2025年中考数学一轮复习学案：3.1 函数初步 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第三章函数

3.1函数初步

考点分布考查频率命题趋势

考点1平面直角坐标系内点的坐数学中考中，有关函数初步的部分，每年考查

☆☆

标特征1道题或者渗透在其他问题里，,分值为6分

左右，通常以选择题、填空题出现。对于这

考点2函数及自变量的取值范围☆☆

部分知识的复习需要学生熟练掌握函数的自

考点3函数图象及其应用☆☆

变量取值范围，函数图像的应用。能根据给出

考点4函数图象的分析与判断☆☆的函数表达式，画出函数的图像。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.平面直角坐标系内点的坐标特征

1.各象限点的坐标特点

①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；

②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；

③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；

④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。

2.坐标轴上点的坐标特点

①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；

②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；

③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；

④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；

⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。

3．对称点的坐标特点

①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；

②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；

③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

4.平移前后，点的坐标的变化规律

（1）点(x，y)左移a个单位长度后点的坐标为：(x－a，y)；

（2）点(x，y)右移a个单位长度后点的坐标为：(x＋a，y)；

（3）点(x，y)上移a个单位长度后点的坐标为：(x，y＋a)；

（4）点(x，y)下移a个单位长度后点的坐标为：(x，y－a)．

【口诀记忆】正向右负向左，正向上负向下．

考点2.函数及自变量的取值范围

1.函数的定义

（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯

一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

（2）对函数定义的理解，主要抓住以下4点：

①有两个变量．

②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，

一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且

只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同。

④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量

即为该自变量的函数.

（2）函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑

两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题

时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．

【温馨提醒】求函数自变量的取值范围注意的几点

①整式型：自变量取全体实数；

②分式型：自变量取值要使分母不为0；

③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还

应使实际问题有意义

2.函数解析式及函数值

（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，

这种式子叫做函数的解析式．

注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代

数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．④用数学式子

表示函数的方法叫做解析式法．

（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b

时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

3.函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法。

表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使

用。

考点3.函数图象及其应用

1.函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面

内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便

于描点，点数一般以5到7个为宜．

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的

各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要

适中，位置要准确．

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

2.函数的图象的功能

1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式。

2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上。

3．利用函数图象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势。

考点4.函数图象的分析与判断

类型1.根据函数性质判断函数图象

(1)若题目中明确给出一个函数的图象，则根据函数图象及函数图象上的点得出函数解析式中未知系

数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；

（2）若题目中未给出任何一个函数的图象，则要根据题目中给出的交点条件，判断函数图象大致所

在象限，再将交点坐标分别代入题干中的函数解析式中，即可得出函数解析式中未知系数的值或取值

范围，进而可判断出所求函数的大致图象；

类型2.分析实际问题判断函数图象

1.找起点（明确自变量和因变量）

2.找特殊点（交点或者转折点）

3.判断图象的趋势

4.看是否与坐标轴相交

类型3.分析几何图形动态问题判断函数图象

此类函数是由分段函数组成，解题的关键是认真分析题意，弄清每一段上的函数值是如何随自变

量变化而变化的，在解决此类问题时，有时需要先求出函数的关系式再进行判断。具体方法：

方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的

增减变化趋势；

方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；

方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项

进行排除；

方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．

【易错点提示】动点问题函数的图像

1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．

2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．

考点1.平面直角坐标系内点的坐标特征

【例题1】（2024广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为2,1，则点

Q的坐标为（）

A.3,0B.0,2C.3,2D.1,2

【答案】C

【解析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格

代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．

【详解】∵点P的坐标为2,1，

∴点Q的坐标为3,2，故选：C．

【变式练1】（2024杭州一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到

y轴的距离为5，则点P的坐标是（）

A．，B．C．，D．

【答案(4】D−5)(5,−4)(−45)(−5,4)

