2025年中考数学压轴填空题专项集训：锐角三角函数

锐角三角函数

—.填空题（共25小题）

1.如图，sin/O=。，长度为2的线段。E在射线上滑动，点C在射线0A上，且OC=5,△COE的

两个内角的角平分线相交于点F,过点尸作FGLDE,垂足为G,则FG的最大值

为____________________.

2.如图，△A8C为等边三角形，点。在△ABC外，连接3。、CD.^ZABD=2ZACD,tan/AC£）=等,

BD=历，则CD=.

3.如图，在四边形ABC。中，ZABC=90°,AB//CD,点E是四边形A8CD内一点，ZBEC=90°,F

是AE的中点，连。尸，若AB=3,BC=2,tanZBAD=2,贝！］DF+^-AF的最小值

为.

4.如图，BE是△A8C的角平分线，尸是AB上一点，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于点G.若sin/AEB=

5.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形A8CO是矩形，AB

=20cm,AD=30V5cm,DE=60cm,8/=30cm.点H在BC上，椅子的支撑杆ARBG、CE分别绕2、

H、。转动并带动A/转动，支撑杆LK、不动.躺椅在转动时：

(1)若直线EF过点J,当NADE=120°时，△APJ的面积是cm2.

1

(2)若-<tan/EZ)/<2,E尸与地面的夹角为a,则tana的取值范围是_______________________.

2

图1图2

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt^ABC可运动(平移或旋转)，且/C=90°,BC=V5+4,

tanA=I，若以点M(3,6)为圆心，2为半径的O"始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点

7.“曲柄摇杆机构”是一种运动零件.图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，

其中AB是静止不动的机架，AO是绕A做圆周运动的曲柄，BC是绕B上下摆动的摇杆，C。是连结AD

和BC两个运动的连杆，A,B,C,。始终在同一平面内.已知AB=8C=5.当。运动到图2位置时，

记AB,CD的交点为E,现测得AO_LBC,AD=DE,tan/D4E=则CD=.图

2之后，。绕A继续运动，当C再次回到图2位置时(如图3),则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形

ABCD的面积为.

图1图2图3

8.如图，△ABC中，CD为边AB上的中线，点E在AC上，连接BE交CD于点RZBEC=120°，BF

=AE+EF,若AB=4V7,AE=8,则C。的长为

9.如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴A8上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定

不变，已知支脚。E=A艮底座CD_LA8,BGLAB,且8=83,厂是。E上的固定点，且£F：DF=

2：3.

图1

（1）当点8,G,E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan/8EZ）=2.设BC=5a,则尸G

（用含。的代数式表示）;

（2）在（1）的条件下，若将点C向下移动24c7”，则点3,G,尸三点在同一直线上（如图2）,此时

点A离地面的高度是cm.

10.如图2,有一块四边形的铁板余料A3C0,经测量A8=505,BC=108cm,CD=60cmf且tan3=tanC=

I，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面积为

cm2.

11.如图，在△A8C中，A3=AC,点。为△ABC内部一点，_&ZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABCf

若3BD=2CD,贝ijtan/AOC的值为

12.如图，△ABC中，AB^AC,tanC=D、尸分另l］在边AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3CD

——=一，则——=.

BD4BF---------------------

13.在△ABC中，已知6=1,c=2,是乙4的平分线，AO=竽，则/C=.

1

14.如图，RtAABC,NC=90°,tanA=当D是AC中点，NABD=/FBD,BC=6,CF//AB,则OB

15.如图，在△ABC中，AB^AC,BC=12,。为AC边的中点，线段2。的垂直平分线分别与边BC,AB

交于点E,F,连接。RDE.设8E=x,tan/ACB=y.给出以下结论：@DF//BC；②的面积

3

为］xy；③△C£）E的周长为12+尤；④/-/=%⑤2x-y2=9.其中正确结论有（把你认为

正确结论的序号都填上）.

D

F

QAD

16.如图，C为射线AM上一点,以点C为直角顶点作交射线AN于D,8两点‘当tanA=4时’而的

最大值为

17.在△ABC中，ZABC=60°，BC=8,点。是BC边的中点，点E是边AC上一点，过点。作ED的

垂线交边AC于点F,若AC=1CF,且DE恰好平分△ABC的周长，则△ABC的面积

为.

