2025年中考数学一轮复习：反比例函数及其应用

专题11反比例函数及其应用

一、单选题

4

1.在平面直角坐标系中，函数y=一^的图像与坐标轴的交点个数是（）

x+2

A.0B.1C.2D.4

2.已知点人石,%）,以%，%）在反比例函数丁=--的图像上，且再＜0＜々，则下列结论一定正确的是（）

x

A.必+%＜°B.%+%＞°C.%一％＜°D.%一%＞°

3.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（-3/）,（-2,3）,（1,%），（2,%），则，%%，%的大小关系为（）

A.丫2＜%＜%B.2Vxc.D.%＜为＜%

k

4.已知反比例函数丁=\（女片0）与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则左的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

5.若点A。,3）是反比例函数＞=々左W0）图象上一点，则常数％的值为（）

X

33

A.3B.-3C.-D.——

22

6.已知点/（2,a）在反比例函数y=:的图象上，其中°,人为常数，且左＞0，则点M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

7.已知关于x的一元二次方程V+2%+1—左=。无实数根，则函数,=丘与函数》=—的图象交点个数为（）

x

A.0B.1C.2D.3

8.如图，在平面直角坐标系中，点A、8在函数y=£（%＞0,x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半

X

径作圆，当nA与x轴相切、口2与y轴相切时，连结A3,AB=36,则%的值为（）

A.3B.3也C.4D.6

9.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点4是反比例函数y=。（人/0）图像上的一点，过点4分别

作AMLx轴于点M,轴于直N,若四边形AMON的面积为2.则上的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

10.如图，在平面直角坐标系中，口。45三个顶点的坐标分别为0（0,0）,A（260）,3（G,1）,A9A3与口0AB关

于直线03对称，反比例函数（左＞0,无＞0）的图象与A2交于点C.若AC=3C,则上的值为（）

X

A.273B.空C.6D.©

22

k

11.如图，反比例函数y=—（左＞0）的图象与过点（-1,0）的直线A3相交于A、5两点.已知点A的坐标为（1,3）,

x

第1页共15

点C为X轴上任意一点.如果号4BC=9,那么点C的坐标为（）

A.(-3,0)B.(5,0)C.(-3,0)或(5,0)D.(3,0)或(-5,0)

第8题图第10题图第11题图

12.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数>=士和>=。的图象的四个分支上，则实数〃的值为

xx

（）

A.-3B.--C.-D.3

33

13.如图，矩形。钻C的顶点4,。分别在V轴、％轴的正半轴上，点。在A5上，且AO=；A5,反比例

k

函数〉='（k>0）的图象经过点。及矩形OABC的对称中心跖连接OD,OM,OM.若AODM的面积为3,

则k的值为（）

A.2B.3C.4D.5

14.如图，口ABC是等腰三角形，48过原点。，底边轴，双曲线y=与过48两点，过点C作CO〃y

X

轴交双曲线于点若岳区^:口，则k的值是（）

A.—6B.—12C-2D.-9

-2

15.如图，在平面直角坐标系x0y中，点/、3分别在外龙轴上，BCLx轴.点、M、N分别在线段3C、

k

AC上，BM=CM,NC=2AN,反比例函数y=£（x>0）的图象经过M、N两点,尸为尤正半轴上一点,

X

且。P:族=1:4,DAPN的面积为3,则左的值为（）

、填空题

k

16.如图，已知点43,3）1（3,1）,反比例函数y=—（左。0）图像的一支与线段A5有交点，写出一个符合条

x

第2页共15

件的％的数值：.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线％=4俨+6与双曲线力=§（其中勺•质/0）相交于4（-2,3）,B（m,-2）

两点，过点8作8尸〃x轴，交y轴于点尸，则口43尸的面积是.

18.如图，在平面直角坐标系中，口OA3为直角三角形，ZA=90°,ZAOB=30°,03=4.若反比例函数

k

>的图象经过。4的中点C,交4B于点。，则氏=.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=为大于0的常数，x>0溷象上的两点AQ，X）,3（X,,%）,

X

满足々=2%.04BC的边AC〃x轴，边BC〃y轴，若口的面积为6,贝LABC的面积是.