【解析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．

设点坐标�为，�,�

∵�点在第二象�,限�内，

∴�，，

�<0�>0

∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，

∴，，

∴�=，4�=5，

即�点=坐4标�为=−5，

故选�：D(−5,4)

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标

的绝对值是解题的关键．

【变式练2】（2024济南一模）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，

b）所在的象限

是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A．

【解析】根据点A（a，﹣b）在第三象限，可得a＜0，﹣b＜0，得b＞0，﹣ab＞0，进而可以判断点

B（﹣ab，b）所在的象限．

∵点A（a，﹣b）在第三象限，

∴a＜0，﹣b＜0，

∴b＞0，

∴﹣ab＞0，

∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．

【变式练3】（2024沈阳一模）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．

【答案】－1（答案不唯一，负数即可）

【解析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．

∵点P(m，2)在第二象限内，∴m0，m取负数即可，如m=-1，

【点睛】本题考查已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解

题的关键．

考点2.函数及自变量的取值范围

【例题2】（2024甘肃威武）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士

黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都

相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方

式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）

A.y3xB.y4xC.y=3x+1D.y4x1

【答案】B

【解析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，

再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．

【详解】由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，

∴yxx2x4x，故选：B．

【变式练1】（2024安徽一模）关于变量说法正确的是（）

A.在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量；

B.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量；

C.在一个变化过程中可以取同一数值的量叫变量；

D.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量。

【答案】A

【解析】变量是指在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量是指在一个变化过程中只能取同一

数值的量。

【变式练2】（2024湖南一模）已知函数y＝，若y＝2，则x＝．

【答案】2

【解析】根据题意，进行分类解答，即可求值．

∵y＝2．

∴当x2＝2时，x＝．

∵0≤x＜1．

∴x＝（舍去）．

当2x﹣2＝2时，x＝2．

本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围．

【变式练3】（2024福建一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．

【答案】x≠．

【解析】根据当函数表达式是分式时，分母不为0可得答案．

7x﹣5≠0，x≠．

【变式练4】（2024海南一模）在函数中，自变量x的取值范围是．

11

【答案】且�=�−1+�−2

【解析】根�>据1分式�有≠意2义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．

依题意，�−1>0,�−2≠0

∴且�−1>，0,�−2≠0

故答�>案1为：�≠2且．

【点睛】本题�考>查1了求�≠函2数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件

是解题的关键．

考点3.函数图象及其应用

【例题3】（2024甘肃临夏）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着

DBC的路径行进，过点P作PQCD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQDQ为y，

y与x的函数图象如图2，则AD的长为（）

811

A.42B.C.73D.

3344

【答案】B

【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．

根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．

由图象得：CD2，当BDBP4时，PQCD2，此时点P在BC边上，

设此时BPa，则BD4a，ADBC2a，

在RtBCD中，BD2BC2CD2，

22

即：4aa222，

2

解得：a，

3

8

ADa2，故选：B．

3

【变式练1】（2024自贡一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽

毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下

列结论错误的是（）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟

B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米

C．报亭到小亮家的距离是400米

D．小亮打羽毛球的时间是37分钟

【答案】D

【解析】根据图象逐个分析即可．

A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；

B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/

分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；

C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；

D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；

故选：D．

本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．

【变式练2】（2024北京一模）如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动

至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．

(1)求矩形ABCD的面积；

(2)求点M、点N的坐标；

1

(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．

5

【答案】C

【解析】(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，

说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且

运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P运动到点

C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；(3)分点P在BC、

CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数

关系式，进而求出x即可．

解：(1)结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，

得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；

(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为(4，10)．∵

BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为(13，0)；

11

(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.

55

115x5x

①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝，令＝4，

2222

解得x＝1.6；

11

②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合题意，

22

舍去)；

11

③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝AB·PA＝×5×(13－x)

22

55

＝(13－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4，

22

综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.

