2025年中考数学专项训练：等腰三角形与直角三角形（含答案解析）

一、单选题

1.（2024・四川巴中•中考真题）如图，在中，。是/。的中点，CE1AB,BD与CE交于点O,且

BE=CD.下列说法错误的是（）

A

A

BC

A.5。的垂直平分线一定与相交于点E

B.ZBDC=3ZABD

C.当E为中点时，是等边三角形

va

D.当£为48中点时，=Z

【答案】D

【分析】连接。E,根据CE1/8,点。是NC的中点得。E=NO=CD=g/C,则进而得点。

在线段8。的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；设乙4助=。，根据8E=OE得

ZEDB=ZABD=a,^ED=ZEDB+ZABD=2a,再根据/）£=3得N/=N4EZ）=2cr,贝！J

NBDC=NA+NABD=3a,由此可对选项B进行判断；当E为48中点时，则=CE是线段48的

垂直平分线，由此得4c=8C,然后根据=CD=^AC,BE=CD得AB=AC,由此可对选项C

进行判断；连接力。并延长交BC于尸，根据“8C是等边三角形得/O3C=/CMC=30。，贝|。4=。8,

113

进而得05=2。尸，AF=3OF,由此得加BC=5BC。尸，S&ABC=-BC-AF=-BC-OF,由此可对选项D进行

判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：连接。E,如图1所示:

A

点。是/C的中点，

:.DE为RtA^^C斜边上的中线，

:.DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

BE=DE,

.・•点。在线段班的垂直平分线上，

即线段8。的垂直平分线一定与42相交于点E,故选项A正确，不符合题意;

设=

,:BE=DE,

ZEDB=/ABD=a,

AAED=AEDB+/ABD=2a,

■：DE=AD,

Z.A-/AED=2a,

ZBDC=ZA+/ABD=3a,

即ZBAC=3乙18。，故选B正确，不符合题意；

当£为4B中点时，则=

VCEVAB,

；.CE是线段N2的垂直平分线，

:.AC=BC,

■：BE=-AB,CD=-AC,BE=CD,

22

AB=AC,

：.AC=BC=AB,

.•.△ZBC是等边三角形，故选c正确，不符合题意；

2

连接/。，并延长交3c于尸，如图2所示:

图2

当E为48中点时，

・••点。为/C的中点，

根据三角形三条中线交于一点得：点尸为8c的中点，

・•・当E为N8中点时，是等边三角形，

:./ABC=NBAC=6Q°,AF1BC,4尸平分/CMC,BD平分NABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

.­.OA=OB,

在Rt^OB厂中，OB=2OF,

OA=OB=2OF,

AF=OA+OF=3OF,

113

SAW=-BCOF,SAARC=—BCAF=—BCOF,

Si

，产=大故选项D不正确，符合题意.

^IsABC,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质,

等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形

的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键.

2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

3

A.24B.36C.40D.44

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为。，b,斜边为根据图1,结合已知条件

得到/+/=02=24,(。一6)2=/+62-2必=4,进而求出血的值，再进一步求解即可.

【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,

・••图1中大正方形的面积是24,

a2+b~=c2=24>

小正方形的面积是4,

-b)=/+6"-2a6=4,

:.ab=\O,

.1

二.图2中最大的正方形的面积=c+4x706=24+2x10=44；

2

故选：D.

3.(2024・四川巴中・中考真题)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深

几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即/C=5,DC=1,BD=BA,贝lj2C=()

D

C.12D.13

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用.^BC=x,则&)=B/=(x+l),由勾股定理列出方程进行求解

即可.

4

【详解】解：设3C=x,则m=A4=(x+l),

由题意，得：（x+l_y=5?+x?,

解得：x=12,即2C=12,

故选：C.

4.（2024・四川广元•中考真题）如图①，在AA8C中，乙4cB=90。，点P从点4出发沿4—C-B以1cm/s

的速度匀速运动至点3，图②是点尸运动时，的面积y（cn?）随时间无（s）变化的函数图象，则该

三角形的斜边的长为（）

A.5B.7C.3也D.2A/3

【答案】A

【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，

由图象可知，面积最大值为6,此时当点P运动到点C,得到;/C/C=6,由图象可知

AC+BC=T,根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解.

