2025年中考数学一轮复习：数与式 章节检测验收卷一（含答案）

章节检测验收卷一数与式

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.我国是最早使用负数的国家，在数据-sin45。，桓,0,+7,-0.5,乃中是负数的有

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【新考法】生活中的数学

2.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发

布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记

数法表示为3.07x1（7.贝什的值是（）

A.4B.5C.6D.7

3.有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期.下列各组有理数大小比较，正

确的是（）

1Q4

A.1<-1B.-（-0.3）<--C.<-yD.-（-5）<0

4.已知。是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（）

A.a+bB.abC.—D.yj2+b2

b'a

5.若x?+/〃x+4=（x-2『，则下列结论正确的是（）

A.等式从左到右的变形是乘法公式，机=4

B.等式从左到右的变形是因式分解，m=4

C.等式从左到右的变形是乘法公式，切=-4

D.等式从左到右的变形是因式分解，m=-4

【新考法】新定义问题

6.如果三个连续整数队"+1、〃+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐

数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（）

A.-1B.-3C.1D.3

AB3m-4

7.已知一-+—7=7~―指，则常数A，8的值分别是（）

m-1m-2（加一1）（加一2）

A.A=1fB=2B.4=2,B=\

试卷第1页，共8页

C.A=-1,B=—2D.A=-2fB=—l

8.如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（）

已知。+6=—8,ab=12.求的值.

—\2

abab2+a2+2ab_(a+b)2_64

解：；2+=一+—+2=

a2ababab12

64

，原式:

123

A.方程B.整体C.数形结合D.函数

【新考法】图形类规律探究问题

9.无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种

证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理.借助形的几何直观性来表示数之间的

关系，这种证明方法被称为数形结合.如图，请利用数形结合思想猜测，

的值最接近的有理数为（）

2〃+1

D-h

【新考法】数式类规律探究问题

10.将三项式展开，得到下列等式：

+Q+1)—1

(Q2+Q+1)=/+Q+1

(Q?+Q+1)—Q4+2/+3〃+2a+1

(a,+a+l)=a，+3as+6/++6/+3a+1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为:

第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数

试卷第2页，共8页

以。计）之和，第左行共有（2左+1）个数，则关于x的多项式（/+办-3）俨+》+1）’的展开

式中，x8!项的系数为（）

广义杨辉三角形

第

0行

1

第

1行

第

9行11

-2

第

行1231

3

()

行

第4136731

4101619161041

A.151+a—1B.15(t?2+6Z+1

C.15(Q2+2Q+3D.15(。？+24—3

二.填空题（共6小题,满分18分，每小题3分）

11.某班开展图书交换阅读活动.甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同

学4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同

学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本.

12.黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域.黄金

分割点比例计算公式为且其中行-1介于整数〃和〃+1之间，则"的值是.

2

13.因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组

分解要合适.因式分解：/一碗=

【新考法】跨学科类问题

14.如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压。=次|+&2+笈3,若线路N2的电流

I=2.5A,三个电阻阻值分别为12.9。,23.8d9.3Q,则电压为V.

I[][][]I

A

R}R2R3B

【新考法】新定义类问题

1TYiT]

15.对于实数〃、b,定义运算：®m®n=——

m+nm-n

例如①3㊉5=，=：;3@5=孚1y=-鸟依此定义方程x③2-2㊉x=l的解

3+583-516

为.

【新考法】获取信息类问题

16.古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造

的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205,那么把图②中所表示的

数用科学记数法来表示应为.

试卷第3页，共8页

110100100010000100001000000①②

三.解答题(共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每

题8分，21题、22题9分，23题10分，24题13分)

17.(1)计算:4cos30°+V12；

a+2

(2)化简:

18.化简分式：。+匕32并求值(请从小宇和小丽的对话中确定a,6的值)

a-lab+ba-b

5

19.先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中m=—.

2

20.以下是某同学化简分式-四心]的部分运算过程:

aIa]

々刀店—a-ba-b2ab-b给止

角牛：原式=----------+......弟一步

aaa

a-b1a-ba

........第二步

aaa2ab-b1

_a-ba-b

........第三步

a22ab-b2

(1)上面的运算过程中第步开始出现了错误;

⑵请你写出完整的解答过程.

