2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分训练（原卷版）

专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！

目录导航一

例题讲模型

模型1.将军遛马模型.........................................................................2

模型2.将军造桥（过桥）模型................................................................4

习题练模型

...........................................................................................................................................6

例题讲模型］

模型1.将军遛马模型

将军遛马模型：已知/、8是两个定点，P、。是直线加上的两个动点，尸在。的左侧，且间长度恒定,

在直线机上要求尸、。两点，使得H+PQ+08的值最小。

点/、2在直线机异侧（图1-1）；点/、3在直线加同侧（图1-2）；

A.

Q

图1-2

将军遛马模型（异侧型）：如图1-1,过/点作NC〃私且/。=尸0,连接3C,交直线机于0,。向左平移

P。长，即为尸点，此时尸、。即为所求的点。

'：PQ为定值，，求PA+PQ+QB的最小值，即求B4+Q2的最小值+尸0。

,：AC//m,AC=PQ,得到四边形4PQC为平行四边形，^AP=QC„：.PA+QB=QC+QB,

再利用“两点之间线段最短”，可得E4+Q2的最小值为C3,故我+尸0+。3的最小值=2。+。〃

图1-1图1-2

将军遛马模型（同侧型）：如图1-2,过/点作/£〃相，且4E=P0,作8关于加的对称点戌，连接夕£,交

直线于。，。向左平移尸。长，即为尸点，此时P、。即为所求的点。

■:PQ为定值，,求PA+PQ+QB的最小值，即求处+08的最小值+产。。

'：AE//m,AE=PQ,得到四边形4P0E为平行四边形，^AP=QEo：.PA+QB=QE+QB,

根据对称，可得。3'=。2,QE+QB=QE+QB,,

再利用“两点之间线段最短“，可得。E+01的最小值为£戌，ikPA+PQ+QB的最小值=尸0+后夕。

模型运用

例1.（2023•陕西・模拟预测）如图，菱形48CD的边长为3,/BAD=60°,点、E、F在对角线NC上（点E

在点尸的左侧），且£歹=1,则DE+8/最小值为

例2.（2023•安徽合肥•校考三模）在边长为2的正方形/BCD中,点£、下是对角线50上的两个动点，且

始终保持8尸-5£=1,连接NE、CF,则NE+C厂的最小值为（）

A.272B.3C.275D.275+1

例3.（2024•河北邯郸•三模）如图，在边长为1的菱形/BCD中，ZABC=60°,将△48。沿射线8。的方

向平移得到△42'。'，分别连接HC,A'D,B'C,则HC+8'C的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

例4.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在正方形48CD中，E,尸是对角线/C上两点（点E靠近点/）,

旦EF=26,当+B/的最小值为2加时，48的长为.

模型2.将军造桥（过桥）模型

模型解读

将军造桥（过桥）模型:已知，如图2,将军在图中点/处，现要过河去往8点的军营，桥必须垂直于河岸建

造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：NM+ACV+A®的值最小）。

图2-1图2-2

模型证明

将军造桥（过桥）模型：如图2-2,过/点作S.AA^MN,连接42,

:AAY/MN,且四边形/尸0c为平行四边形，故

为定值，二求/M+ACV+A®的最小值，即求的最小值+MM

再利用“两点之间线段最短”，可得NM+A®的最小值为/'8,故NM+AW+A®的最小值=/\B+TW。

模型运用

例1.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，Y/BCD中，48=3,AD=2,ADAB=60°,DFA.AB,BELCD；

垂足分别为点歹和E.点G和〃分别是。尸和BE上的动点,GH//AB,那么AG+GH+CH的最小值为.

例2.（2023•江苏苏州•校考二模）如图，在Rt448C中，AACB=9Q。,NBAC=3Q。,4B=班.如果在三角

形内部有一条动线段MN〃/C,且儿W=l,则4W+8N+CW的最小值为.

例3.（2024•陕西西安,二模）如图1,正方形NBCD的边长为4,点E、尸是对角线上两动点，且所=2,

（1）①四边形的形状为；

②连接NC、AF,当点A,F,"共线时，CE+C尸的值为.

（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存

的摇篮.如图2,某地黄河的一段出现了分叉，形成了“丫”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在

支流1的左上方有一村庄A,支流2的右下方有一开发区B,为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1

和支流2上分别修建一座桥梁尸。、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河

岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区3理论上的最短路程吗？（即/尸+PQ+QN+跖V+A®和

的最小值）.经测量，A、8两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为1506米、250米，

且与线段N8所夹的锐角分别为60。、30°.

