2025年中考数学压轴题拔高训练：函数与图形的面积等量关系

函数与图形的面积等量关系

问题与方法

问题:⑴如图2-2-1,在平面直角坐标系中，点A(3,3),B(-2,-2),C(4,-3)平面4BC的面积为:

(2)如图2-2-2,在平面直角坐标系中，点A(6,3),B(-2,-2),C(4,-3),则AABCBC的面积为.

【简析】三角形三边均不平行于坐标轴，故需“改斜归正”：

过点A作平行于y轴的直线AH，交BC(或BC的延长线)于点H得到两个有一边与坐标轴平行的△2HC,,

这两个三角形的面积和(或差)即为所求.是求和"还是求差'，看“点A”的位置.

⑴如图223,过点B,C作x轴的平行线,分别交AH于点M,N,

则以BC=SABH+SACH=-(BM+CN)=\AH{xc-xB)=3AH.

由B(-2,-2),C(4,-3),可得直线BC的解析式为y=--

OD

•••H(3,一韵,A”=，•.SABC=3XH=y

(2)如图224,过点B,C作x轴的平行线,分别交AH于点E,F,

AABCAABA：HB

则S=S”一S4cH=-^AHX(,BE—CF')=-^AH^(.J:A—)—=-^-AH(xc—)=3AH

同(1)求得=£,；.SABC=3aH=19.

方法策略：如图2-2-5,求解此类问题关键是求出线段AH的长(边BC的铅垂高)，以及B,C两点之间的水平

品巨离(水平宽)，SABC=水平宽:口垂向=|a“(xc-xB)=|[yA-yH)(xc-xB).

图2-2-6

上面我们用的是分割法，当然也可以“补”成特殊四边形求解，图形如图2-2-6,同学们可以自己尝试求解.

【问题分析】

求解动点问题要善于运用不变量在变化的过程中始终保持不变的量会对解题带来帮助.本题中不管点P如何运

动，对于APBC而言,BC不变.

思路1:割补法

直角坐标系下的“斜”三角形的面积求法均可以通过切割形式转化为“正”三角形来解决，常用竖切法：过点P作

X轴的垂线，将APBC分割成两个易求面积的三角形（有一边与坐标轴平行）,转化为求这两个三角形的面积和.

思路2:平移法

BC的长是定值，要使"BC的面积最大只需BC边上的高最大即可.当点P到BC的距离最大时，APBC的面积

最大.

根据“平行线间的距离处处相等”可知，平移直线BC当直线BC与抛物线只有一个公共点时面积达到最大值，

此时的公共点即为点P.

此题也可以用相似法、面积和差法求解，详见参考答案.

变式1如图2-2-8,已知抛物线y=-K2+2x+3与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴正半轴交于

点C,经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,P为直线BC上方的抛物线上一动点，当APCD的面积最大

变式2如图2-2-9,已知抛物线y=-d+2x+3与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点

C,过点A作AD//BC交抛物线于点D,P为直线BC上方的抛物线上一动点,Q为直线AD上的一点求四边形PCQB

面积的最大值及取最大值时点P的坐标.

此题中C,D为定点,P为动点，与例1均属于“两个定点+一个动点”的三角形面积问题.两题的主要区别是点D

的位置(点P可能在点D的左侧，也可能在点D的右侧)，但仍然可利用割补法求解.

【问题分析】

此题为四边形的面积最值问题.观察发现四边形PCQB由APBC和AQBC组成，问题转化为求这两个三角形的面

积问题.

变式3如图2-2-10,已知抛物线y=-%2+2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴正半轴交于

点C过点C作CD||久轴交抛物线于点D,P为线段CD上的一动点过点P作PE||BD交AD于点E,连接CEaAPCE

的面积最大时，求点P的坐标.

因为PC〃x轴.所以欲求△PCE的最大面积，关键在求其高，即点E到CD的距离.于是考虑过点E作EH±CD

于点H,问题转化为求EH,PC的长.

例2如图2211抛物线y=|/+版+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且点B的坐标为(2,0).

