2025年中考数学总复习 几何图形的折叠问题 学案（含答案）

微专题35几何图形的折叠问题

一阶基础技能

1.折叠问题常见的类型有：

，求纹-长度］T利用方程思想、勾股定1

——由一线段的最俏卜---------------------

--------卜府而置的折樵问题

H动京间购卜1-------------------

2.与折叠有关的计算常用性质

⑴折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.

此工

①线段相等：C'D=,BC=；

②角度相等：Zl=,Z3=；

③全等关系：bBCDQ.

(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分，即BD垂直

平分CC)；

(3)折痕可看作角平分线.

二阶方法训练

方法解读

1.利用折叠出现的直角三角形求解

情形：折叠中顶点落在边上得到直角三角形

结论：在Rt△。下跟中，利用勾股定理，得/=足+3—%)2

方法总结：由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角

三角形，可利用勾股定理或三角函数列方程求解

方法一利用折叠出现的直角三角形求解(2020.9)

例1如图，在矩形中，AB=6,BC=9,点E,尸分别在边A。，BC±.,

将四边形A即石沿"折叠，点5的对应点夕恰好落在CD边的中点处，则5尸

的长为.

;VI

BKC

例1题图

变式1如图，在R3ABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,D,E分别是AB

上的点.将△AC石沿AE折叠，使点。的对应点落在点。处，则△5。石的面

积为.

CF.R

变式1题图

方法解读

2.利用折叠出现的等腰三角形求解

情形：折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形

E

b-xA/ZX/J

…少

a：

HA"""C

结论：△5下。为等腰三角形，DF=BF=x,AF=b-x

方法总结：当折痕过特殊四边形对边或对角线时，可利用角平分线（折痕）与平行

线（特殊四边形的对边）的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解

方法二利用折叠出现的等腰三角形求解

例2如图，在矩形A5CD中，CD=4,BC=8,将45CD沿5。翻折得到^BED,

BE交AD于点F,则A尸

例2题图

变式2如图，已知矩形纸片的宽为2,将矩形纸片沿折叠，得到重合部分

AAMN,若NM4N=45°,则AAMN的面积为

变式2题图

方法解读

3.利用折叠出现的全等、相似求解

情形：折叠中常出现的全等、相似模型

结论：①“正8字”：4AFEsACFD；②“斜A字”：XAFEs丛&C

（2）如图②，一线三垂直模型

图②

结论：①八BEFs^CFD；

②AAED咨AFED

方法总结：结合折叠的性质，找出与设问相关联的全等三角形或相似三角形，再

利用全等、相似三角形的性质求解

方法三利用折叠出现的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3),2021.23]

例3如图是一张矩形纸片，点E在A5边上，把△台做沿直线CE折叠，使点5

落在对角线AC上的点尸处，连接。尸.若点E,F,。在同一条直线上，AE=2.

(1)DF=；

(2)BE=.

例3题图

例4如图，E是矩形A5C。中CZ)边上一点，将△台虚沿5E折叠得到尸E,

点。的对应点下恰好落在A。上.若sinNO下石=|,则tanNEBC的值为.

FI)

例4题图

变式3(2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边AB在X轴

上，点A的坐标为(一2,0),点E在边8上.将△⑶虚沿BE折叠，点。落在

点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

变式3题图

三阶综合应用

1.（2020广东9题3分）如图，在正方形A5CZ）中，A5=3,点E,尸分别在边A5,

CD±,NE7Z>=60°.若将四边形尸沿E尸折叠，点5恰好落在A。边上，

则BE的长度为（）

A.1B.V2C.V3D.2

第1题图

2.（2024佛山二模）在如图所示的矩形中，M■为CZ）中点，将△MBC沿

翻折至若NAME=15°，则NA5E=

第2题图

3.如图，在矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点

5落在点E处，AE交CD于点F,连接。E.

（1）求证：八ADEEMED；

（2）求证：ADE尸是等腰三角形.

第3题图

4.（2021广东23题8分）如图，边长为1的正方形A5C。中，点石为的中点.

连接5E,将△A5E沿5E折叠得到△E5E,5/交AC于点G,求CG的长.

第4题图

一阶基础技能

①CD,BC\②N2,Z4；③ABCD

二阶综合应用

例15【解析】\'AB=6,且9是8边的中点，.•.5匕=:。。=/5=3,由

折叠可知，B'F=BF,设BF=BF=x,则=9一%.在RS中，，：BF=CF

+VC2,.*.x2=(9-x)2+32,解得％=5,：.BF=5.

变式16【解析】由折叠可知，CE=OE,AC=AZ)=6,NAC5=NADE=90°,

：.BD=AB~AD=10-6=4,ZBDE=180°-ZADE=180°-90°=90°,设

CE=x,则Z)E=x,BE=8—x,在R35OE中，根据勾股定理得，BEr=BD2+

11

DE2,.*.(8-X)2=X2+42,解得％=3,：.DE=3,：.BDE=^DE-BD=^X3X4=

6.

