2025年中考数学一轮复习学案：5.4 圆的证明和计算类重难点综合问题 （学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第五章圆

5.4圆的证明和计算类重难点综合问题

考点分布考查频率命题趋势

考点1不含三角函数的问题☆☆☆数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每

年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查

考点2含三角函数的问题☆☆1

道题,分值为8~12分，一般略简单一些的会设置

2小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现

证明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者

两条线段相等。然后其他小问让计算某线段长度，

考点3创新型的问题☆☆

或者求某角的大小等。用到的知识比较综合，圆

周角定律、相似三角形性质、勾股定理、三角函

数以及数学思想方法。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

1.判定切线的方法

（1）若切点明确，则“连_____，证______”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转

化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作_____，证_______”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，

隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进

行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，

形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而

化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）______思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段

可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤

构造三角函数.

（2）______思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建

立方程，解决问题。

（3）______思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，

通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜

半径与弦长计算，______来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心_____连。

切线长度的计算，_____定理最方便。

要想证明是切线，____垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成___角径连弦。

弧有中点圆心连，____定理要记全。

圆周角边两条弦，____和弦端点连。

弦切角边切线弦，____对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出____线。

还要作个内接圆，___角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作____弦。

内外相切的两圆，经过___点公切线。

若是添上连心线，___点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是___线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，____旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

考点1.不含三角函数的问题

【例题1】（2024甘肃临夏）如图，直线l与O相切于点D，AB为O的直径，过点A作AEl

于点E，延长AB交直线l于点C．

（1）求证：AD平分CAE；

（2）如果BC1，DC3，求O的半径．

【变式练1】（2024山东济南一模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．

（1）求证：△AEC∽△DEB；

（2）连接AD，若AD3，C30，求⊙O的半径．

【变式练2】（2024湖北一模）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为的中点，过点

C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长⊙DC交AB的延长线⊙于点F．

（1）求证：CD是O的切线；

（2）若DE＝1，D⊙C＝2，求O的半径长．

⊙

考点2.含三角函数的问题

【例题2】（2024山东泰安）如图，AB是O的直径，AH是O的切线，点C为O上任意一

1

点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF1，tanB，

2

则AE的长为__________．

【变式练1】（2024湖南一模）如图，AB为O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与O

相切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝1⊙2，则sin∠CAD等于（）⊙

A．B．C．D．

【变式练2】（2024江苏徐州一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，

过A，B，D三点作O，AE是O的直径，连接DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；⊙

（2）若sinC＝，⊙AC＝6，求O的直径．

⊙

考点3.创新型的问题

【例题3】（2024云南省）如图，AB是O的直径，点D、F是O上异于A、B的点．点C在

O外，CACD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，AMNABM，

AMBMABMN．点H在直径AB上，AHD90，点E是线段DH的中点．

（1）求AFB的度数；

（2）求证：直线CM与O相切：

（3）看一看，想一想，证一证：

以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CEEBCB，CEEBCB，CEEBCB，

你认为哪个正确？请说明理由．

【变式练1】（2024广州一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物

剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成O，AB

与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；

当点A运动到F时，点B到达D．若AB12，OB5，则下列结论正确的是（）

A.FC2B.EF12

C.当AB与O相切时，EA4D.当OBCD时，EAAF

【变式练2】（2024福建一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早

的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，

他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架AC的一端A落在地面上时，AC与O的

另一个交点为点D，水平地面AB切O于点B．

(1)求证：A2C90；

(2)若AD2m，AB3m，求O的直径．

考点1.不含三角函数的问题

1.（2024辽宁）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，点D在BC上，ACBD，E

在BA的延长线上，CEACAD．

（1）如图1，求证：CE是O的切线；

（2）如图2，若CEA2DAB，OA8，求BD的长．

2.（2024深圳）如图，在△ABD中，ABBD，O为△ABD的外接圆，BE为O的切线，AC

为O的直径，连接DC并延长交BE于点E．

（1）求证：DEBE；

（2）若AB56，BE5，求O的半径．

考点2.含三角函数的问题

1.（2024福建省）如图，在ABC中，BAC90,ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，

AEOC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．

OE

（1）求的值；

AE

（2）求证：△AEB∽△BEC；

（3）求证：AD与EF互相平分．

2.（2024甘肃威武）如图，AB是O的直径，BCBD，点E在AD的延长线上，且

ADCAEB．

（1）求证：BE是O的切线；

（2）当O的半径为2，BC3时，求tanAEB的值．

3.（2024广西）如图，已知O是ABC的外接圆，ABAC．点D，E分别是BC，AC的中

点，连接DE并延长至点F，使DEEF，连接AF．

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（2）求证：AF与O相切；

3

（3）若tanBAC，BC12，求O的半径．

4

考点3.创新型的问题

1.（2024广州）如图，在菱形ABCD中，C120．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重

合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．

（1）当BAF30时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；

（2）若AB663，O为△AEF的外接圆，设O的半径为r．

①求r的取值范围；

②连接FD，直线FD能否与O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．

考点1.不含三角函数的问题

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的O交AC于点E，点D是BC边上的中点，

连接DE．⊙

（1）求证：DE与O相切；

（2）连接OC交D⊙E于点F，若O的半径为3，DE＝4，求的值．

⊙

2.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，

连接BE．

（1）求证：BDCD；

1

（2）若tanC，BD4，求AE．

2

3.如图，在Rt△ABC中，ACB90，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在CD上取一

点E，使BECD，连接DE，作射线CE交AB边于点F．

（1）求证：AACF；

4

（2）若AC8，cosACF，求BF及DE的长．

5

考点2.含三角函数的问题

1．如图，△ABC中，以AB为直径的O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，

延长DE交AB的延长线于点P．⊙

（1）求证：PE是O的切线；

（2）若⊙，BP＝4，求CD的长．

考点3.创新型的问题

1.为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材

由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环