第16题图第17题图第18题图第19题图

20.如图，在直角坐标系中，匚A与x轴相切于点瓦C8为n4的直径，点C在函数y=&（左>0,x>0）的图象

X

上，D为y轴上一点，口AC。的面积为6,则k的值为.

O

21.如图，在反比例函数y=2（x>0）的图象上有的灯号…巴曲等点,它们的横坐标依次为困2,3,

X

2024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为品㈤,与…，邑。23,

贝|JS]+邑+$3+…+S2023=

22.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作口ODE的轴对称图

形，对称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点8恰好落在反比例函数y=8（尤<0）的图象上，点。、

X

E的对应点分别是点C、A.若点/为OE的中点，且SAEAF=：,则左的值为.

23.如图，点/在反比例函数y=:（人中0）图像的一支上，点3在反比例函数>图像的一支上，点C,

。在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数左的值为.

第20题图

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24.如图，RtHOAS与RtZXOBC位于平面直角坐标系中，ZAOB=ZBOC=30°,BA1OA,CBLOB,若

AB=yf3,反比例函数y=?左NO）恰好经过点C,则g.

k

25.如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=—（x<0）的图像上，顶点8、C在第一象限，对角线AC〃x

尤

2

轴，交y轴于点£>.若矩形OABC的面积是6,cosZOAC=-,则左=.

26.如图，点42分别在函数》=旦（。>0）图象的两支上（/在第一象限），连接交x轴于点C.点。,

h

£在函数v=—3<0,x<0）图象上，轴，BO〃y轴，连接若AC=2BC,DABE的面积为

x

9,四边形A8D£r的面积为14,

第24题图第25题图第26题图

三、解答题

27.如图，点A（2,4）在反比例函数％=?图象上.一次函数%=履+匕的图象经过点4分别交x轴，y轴

于点8,C,且:JOAC与△OBC的面积比为2:1.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）请直接写出％2%时，%的取值范围.

28.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线/：>=自+2与无，y轴分别相交于点/,B,与反比例函数

y=?（尤>O）的图象相交于点C,已知0A=1,点C的横坐标为2.

（1）求左，根的值;

（2）平行于y轴的动直线与/和反比例函数的图象分别交于点D,E,若以8,D,E,。为顶点的四边形为平

行四边形，求点。的坐标.

第4页共15

29.如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(-l，6),，，加3),与x轴交于点C,与了轴交于点

D.

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵点M在x轴上，若SAOAM=SAOAB,求点M的坐标.

30.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形A3C的直角顶点C(3,O),顶点/、8(6,⑼恰好落

在反比例函数＞=(第一象限的图象上.

X

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；

(2)在无轴上是否存在一点尸，使nABP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

M_77?

3L如图，一次函数］"为常数，七。)的图象与反比例函数”寸为常数,机*0)的图象在

第一象限交于点A。,")，与x轴交于点2(-3,0).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)点P在a轴上，口48尸是以AB为腰的等腰三角形,请直接写出点P的坐标.

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32.如图，在平面直角坐标系龙OY中，直线>=质+方与x轴交于点4(4,0),与了轴交于点3(0,2),与反比

例函数>在第四象限内的图象交于点C(6M).

X

⑴求反比例函数的表达式：

⑵当日+6>生时，直接写出x的取值范围；

⑶在双曲线y=一上是否存在点尸，使口432是以点/为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点尸的坐

x

标；若不存在，请说明理由.

33.如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=；(x>0)的图象交于点4(4,〃).将点A沿x轴正方向平

移加个单位长度得到点民。为无轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点。的横坐标，连接的中点C

k

在反比例函数y=々X>0)的图象上.

(1)求"，上的值；

(2)当相为何值时，A5-0D的值最大?最大值是多少?

第6页共15

34.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OA3C为正方形，其中点N、C分别在x轴负半轴，〉轴

负半轴上，点8在第三象限内，点4&0),点P(L2)在函数y=3Z＞0,尤＞0)的图像上

⑴求后的值；

(2)连接BP、CP,记口3。尸的面积为S,设T=2S-21，求7的最大值.