【详解】解：由图象可知，A/B尸面积最大值为6

由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，

.-.^ACBC=6,即4C-8C=12,

由图象可知，当x=7时，y=0,此时点P运动到点8,

AC+BC=7,

vZC=90°,

・•.AB2=AC2+3C2=（AC+BC）2-2^C-5C=72-2x12=25,

・•.AB=5.

故选：A

5.（2024・四川南充・中考真题）如图，已知线段45,按以下步骤作图：①过点8作5cl43,使

BC=^AB,连接/C；②以点C为圆心，以8C长为半径画弧，交/C于点。；③以点/为圆心，以

长为半径画弧，交AB于点E.若AE=mAB,则加的值为（）

5

c

A.B.C.V5-1D.V5-2

22

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得442。=90。，再根据=设=%然后在

及△/8C中，利用勾股定理可得/。=好°,再根据题意可得：AD=AE,CD=BC=ga,从而利用线段

的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】-.-BC1AB,

ZABC=90°,

•/BC=—AB,设AB=a

2

BC=—1a,

2

4c=^AB2+BC2=1,

由题意得：4D=AE,CD=BC=；a,

•••AE=AD=AC-CD=—a--a=^:^-a,

222

•••AE=mAB,

故选：A

6.（2024•山东泰安•中考真题）如图，RtA45C中，NABC=90°,分别以顶点/,C为圆心，大于;

的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N,作直线分别与8C,ZC交于点E和点尸；以点/为

圆心，任意长为半径画弧，分别交N8,4C于点〃和点G,再分别以点点G为圆心，大于;8G的长

为半径画弧，两弧交于点尸，作射线"，若射线的恰好经过点E,则下列四个结论：

®ZC=30°；②个垂直平分线段防；③CE=2BE；④S△的=:4期.

O

其中，正确结论的个数有（）

6

AG

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息,

灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.

由作图可知垂直平分线段/C、4E平分/BAC,进而证明/C=/E4C=/氏4£=30。可判定①；再

说明N8=/尸可得心垂直平分线段3月可判定②；根据直角三角形的性质可得/C=2M,4£=28E可判

定③，根据三角形的面积公式即可判定④.

【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段4C,

：.EA=EC,

：.ZEAC=ZC,

由作图可知/E平分N5/C,

/BAE=ZCAE,

NABC=90°,

.•,ZC=ZCAE=NBAE=30°,故①正确，

AC=2AB,

■：AF=FC,

***AB=AF,

・•・小垂直平分线段3尸，故②正确,

-AE=2BE,EA=EC,

：.EC=2BE,故③正确，

.V—J_V

u^BEF.3ABCF，

•・•AF=FC,

.v_Xv

,•uABFC_2Q"BC，

•*,S4BEF=TS&ABC'故④正确.

6

故选：D.

7

7.（2024・山东烟台・中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线OP为的平分线的有

~B°'D-B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为的平分线；

第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB,

:.AC=BD,

■■ZAOD=NBOC,

：./\AOD^/\BOC,

：.AOAD=ZOBC,

•；AC=BD,/BPD=ZAPC,

八BPD-APC,

AP=BP,

•.,OA=OBQP=OP,

:.AAOPm△BOP,

：,/AOP=NBOP,

.•.0尸为//OB的平分线；

第三个图，由作图可知乙4。尸==。尸，

.'.CP//BO,/COP=/CPO,

:.ACPO=ABOP

・•.ZCOP=/BOP,

・・・OP为2405的平分线；

第四个图，由作图可知：OP1CD,OC=OD,

・•.8为//OB的平分线；

故选D.

8

二、填空题

8.（2024•辽宁•中考真题）如图，四边形48CD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=W.以点A为

圆心，以N8长为半径作图，与5c相交于点E,连接/E.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与

EA,EC相交于点〃，N,再分别以点N为圆心，大于^儿加的长为半径作弧，两弧在//EC的内

部相交于点尸，作射线EP,与40相交于点尸，则ED的长为（用含。的代数式表示）.