21.课堂上，老师提出了下面的问题:

—衿累，试比较M与N的大小.

小华：整式的大小比较可采用“作差法”.

老师：比较x?+l与2x-l的大小.

试卷第4页，共8页

小华：•.•卜2+1)-伽-1)=/+1-2》+1=(》-1)：!+1>0,

x'+1>2x-1-

老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？

⑴请用“作差法'完成老师提出的问题.

2322

⑵比较大小：—_________—.(填“>”"=”或“<”)

6865

【新考法】开放性试题

22.已知。>3,代数式：A=2a2-8,B=3a2+6a,C=a3-4a2+4a.

(1)因式分解4

(2)在/,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【新考法】阅读理解类问题

23.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x?-/(x,了均为自然

数)”的问题.

(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下5为正整数)：

N奇数4的倍数

1=I2-024=22-02

3=22-I28=32-12

5=32-2212=42-22

表示结果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

一般结论2n-l=n2-(〃4〃二______

按上表规律，完成下列问题：

(i)24=()2一()2；

试卷第5页，共8页

（ii）4”=；

（2）兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,…这些形如4〃-2（〃为正整数）的正整数N不能表示为

x2-/（X，＞均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：

假设4〃-2=/-/,其中无，y均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若X，V均为偶数，设x=23y=2m,其中上加均为自然数，

贝!J/_/=（2后）2_（2m）2=492_.2）为4的倍数.

而4"-2不是4的倍数，矛盾.故x，了不可能均为偶数.

②若X，了均为奇数，设x=2上+1,y=2m+I,其中后加均为自然数，

则x2-y2=（2k+l）2-（2m+1）2=为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故X，了不可能均为奇数.

③若X,歹一个是奇数一个是偶数，则/一/为奇数.

而4〃-2是偶数，矛盾.故无，了不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

【新考法】利用数形结合解决计算问题

24.【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象

的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中

数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释.例如：求

1+2+3+4+...+"的值（其中"是正整数）.如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明

数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求1+2+3+4+...+"的值，方案如下:

如图1,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,〃个小圆圈排列

组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+...+«的值.为求式子的值,

现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形

的小圆圈共有"行，每行有（〃+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为+

个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为"D,即1+2+3+4+…+〃=攻则.

22

试卷第6页，共8页

图1

【问题提出】求F+23+33+...+/的值(其中"是正整数).

【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法,

利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论.

探究1：如图2,F可以看成1个1X1的正方形的面积，即『=1X12=12

探究2：如图3,A表示1个1X1的正方形，其面积为：lx『=13；8表示1个2x2的正方形,

其面积为：1x2。分别表示1个1x2的长方形，其面积的和为：2x1x2=1x22;B,C,D

的面积和为1x22+1x22=(1+1)x22=23,而面8,C,D恰好可以拼成一个(l+2)x(l+2)的大

正方形.由此可得：F+23=(1+2)2=3。

(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：F+23+33==.(要求自

己构造图形并写出推证过程)

(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可

以得到：P+23+33+…+-3==(要求直接写出结论，不必写出推证过程)

(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一

共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是

1,2,3,4,5,6的正方体的个数，再求总和.

例如：棱长是1的正方体有：6x6x6=63个，

棱长是2的正方体有：5x5x5=53个，

试卷第7页，共8页

棱长是6的正方体有：Ixlxl=F个;

图4

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为.

(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有

36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为.

(5)【拓展探究】

观察下列各式：

I3=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……

若以3(加为正整数)按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则加的值

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键.

小于。的数即为负数，据此即可求得答案.

【详解】解：-sin45o=-交，-0.5是负数，共2个，

2

故选：B.

2.B

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

IV同<10,"为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，"的绝

对值与小数点移动的位数相同，

【详解】解：30.775=307000=3.07xl05,

则〃=5,

故选：B.

3.B

【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可.

【详解】原说法错误，不符合题意；

B.-(-0.3)=0.3,贝卜(一0.3)<-，说法正确；

C.--<-y,则原说法错误，不符合题意；

D.-(-5)=5>0,原说法错误，不符合题意；

故选：B.

4.A

【分析】本题考查了无理数和有理数，根据无理数和有理数的定义即可求解，掌握无理数的

定义是解题的关键.