方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取

信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，

要理清图象的含义．

考点4.函数图象的分析与判断

【例题4】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，BAC90，AB12，动点E，

F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动

时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为

x0x12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数

关系的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图

象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当x4

时图象的走势，和当x>4时图象的走势即可得到答案．

【详解】当HG与BC重合时，设AEx，由题可得：

∴EFEH2x，BE12x，

在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2BH2EH2，

222

∴2x2x12x，

∴x4，

2

∴当0x4时，y2x2x2，

∵20，

∴图象为开口向上的抛物线的一部分，

当HG在BC下方时，设AEx，由题可得：

∴EF2x，BE12x，

∵AEFB45，AEOB90,

∴VFAE∽VEOB，

AEEO

∴，

EFEB

xEO

∴，

2x12x

12x

∴EO，

2

12x

∴当4x12时，y2x·12xxx212x，

2

∵10，

∴图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，故选：A．

【变式练1】（2024大连一模）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下

山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象

是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除A和C，又匀速下山，

上山的速度小于下山的速度，排除D，进而可以判断．

【解析】因为登山过程可知：

先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．

所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．

【变式练2】（2024天津一模）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标

准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过

100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月

用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是()

【答案】C

【解析】据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x

0.5x（0≤x≤100），

－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝纵观各选项，只有C选项图

0.8x－30（x>100）.

形符合．故选C.

方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表

示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图

象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．

考点1平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）

1.在平面直角坐标系中，点P1,2关于原点的对称点P'的坐标是()

A.1,2B.(-1,2)C.(1,-2)D.1,2

【答案】D

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.

∵点P1,2关于原点的对称点为P'，

∴P'的坐标为（-1，-2），故选D．

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．

2.（2024四川成都市）在平面直角坐标系xOy中，点P1,4关于原点对称的点的坐标是（）

A.1,4B.1,4C.1,4D.1,4

【答案】B

【解析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，

由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．

【详解】点P1,4关于原点对称的点的坐标为1,4；故选：B．

3.（2024四川凉山）点Pa,3关于原点对称的点是P2,b，则ab的值是（）

A.1B.1C.5D.5

【答案】A

【解析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标

互为相反数可得a2，b3，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是

解题的关键．

【详解】∵点Pa,3关于原点对称的点是P2,b，

∴a2，b3，

∴ab231，故选：A．

4.（2024湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点P3,5向上平移2个单位长度后得到点P的坐标

为（）

A.1,5B.5,5C.3,3D.3,7

【答案】D

【解析】考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．

在平面直角坐标系中，将点P3,5向上平移2个单位长度后得到点P的坐标为3,52，即3,7，

故选：D．

5.（2024江西省）在平面直角坐标系中，将点A1,1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位

长度得到点B，则点B的坐标为______．

【答案】3,4

【解析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标

加3即可得到点B的坐标．

【详解】∵点A1,1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，

∴点B的坐标为12,13，即3,4．

6.（2024湖南省）在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y，若x，y均为整数，则称点P为“整

y

点”．特别地，当（其中xy0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P2a4,a3

x

在第二象限，下列说法正确的是（）

A.a3B.若点P为“整点”，则点P的个数为3个

C.若点P为“超整点”，则点P的个数为1个D.若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的

距离之和大于10

【答案】C

【解析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征

求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可

判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．

【详解】∵点P2a4,a3在第二象限，

2a40

∴，

a30

∴3a2，故选项A错误；

∵点P2a4,a3为“整点”，3a2，

∴整数a为2，1，0，1，

∴点P的个数为4个，故选项B错误；

∴“整点”P为8,1，6,2，4,3，2,4，

1121334

∵，，，2

8863442

∴“超整点”P为2,4，故选项C正确；

∵点P2a4,a3为“超整点”，

∴点P坐标为2,4，

∴点P到两坐标轴的距离之和246，故选项D错误，故选：C．

7.（2024河北省）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点

称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当

余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位

长度．

例：“和点”P2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P32,2，其平移过程如下：

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q161,9，则点Q的坐标为（）

A.6,1或7,1B.15,7或8,0C.6,0或8,0D.5,1或7,1

【答案】D

【解析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．

先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向

上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q16的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1

