周长为2遍，求M的值.

20.新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医

院内一张长200cm,高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高

度CE=250c机，下沿EF与墙垂直，出风口/离墙20cm,空调开启

后，挡风板FG与FE夹角成136。，风沿FG方向吹出，为了病人不

受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？

为什么？(参考数据：sin46°=0.72,cos46yo.69,tan46°~1.04)

21.2022年10月12日我校推出四种校本课程：A.激光切割，B.数学游戏，C.击剑，D.Pyf〃加趣味编

程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程.为了解学生最喜欢哪一项校本课程,

随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题:

(1)这次被调查的学生共有人；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)在平时的趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中

任选两名参加趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率.

22.如图，在等腰AABC中，ZA=ZB=30°.

(1)尺规作图：过点C作。CAC交A3于点D再过A、D、C三点作。。(保留痕迹，不要求写作法)；

(2)求证：8c是过A、D、C三点的圆的切线.

23.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种

红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进

价多9元.

(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润

y兀.

①求出y与尤之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

24.已知抛物线y=a7-2ax+c(a,c为常数，际0)经过点C(0,-1),顶点为D

(I)当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(0,1+a),若DE=20DC,求该抛物线的解析式；

(III)当-1时，点F(0,]-a),过点C作直线I平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N

(/7?+3,7)是直线/上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2VIU,并求此时点M,N的坐标.

25.如图1.己知正方形48c。中，BD为对角线，边长为3.E为边CD上一点,过E点作于尸

点，EF=<2

(1)如图1.连结CE求线段CF的长；

(2)保持△£>£尸不动，将正方形ABCD绕。点旋转至如图2的位置，连结BE,M点为BE的中点，连接

MC、MF,探求MC与关系，并证明你的结论；

(3)保持△。斯不动，将正方形42CD绕。点旋转一周，求出BE的中点M在这个过程中的运动路径长

及MC的最小值.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.广州作为“志愿之城”，截至2021年底，全市实名注册志愿者人数达4261700人，将4261700用科学记数

法表示应为()

A.426.17X104B.42.617xl05C.4.2617xl06D.0.42617xl07

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正整

数；当原数的绝对值<1时，”是负整数.

【解答】解：4261700=4.2617x106.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同<10,〃为

整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键.

2.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别

代表“立春”、”谷雨”、”白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是(

麻

A.B.C.D.------/

【答案】D

【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解.

【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形；

选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心

对称图形，

故选：D.

【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.若式子立乎有意义，则实数尤的取值范围是（）

x-1

A.介-2且#1B.x^lC.x>1D.x>-2

【答案】A

【分析】直接利用二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，再结合分式的分

母不为零，进而得出答案.

，久+2

【解答】解：式子一「有意义，贝曦+2加且x-1加，

x-1

解得：应-2且存1.

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关有意义的条件是

解题关键.

4.如图，该几何体的左视图是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看是三个相连接的同长不同宽的矩形，其中上下两个矩形的宽相同且比较小，故选

项2符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线

是虚线.

5.某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4,3,5,5,2,

5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为（）

A.4,4B.4,5C.5,4D.5,5

【答案】B

【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断.

【解答】解：将数据从小到大排列为：1,2,3,3,4,4,5,5,5,

这组数据的中位数为4；众数为5.

故选：B.

【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义.

6.如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是L”，油面宽为1%，则截面上有油部分的面积为（

【分析】连接OB,过点。作根据题意得出△043为等边三角形，利用三角函数得出。。=

学结合图形得出S扇彩MB=/病，SAOAB=苧病，两个面积作差即可得出结果.

【解答】解：如图，连接。A、0B,过点。作。CLA8,

VOB=OA=OC=lm,AB=lm,

：.AOAB为等边三角形，

ZA0D=30°,Z）O=AO・cos30°=亨（相），

,**S扇形△048=71XI2=gTl（加之）；

SAOAB=Jx|V3xl=（机）2,

._173_27T-3/3,2、

,,Sc有油部分一钎一工——12一（山）•

ACB

【点评】本题主要考查垂径定理的应用，理解题意，作出图形，综合运用这些知识点是解题关键.