【详解】解：。是有理数，b是无理数，

则a+6必定为无理数，

当。=0时，ab=0,，=0是有理数，

b

当“=1,6=百时，是有理数,

故选：A.

答案第1页，共12页

5.D

【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可.

本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键.

【详解】解：Vx2+mx+4=(x-2)2,

x1+mx+4=x2-4x+4,

贝!J加=-4,

原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式.

故选：D.

6.D

【分析】根据题意，逐个判断出所给力的值，是否满足三个连续整数〃、〃+1、〃+2的和等于

它们的积，进而判断出哪个"的值不满足“和谐数组”条件即可.

此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给"的值，是否满足三

个连续整数"、〃+1、"+2的和等于它们的积.

【详解】解：A、当〃=-1时，

-1+(-1+1)+(-1+2)=0,

-lx(-l+l)x(-l+2)-0,

0=0,

・•.n=-1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；

B、当〃=-3时，

-3+(-3+1)+(-3+2)=-6,

-3x(-3+l)x(-3+2)=-6,

•••一6=-6,

n=-3满足“和谐数组”条件,故选项不符合题意；

C、当〃=1时，

1+(1+1)+(1+2)=6,

lx(l+l)x(l+2)=6,

6=6,

答案第2页，共12页

.•.«=1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意;

D、当〃=3时,

3+（3+1）+（3+2）=12,

3x（3+l）x（3+2）=60,

•••12^60,

.•・〃=3不满足“和谐数组”条件,故选项符合题意.

故选：D.

7.A

【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒

等式，求出42的值即可.

r坐向铲./B=/（加一2）+8（"?—1）_"2（/+8）—2/—8_3〃7—4

『牛牛.MI-1m-2（加一1）（加一2），

[A+B=1

'[2A+B^4,

故选A.

8.B

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是

解题的关键.根据求代数式值中的整体思想，即可解答.

【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，

故选：B.

9.A

【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是

解题的关键.根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题.

【详解】解：由所给图形可知，

当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的，

22n

|4-I的值最接近

所以当"无穷大时,I++

答案第3页，共12页

故选：A.

10.D

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据广义杨辉三角形的定义可得

(/+x+l?的展开式，进而确定(/+x+l『的展开式中炉项的系数为1+10+4=15,一项

的系数为16+10+4=30,据此确定(/+办-3.+》+1丫的展开式中，d项的系数.

【详解】解：由题意得，(x,+x+l『=龙，+4/+10工6+16/+19尤4+16x，+10/+4x+l,

•**(x2+尤+1J

=，+4x7+10x6+16x5+19/+16x3+10x2+4x+1)(/+x+1)

.•.(/+无+1)5的展开式中尤8项的系数为i+io+4=15,无7项的系数为—io+4=30,

-3)1+x+的展开式中，d项的系数为15/+30a-45,即15.+23),

故选：D.

11.9

【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完

图书给乙后乙有图书(x+4+2)本，而甲、丙剩余图书之和为(x-4+x-2),再根据题意列

式求解即可.

【详解】解：设一开始三名同学各有无本图书，

由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为x+4+2-二号工-=x+6-(x-3)=9本，

故答案为：9.

12.1

【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得在＜石＜次，即得2＜逐＜3,进而

得1〈石-1＜2,据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键.

【详解】解:,.•"＜1＜囱,

■-2＜45＜3,

n=1,

答案第4页，共12页

故答案为：1.

13.a(a+2)(a-2)

【分析】该题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解常见方法：提取公因式法、

公式法、分组分解法、十字相乘法等.

先提取公因式，再用平方差公式分解即可；

【详解】解：/-4a=a,?-4)=+2)(a-2),

故答案为：a(a+2)(a-2).

14.115

【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为12.90,23.80,9.3。，/=2.5/代

入。=因+q+因中即可求值.

【详解】•••三个电阻阻值分别为12.90,23.80,9.30,1=25A

.•.[/=/«+&+6)=2.5x(12.9+23.8+9.3)=2.5x46=115V,

故答案为：115.

15.x=3

【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关

键.

先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0.

【详解】解：由题意得，^-T---=1,

X2-2-2+X

2.x-(x-2)=x--4,

x2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0,

解得：尤=3或无=—2,

当x=-2时，2+x=0,不符合题意，

•,•原方程的解为：尤=3,

故答案为：x=3.