18.如图，己知四边形ABC。的一组对边A。、BC的延长线相交于点£.另一组对边A3、£>C的延长线相

交于点F,若cosZABC=cosZADC=gCD=5,CF=ED=n,则AD的长为（用

含n的式子表示）.

19.如图，线段AC,BD交于点P,ZA=30°,ZACZ)=120°,ZD=15°,AB=1,CD=V3,则BD

的长为__________________

20.等腰三角形ABC,AB=BC,tan/2AC=2,。为△ABC内一点，连接A。、BD、CD,A£>=3,BD=

2V5,CD=5,贝ijAB=.

114

21.已知△ABC中，满足一+―c=—B，b=4,贝Ua+c=.

tan-tan-tan—

222

22.“572”汶川大地震使不少建筑物受损.某地一水塔地震时发生了严重沉陷（未倾斜）.如图，已知地

震前，在距该水塔30米的A处测得塔顶B的仰角为60°；地震后，在A处测得塔顶B的仰角为45°,

则该水塔沉陷了米.（精确到0.01,V3«1.7321,a=1.4142）.

地震前地震后

23.（按课改要求命制）如图，设尸是等边三角形ABC内的一点，PA=1,PB=2,PC=V5,将△A8P绕

点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合,点P旋转到P'外，则sinZPCP1的值是

（不取近似值）.

24.如图，在矩形ABC。中，E,F,G,反分别为AB,BC,CD,D4的中点，若AH：AE=4：3,四边

形EFGH的周长是40cm,则矩形ABCD的面积是cm1.

25.在△ABC中，tan/ABC=W，2。平分NABC交AC于点。，过A作AE_LAB交BC于点E,若AE=

EC,BD=V26,则AB的长为.

锐角三角函数

参考答案与试题解析

一.填空题（共25小题）

1.如图，sin/O=|,长度为2的线段。E在射线上滑动，点C在射线。4上，且OC=5,△CZ）E的

两个内角的角平分线相交于点F,过点F作/GLOE,垂足为G,则尸G的最大值为—空二

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

V10-1

【答案】.

【分析】如图1中，连接CR过点厂作府,⑺于M,FNLEC于N,过点C作”，于凡利

用面积法可得FG・（2+EC+C。）=6,推出当EC+CD的值最小时，BG的值最大，想办法求出EC+CZ）

的最小值即可.

【解答】解：如图1中，连接CR过点尸作于M,FNLEC于N,过点C作CHLOE于M

•..△CDE的两个内角的角平分线相交于点F,FG±DE,FMLCD,FNLEC,

:.FG=FM=FN,

在RtZXOCH中，'：ZCHO=90°,OC=5,

.•c_CH_3

..sinO-诙-宁

：.CH=3,

1111

:.SADEC=2，DE・CH=EC，FN+CD，FM+DE，FG,

：.FG<2+EC+CD)=6,

/.当EC+CD的值最小时，FG的值最大，

如图2中，过点C作CK〃OE,使得CK=DE=2,作点K关于直线的对称点J,连接CJ交。2于

E,连接£7交。2于T,截取ED=C。，此时CE+C。的值最小，最小值=CJ的长.

图2

由图1可知KT=TJ=3,

在RtZ\JKC中，；/JKC=90°,CK=2,JK=6,

：.CJ=yjKJ2+CK2=舟+22=2V10,

C.CE+CD的最小值二2，IU,

,FG的最大值=/在=萼1.

【点评】考查了轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

2.如图，△ABC为等边三角形，点。在△ABC外，连接8。、CD.^ZABD=2ZACD,tan/ACZ)=竽，

BD=V37,贝UCD=11.

【考点】解直角三角形；等边三角形的性质.

【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接A。，作于X,作DE_LCB交C2的延长线于E,作CM_LZM交ZM的延

长线于M.首先证明8D=8C,推出△AZJC的外接圆的圆心是点8,推出NADC=2/A8C=30°,解

直角三角形求出。H，设尤，KilDM=V3x,CD=2x,AM=A/3X-4V3,在Rtz\ACM中，根据AC?

=AM2+CM2,构建方程解决问题即可.

【解答】解：如图，连接A。，作比九LA。于作Z)E_LCB交CB的延长线于£,作CM_LZM交D4

的延长线于M.