【分析】本题考查了作图-作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关

键.

利用基本作图得到NE=45=10,EF平分/AEC,,接着证明N4EF=乙4尸E得到X=左=10,然后

利用五D=40—4厂求解.

【详解】解：由作法得/£=/8=10,EF平分NAEC,

ZAEF=NCEF,

•・•AD〃BC,

："AFE=/CEF,

・•・ZAEF=ZAFE,

=花=10,

；.FD=AD—AF=a—U）.

故答案为：-10.

9.（2024•吉林•中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，

其示意图如图②，其中=于点C,5。=0.5尺，B，C=2尺.设/。的长度为x尺，可

列方程为.

T诗文：波平如镜一湖面，半尺高

处生红莲，亭亭多姿湖中立，突

遭狂风吹一边。离开原处二尺

远，花贴湖面象睡莲。

u图①图②

9

【答案】X2+22=(X+0.5)2

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键.

设/C的长度为x尺，则4B=4B，=x+0.5,在中，由勾股定理即可建立方程.

【详解】解：设/C的长度为x尺，则/8=/8'=x+0.5,

•••AB1B'C,

由勾股定理得：AC2+B'C2=AB'2,

.-.x2+22=(x+0,5)2,

故答案为：X2+22=(X+0.5)\

10.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一

个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50。的直角三角形，再分别以所得到

的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到

的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正

方形的面积和为.

图①图②图③

【答案】48

【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识.根据题意分别

计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解.

【详解】解：图①中，•・•/ZC8=90。，

图①图②

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4,

・••图①中所有正方形面积和为：4+4=8,

10

图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为:

8+4=12,

图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为:

8+4x2=16,

：.n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4”，

■,■10次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4x10=48,

故答案为：48.

11.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图，四边形A8CD为正方形，△4DE为等边三角形，EF工4B于点F,

若4。=4,则EF=.

【答案】2

【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角

形的性质，得到△NFE为含30度角的直角三角形，AE=AD=4,根据含30度角的直角三角形的性质求

解即可.

【详解】解：••・四边形/BCD为正方形，A4DE为等边三角形,EF±AB,AD=4,

ZFAD=90°,ZEAD=60°,NAFE=90°,AD=AE=4,

ZFAE=30°,

：.EF=-AE=2-

2

故答案为：2.

12.（2024・四川资阳•中考真题）如图，在矩形/3CD中，48=4,40=2.以点A为圆心，4D长为半

径作弧交48于点£,再以N8为直径作半圆，与靛交于点尸，则图中阴影部分的面积为.

11

【答案】V3+-71

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法

求阴影部分的面积.

设弓形/mF,连接4尸，FE,由题意知/石二/斤二在二？，即△/尸E为等边三角形，

AFAE=AFEA=60°,即可得出阴影部分面积为品月=s半圆一s扇形。庄—s弓形出应^,代入数值即可求出结果.

【详解】解：••・以点A为圆心，4D长为半径作弧交AB于点E,48=4,AD=2,

AE=AD=BE=2,

・••以42为直径作半圆时，圆心为点E,

设弓形/mF,连接4尸，FE,^AE=AF=FE=2,如图：

NFAE=ZFEA=60°,

故阴影部分面积为箍=S半圆一S扇形。FE-S弓形，

m、粕/吉-r犯。_1。。60TTX22(60TIx2273虫1—

代入数值可得S阴=5*2x2兀-1——--------x2=<3+-n,

故答案为6+］兀.

13.(2024•四川雅安•中考真题)如图，在“3C和△/£)£中，AB=AC,NBAC=/DAE=40。,将△ZDE

绕点/顺时针旋转一定角度，当/D13C时，N8/E的度数是.

【答案】60。或120。

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案；

【详解】解：如图，当3c时，延长/。交8c于J,

12

A

-AB=AC,NBAC=NDAE=4。。,

・•.ZBAJ=ZCAJ=20°,

・•.ZBAE=200+40°=60°；

如图，当时，延长。Z交BC于J,

-AB=ACfNBAC=NDAE=4U0,

・•.ZBAJ=ZCAJ=20°,

・•・/BAE=180。—20°-40°=120°,

故答案为：60。或120。

14.（2024・江苏常州•中考真题）如图，在RtZkZBC中，/ACB=90。,AC=6,BC=4,。是边4C的中

点，£是边5C上一点，连接AD、DE.将△CZM沿。石翻折，点。落在5。上的点尸处，则CE=.