例23【解析】•.•四边形A5C。为矩形，.•.AZ)=JBC=8,CD=A5=4,

ZA=90°,ZADB=ZCBD,由折叠性质得NC50=NE5Z),ZADB=

ZEBD,：.BF=DF,设A尸=%,则=5F=A。一A尸=8一%,在R3AB尸中，

BF2=AB2+AFQ,即(8一%)2=42+%2,解得％=3,：.AF=3.

变式22近【解析】如解图，过点“作“PLAN于点尸，...纸条为矩形，

：.MB//AN,：.Z1=ZANM,由折叠的性质可知N1=NAMN,ZAMN=

ZANM,.•.△4MN是等腰三角形.•.•NMAN：45。，MP=2,：.AN=AM=-^~

'sin45°

=4=2V2,SAAMN=-AN-MP=-X242X2=2近.

.22

2

_____WB

Ar

IiM一一J

变式2题解图

例3(1)2；【解析】•.•四边形A5C。是矩形，.•.AD=5C,ZDAE=ZB=ZDAE

=90°,由折叠的性质得，CF=BC,ZCFE=ZB=9Q°,EF=BE,：.CF=AD,

ZCFD=ZDAE=90°,ZADE+ZCDF=ZCDF+ZFCD=90°,：./ADE

=ZFCD,：.△AFCD(ASA),：.DF=AE=2.

(2)V5-1【解析】•.•NAFE=NCFD=90°,：.ZAFE=ZDAE^90°,,：ZAEF

=ZDEA,.'.^AEF^ADEA,.\石尸=遮一1(负值已舍

DEEA2+EF2

去)，：.BE=EF=VS~1.

一题多解法

(1)'.'AB//CD,:・SAACD=S&DCE,­•SAACD—SADCF=SADCE—SADCF，•'«5AADF=

SAECF，由题意知，BC=CF,SAACD—SLABCJSAECF=SABCE，•,•SAACD5AADF-ABC

11

—S&CEF=SAABC-BCE9•••SADCF=S&ACE9：.-DFCF=-AEBC.'：CF=BC,：.DF

~一22

=AE=2；

(2)设\"AE//CD,:.XAEFS&CDF,解得％=通

')CDDF2+x2

—1(负值已舍去)，:.BE=A—I.

例4y【解析】•.•四边形A5C。是矩形，ZA=ZC=ZD=90°.

由折叠的性质可知，ZBFE=ZC=9Q°,ZEBF=ZEBC,EF=EC,：.ZABF

+NA/5=90°,ZAFB+ZDFE=90°,：.ZDFE=ZABF,：.ADFE^/\ABF,

VsinZDFE=-=-,，设。E=2a,则石尸=3Q,.•.45=8=5亿在

FBABEF3

R3QE尸中，由勾股定理，得。尸=返“，.•.竺=竺=回=在，tanZEBC=

FBAB5a5

tanZEBF=—.

FB5

变式3(3,10)【解析】由折叠的性质可知，,点A的坐标(一2,

0),点尸的坐标为(0,6),.•.04=2,OF=6,如解图，设与y轴交于点尸，

设正方形的边长为。，则05=a—2,OP=BF=a,在R350尸中，OB2+OF^

=BP,即62+3—2)2="，解得Q=10,：.OP=10,05=8,:.PF=OP—OF

=4,•：/EFP+/FEP=9b°,ZEFP+ZBFO=90°,AZFEP=ZBFO,

PPPJ7P/74—1

,：ZEPF=ZF0B=9Q°，：.^EFP^AxFBO,解得PE=3,

OFOB68

点E的坐标为(3,10).

41P.__p

IFK\

-jrA----:VI

变式3题解图

三阶综合应用

1.D【解析】•.•四边形A5C。是正方形，，/人;为。，AB//CD,VZEFD

=60°,：.ZBEF=60°,由折叠的性质知，ZB'EF=ZBEF=60°,ZAEB'

=60°,ZAB'E=3Q°.设BE=B，E=x,则AE=3—%,在RtAAEB'中，3-%

=/，解得％=2,:.BE=2.

2.40°【解析】如解图，延长BE交A。于点N,设BN交AM于点O,•.,四

边形A5C。是矩形，：.ZD=ZC=9Q°,AD=BC,丁〃为CD中点，：.DM=

MC,：.^ADM^ABCM,：.ZDAM=ZCBM,BWE是由△翻折得至U,

ZCBM=ZEBM=^(9Q°-ZABE),VZDAM=ZCBM=ZMBE,ZAON=

/BOM,：.ZOMB=ZANB=90°-ZABE,在△血石中，ZEMB+ZEBM=

90°,ZAME+(9Q°-ZABE)+|(90°-ZABE)=90°,整理得|/A5E=

60°,ZABE=40°.

,Vk/7\

I\i

*、

AA

第2题解图

3.证明：（1”.•四边形A5C