,：AABC是等边三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

VZDBE=180°-ZABD-ZABC=120°-2ZACD=120°-2(60°-/BCD)=2NBCD,

又,?ZDBE=ZBDC+ZBCD,

:./BCD=/BDC,

：.BD=BC,

.•.2D=BA=8C=AC=V37.

：.AADC的外接圆的圆心是点B,

1

AZADC=^ZABC=30°,

•；BD=BA,BH±AD,

：.ZABH=/DBH,

丁ZABD=2ZACD9

：.ZBDH=ZACD,

：AanZDBH^tanZACD=竽=器,

设DH=2®,BH=5k,

：.（2®）2+（5k）2=37,

...左=1或-1（舍弃），

：.DH=AH=143,

设CM=x,则。M=bx,CD=2x,

'.AM—s/3x-4A/3,

在RtAACM中，*?AC2=AM2+CM2,

；.37=（V3x-4V3）2+?,

解得尤=/（舍弃）或不

z2

11

.•.C£>=2尤=11,

故答案为IL

【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是发现点8

是△AC。的外接圆的圆心，属于中考填空题中的压轴题.

3.如图，在四边形A8CD中，ZABC=90°,AB//CD,点E是四边形ABCD内一点，NBEC=90°,F

是AE的中点，连。尸，若A8=3,BC=2,tanZBAD=2,则。尸+霁4尸的最小值为—巫型

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】取8c的中点为点G,连接GE、AG,取AG的中点为点H,连接根据直角三角形斜边上

中点的性质以及三角形的中位线定理可得GE=1,HF=*,由勾股定理可得AG=g,从而得到

FHFM

与匕在A〃上取一点使得NH尸连接尸则△尸从而即可得到一=—=

2AHAF

器=盒=*FM=^-AF,HM=^-HF=^-X^=^-,DF+^-AF=DF+FM,连接

2

DM,可知当。、F、M三点共线时，。尸+钾4尸的值最小.连接。8,过点D作。NLAB于N,连接

DG,通过证明四边形BCDN是正方形，可得CD=DN=2,从而即可证明△CDG四△MM（SAS）,得

到△AOG是等腰直角三角形，即可推出DH=1AG=DHIAG,最后由勾股定理计算出DM=

VDH2+HM2=J（乎）2+（锣）2=嚼^即可得到答案.

【解答】解：如图，取8C的中点为点G,连接GE、AG,取AG的中点为点"，连接FH,

,：BC=2,ZCEB=90°,点G为BC的中点，

11

GE=^BC=x2=1,

•・,尸为AE的中点，〃为AG的中点，

・•・HF为ZkAGE的中位线，

11

：.HF=^GE=

在RtZXABG中，BG=\,A8=3,

/•AG=y/BG2+AB2=Vl2+32=V10,

TH为AG的中点，

：.AH^孚，

在AH上取一点M,使得NHFM=NHAF,连接FM,

•/ZFHM=ZAHF,

:.缸FHMs^AHF,

.FHFMHM|V10

"AH-力产—HF-叵-10)

2

AJ-,厂

・.・Fj-,M..=A/y10AF,HTTiiM=V[1冒0HrrF=A/[100x1V10，

_LKJ_1,ULU乙乙U

，DF+黑AF=DF+FM,

连接。M,

・•・当。、F、M三点共线时，。尸+第ZF的值最小.

连接。H,过点。作。N_LA8于N,连接。G,

'：AB//CDfZABC=90°,

:・/ABC=/BCD=/BND=90。,

・・・四边形8C0N是矩形，

：.DN=BC=2,ZDNA=90°,

DN2

"胡。=丽=丽=2,

：.AN=1,

：.BN=AB-AN=3-l=2=BC,

：.四边形BCDN是正方形，

:.CD=DN=2,

在△COG和△NZM中，

CG=AN

乙DCG=乙DNA,

CD=ND

:ACDG经XNDA（SAS）,

：.ZCDG=ZNDAfGD=AD,

•：/CDG+NGDN=90°,

ZNDA+ZGDN=ZGDA=90°,

・•・AADG是等腰直角三角形，

：.DH=^AG=^-,DH±AG,

：.ZDHM=90°,

：.DM=7DH2+HM2=J（孚）2+嘿）2=^2,

：.DF+卷AF的最小值为

故答案为：噌・

20

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定与性质、

全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定

理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键.