7.如图，已知在平面直角坐标系中，Rt"8C的顶点A（0,3）,B（3,0）,ZABC=90°.函数y=”（尤

>0）的图象经过点C,则AC的长为（

A.3A/2B.2V5D.V26

【答案】B

【分析】根据A、2的坐标分别是（0,3）、（3、0）可知。4=。3=3,进而可求出通过作垂线构

造等腰直角三角形，求得BC?=2CD2,设CD=BD=m,则C（3+m,m）,代入y=+求得根的值，即

可求得BC2,根据勾股定理即可求出AC的长.

【解答】解：过点C作CDLx轴，垂足为

：A、8的坐标分别是（0,3）、（3、0）,

.•Q=OB=3,

在RtAAOB中，AB2=(?A2+(9B2=18,

又•:ZABC=90°,

/OAB=NOBA=45°=/BCD=NCBD,

：.CD=BD,

设CD=BDm,

C(3+m,m),

♦.•函数＞=［（尤＞0）的图象经过点C,

'.m(3+m)=4,

解得m=1或-4（负数舍去），

：.CD=BD=T,

:.Bd=2,

在RtAABC中，AB2+BC2=AC2,

；.AC=V18+2=2乘

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性

质，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决是关键.

8.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以A3为直径的圆经过点C和点

D,贝lJtanNAZ)C=()

【答案】D

【分析】先利用圆周角定理得到/ACB=90。，ZADC=ZABC,再利用正切的定义得到tanZABC=

从而得到tan/ADC的值.

【解答】解：为直径，

，ZACB=90°,

ACQ

在R3A8C中，tanZABC==

ZADC=ZABC,

3

tan^ADC=

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角

三角形.

9.如图，正方形ABC。的面积为12,点E在边。上，且CE=2,/A8E的平分线交于点F,点

N分别是BE,8尸的中点，则MN的长为（）

A.V6-V2B.---------C.2V3-2D.V3-1

2

【答案】A

【分析】连接ER由正方形ABC。的面积为12,CE=2,可得。及必-2,利用三角函数得NEBC=30。,

又AF平分可得N48尸=1/A5E=30°,故AF=2,DF=AD-AF=2s/3-2,可知£F=&Z）E=

V2X（2V3-2）=2V6-2V2,而M,N分别是BE,B尸的中点，即得MN的长.

【解答】解：连接所，如图：

:正方形ABC。的面积为12,

.•.AB=BC=Cr)=Ar)=2后

,:CE=2,

Z)£=2V3-2)tan/EBC=

：.ZEBC=30°,

：.ZABE=ZABC-ZEBC=60°,

平分NABE,

1

ZABF=RABE=30。，

在RtAABF中，AF=^fAB=2,

C.DF^AD-AF=2必-2,

:.DE=DF,ADE尸是等腰直角三角形，

：.EF^42DE=V2x(2V3-2)=2病一2鱼，

VM,N分别是BE,BF的中点，

:.MN是ABEF的中位线，

...-KJl)7i72^/6—2-/2亿历

..MN=2EF=-----------=76—72.

故选：A.

【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含30。角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，

解题的关键是根据已知求得/EBC=30。.

10.下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三

角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角

形的个数是()

△△△△

△△△△△△

△△△△△△

△△△,

△△△△△△△△△△△△

①②③

A.69B.73C.T.7D.83

【答案】B

【分析】本题的图形规律可以两部分来看，

(1)观察最下面一行变化规律列出代数式；

(2)观察剩余上面部分的规律并列出代数式；

综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果

【解答】解：图①中三角形的个数为5=2xl+l+2；

图②中三角形的个数为10=2x2+1+2+3；

图③中三角形的个数为16=2x3+1+2+3+4；

图⑨中三角形的个数为：

2x9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=73.

故选：B.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变化增加个数的规律，列出代数式.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11.分解因式：（尤-y）2+16（y-x）=（尤-y）（尤-y-16）.

【答案】（尤-y）<ix-y-16）.

【分析】直接提取公因式（x-y）,进而分解因式得出答案.