【答案】|3

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出助的长，折叠得到厂,

CE=EF,/EFD=90。,设CE=x,在也中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：•・・//CB=90。，AC=6,BC=A,。是边4C的中点，

：.CD=-AC=3,

2

13

•••BD=y/BC2+CD2=5，

•将ACDE沿DE翻折，点C落在HD上的点尸处，

：.CD=DF=3,CE=EF,NEFD=9Q°,

BF=BD-DF=2,ABFE=90°,

设CE=x,则：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在也中，由勾股定理，得：（4-力2=/+22,

3

解得：x=-；

C「E厂=一3；

2

3

故答案为：—.

15.（2024•山东潍坊•中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形/5C的顶点A的坐标为（0,4）,点民C

均在x轴上.将。绕顶点A逆时针旋转30。得到△45'C,则点。'的坐标为.

【答案】（4,4-孚）

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作。户，2。,

求出OF,C'F的值即可得到答案.

14

A48c是等边三角形，AOIBC,

40是/A4c的角平分线，

/CMC=30。，

OC=-AC,

2

在RM/OC中，AO2+OC2=AC2,

即16+（；/C）2=/C2,

解得4C二巫

3

-,AC=AC=—.

3

4J3

OF=AO-AF=4-AC-cos600=4—--,

3

FC=^C-sin60°=—x—=4,

32

16.（2024・四川遂宁•中考真题）如图，在正方形纸片中，E是45边的中点，将正方形纸片沿石。

折叠，点5落在点〃处，延长。尸交于点。，连结"并延长交8于点尸.给出以下结论：@AAEP

为等腰三角形；②尸为。的中点；③/尸:尸尸=2:3；@cosZDCQ=~.其中正确结论是.（填序

号）

15

【答案】①②③

【分析】设正方形的边长为2a,/l=/2=a,根据折叠的性质得出=根据中点的性质得出

一RP

AE=EB,即可判断①，证明四边形/EC尸是平行四边形，即可判断②，求得tanN4=h=2,设

AP=x,则8P=2x,勾股定理得出/尸=竽°,进而判断③，进而求得DQ,勾股定理求得C。,

进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解.

【详解】解：如图所示，

•••E为45的中点,

•••AE=EB

设正方形的边长为2a,

贝l|AE=EB=a

折叠,

；.NI=N2,BP1.EC,EP=EB=a

■■■EA=EP

.•.△/EP是等腰三角形，故①正确；

设/1=/2=&,

.•.//£P=180°-2a

・•・Z3=Z4=a

.・・/2=/3

・•.AF//EC

又•:AE〃FC

.•.四边形AECF是平行四边形，

CF=AE=a,

.,.CF=FD=a,即/是的中点，故②正确;

vBP1EC,AF//EC

；.BP工AF

16

在RM4D/中，AF=NAD?+DF2==其，

八BC2a~

tana=tanZ1=-----=——=2

BEa

BP-

tanZ4==2

AP

设=则5P=2x,

AB-y/~5x-2a

2yBet

x=-------

5

“2y[5f-2#>375

••AP=------a,PDFZ7=75a-------a=-------a，

555

■■.AP:PF=2:3,故③正确；

连接E。，如图所示，

ZQAE=90°,ZQPE=ZEPC=ZEBC=90°,AE=EP

又EQ=EQ

AAEQ知PEQ

.■.AQ=PQ

又•:EA=EP

.•.EQLAP

ZAQE+ZAEQ=90°

又•.•NNEQ+N4=90°

ZAQE=Z4=a

•・•tana=2

.W=2

AQ

/ca

13

/.QD—2Q—Q——ci

22

17

在RMQOC中，QC=+DC?=+(2tz)2=1tz

3

—a

•■•cosZDCQ=——=—,故④不正确

°—a

2

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

三、解答题

17.(2024•江苏常州•中考真题)如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AC、DE相交于点G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(1)求证：AGEC是等腰三角形；

(2)连接AD,则40与/的位置关系是

【答案】(1)见解析

(2)AD//l

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：

(1)证明△4BC丝△。厄，得到乙4cB=NDEF,即可得证；

(2)根据线段的和差关系，易得NG=DG,根据三角形的内角和定理，得至=即可得出

结论.