4.如图，BE是△A8C的角平分线，尸是上一点，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于点G.若sin/AEB=

-F-,BG=4,EG=5,则S^ABE=—

5-5'

【考点】解直角三角形；角平分线的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，过点2作2TLAC于T,连接EF.在中，解直角三角形求出BT,ET,BC,

由△ECGs^EBC,求出EC,CG,再利用相似三角形的性质求出EF,BF,AE,AB,证明点T与点A

重合即可解决问题.

【解答】解：如图，过点B作87UAC于T,连接£足

；BE平分/ABC,

：./ABE=NCBE,

'：ZECG=ZABE,

：.ZECG=ZCBE,

,：ZCEG=ZCEB,

:.AECGsAEBC,

.ECEGCG

,,EB~EC~CB'

：.EC2=EG'EB=5X(5+4)=45,

V£C>0,

:.EC=3屏,

在Rtz^BET中，：sin/AE8=f^=鎏，BE=9,

DCD

.18V5

••8T=F-'

：.ET=y/BE2-BT2=J92-=竽，

24匹

・•・CT=ET+CE=

BC=yjBT2+CT2=

CG=^^=10,

EC

/ECG=/FBG,

E,F,B,。四点共圆,

/EFG=/CBG,

/FGE=/BGC,

△EGFs^CGB,

EFEG

CB-CG'

EF5

6V5—10'

EF=35

NAFE=NACB,/EAF=/BAC,

△EAF^ABAC,

AEAFEF1

设AE=x,则A5=2x,

AB~AC~BC~2

NFBG=NECG,NBGF=NCGE,

△BGFs^CGE,

BFBG

CE-CG'

BF4

3V5—10'

AE-AC^AF'AB,

尤（龙+3西）=（2x—巧5）・2%,

解得x=等,

:.AE=ET=竽,

，点A与点T重合,

18V5

：.AB=2AE=

1.八一厂118V59西81

••S/\ABE=2xABXAE=X—g—X―g—=-g-.

故答案为

【点评】本题考查解直角三角形的应用，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABC。是矩形，AB

=20cm,AD=30V5cm,DE=6Qcm,8尸=30°加点”在8C上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、

H、。转动并带动A/转动，支撑杆LK、不动.躺椅在转动时：

■AQ^7C/1匚

(1)若直线所过点J,当NAOE=120°时，△AF/的面积是--------cm2.

—11—

11111

(2)若一<tanN£7XV2,E厂与地面的夹角为a,贝(Jtana的取值范围是一VtanaV号.

2—3713——

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；矩形的判定；锐角三角函数的增减性.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

AFAIAFAI505

【分析】(1)先证明△EVS2\ED7,得到一=—,进一步得到一=-=—=求得A7,过点F

DEDJDEDJ606

作尸NJ_D4交D4的延长线于点N,则NAN尸=90°,在RtZkAFN中，求得尸N,进而求得△AFJ的面

积;

1

(2)分tanZEDI=★和tan/ED/=2两种情况，求解tana,由EF与地面的夹角a随着的增大而

增大，求得tana的取值范围.

【解答】解：(1)若直线石尸过点J,当NAZ)E=120°时，如图1所示,

：.ZF=ZE,ZFAJ=ZADE=120°,

MFAJsAEDJ,

•..丝=—国,

DEDJ

9

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

.AFAJ505

・'DE-O/—60一6’

.54n15075

..AAJT=五A£)=—五一cm,

过点尸作FNLD4交D4的延长线于点N,则NAN9=90°,

在RtZXAFN中，NEW=180°-NEV=60°,AF=50cm,

FN=AFsinNFAN=50Xsin60°=25,

AAFJ的面积=|xAJXFN^竺令里a/

1

(2)当tanNEDb*时，如图2所示，作于点尸，则NEPO=90°,设所交A。于点。,

：・/F=/QED,/FAQ=/QDE,

:.XFkQsXEDQ,

.AFAQ

••二,

DEDQ

*.*AF—AB+BF—50cm,DE=60cm,

,AFAQ505

・'DE-DQ_60-6’

•nc6,180追

.»D(2=五A£)=—五一cm,

设EP=x,则OP=2x,由勾股定理得:

Ep2+DF^=D彦,

.*.x2+(2%)2=6()2,

解得x=12y/Scm9

:.EP=12逐cm,DP=24小cm,PQ=DP+DQ=号普cm,

•,+/snEP12店11

..tana=tan/£QP=—=—^=-.,

II

当tan/ED/=2时，如图3所示,

图3

同理可求得。。=笔比CTM,DP=12瓜m,EP=24V^cm,

：.PQ^DP+DQ=

一,EP24西11

..tana=tan“/ECQDP=而=全=正；

11

・・・E尸与地面的夹角a随着NE。/的增大而增大，

11111

「・当一<tanNEZ)/V2时，tana的取值范围是一<tana

23713

1875V1501111

故答案为：-^—cm；-VtanaV育

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，读懂题意，分情况画

出图形是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知Rt^ABC可运动(平移或旋转)，且NC=90°,BC=V5+4,

1

tanA=若以点M(3,6)为圆心，2为半径的OM始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点

。的距离的最小值为V5

c

【考点】解直角三角形；坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化-旋转.

【专题】动点型；平面直角坐标系；与圆有关的计算；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，设与AC相切于点J,与A3相切于点T,连接OC,MJ,MT,延长加交A5于尸.解

直角三角形求出CM,0M,根据0。三。河-CM即可解决问题.

【解答】解：如图，设与AC相切于点/,与相切于点T,连接OC,MJ,MT,延长血交A8

于尸.

VAC,A3是。。的切线，

：.MJ±ACfMT1AB,

：.ZAJM=ZA7M=90°,

ZA+ZJMT=180°,

VZJMT+ZFMT=180°,

・•・NA=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=,

,:MT=2,

：.TF=1,FM=VMT2+FT2=V22+I2=5

：.JF=MJ+MF=2+V5,

.•.AJ=2FJ=4+2V5,

VAC=2BC=8+2V5,

/.CJ=4,

VZCJM=90°,

：.CM=y/CJ2+MJ2=V42+22=2有，

'：M(3,6),

OM=V32+62=3A/5,

VOC^OM-CM,

：.OC23萌-2V5,

OC>V5,

;.oc的最小值为花.

故答案为有.

【点评】本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化-旋转等知识，解题的关键是理解题意，

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

7.“曲柄摇杆机构”是一种运动零件.图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，

其中是静止不动的机架，是绕A做圆周运动的曲柄，8c是绕8上下摆动的摇杆，CD是连结AO

和8C两个运动的连杆，A,B,C,。始终在同一平面内.已知ABuBCuS.当。运动到图2位置时，

Q25

记A5,的交点为E,现测得AZ)_L3C,AD=DE,则CD=一.图2之后，。绕

4-3一

A继续运动，当C再次回到图2位置时(如图3),则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形ABC。的面积

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质.

【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)延长交CB的延长线于凡作8G〃C。交A尸于G,先解Rt^ABF,求得AF和8尸,

推出△ABG是等腰三角形，设AG=BG=x,在中列出方程，求得8G,再根据△F8GSZ\JFCZ)

列出比例式，求得CD；

(2)在Ab上截取A。=A。，连接。/(即还原图2的C。的位置)，根据勾股定理求得0'b的长,

进而求得△AC»及△ABC的面积，进而求得四边形A3CD的面积.

【解答】解：如图1,

延长AO交C8的延长线于尸，作BG〃C。交Ab于G,

AADE^AAGB,△尸3Gs△尸CD,

.DEADBGBF

••BG-AG"CD~CF'

'：AD=DE,

：.AG=BG,

VADXBC,

：.ZF=90°,

3

VAB=5,tanZZ)AE=

4

:.BF=3,AF=4,

设AG=5G=x,则尸G=4-%,

在RtZ\39G中，由勾股定理得，

FG2+BF2=BG2,

(4-x)2+32=X2

._25

••x--g-,

25

.工_2

••一，

CD8

如图2,

B

CD'是CD在图2的位置,

在△ACZ)和△AC。'中,

(CD=CD'

\AC=AC，

VAD=AD'

△AC。也AACD'CSSS),

VZF=90°,CF=8,CD'=CD=等,

：.D'F=J(富尸_82=I，

7q

：.AD'=AF-Dr/=4一：=右

i142n

••S/^ACD'—]AD'，CF=]x可x8=-5->

••S/\ACD=,

1

1-

2

••S四边形A3CZ)=10+=-2~9

2550

故答案为：—,—.