【解答】解：（x-2+16Cy-x）

=（x-y）2-16（x-y）

=（x-y）（x-y-16）.

故答案为：（x-y）（x-y-16）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

3—rI

12.分式--的值比分式---的值大3,则x的值为1.

2-xx-2--------

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值.

3—%1

【解答】解：根据题意得：----3,

2-xx-2

去分母得：x-3-l=3x-6,

移项合并得：-2尤=-2,

解得：x=\,

经检验x=l是分式方程的解，

故答案为：1.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

13.为了解北京市2025年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成如图的统计

图.若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为名，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为

sl，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为受，贝卜卜s女,s轴勺大小关系为（用

号连接）.

北京市2023年3月每日最高气温统计图

▲最高气温/℃

30-------------------------------------------

0——1——1——1——1——1——

51015202530日期

【答案】sl<sl<sl，

【分析】根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小.

【解答】解：根据折线图可以看出，1日-10日气温在7。(7至27.5。<?徘徊；11日至20日气温在1(TC至

20。。徘徊；21日至31日气温在IIP至25P徘徊,

所以1日-10日气温气温波动最大，11日至20日气温波动最小，21日至31日气温波动在上旬和中旬之

间,

所以赍Vs序VsA

故答案为：s/<sj<sl.

【点评】本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键.

一471

14.如图，半径为1的。。与正五边形ABCOE相切于点A、C,则劣弧衣的长度为不

【答案】见试题解答内容

【分析】连接。4、OC,如图，根据正多边形内角和公式可求出NE、ZD,根据切线的性质可求出/

OAE,ZOCD,从而可求出NAOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.

【解答】解：连接04、OC,如图.

五边形ABCDE是正五边形，

NE=/D=2俨80°=108°.

,：AE,CD与。。相切，

：.ZOAE^ZOCD^90°,

：./AOC=(5-2)xl80°-90°-108°-108°-90。=144。,

………144X7TX147r

.•.力。的长为---------=—.

1805

4兀

故答案为三~.

【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求

出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键.

15.如图，正方形ABC。的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,以BE为边

1

作正方形BEFG,M为AB边的中点，当线段的长最小时，tan/ECB=:.

1

【答案】--

【分析】连接8凡BD,过点M作于M连接。通过证明△BECs/Xs/*,可求DF=&EC

=3V2,在中，MF>DM-DF,则当点B在上时，MF有最小值，分别求出MMDN,即可求

解.

【解答】解：如图，连接3RBD,过点M作阿，2。于N,连接。

四边形ABCD,四边形BEFG都是正方形,

：.BD=V2BC=8V2,BF=^2BE,ZDBC=ZABD=ZFBE=45°,

BFBD

：.ZDBF=ZCBE,—=—=Vr2,

BEBC

:.丛BECs丛BFD,

DFBD

：.—=—=Vr2,ZECB=ZFDB,

ECBC

：.DF=V2EC=3V2,

在AMFD中，MF>DM-DF,

当点P在MD上时，MF有最小值，

为AB边的中点，

VZABD=45°,MN±BD,

:.MN=BN=芋BM=2近,

:.DN=6a,

MN1

tanZECB^tanZMDB=福=言,

1

故答案为：—

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证

明ABECsABFD是解题的关键.

16.在平面直角坐标系尤Oy中，点A(3,a)关于无轴的对称点为BQb,4),则a+b的值是-1

【答案】-1.

【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出a,6的值,

即可得出答案.

【解答】解：：点A(3,a)关于x轴的对称点为8(b,4),

；.6=3,a--4,

a+b=3-4=-1.

故答案为：-1.

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a,b的值是解题关键.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

3+%4%+3

17.斛不等式：——-1<-;—

26

【答案】尤＞0.

【分析】根据解不等式的一般步骤解答即可，解答的一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项,

系数化为1.

3+x4x+3

【解答】解:——-1<-----

26

去分母得：3(3+x)-6<4A+3,

去括号得：9+3x-6<4x+3,

移项合并得：-尤＜0,

系数化为1得：x＞0.

【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上

或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不

变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

18.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE,ZA=ZEDF,ZE=AABC.