16.1.22xl06

【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式

答案第5页，共12页

为axlO"的形式，其中1V忖＜10,“为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1V忖＜1°，力为

整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移

动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，"是负整数.

【详解】解：图②中的数为：1000000+2x10000+2x100000=1220000,

•••1220000=1.22xlO6.

故答案为：1.22x106.

17.(1)1；(2)-

a

【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数暴、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练

掌握运算法则是解题的关键.

(1)根据零指数累、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；

(2)根据分式的混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：原式=1-4x走+2省

2

=1;

a+2a

a2a+2

1

【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得〃，b的值，将原分式化

简后代入数值计算即可.

【详解】解：依题意，a=-3,1<6〈右且6为整数，又2〈行<3,则b=2,

Q2—•1—a—b

-----ry1------

a-2ab+ba-b

_(a+b)(a-b)\-a-b

(〃-a-b

a+61—ci—b

=---+-----

a-ba-b

答案第6页，共12页

1

a-b，

当〃=-3,6=2时，原式=一二一'♦

-3J-25

19.4m-9；1

【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值

求解即可.

【详解】解：2m+

=2m-m2+2m+m2-9

=4m-9.

当机=』时，原式=4x2_9=10_9=l.

22

20.（1）一

（2）见解析

【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答;

（2）根据分式混合运算法则进行计算即可.

【详解】。）解：型二且

aIa

a-b{a22ab-b2

aitza

a-b1a2-2ab+b2>

aIa.

故第一步错误.

故答案为：一.

a-b(2ab-b2}

（2）解:a-----

aI

a-b{a22ab-b2

a(aa

a—bQ2—2ab+b2

aa

a-b("6)2

aa

答案第7页，共12页

a-ba

---------x------------

a（a-b）

]

a-b

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键.

21.(1)M>N

(2)<

【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案;

（2）根据作差法求二-二的值即可得出答案.

MN_61Q+l_〃(b+3)-b(Q+l)_仍+3。-6。-6_3a-b

【详解】⑴解:~~~b~?+3-b(b+3)--6(6+3)——6(b+3)

・「3。〉b〉0,

3a-b.

------>0,

6(6+3?)'

/c、52322149514961八

6865442044204420

2322

一<一

6865

故答案为：＜.

【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算

的方法.

22.（l）2（a+2）（a-2）

⑵见解析

【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；

（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可.

【详解】（1）解：4=2/-8=2（/-4）=2（。+2）（。-2）；

（2）解：①当选择/、8时：

B__3/+6a_3ag+2）_3。

~A~2/-8~2（a+2）（a-2）一2"4'

答案第8页，共12页

A_2/-8_2(a+2)(a-2)_20-4

B3a2+6a3a(a+2)3a'

②当选择/、C时：

Ca3-4a2+4a_a(a-2)__a~-la

~A--2a2-8--2(a+2)(a-2)-2a+4'

A_2/-8_2(a+2)(a-2)_2a+4

Ca，—4。-+4aq(a-2ya——2a'

③当选择8、C时：

Ca3-4a2+4a_。(。-2丫_a2-4a+4

B3a2+6a3a(a+2)3a+6

B3a2+6a3a(a+2)3a+6

Ca3-4a~+4aa(a-2ya~-4a+4

【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤,

以及分式化简的方法.

23.(1)(i)7,5；(ii)(n+1)2-(«-1)2；

2

(2)4(后Z—m+k-叫

【分析】(1)(i)根据规律即可求解；(ii)根据规律即可求解；

(2)利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；

本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关

键.

【详解】(1)(i)由规律可得，24=72-52,

故答案为：7,5；

(ii)由规律可得，4H=(M+1)2-(H-1)2,

故答案为：(〃+1『-(〃-if；

(2)解:假设4〃-2=/-/,其中x,y均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若X，歹均为偶数，设x=2左，y=2m,其中h加均为自然数，

贝IJ/一/=(2々)2_(2〃,y=4(公一加2)为4的倍数.

答案第9页，共12页

而4"-2不是4的倍数，矛盾.故X，了不可能均为偶数.

②若x,歹均为奇数，设x=2上+1,y=2m+l,其中后加均为自然数，

则工2_了2=（2左+］）‘一（2加+1）一=4化2_加2+后_加）为4的倍数.

而4〃-2