33

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似

三角形及转化图形的面积.

8.如图，ZVIBC中，CO为边AB上的中线，点E在AC上，连接BE交CD于点RZB£C=120°,BF

=AE+EF,若AB=4由,AE=8,则CD的长为673

D.

E

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】6V3.

【分析】如图，延长3E到T,使得ET=AE,连接AT,过点A作于J,过点E作于

K.解直角三角形求出AT,BT,再利用三角形中位线定理求出。尸，证明EP=EC=2,可得结论.

【解答】解：如图，延长到T,使得ET=AE,连接AT,过点A作于J,过点E作EKLCD

于K.

VZB£C=120°,

：.ZAET=ZBEC=120°,

AZA£J=180°-ZAET=6Q°,

：AE=ET=8,

：.ZT=ZEAT=30°,

1

：.JE=^AE=4,

：.AJ=y/AE2-EJ2=V82-42=4同

.•.AT=2AJ=8V3,JT=4+8=12,

,:BF=AE+EF=EF+ET=FT,BD=AD,

：.DF//AT,DF=^Ar=4V3,

在RtZ\A即中，BJ='AB2-AJ2=(4V7)2-(4V3)2=8,

，BT=BJ+JT=8+12=20,

VBF=EF+8,

；・BF+EF+ET=20,

：.EF=2,

9：AT//FC,

：.ZECF=ZEAT=30°,ZEFC=ZT=30°,

：.ZECF=ZEFC=30°,

：.EF=EC=2,

'：EK.LCF,

1

：.EK=^EF=1

：.FK=KC=y/EF2-EK2=V22-l2=V3,

：.CF=2FK=243f

:・CD=DF+CF=6®

故答案为：6V3.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣。在主轴A3上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定

不变，已知支脚底座BG±AB,且CD=BG,尸是OE上的固定点，且ERDF=

2：3.

图1

(1)当点5,G,E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tanN3EZ）=2.设3C=5〃，贝ljFG

5a

（用含〃的代数式表示）;

2-

（2）在（1）的条件下，若将点C向下移动24cs,则点8,G,尸三点在同一直线上（如图2）,此时

点A离地面的高度是(19+19V5)cm.

【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题；推理填空题；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)y；

(2)19+19V5.

【分析】(1)如图1中，连接。G,EG,过点尸作于“，则四边形CDGB是矩形.可得8C=

DG=5a,根据勾股定理和已知条件可得EG和。E,再证明可得。R根据勾股定理

即可解决问题；

(2)如图1中，连接DG,EG,过点F作FH1BE于H,则四边形CDGB是矩形.如图2中，连接

0G.作E人L8F交8尸的延长线于J.利用勾股定理构建方程求出x即可.

【解答】解：(1)如图1中，连接。G,EG,过点e作切于X,则四边形CDGB是矩形.

在Rt/YDEG中，tan/OE8=/=2,

:.EG=苧，DE=y/EG2+DG2=](苧尸+(5a)2=竽q,

"."FH//DG,

.EFEH2

"DF~GH~3'

：.4EFHSAEDG,

.EFEH2

•'DE-EG-S’

EF=^DE='x^^<7A/5<22—a2—痘a,

：.DF=^-a,即=|EG=|x苧=a,HG^EG-EH=|a,

FH=VFF2-EH2=V5a2-a2=2a,

9皿

a2-

：.FG=y/FH2+HG2=4-2

故答案为：

(2)如图1中，连接。G,EG,过点尸作于X,则四边形CDG8是矩形.

图1图2

设BC=OG=2xaw,

r\r

在RtAOEG中，tanNDE8=/=2,

EG=x(cm),DE=VFG2+DG2=逐x(cm),

'CFH//DG,

.EFEH2

"DF~GH~3

DF=(cm),EH=(cm),HG=(cm),

---4

FH=VFF2—FH2=/(aw)，

:.FG=y/FH2+HG2=x(cm),

如图2中，连接DG.

'：DF2^DG2+FG2,

(—2=x2+(2x-24)2,

解得尤=15+3由或15-3V5(舍弃)，

:.AB=DE=®=(15+15V5)cm,

作EJLBF交BF的延长线于J.则EJ=EF-sinZEFJ=(4+46)cm,

.,.点A离地面的高度=AB+E7=(19+19V5)cm.