求证：AC=DF.

DB/E

A

F

【答案】见解答.

【分析】由知4B=EQ,结合NA=NEZ)R/E=NABC,依据“ASA”可判定△ABCgZkDEF,依

据两三角形全等对应边相等可得AC=DF.

【解答】证明：

AD+BD=BE+BD,§PAB^ED,

^ABC=/E

在AABC和△DEF中，-4B=ED，

</.A=/.EDF

:.△ABC2DEF(ASA),

C.AC^DF.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

1n—1

19.已知M=(a-£)+.•

(1)化简M；

(2)如图，在菱形A5CD中，AB=a(〃>0),对角线30=2,若△A3。的周长为2而，求M的值.

〉c

B

<224-<2-2

【答案】(1)

a，

V5-1

⑵-------

2

(1)先算括号里，再算括号外，即可解答；

(2)根据菱形的性质可得AB=AD=a,再根据AAB。的周长为2迷，从而求出a的值，然后利用(1)

的结论进行计算即可解答.

【解答】解：(1)M=(a-k+噌

q2—1Cl—1

=--------1-------

CLa

2

--a---+--a--—--2--

a，

(2),・,四边形ABC。是菱形，

.\AB=AD=a,

「△AB。的周长为2而，BD=2,

：.AB+AD^2-/5-2,

：.AB=AD=V5-l,

a=V5-1,

...当a=V5—1时，

(75-l)2+V5-l-2

序1

V5—1

【点评】本题考查了分式的化简求值，菱形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键.

20.新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm,高50cm的病床

靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE=250c如下沿EF与墙垂直，出风口P离墙20cm,空调开启后，

挡风板与FE夹角成136。，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请

问空调安装的高度足够吗？为什么？(参考数据：sin46°=0.72,cos46°=0.69,tan46°=1.04)

【答案】见试题解答内容

【分析】延长PG交直线于点X,过P作尸于点O,在RtAFHO中，利用正切函数的定义求出

HO,与200c进行比较即可.

【解答】解：空调安装的高度足够.理由如下：

如图，延长尸G交直线AO于点”，过F作/OL4。于点。，

贝ijEO=ED=250-50=200(cm),AO=200-20=180(cm),ZHFO=136°-90°=46°.

:在Rt△切。中，tan460=需，

，HO=F0xtan46°~200x1.04=208>180,

：.HO>AO,

空调安装的高度足够.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，理解题意准确作出辅助线

构造直角三角形是解题的关键.

21.2022年10月12日我校推出四种校本课程：A.激光切割，B.数学游戏，C.击剑，D.尸”/?。〃趣味编

程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程.为了解学生最喜欢哪一项校本课程,

随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有200人;

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)在平时的“乃地。〃趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中

任选两名参加今比。“趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率.

【答案】⑴200；

(2)见解答;

1

(3)—.

6

【分析】(1)用选修B课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

(2)先计算出选修C课程的人数，然后补全条形统计图；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出同时选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公

式计算.

【解答】解：(1)这次被调查的学生总人数为80+40%=200(人)；

故答案为：200；

(2)选修C课程的人数为200-20-80-40=60(人)，

开始

共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2,

所以恰好同时选中甲、乙两位同学的概率=得=1.

1Zo

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出

符合事件A或8的结果数目加，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

22.如图，在等腰A48C中，ZA=ZB=30°.

(1)尺规作图：过点C作CDA.AC交AB于点D.再过A、D、C三点作。。(保留痕迹，不要求写作

法)；

(2)求证：8C是过A、D、C三点的圆的切线.

C

A

B

【答案】（1）作图见解答；

（2）证明过程见解答.

【分析】（1）先过C点作CDLAC交于点。，再作A。的垂直平分线得到A。的中点。，然后以。

点为圆心，为半径作圆；

（2）连接0C,如图，先利用三角形内角和定理计算出/ACB=120。，再利用等腰三角形的性质得到/

0cA=30。，所以NOCB=90。，则。CL8C,然后根据切线的判定方法可判断BC为。。的切线.