个单位，不符合题意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8

次，向右平移了7次，此时坐标为6,1，那么最后一次若向右平移则为7,1，若向左平移则为5,1．

【详解】由点P32,2可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P42,3，

此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P41,3，此时横、纵坐标

之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之

和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规

律平移，

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q161,9，则按照“和点”Q16反向运动16次

求点Q坐标理解，可以分为两种情况：

①Q16先向右1个单位得到Q150,9，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右

平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立；

②Q16先向下1个单位得到Q151,8，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平

移1个单位得到Q16，故符合题意，那么点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计

向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为17,98，即6,1，那么最后一次若向右平移

则为7,1，若向左平移则为5,1，故选：D．

8.（2024贵州省）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”

“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别

为2,0，0,0，则“技”所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．

如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．

9.（2024河北省）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征

值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征

值”最小的是（）

A.点AB.点BC.点CD.点D

【答案】B

【解析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设Aa,b，ABm，ADn，

可得Da,bn，Bam,b，Cam,bn，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到

答案．

设Aa,b，ABm，ADn，

∵矩形ABCD，

∴ADBCn，ABCDm，

∴Da,bn，Bam,b，Cam,bn，

bbbnbbn

∵，而，

amaaamam

∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．

10.（2024河南省）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标

为2，0，点E在边CD上．将BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为0，6，则点

E的坐标为___________．

【答案】3,10

【解析】设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，先判断四边形AOGD是矩形，得出

OGADa，DGAO，EGF90，根据折叠的性质得出BFBCa，CEFE，在

Rt△BOF中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在RtEGF中，利用勾股定理构建

关于CE的方程，求出CE的值，即可求解．

【详解】设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，

则四边形AOGD是矩形，

∴OGADa，DGAO，EGF90，

∵折叠，

∴BFBCa，CEFE，

∵点A的坐标为2，0，点F的坐标为0，6，

∴AO2，FO6，

∴BOABAOa2，

在Rt△BOF中，BO2FO2BF2，

2

∴a262a2，

解得a10，

∴FGOGOF4，GECDDGCE8CE，

在RtEGF中，GE2FG2EF2，

2

∴8CE42CE2，

解得CE5，

∴GE3，

∴点E的坐标为3,10，

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，

利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．

11.（2024甘肃临夏）如图，在ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐

标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与ABC全等，点D的坐标是______．

【答案】1,4

【解析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D在

第一象限（不与点C重合），且△ABD与ABC全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出

D1,4．

【详解】∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与ABC全等，

∴ADBC，ACBD，

∴可画图形如下，

由图可知点C、D关于线段AB的垂直平分线x2对称，则D1,4．

12.（2024甘肃威武）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田

积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到

60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中

对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记

为15,16，那么有序数对记为12,17对应的田地面积为（）

A.一亩八十步B.一亩二十步C.半亩七十八步D.半亩八十四步

【答案】D

【解析】根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．

【根据15,16可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故12,17对应的是半亩八十四步，故选D．