35.函数＞=/^的图象可以由函数y=勺的图象左右平移得到.

x+ax

(1)将函数■的图象向右平移4个单位得到函数y一的图象，则。=；

%x+a

(2)下列关于函数y的性质：①图象关于点(-。,0)对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线

x+a

＞=-%+，对称；④y的取值范围为ywo.其中说法正确的是(填写序号)；

(3)根据(1)中。的值，写出不等式」一＞工的解集：.

x+ax

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参考答案:

一、单选题

题号123456789101112131415

答案BDCAAAACAADACCB

、填空题

15aC

16.4（答案不唯一，满足3W左W9均可）；17.—；18.义；19,2；20.24；21.

24

onnoo

----；22.—6；23.—6；24.4；25.—；26.12；9.

2533

三、解答题

27.（1）解：将4（2,4）代入必=‘得，4=：,解得机=8,

x2

Q

反比例函数解析式为乂=2；

当x=0,y2=b,则C（0,b）,OC=\b\,

当y?=0,x=~,则《一|，0）,OB=|||,

与△OBC的面积比为2:1,

OCxxA2

z-»oY——2

■■0c70B=r整理得言=2,即fJ，解得。=左或6=-左，

/、444

当6=%时，将A（2,4）代入%="+人得，4=2k+k,解得左=§,则必=§X+§；

当/?二—女时，将4（2,4）代入%=履+8得，4=2k-k,解得左=4,则必=4%_4；

44

综上，一次函数解析式为%=§x+g或必=4尤-4；

反比例函数解析式为乂=§,一次函数解析式为%+：或%=4A-4；

X33

（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：

_44

①当一次函数解析式为%时，如图1,

[8r

『fx=2

联立:，，解得8或，，

44y二——y=4

必二一x+—3i

I233i

第8页共15

图2

由函数图象可知，y；当时，尤的取值范围为xW-3或0<x42；

8「[「0

_y.=—\x=-l\x=2

②当一次函数解析式为%=4%-4时，如图2,联立％x,解得。或,

U=4x-4…b=4

由函数图象可知，时，尤的取值范围为X4-1或。〈尤42；

44.

综上,当一次函数解析式为%=3丈+§时，尤的取值范围为xW-3或。〈尤42；当一次函数解析式为％=4x-4

时x的取值范围为尤4-1或0<x42.

28.（1）解：'：OA=\,

：.A（-1,O）,

•直线y=/+2经过点A（—1,O）,

0=—k+2,解得,k=2,

直线的解析式为>=2X+2,

•••点C的横坐标为2,

y=2x2+2=6,

C（2,6）,

•反比例函数y=?（X>0）的图象经过点C,

m=2x6=12；

12

（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y=—,

x

令x=0,贝!Jy=2x0+2=2,

点8（0,2）,

设点£）（a,2a+2）,则点E1一],

•.•以瓦D,E,。为顶点的四边形为平行四边形，

DE=OB=2,

121217

2。+2——=2,整理得2。+2——=2或2。+2——=-2,

aaa

12

由2a+2——=2得2/+2。-12=2。，

a

整理得a2=6,解得a=±A/6，

Va>0,

a=V6，

第9页共15

.•.点D（痣2斯+2）；

12

由2。+2---=-2得2/+2Q-12=-2。，

a

整理得。2+2。—6=0,解得〃=±77-1,

：.a=y/l-l,

.•.点r）（且1,2⑺；

综上，点。的坐标为（痣2指+2）或（近-1,2J

29.（1）解：设反比例函数解析式为y=乜，

X

将A（-l,6）代入y=&,可得6=J解得勺=-

X-1

•••反比例函数的解析式为y=--,

X

把2仅间-31代入y=",可得%一6,

解得Q=1,

Jxa

经检验，。=1是方程的解，

.■.8（3,-2）,

设一次函数的解析式为y=k2x+b,

将A（-1,6）,B（3,-2）代入y=&x+6,

6=-x+bk2=—2

可得解得

-2=3x+bb=4

.一次函数的解析式为y=-2x+4；

（2）解：当y=。时，可得0=—2九+4,解得％

.*.C（2,0）,

/.OC—2,

S/\OAB~SXOAC+=/X2x6+]X2x2=8,

^AOAM=S^OAB，

^/\OAM=8=/x6xOM,

Q

3

朋■在O点左侧时，MU1,0

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M点在。点右侧时,MF,Oj,

综上，M点的坐标为1|,o[或（|,。].