(1)求该抛物线的解析式；

⑵若P是线段AB上的动点(不与点A,点B重合).过点P作PE||4C,交BC于点E,连接CP,求APCE面积的最

【问题分析】

⑵中,"CE中只有一个定点，但两动点P,E有一定关联(PE〃AC),此条件为求解本题的突破口.

思路1:由PE//AC可得ABPEs^BAC,利用相似比可得SAPBE与SAABC的关系，再利用S「CE=SPCB-S「BE求

解.

思路2:由PE/7AC及AC的解析式可表示出PE的解析式，从而联立方程组可求得点E的坐标，再利用分割法

求APCE的面积.由于点P可能在y轴左侧，也可能在y轴右侧，因此需分情况讨论.

进阶训练

1.如图2-2-12,在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+2)(x-6)(a邦)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,D

为抛物线的顶点，连接AD,已知tanZBAD=2.

(1)求点D的坐标及a的值；

(2)连接AC,交抛物线对称轴于点E,P为直线AD下方抛物线上的一个动点(不与A,D重合).连接PA,PD,DE,

求四边形APDE面积的最大值及相应点P的坐标.

2.如图2213,二次函数的图象经过点A(-1,0)K3,0)《(0,-3),直线丫=2*-2与*轴，y轴分别交于点D,E.

⑴求该二次函数的解析式；

⑵若点M在抛物线上的B,C两点之间，求4MDE的面积的最大值和最小值.

3.如图2214,在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点,F是AD的中点,B,C,D的

坐标分别为(20),(8,0),(13,10).

⑴求过B,E,C三点的抛物线的解析式；

⑵设过点F与AB平行的直线交y轴于点Q,M是线段EQ上的动点射线BM与抛物线交于另一点P,当APBQ

的面积最大时，求点P的坐标.

图2-2-14

4.如图2215,抛物线y=-/_x+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求A,B,C的坐标.

⑵如图①，P是直线AC上方抛物线上的一点，连接PA,PC,求APAC的最大面积及取得最大面积时P点的坐标.

⑶如图②，P是直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PM±x轴,垂足为M,交AC于点E,过P点作PQ〃x轴

交直线AC于点Q,过点Q作QNJ_x轴于点N.

①当QE长度最大时，求点Q的坐标；

②当矩形PQNM的周长最大时，求AAME的面积.

图2-2-15

5.如图2216,抛物线y=ax2+旅+c交x轴于A(-1,O),B(3,O)两点，交y轴于点C(0,-3),Q为线段BC上的动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵过点Q作PQ〃AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接PA,PB,记APAQ与APBQ的面积分别为Si&,设S=

SI+52,求点P的坐标，使得S最大，并求最大值.

6.如图2217,抛物线y=-x2+|x+2与直线人:y=-|x-3交于点A,点A的横坐标为-1,直线。与x轴的

交点为D,将直线11向上平移后得到直线12,直线12刚好经过抛物线与X轴正半轴的交点B和与y轴的交点C.

(1)直接写出点A和点D的坐标，并求出点B的坐标.

(2)若M是抛物线第一象限内的一个动点，连接DM,MA.

①设AAMD的面积为S,当S取得最大值时，求点M的坐标及S的最大值；

②若DM交直线L于点N,连接AN.设AAMN的面积为当Si取得最大值时，求点M的坐标及Si的最大值.

图2-2-17

答案

类型一

I应用举例I

例1解：解法1：由抛物线的解析式y=-/+2久+3可知点B,C的坐标分别为B(3,0),C(0,3),

如图，过点P作PH±x轴交直线BC于点H,交x轴于点D,贝MPBC被线段PH分割成了两个三角形.

过点C作CELPH,垂足为E,则

1111

SPBC=SPCH+SPBH=《PH-CE+-PH-BD=-PH{CE+BD)=-PH-OB.

VOB为定值,.•.当PH长度最大时,APBC的面积最大.可求得直线BC的解析式为y=-x+3,

设点P的坐标为(加--+2m+3),则点H的坐标为(m,-m+3).

点P在直线BC上方的抛物线上,

•••PH=—m2+2m+3—(―m+3)=—m2+3m.

