河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）（解析版）

第页，共页第18页，共18页2024~2025学年第一学期期末调研考试高一数学试题（B）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，结合交集的定义求结论.【详解】不等式可化为，故，所以或，所以或，所以或，又，所以.故选：A.2.已知样本数据为，，，，平均数为，则数据，，，，与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数【答案】A【解析】【分析】利用平均数的计算方法判断A，举反例排除BCD，从而得解.【详解】对于A，原数据的平均数为，新数据为，所以新数据的总和为：，则新数据的平均数为：，即平均数没有变化，故A正确；对于B，不妨设原数据为，则，方差为，则新数据为，平均数为，方差为，此时方差发生了变化，故B错误；对于C，不妨设原数据，则，众数为，则新数据为，众数为，此时众数发生了变化，故C错误；对于D，不妨设原数据为，则，中位数为，则新数据为，中位数为，此时中位数发生了变化，故D错误.故选：A.3.下列命题中，真命题的选项是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的定义域，正弦函数、指数函数以及余弦函数的值域即可判断.【详解】对A，当时，不成立，所以A错误；对B，当时，不存在，所以B错误；对C，当时，，所以C正确；对D，因为函数的值域为，所以D错误.故选：C.4.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的判定方法一一分析即可.【详解】对于选项A，，，，所以函数不是奇函数；对于选项B，，所以，且函数定义域为，所以函数为偶函数；对于选项C，，，解得，则其定义域为，关于原点对称，而，，所以函数是奇函数；对于选项D，，所以，且定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数；故选：C5.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函数的奇偶性的判定方法，结合对数函数的性质判断得的奇偶性排除AC，再利用区间法判断得时，从而排除B，由此得解.【详解】对于，有，解得且，所以的定义域为，又，所以为偶函数，所以的图象关于轴对称，故排除A、C；当时，，，所以，故排除B.故选：D.6.已知平面向量，满足，，则的最大值为（）A.8 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案.【详解】因为则，则，所以，所以，，故选：C.7.设，，，则它们的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质比较大小关系即可.【详解】因为指数函数在上单调递减，则，即，因为指数函数在上单调递减，则，即，又因为指数函数在上单调递增，则，即，则.故选：D8.已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，；若函数，，则函数在上零点个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解.【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数，又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数，当时，，作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出，的图象，因为，，所以函数fx,gx在上有三个交点，在又，，则，则函数是偶函数，图象关于轴对称，所以由数形结合知fx,g故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（）A.经济转型后，农业收入减少B.经济转型后，工业收入增加了一倍以上C.经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上D.经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入【答案】BCD【解析】【分析】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．通过选项逐一分析经济转型前后经济收入情况，利用数据推出结果．【详解】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．由图可知：A项，经济转型后农业收入，经济转型前农业收入，故转型后，农业收入增加了，故A项错误．B项，经济转型后工业收入，经济转型前工业收入，故转型后，工业收入增加了一倍以上，故B项正确．C项，经济转型后其他产业收入，经济转型前其他产业收入，故转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上，故C项正确．D项，经济转型后第三产业收入，经济转型前经济总收入，故转型后，第三产业收入超过经济转型前经济总收入，D正确.故选：BCD10.设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误.【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错，令，可得或，所以，对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对，对C，当时，令，则，，则，C错，对D，由且，而在上单调递增，所以，D对.对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误;因为，所以，故，又，所以，因为函数在上单调递增，故，D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：画出函数图象，利用相关函数性质确定零点的范围及相关参数的关系为关键.11.函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（）A.B.直线为函数图象的一条对称轴C.函数在区间上有1个零点D.对于任意的，关于的方程总有奇数个根【答案】BCD【解析】【分析】利用对称中心和对称轴求解满足的关系式，再利用周期性确定的范围，最后通过讨论可确定的取值，再利用正弦型函数的性质即可判断其它选项.【详解】由为函数的一个对称中心，所以有，，由为的一条对称轴，所以有，，上两式相减得：，设函数的周期为，因为函数在上单调递减，，所以，又因为，所以有，则有，即或，此时或，当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减，所以，则，所以有，，由于，此时无解；当时，由，则，所以有，，由于，此时；所以满足题意，故A错误；此时有，由，故B正确；当时，，此时由，得，故C正确；由，可知函数关于点对称，所以过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点，再根据函数是关于这个点的中心对称图象，所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，即肯定是有奇数个交点，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的取值，根据题意确定的取值，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为_____________.【答案】##【解析】【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案.【详解】由，结合正弦定理得，，因为，所以,利用余弦定理，解得，所以.故答案为：.13.已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为______________.【答案】【解析】【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式.【详解】将各式累乘可得又因为，所以，令，则有.故答案为：.14.定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则______________.（注：）【答案】【解析】【分析】推导出函数是周期为4的函数，计算出的值，结合函数的周期性得所求代数式的值.【详解】因为，令，则，所以函数的图象关于直线对称，则，因为函数的图象关于点对称，设，则，即，即，令，则，故函数奇函数，所以，则，故函数是周期为4的周期函数，由，得，所以当时，，则，，，，所以：故答案为：【点睛】结论点睛：函数的对称性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）求和；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的交并补运算求集合；（2）根据已知有，讨论、求参数范围.【小问1详解】由，即，由，即，所以，且，则.【小问2详解】由题设，若，即时，满足要求；若，即时，则，故，综上，.16.如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）（1）证明：为定值；（2）求的最小值，并求此时的，的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案；（2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果.【小问1详解】因为是边边上中线，，所以.又是的中点，，所以.因三点共线，所以且所以，即为定值；【小问2详解】由（1）所以，当且仅当,即时，等号成立.所以时，的最小值.17.在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果；（2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可知，因为，整理得，因为，所以，所以，即，又因为，所以．【小问2详解】如图，设，，由正弦定理有，得，因为，所以，所以，在中，由余弦定理可知，，即，解得或．若，，则的面积为：，即；若，则，则，因为，所以，综上可得的面积的取值范围为.18.已知函数.（1）若函数为奇函数，求的值；（2）当时，若函数在区间有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的奇偶性，结合指数幂的运算即可得解；（2）利用换元法，构造函数，将问题转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布得到关于的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为，所以，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，解得.【小问2详解】当时，，所以，函数在区间有2个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，整理得，令，由，则，即在上有两个不相等的实数根，令，在上有两个零点，则满足，解得，综上可知，实数m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的解决关键在于，利用换元法与构造函数法，将问题转化为二次函数的零点分布问题，从而得解.19.已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.（1）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围；（2）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】【分析】（1）转化为，再利用对勾函数单调性对分类讨论即可；（2）通过假设存