习题练模型

1.（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2百，ZABC=60°,点E、F在对角线BD上运动,

且EF=2,连接AE、AF,贝SAEF周长的最小值是（）

A.4B.4+73C.2+26D.6

2.（2023•广西•二模）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB

=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M

点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2>/13B.1+375C.3+737D.785

3.（2024・四川泸州一模）如图，在直角坐标系中，/（-2,0）,5（0,2）,C是03的中点，点。在第二象限,

且四边形/OCD为矩形，尸是CD上一个动点，过点尸作于"，。是点8关于点/的对称点，则

BP+PH+HQ的最小值为

4.（2022・四川自贡・中考真题）如图，矩形48co中，48=4,BC=2,G是/。的中点，线段E尸在边AB

上左右滑动；若EF=l,则GE+CF的最小值为.

5.（2023上•江苏盐城•九年级校联考阶段练习）如图，正方形/BCD内接于。O,线段儿W在对角线5。上

运动，若。。的周长为2万,MN=1,贝！U4WN周长的最小值是

6.（2023秋•河南南阳•九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形N8CD中将AABD沿射线8。平移,

得到AEG尸，连接EC、GC.求EC+GC的最小值为

7.（2024•江苏扬州•一模）如图，在矩形中，点£、尸是对角线8。上的两点，ZC5D=30°,AB=EF,

DF

点G是边3c的中点.当GE+/尸取最小值时，一的值为.

8.（2024・陕西西安•模拟预测）如图，矩形48co中，AB=12,AD=6,E是边上一动点，过点E作

对角线ZC的垂线，分别交ZC于点。、交直线CD于点尸，则点E在运动过程中，4T+FE+EC的最小值

是.

9.（2024・广东广州•三模）如图，正方形/8CD内接于OO,线段跖V在对角线8。上运动，若。。的面积

为2%,MN=1,则（1）O。的直径长为；（2）A/MN周长的最小值是

10.（2024•吉林长春•三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线-4x+3与y轴交于点A,与X轴的

一个交点为点3,点3在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD=2,则四边形/BCD周长的最小值

11.（2024-江苏苏州•二模）如图，等边的边长为3,点。在边/C上，4D=g,线段尸。在边8/上

运动，尸。=（，有下列结论：①CP与。。可能相等；②A/QD与ABC尸可能相似；③四边形尸。。面积的

最大值为电1；④四边形PC。。周长的最小值为3+巨，其中，正确结论的序号为.

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12.（2024•陕西咸阳・模拟预测）如图，在正方形中，对角线NC与2。交于点。，OD=4,E是OD

的中点，尸。是对角线/C上的一条动线段，若5P-E0的最大值为石，则P。的长为.

AD

13.（2024•江苏连云港•二模）如图，正方形的边4BCD长为4,£是N8的中点，P是OE上的动点，过点尸

作尸GLDE,分别交3c于点F，G.当。G+EF取最小值时，则斯的长是.

14.（2024・四川广安•二模）如图，。是直线x=l上长度固定为1的一条动线段.己知点/（TO）,5（0,4）,

则BC+AD的最小值为

15.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在正方形/8CD中，E,歹是对角线/C上两点（点E靠近点/）,

且所=2挺，当BE+BF的最小值为2JS时，Z3的长为.

16.（23-24九年级下•浙江杭州•阶段练习）如图，平面直角坐标系xQy中，点N是直线y=2x+7上一动点,

将点N向右平移1个单位得到点8,点C（2,0）,则03+CB的最小值为,此时点3坐标为.

17.（2024•陕西西安•二模）如图，在平面直角坐标系中，点”（-2,0）,5（0,1）,C（0,3）,将线段48沿x轴

向右平移得到连接HC,B'C,则4C+8'C的最小值为.

18.（2023上•陕西西安•九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在AABC中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,

点D,£分别是48,ZC的中点.若点河，N分别是OE和8C上的动点，则NM+MN的最小值是.

（2）问题探究：如图②，/和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处,

才能使从/到2的路径8最短.博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过/作河

岸的垂线，使44』及W,MN为河宽,连接42,与河的一岸交于点N,此时在点N处建桥，可使从/

到8的路径8最短.你认为小旭的说法正确吗？请说明理由.（3）问题解决：如图③，在矩

形/8CD中，48=60,80=80.£、尸分别在48,CD上，且满足£尸〃3C,BE=20.若边长为10的正方

形必空。在线段E尸上运动，连接DP,当产取值最小时，求EN的长.

图①图②图③

19.（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ox2+bx+c（右0）,经过点/（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）三

点.⑴求抛物线的解析式及顶点”的坐标;（2）连接NC、3C,N为抛物线上的点且在第四象限，当S3sLs.c

时，求N点的坐标；（3）在（2）间的条