则SPBC=|PH-OB=1x(—m2+3m)x3=—|m2+|m=—|(m—|)+

•••点P在直线BC上方的抛物线上运动，

.♦.点P的横坐标m的取值范围为0<m<3.

当点P的横坐标为弼，APBC的面积最大,最大面积为能此时点P的坐标为((|咛).

【解法反思】(割补法)

将三角形割补成多个三角形，进行面积的和差计算，是求三角形面积时的常用方法.在坐标系背景下，因“横

线，，，，竖线，，容易表示，故常将三角形进行横竖割补后再求面积.常见的割补形式有如下三种：以三角形三个顶点分别

横竖切割，能切则切，不能切则补.

^ABC=54。,EC=S=—BD-EC=S=S=S尔—

ZZABCABC4A出BCBCEF

11

-AD{xc-xB}-BD(yA-yc)SABF-SACE

解法2:由解法1可知直线BC的解析式为：y=-x+3,设过点P且平行于直线BC的直线的解析式为：y=-x+b,设

其与y轴交于点M,连接BM.

P=一%2+2%+3,

y=­x+b,

消y得-，+2%+3=-%+仇化简得%2—3%+b-3=0.当点P到BC的距离最大时，直线PM与抛物线只有

一个交点，即方程比2—3x+b—3=0有两个相等的实数根，即(—3)2—4(b-3)=0,解得6=学

直线PM的解析式为y=-久+・

可得点P的坐标为(|，号.

SPBC=SABC="M•OB=[X伶-3)X3=葛即APBC面积的最大值为华

Zz\4/oo

【解法反思】(平移法)

思路的关键有两处，一是抓“运动中的不变量”即底定三角形的面积最值由高确定；二是抓“平行线间的距离处

处相等”可将，，定直线BC”平移到与抛物线只有一个交点.

解法的关键也有两处，一是由直线与抛物线只有一个交点得“根的判别式为0”进而解出交点坐标；二是依然由

“平行线间的距离处处相等”将要求的APBC的面积转化为AMBC的面积，更易求出面积.

解法3：如图，过点P作PDXBC于点D,作PH〃y轴交BC于点H.因本题BC的长度不变，故BC边上的高

PD最大时面积最大利用“改斜归正”原理将“斜线段PD”转化为“正线段PH”.因寸丽ZXBOC厕当PH最长时,PD

也最长，下同解法1,求出PH的最大值得出PD的最大值.

【解法反思】(相似法或三角函数法)

改斜归正”将“斜线段”转化为“正线段”是坐标系背景下求线段长度的常用思想.再抓运动中的不变量，易得新

△PDH始终与固定三角形OBC相似(或有角始终不变),进而解决问题.

解法4：等积法

连接0P,过点P作PM±y轴于M,PN±x轴于N,设点P的坐标为-+2m+3),

则SPBC=SP0C+SP0B-SB0C-PM+\PN-OB-\0B-OC

=ix3xm+^x3x(—m2+2m+3)—^x3x3=—1m2+^m=—1—3227

+

2~8,

下同解法1.

变式1解易知B(3,0),C(0,3),故直线BC的解析式为y=-x+3.

当点P在点D右侧时，如图，过点P作PQ〃y轴，交BC于点Q.

V抛物线的对称轴为直线x=l,D(l,2).

设P(np—TH?+2m+3)厕Q(m,-m+3),PQ=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m.

1、113

SpCD=SpcQ-SpDQ=qPQz-%c)=]PQ=_]67~l_2

=P=+m

当点P在点D左侧时，同理可知Spco=SPCQ+SPDQ=|PQ(XD-Xc)lQ|-

•.•0<m<3,.•.当m=|时,SAPCD最大，此时P(|喏).

【解法反思】“两定点+一动点”的三角形面积=1x竖直线段长x两定点的横坐标之差.如本题中，C,D为定点,

P为动点，竖直线段为PQ（PQ〃y轴交BC于点Q）.此题也可用补形法求解.

变式2解:连接AC,VAD/7BC,SABCQ=SAABC=6.