【详解】(1)证明：在OBC和ADF支中

AB=DF

<AC=DE,

BC=EF

：.j\ABC^/\DFE,

；"ACB=ZDEF,

18

••.EG=CG,

.•.AGEC是等腰三角形；

(2)-：AC=DE,EG=CG,

：.AG=DG,

：.NGAD=ZGDA=1(180°-Z^GD),

AACE=ZDEF=1(180°-ZCGE),

AAGD=NEGC,

ACAD=NACB,

AD//1.

18.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在Rt448C中，//C5=90。，48=26，AC=2,分别以点）,

8为圆心，大于g48的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N,作直线分别交BC于点、D,E,

连接CDAE.

A

⑴求CD的长;

⑵求A/C£的周长.

【答案】（1）君

(2)6

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键.

19

（1）由题意得儿W是线段N8的垂直平分线，故点。是斜边N8的中点.据此即可求解；

（2）根据E/=EB、AZCE的周长=NC+CE+£N=/C+CE+E8=/C+8C即可求解；

【详解】（1）解：由作图可知，&W是线段的垂直平分线，

.•.在RtZ\/8C中，点。是斜边N8的中点.

,-.CD=-AB=-x2y[5=45.

22

（2）解：在RtZk48C中，BC=yjAB2-AC2=7（275）2-22=V16=4.

•・,九W是线段的垂直平分线，

••・EA=EB.

・•・△4CE的周长=/C+CE+K4=/C+C£+£B=/C+5C=2+4=6.

19.（2024•湖南长沙•中考真题）如图，点C在线段4D上，AB=AD,NB=ND,BC=DE.

（1）求证：△/5C0△/；）£；

⑵若4/C=60。，求//CE的度数.

【答案】（1）见解析

（2）N/CE=60。

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明△/CE是等边三角形是解答

的关键.

（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；

（2）根据全等三角形的性质得到NC=/E,NC4E=NBAC=60。,再证明△/CE是等边三角形，禾!J用等

边三角形的性质求解即可.

【详解】（1）证明：在"5C与△4DE中，

'AB=AD

，乙B=ND,

BC=DE

所以A”C0"OE（SAS）；

（2）解：因为NA4c=60。，

20

所以/C=/E,/C/E=Z8/C=60。，

所以是等边三角形.

所以N/CE=60。.

20.（2024•青海•中考真题）（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

【答案】（1）x=l或尤=3

（2）第三边的长是JIU或2正

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理.

（1）用因式分解法解即可；

（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算

即可.

【详解】解：（1）X2-4X+3=0

=0

x=l或x=3；

（2）当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为FR=而；

当一条直角边为1,斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为存万=20.

答:第三边的长是比6或2近.

21.（2024•甘肃兰州•中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,

正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1,他用木条能快速画出一个以点/为顶点的直角，具体作法如

下：

①本条的两端分别记为点N,先将木条的端点M与点/重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位

置记为点2,连接48;

②木条的端点N固定在点8处，将木条绕点8顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点/,

B,C不在同一条直线上）；

③连接C3并延长，将木条沿点C到点3的方向平移，使得端点M与点8重合，端点N在C5延长线上的

落点记为点D；

④用另一根足够长的木条画线，连接40,AC,则画出的NTMC是直角.

21

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2,BA=BC,请画出以点/为顶点的

直角，记作/D4C；

推理论证：（2）如图1,小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明：;AB=BC=BD,

:.^ABC与AABD是等腰三角形.

ZBCA=ABAC,ZBDA=ABAD.（依据1）

NBCA+NBDA=ABAC+ABAD=ADAC.

ADAC+ABCA+ABDA=180°,（依据2）

:.2ZDAC=18O°,

ADAC=90°.