考点2函数及自变量的取值范围

2x

1.（2024上海市）函数f(x)的定义域是（）

x3

A.x2B.x2C.x3D.x3

【答案】D

【解析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，

熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键．

2x

【详解】函数f(x)的定义域是x30，解得x3，故选：D．

x3

4

2.（2024江苏扬州）在平面直角坐标系中，函数y的图像与坐标轴的交点个数是（）

x2

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

4

【解析】根据函数表达式计算当x0时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可

x2

能为0，即y0，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．

本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．

4

【详解】当x0时，y2，

2

4

∴y与y轴的交点为0,2；

x2

44

由于是分式，且当x2时，0，即y0，

x2x2

4

∴y与x轴没有交点．

x2

4

∴函数y的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．

x2

3.（2024广西）激光测距仪L发出的激光束以3105kms的速度射向目标M，ts后测距仪L收到

M反射回的激光束．则L到M的距离dkm与时间ts的关系式为（）

3105

A.dtB.d3105tC.d23105tD.d3106t

2

【答案】A

【解析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间

列式即可．

13105

d3105tt，故选：A．

22

11

4.（2024黑龙江齐齐哈尔）在函数y中，自变量x的取值范围是______．

3xx2

【答案】x3且x2

【解析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等

式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．

3x0

由题意可得，，

x20

解得x3且x2，

故答案为：x3且x2．

考点3函数图象及其应用

1.（2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线

会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中

的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象

（如图2）．下列结论中错误的是（）

A.当P440W时，I2AB.Q随I的增大而增大

C.I每增加1A，Q的增加量相同D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多

【答案】C

【解析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．

【详解】根据图1知：当P440W时，I2A，故选项A正确，但不符合题意；

根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；

根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，

符合题意；

根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q

越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．

2.（2024广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了

大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个

函数关系，部分数据如下表：

脚长

…232425262728…

x(cm)

身高

…156163170177184191…

y(cm)

（1）在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；

k

（2）根据表中数据，从yaxb(a0)和y(k0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映

x

身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；

（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，

估计这个人的身高．

【答案】（1）见解析（2）y7x5（3）175.6cm

【解析】【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．

（1）根据表格数据即可描点；

（2）选择函数yaxb(a0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点23,156,24,163代入

即可求解；

（3）将25.8cm代入y7x5代入即可求解；

【小问1详解】解：如图所示：

【小问2详解】解：由图可知：y随着x的增大而增大，

因此选择函数yaxb(a0)近似地反映身高和脚长的函数关系，

将点23,156,24,163代入得：

15623ab

，

16324ab

a7

解得：

b5

∴y7x5

【小问3详解】解：将25.8cm代入y7x5得：

y725.85175.6cm

∴估计这个人身高175.6cm

考点4函数图象的分析与判断

1.（2024四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，

再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与

距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则

他到达时距会议开始还有________分钟．

【答案】5

【解析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵

活运用所学知识解决问题．

根据图象求出v0，进而得出小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．

根据题意可得：v08001080（米/分），

小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：20008025（分），

由图可知，会议开始时间为出发后161430（分），

∴若小王全程以v0的速度步行，则他到达时距会议开始还有30255（分），故答案为：5．

2.（2024江西省）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y℃与时

间xmin的关系用图象可近似表示为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度

升高到60℃时温度不变．

【详解】将常温中的温度计插入一杯60℃（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到60℃时温度

不变，故C选项图象符合条件，故选：C．

3.（2024山东烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，菱形EFGH的

顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF23cm，E60，现将菱形EFGH

以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH

与矩形ABCD重叠部分的面积Scm2与运动时间ts之间的函数关系图象大致是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性

质，先求得菱形的面积为63，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重

合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．

如图所示，设EG,HF交于点O，

∵菱形EFGH，E60，

∴HGGF

又∵E60，

∴HFG是等边三角形，

∵EF23cm，HEF60，

∴OEF30

∴EG2EO2EFcos303EF6

11

∴S菱形EGFH62363

EFGH22

当0x3时，重合部分为MNG，

如图所示，

依题意，MNG为等边三角形，

t23

运动时间为t，则NGt，

cos303

2

∴132332

SNGNGsin60tt

2433

当3x6时，如图所示，

EM6t23

EK6t

依题意，EMEGt6t，则sin6033

2

1123232

∴SEJEM6t6t

EKJ2233

∴SS菱形EFGHSEKJ

323

66tt243t1236

33

∵EG6BC

∴当6x8时，S63

32

当8x11时，同理可得，S6t8

3

3232

当11x14时，同理可得，S6t814t

33

综上所述，当0x3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3x6时，函数图象为开口向

下的一段抛物线，当6x8时，函数图象为一条线段，当8x11时，函数图象为开口向下的一

段抛物线，当11x14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．

4.（2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边ABBC匀速运动，运动到

点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数