【解答】（1）解：如图，先COLAC交A8于点。，再作的垂直平分线交AO于点。，接着以。点

为圆心，0A为半径作圆，

（2）证明：连接OC,如图，

•/ZA=ZB=30°,

，ZACB=120°,

\'OA=OC,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.ZOCB=ZACB-NOCA=90°,

：.OC±BC,

:oc为。。的半径，

...BC为。。的切线，

即8C是过A、D、C三点的圆的切线.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和切线的

判定.

23.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种

红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进

价多9元.

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润

y兀.

①求出y与尤之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据用3120元购进甲灯笼

与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；

(2)①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；

②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案.

【解答】解：(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，由题意得：

31204200

xx+9'

解得x=26,

经检验，尤=26是原方程的解，且符合题意，

；.x+9=26+9=35,

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对.

(2)①了二(50+x-35)(98-2x)=-2/+68x+1470,

答：y与x之间的函数解析式为：y=-2v+68x+1470.

②；a=-2<0,

函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：》=-六=17,

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

.*.x+50<65,

・••立15,

,.”<17时，y随尤的增大而增大，

.,.当x=15时，y最大=2040.

15+50=65.

答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元.

【点评】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合.由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做

对.本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度.

24.已知抛物线》二办2-2以+c(a,c为常数，存0)经过点C(0,-1),顶点为D

(I)当a=l时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(0,1+a),若DE=20DC,求该抛物线的解析式；

(III)当-1时，点尸(0,1-a),过点C作直线1平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N

(m+3,-1)是直线/上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为并求此时点N的坐标.

【答案】(I)(1,-2)；(II)产#-尤-1或y=|7-3尤-1；(III)点M的坐标为(一，0)、

11

点N的坐标为(二，-1).

6

【分析】(I)由y=x2-2x-1=(x-1)2-2,即可求解；

(II)由DE=2&DC得:Z)E2=8C£>2,贝(1-0)2+(o+l+a+1)2=8f(1-0)2+(~a-1+1)2],即

可求解；

(III)当满足条件的点M落在尸。上时，由图象的平移知。N=〃M,故此时/M+ND最小，进而求解.

【解答】解：抛物线y=ax1-2ax+c(a,c为常数，。加)经过点C(0,-1),则c=-1,

(I)当a=l时,抛物线的表达式为y=x1-2x-1=(x-1)2-2,

故抛物线的顶点坐标为(1,-2)；

(II)\'y=ax1-lax-\—a(x-1)2-a-L

故点D(1,-a-1)9

由OE=2夜。。得：Z)E2=8CD2,

即(1-0)2+(Q+I+Q+1)2=8[(1-0)2+(-tz-1+1)2],

,,i3

解得a=5或1，

乙2

故抛物线的表达式为y=#-x-1或y=#-3x-1；

(III)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点。(-2,-a),

作点厂关于无轴的对称点尸，则点F的坐标为(0,o-1),

当满足条件的点M落在尸。上时，由图象的平移知。N=£W,故此时FM+ND最小，理由：

;FM+ND=FM+D，M=FD为最小,即F'D'=2y/10,

贝lj(1-2。)2+4=(2V10)2,

解得a=:(舍去)或—|,

则点。、〃的坐标分别为(-2,|)、(0,—方，

由点D、尸的坐标得，直线DP的表达式为尸-3x-[

77

当y=0时，-3x-=0,解得x=一d二加，

11

贝!Jm+3=-g-,

711

即点M的坐标为(一^0)、点N的坐标为(一，-1).

66

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合

的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

25.如图1.已知正方形ABC。中，8。为对角线，边长为3.E为边CD上一点,过£点作E几于尸

点，EF=<2

(1)如图1.连结CF,求线段CF的长;

(2)保持ADEP不动，将正方形ABC。绕。点旋转至如图2的位置，连结BE,M点为的中点，连接

MC、MF,探求MC与关系，并证明你的结论；

(3)保持AOEF不动，将正方形ABC。绕。点旋转一周，求出BE的中点M在这个过程中的运动路径长

及MC的最小值.

(2)MC=M/且〃C_LMF；

-342

(3)