依据1：;依据2：；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法

可以减少误差.如图3,点。在直线/上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以。为顶点的直角，

记作NP。。，使得直角边。尸（或在直线/上.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，

（1）根据“观察发现”延长至点。，^.DB=CB,连接C4N。即可知以点/为顶点的/D/C为直角;

（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；

（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可.

【详解】解：［操作体验］（1）

22

图2

［推理论证］（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理;

故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；

［拓展探究］（3）

22.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，点、D、£分别是等边三角形边3C、/C上的点，且BD=CE,

BE与4D交于点F.求证：AD=BE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出

AB=BC,N4BD=NBCE=60。,然后根据SAS证明四ABCE,根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】证明:是等边三角形，

AB=BC,ZABD=NBCE=60°,

又BD=CE,

.•.△ABD会ABCE（SAS）,

•••AD=BE.

23.（2024•山东泰安•中考真题）如图1,在等腰RtA48C中，ZABC=90°,AB=CB,点、D,E分别在

AB,C8上，DB=EB,连接CD,取中点尸，连接3尸.

23

图1

（1）求证：CD=2BF,CD1BF；

⑵将绕点8顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出8尸与CD的位置关系：

②求证：CD=2BF.

【答案】（1）见解析

（2）05F1CD；②见解析

【分析】（1）先证明得到NE=CD,=/BCD,根据直角三角形斜边中线性质得至IJ

CD=AE=2BF,根据等边对等角证明=进而可证明区FLCD；

（2）①延长8尸到点G,4吏FG=B尸,连接/G,延长8E到/,使BE=BM,连接并延长交。于

点N.先证明ANG厂也AEAF,得至1]NFAG=NFEB,4G=BE,进而NG〃BE,AG=BD.证明

△AGBgABDC得至“NABG=/BCD,然后利用三角形的中位线性质得到3尸〃4N,则

ZABG=ZBAN=ZBCD,进而证明AN1CD即可得到结论；

②根据△ZG82ABDC得到CD=BG即可得到结论.

【详解】（1）证明：在和△CHD中，

AB=BC,ZABE=ZCBD=9Q°,BE=BD,

:AABE%CBD（SAS）,

AE^CD,/FAB=/BCD.

•••F是RtAABE斜边ZE的中点，

AE=2BF,

：.CD=2BF,

■：BF=-AE=AF,

2

ZFAB=NFBA.

：.ZFBA=/BCD,

24

・・・/FBA+NFBC=9。。,

ZFBC+ZBCD=90°.

BFYCD-

(2)解：①87」CO；

理由如下：延长防到点G,使FG=BF,连接ZG,延长跖到M,使BE=BM,连接Z〃并延长交CO

于点N.

•;AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

...△4G厂之△助尸(SAS),

;"FAG=NFEB,AG=BE,

:.AG//BE,

NG4B+NABE=180。,

ZABC=ZEBD=90°,

;"ABE+/DBC=T8。。,

NGAB=NDBC.

•;BE=BD,

:.AG=BD.

在"GB和中，

・：AG=BD,ZGAB=ZDBC,AB=CB,

/.△^G5^A5DC(SAS),

:.ZABG=ZBCD.

•・•/是4E中点，8是中点，

:.BF是“BM中位线，

BF//AN.

/ABG=/BAN=/BCD,

:./ABC=ZANC=90。,

ANLCD.

•・•BF//AN,

BFLCD.

故答案为：BF1CD；

25

A

②证明：AAGB咨ABDC,

/.CD=BG,

vBG=2BF,

:.CD=2BF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角

形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与

运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键.

24.(2024・辽宁•中考真题)如图，在“8C中，ZABC=90°,//C8=a(0。<a<45。).将线段C4绕点C

顺时针旋转90。得到线段CD,过点。作垂足为E.

(1)如图1,求证：LABC沿ACED；

(2)如图2,/ZCD的平分线与48的延长线相交于点尸，连接。尸，。尸的延长线与CB的延长线相交于点

P,猜想PC与PD的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,在(2)的条件下，将△AEP沿4尸折叠，在a变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接

EF.

①求证：点尸是尸。的中点；

②若CD=20,求ACE尸的面积.

26