,-1△BCQ的面积为定值，S=SBCQ+SBCP，

.•.当APBC的面积最大时,四边形PCQB的面积最大.

由例1可知当点P的坐标为（|，引时，"BC的面积最大，最大值为2看

；•四边形PCQB面积的最大值为6+?=?

此时p点的坐标为（（!《）.

【解法反思】四边形的面积一般分割成三角形的面积求解.求解面积问题时，注意根据同底等高的三角形面积相

等转化求解,简化运算.如本题中，由AD〃BC得：SQBC=SAABC,不仅简化了运算，而且将四边形PCQB转化为

一面积为定值的三角形和一面积变化的三角形.

变式3解:易知B(3,0),C(0,3),D(2,3).

过点E作EHLCD于点H.

•「PE〃BD,CD〃AB,

JZHDA=ZDAB,ZDPE=ZDBA.

tanZHDA=tanZDAB二

l,tanNDPE=tanNDBA=3.设EH=n,

则DH=n,PH=gn.

设P(m,3),

16—3m

DP=2—m=n+—n,•••n=——-----,

34

116—3m—3m2+6m

•••SpcE二大PC-EH=—m------

2248

・・.当m=l时,S2kPCE最大,止匕时P(l,3).

【解法反思】求坐标系中的三角形面积时，注意应用题目中的特殊角、平行关系，借助三角函数或相似等转化

求解.如本题中ZHDA=ZDAB=45°.

例2解:⑴：抛物线过点C(0,-4),B(2,0),.-.L,「解得V2

12+2b+c=0.lc=-4.

..•抛物线的解析式为y=jx2+x-4.

2

(2)解法1:令y=0,gp|x+x-4=0,解得Xi=-4,x2=2.

1

.■.AC-4-0\SABC^-AB-OC=12.

设P点坐标为(x,0)(-4<x<2),则PB=2-x.

VPE/7AC,

APBE^AABC.

化简得SPBE=式2-％)2,

11

***SpcE~SpcB~SpBE=]PB,OC-SpBE=,x(2一%)X

l、21281,

4--(2z-x)2=--%72--%+-=--(x+l)2+3.

・••当X=-1时S2kPCE最大，最大值为3.

【解法反思】本解法充分利用了“PE〃AC”这一条件，根据相似比，结合ABAC的面积表示出21BPE的面积,进

而根据SpcE=SpBC—S^PE求解.

2+%—

解法2：由六4=0,解得的=-4,X2=2,所以A(-4,0).

又C(0,-4),B(2,0),

所以直线AC的解析式为y=-x-4,直线BC的解析式为y=2x-4.

设点P的坐标为(m,0),则

因为PE〃AC,所以直线PE的解析式为y=-x+m.

设直线PE交y轴于点F,

贝！］F(0,m),CF=m-(-4)=m+4.

_m+4

“丁

=2m-4

{y-3，

所以点E的坐标为(等，誓)

所以P,E两点之间的水平距离为等-m=-^+1.

①如图①，若点F在y轴负半轴上，

①

2

则SRE=SFCF+SEP=|CF-(xB-4)=|(m+4)(一等+}=-|(m+I)+3.

②若点F与原点及点P重合，则m=0,EG，-；),SPCE=|x4x|=|.

③如图②，若点F在y轴正半轴上,

②

2

则SRE=SRE-SRP=~CF'(xE-xP)=|(m+I)+3.综上，当m=-l时,APCE面积最大，最大值为3.

【解法反思】此解法利用了“两直线平行,x的系数相等”的结论，先表示出PE的解析式，再联立BC的解析式

求得点E的坐标，利用坐标表示出面积，再求最值.注意分类讨论.

进阶训练I

1.解:⑴令y=0,可得a(x+2)(x-6)=0,解得x=-2或x=6,

...A(6,0),B(-2,0),对称轴为直线x=6+：2)=2.

；・顶点.D(2,-16a).

16a1

・•.tanZ-BAD=2,・,•------=2.a=-.D(2>—8)

6-22,)

(2)由题可知C(0,-6),y=|(x+2)(久-6)=|x2-2x-6.由A(6,0),D(2,-8)可得直线AD的解析式为y=2x-12.