30.（1）解：过点/作AEJ_x轴于点E,过点8作8。_L无轴于点。,

则/4£。=/。8=90°,

•.•点C（3,0）,B（6,m）,

OC=3,。。=6,BD=m,

・・・CD=OD—OC=3,

・・・[]A5C是等腰直角三角形，

ZACB=9Q°,AC=BC,

,:NACE+/BCD=ZCBD+/BCD=90°,

ZACE=NCBD,

：.JACE^nCBD（AAS）f

CD=AE=3,BD=EC=m,

・・・OE=OC-EC=3-m,

点/的坐标是（3-相,3）,

k

•；/、8（6,m）恰好落在反比例函数y=—第一象限的图象上.

X

3（3-m）=6m,解得根=1,

.,•点Z的坐标是(2,3),点g的坐标是(6,1),

k=6m=6,

反比例函数的解析式是y=Z

X

设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=p尤+q,把点/和点5的坐标代入得,

1

2p+q=3

:解得P=N

op+q=l

q=4

：.直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-gx+4,

(2)延长AE至点A,使得E4，=AE,连接AB交x轴于点尸，连接AP,

点N与点4关于x轴对称，

AP=A'P,4(2,-3),

,/AP+PB=A'P+PB=A'B,

AP+PB的最小值是A;B的长度，

第11页共15

AB=^(2-6)2+(3-1)2=2瓜即AB是定值，

止匕时口ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小,

设直线A'B的解析式是y=nx+t,

2〃+%=—3n=l

则解得

6n+t=lt=T'

：.直线A'B的解析式是y=x-5,

当y=°时，0=无一5,解得无=5,

即点尸的坐标是(5,0),

止匕时AP+P3+AB=+A3=2遥+^(2-6)2+(-3-1)2=2遂+4a,

综上可知，在x轴上存在一点尸(5,0),使n48尸周长的值最小，最小值是2有+40.

9o

31.(1)解：把点5(—3,0)代入一次函数y=依+]得，—3左+^=0,

解得:k=g3

4

39

故一次函数的解析式为了=：%+：,

44

/、3939

把点A(l/)代入y=不+"得〃=]+]=3,

YYI3

把点A(l,3)代入y='，得加=3,故反比例函数的解析式为y=2；

XX

(2)解：B(-3,0),A(l,3),AB=5,

当A3=RB=5时，P(—8,0)或(2,0),

当PA=A8时，点关于直线x=l对称，

，尸(5,0),综上所述：点尸的坐标为(-8,0)或(2,0)或(5,0).

/、[4k+b=0k=——

32.(1)解：把4(4,0),3(0,2)代入、=丘+6中得：，解得2,

〔"=2,=2

直线>=依+6的解析式为y=+2,

在〉=-工工+2中，当x=6时，y=-；x+2=-l,

22

C(6,-1),

vn/Ji

把C(6,-l)代入y=—中得：-1=?,解得，”=-6,

x6

反比例函数的表达式y=-£；

X

第12页共15

1c

y=——x+2

2x=6x=-2

（2）解:联立,解得y一或

6y=3

y=一—

x

一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为（6,-1）、（-2,3）,

由函数图象可知，当尤<-2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方,

m

・••当+一时，％<-2或0<兀<6；

x

（3）解：如图所示，设直线AP交y轴于点/（0,m）,

VA(4,0),8(0,2),

ABM2=\2-m\2=m2-4m+4,AB2=22+42=20,AM2=42+m2=nT+16,

••FABP是以点/为直角顶点的直角三角形,

4AM=90°,

；•BM-=BA1+AM2，

/.m2-4>n+4=20+m2+16-解得m=-8,

M(0,—8),

同理可得直线AM的解析式为y=2尤-8,

y=2x-8

x=3x=1

联立6,解得-2或

y=—一y=-6，

X

点尸的坐标为（3,-