故答案为：19+19遍.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

10.如图2,有一块四边形的铁板余料A8CD,经测量AB=5OC7W,BC=108cm,CD=6Qcm,且tanB=tanC=

I，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面积为1944

cm".

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】1944.

【分析】延长54、CO交于点E,过点E作EHL8C于点“，中位线PQ的两端点在线段A8、CD上,

在△ABC中，设8C=a,8c边上的高AO=〃，矩形PQWN的顶点P、N分别在边A8、AC上，顶点°、

M在边8c上，由△APNs/MBC,设PQ=x,则S矩彩PQMN=PQ。PN=x（a-=一铲+办=一张苫一百）

2+孚，可得当加=轴，S矩形PQMN最大值为也，进而可得矩形PQMN的最大面积.

4,Z4

【解答】解：如图，延长胡、CD交于点E,过点E作EHL5C于点"，

交尸。于点G,如图，设矩形尸。MN,

AZB=ZC,

：.EB=EC,

VBC=108cm,且EHLBC,

1

：.BH=CH=^BC=54cm,

n_EH_4

•tann=历^=可

44

：.EH=^BH=|x54=72cm,

：.EG=EH-GH=72-QM,

■:PQ〃BC,

:.△EQPs^EBC,

.PQEGPQ72-QM

.•--=---,即---=-------，

BCEH10872

：.PQ=|(72-QM),

设

贝I」S矩形PQMN=PQ.QM=%(72-X)=-|(X-36)2+1944,

...当x=36时，S矩形PQMN最大值为1944,

所以当QM=36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2,

答：该矩形的面积为1944c,/.

故答案为：1944.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性

质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键.

11.如图，在△ABC中，A8=AC,点£>为△ABC内部一点，且/ADB+NBACuZdO。，ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,贝ijtan/AOC的值为4旧.

B。

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】4V3.

【分析】在上取一点T,使得/D4T=60°,过点T作力/_LA。于H.想办法证明△AO8四△C7A

(A4S),推出BD=AT,AD=CT,可以假设BD=3k,CD=2k,则AH=AT'cos60°=k,HT=AT-sm6Q°

=y[3k,设AO=CT=x,则。利用勾股定理求出尤=*左，可得DH="k,由此即可解决问题.

【解答】解：在C。上取一点T,使得/D4T=60°,过点T作于H.

D

T

B

VZADB+ZBAC=240°,

ZADB+ZBAD+600+ZCAT=240°,

AZADB+ZBAD+ZCAT=180°,

VZADB+ZBAD+ZABD=1SO°,

・•・ZABD=ZCAT,

VAB=AC,

・•・ZABC=ZACB,

VZADC=2ZABCfZADT+ZDAT+ZATD=1^0°,ZBAC+2ZABC=180°,

AZBAC=ZDAT^ZATD=60°+ZATO,

・•・ZATC+ZABC=ZATC+ZATD+ZDAT=240°,

NADB=NATC,

：.AADB^ACTA(AAS),

：.BD=AT,AD=CT,

'：3BD=2CD9

・•・可以假设50=2%,CD=3k,则A〃=AT・cos60°=k,HT=AT-sin60°=Wk,

设AD=CT=x,则。H=x-左，

112

在RtZXOHT中，DT=DH+HTf

(x-左)2+(V3fc)2=(3k-x)2,

「・x=左左,

：.DH=/

•/4r\/^HTy[3k.尻

..tanZADC=—=4v3,

4k

故答案为：4V3.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.如图，/XABC中，AB^AC,tanC=工D、尸分另1J在边AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3~C04

—=一，则—=­­

BD4BF-5一

D

E

【考点】解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，过点A作于H,连接QH,EH,设8。交AH于0,交AE于K,设。“交AE

CDCH

于T,想办法证明△C0HSA5E4,推出一=—,由此即可解决问题.

BFAB

【解答】解：如图，过点A作于连接EH,设5。交A”于0,交AE于K,设DH

交AE于T.

VBD±AE,AHLBC,

：.ZAKO=ZBHO=90°,

*/ZAOK=/BOH,

：.ZDBH=/EAH,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

AH

AtanZABC=tanZC=翳=

ttAE3

•BD一4’

tAHAE

•.—,

BH