如图，过点P作x轴的垂线交AD于点H.

设P但严—2"城，则H(t,2t-12).

11_

SRPD=—XHPX(6—2)=2X(2t—12——+2t+6)=一产+8t—12=—(t—4)2+4.

当t=4时，AAPD的面积最大，最大值为4,此时点P(4,-6).

由A(6,0),C(0,-6)可得直线AC的解析式为y=x-6,

.\E(2,-4).

1

SAED=-x4x4=8.

,S®211gApDE=SAADE+=8+SAApD>

AAAPD面积最大时，四边形APDE的面积最大,最大值为8+4=12,此时点P(4,-6).

2.解：⑴设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将A(-l,0),B(3,0),C(0,-3)的坐标代入解得a=l,b=-2,c=-3,.♦.二次

函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2)如图.过点M作MN〃y轴,交直线DE于点N,交x轴于点H,

当y=2x-2=0时,x=1,OD=1.

贝USMDE=SMNE-SMND=\MN-OH-\MN-

11

DH=-MN-OD=-MN.

22

设点Mg，——2m—3),则N(m,2m-2),

.MN=2m—2—(m2—2m—3)=-m2+4m+1..

1115

•••SMDE=-MN=-(-m2+4m+1)=--(m-1)2)2+-(0<m<3).

当m=2时,S=§；当m=0时S._=

MDE-大值2'口MDE-小值2

3.解:⑴・・,平行四边形ABCD的顶点B,C,D的坐标分别为(-2,0),(8,0),(13,10),

AA(3,10).

设直线AB的解析式为y=kx+t,

则忙为"解得忆：

直线AB的解析式为y=2x+4.

当x=0时,y=4,则点E的坐标为(0,4).

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,

1

a=—

0=(-2)2a+(-2)b+c,4

则2,3

0=8-a+8b+c,解得b=-,

4=c,2’

c=4.

；•抛物线的解析式为y=-；X2+|%+4.

⑵由⑴知直线AB的解析式为y=2x+4.

•.•FQ〃AB,故可设直线FQ的解析式为.y=2x+bi将F(8,10)代入解得打=-6,

...直线FQ的解析式为y=2x-6.

当x=0时,y=-6,...Q点的坐标为(0,-6).

设M(0,m),直线BM的解析式为:y=k2x+M将M,B两点的坐标代入，。一瑞+仇,解得

b2=m,

直线BM的解析式为y=+m.

•••点P为直线BM与抛物线的交点,

rri,

y=­x+m,

J,3

Iy=--x+-x+4,

解得打=-2(舍去),X2=8-2m,

.••点P的横坐标为8-2m.

11

SPBQ=2xMQx(|%p|+|%BI)=-x(m+6)x

,、(1\2121

(8—2m+2)=—(TH+5)+.

—1<0,.•.当爪=-1时SAPBQ取得最大值，此时点

P的横坐标为8-2x(-|)=9.

将x=9代入抛物线解析式得y=-节，

・•,P(少-¥).

综上所述，当APBQ的面积最大时，点P的坐标为,，-芍).

4.解:(1)令―——%+6=解得%1=—3,%2=2,

・・・A(-3,0),B(2,0).

当x=0当y=6,，C(0,6).

(2)由A(-3,0),C(0,6)可得直线AC的解析式为y=2x+6.

过点p作y轴的平行线交AC于点E.

设PO—好一％+6),贝!]E(x,2x+6),

.・.PE=—x2—x+6—2x—6=-x2—3x.

1,、33393/3\227

229-x+

•••SPAC=--PE-Qxc-=-PE=-(-%-3%)=--x--x=2\2/+百.

・，.当％=_|时,SaPAC最大，最大值为',此时尸(-1，今.

(3)①・；PE〃y轴,I.ZPEQ=ZACO.

1

••・tanzPEQ=tanZTlf。=

设PQ=m,JJl!|PE=2m,QE=V5m,

・•.QE=b与=yPF.:PE最大时，QE最大.

由⑵知P(-1爷.

•••PQ〃x轴,，Q点的纵坐标为?，把y=*