2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之费马点模型解读与提分训练（原卷版）

专题35最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶•德•费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，

而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费

马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

模型1.费马点模型

模型解读

结论：如图1,点M为AABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120。时,

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就

是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120。）

模型证明

证明：如图2,以AB为一边向外作等边三角形AABE,将8M绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN.

:△ABE为等边三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NA/BN=60。，:./ABM=/EBN.

AB=BE

在与4ENB中，VJZABM=NEBN，AAMB%AENB（SAS）.

BM=BN

连接MN.由△AM20ZXEN8知，AM=EN.〈/MBN=60°,BM=BN,△BMN为等边三角形.

；.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.二当E、N、M、C四点共线时，AM+8M+CM的值最小.

此时，ZBMC=180°-ZWB=120°；/AMB=/ENB=1800-NBNM=120°；

ZAMC=3600-ZBMC-ZAMB=120°.

费马点的作法：如图3,分另IJ以AABC的AB、AC为一边向外作等边"BE和等边"CR连接CE、BF,设

交点为则点M即为AABC的费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

模型运用

例1.（23-24九年级上广东江门•阶段练习）如图，在AABC中，NBAC=90。,AB=5,AC=2道，点尸为AABC

内部一点，则点尸到AABC三个顶点之和的最小值是.

例2.（2024•江苏宿迁•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是AS的中点，尸是3C边上一

动点，将△3EF沿着防翻折，使得点B落在点夕处，矩形内有一动点P,连接尸？,PC,尸。，则PE+PC+PZ）

的最小值为.

例3.（23-24九年级下•河南周口•阶段练习）【问题背景】在已知"RC所在平面内求一点P,使它到三角形

的三个顶点的距离之和最小（如图1）.这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前

后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：如图2,把△APC绕

A点逆时针旋转60°得到AAP'C'（点P,C的对应点分别为点P',C），连接PP，,则NF4P=60°,PC=PC.

为等边三角形，：.AP^PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

...当8,P,P',C'四点在同一直线上时，R4+P3+PC的值最小，即点P是AABC的“费马点

任务：（1）横线处填写的条件是；（2）当点尸是的“费马点”时，ZAPB=ZBPC=ZAPC=；

（3）如图3,AABC中，ZC4B=90°,AB^AC,E,尸为3c上的点，且ZEAF=45。，判断BE,EF,FC

之间的数量关系并说明理由；

【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A,B,C为公园的出入口，ZA=75°,AB=2&km，

AC=4km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P,使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+P3+PC的

最小值是.

例4.（2023春•重庆・九年级专题练习）背景资料：在已知AABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点

被人们称为“费马点”.如图1,当AABC三个内角均小于120。时，费马点尸在"3C内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°时,则B4+尸8+尸。取得最小值.

图1图2

（1）如图2,等边VLBC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/4尸3的度数，为

了解决本题，我们可以将AABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时这样就可以利用旋转变换，

将二条线段R4、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出44PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与"1BC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.（2）如图3,从1BC三个内角均小于120。，在AABC外侧作等边三角形AABM,连接CB,求证：CB'过

AABC的费马点.（3）如图4,在RTkABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，点尸为445c的费马点，

连接AP、BP、CP,求R4+P3+PC的值.（4）如图5,在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、

BE、CE,且边长钻=2;求AE+3E+CE的最小值.

例5.（2024•江苏•校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形A8CZ）的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里,

现在要设立两个车站E,F,则取+£B+砂+FC+FD的最小值为公里.

B

模型2.加权费马点模型

模型解读

结论：点P为锐角内任意一点，连接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）

模型证明

证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

,Y7

如：保持8P不变，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+-CP）,如图，B、P、P2>4四点共线时，取得最小值。

yy

模型运用

例1.（2024•广东广州•一模）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,ABfAD,

AG=y/3AE.矩形AGFE绕着点A旋转，连接8G,CF,AC,AF.

备用图

⑴求证：^ABG^ACF-,⑵当CE的长度最大时，①求3G的长度；②在△Ab内是否存在一点尸，使得

CP+AP+石尸尸的值最小?若存在，求CP+AP+石尸产的最小值；若不存在，请说明理由.

例2.（2024・重庆・二模）已知AABC中AB=BC,点。和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE,ZBED=90°.

（1）如图1,若BD=BA,ZABC^IZD,BE=2,求AC的长度；（2）如图2,连接AD和C。，点F为AD中

点，点6为8中点，连接EF和8G,若EF=BG,求证：ZBAC=ZDBE；（3）若NABC=60。，AB=2,

当1A。+且BO+CD取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出ABDE的面积.

22

例3.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）在等边VABC中，点。是边BC上一点，连接AD,将线段AD绕点

A顺时针旋转120。得到线段AE,贝|ND4E=120°,AE=AD,连接3E交AD于点E交AC于点

（1）如图1,当点。为BC中点时，且AD=3,求AABE的面积；（2）如图2,猜想线段A3、BD、之间的

数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3,若A3=8,在VABC内部有一个动点P,连接上4、PB、PC,直

接写出3PA+4PB+5PC的最小值.

习题练模型

1.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形ABCD内一点，且"=5,AD=8,N为边

3C上一点，连接Att、MD、MN,则版1+MD+MN的最小值为.

2.（2023•广东深圳•二模）如图，AABE是等边三角形，M是正方形ABC。对角线BD（不含2点）上任意

一点，BM=BN,ZABN=15°（点N在A3的左侧），当AM+8M+CM的最小值为6+1时，正方形的边长

为.

3.（24-25九年级上•湖南长沙•阶段练习）法国数学家费马提出：在4人台。内存在一点P,使它到三角形顶点

的距离之和最小.人们称这个点为费马点，此时出+P8+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角AA8C

中，费马点尸满足NAP3=/BPC=/CE4=120。，如图，点尸为锐角AABC的费马点，且以=3,PC=4,

ZABC^60°,则费马距离为.

4.（2023・四川成都・二模）如图，矩形ABCD中，AB=2,3C=3,点E是A3的中点，点尸是8c边上一动

点.将印沿着E尸翻折，使得点B落在点3,处，若点尸是矩形内一动点，连接P3、PC、PD,则

PB'+A/2PC+PD的最小值为.

5.（2023•四川•校联考模拟预测）如图，在AABC中，P为平面内的一点，连接”、PB、PC,若

ZACB=30°,AC=8,BC=10,则4PA+2PB+2石尸C的最小值是（）

A.4789B.36C.4碗+2岔+6疗D.16A/10-10

6.（23-24九年级上•重庆渝中•自主招生）如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AD上的动点，DFLEC

于点RG在EC上，且PG=FD,P是平面内一动点，”是5c上的动点，则10（E4+PG+尸〃）+58〃+2有GB

的最小值为______________

7.（2024・湖北•模拟预测）阅读以下材料并完成问题

材料一：数形结合是一种重要的数学思想如行不可看做是图一中A5的长，庖了不可看做是的

长.

材料二：费马点问题是一个古老的数学问题.费马点即在VABC中有一点尸使得PA+PB+PC的值最小.著

名法学家费马给出的证明方法如下：

将AAB尸绕8点向外旋转60。得到△A4C，并连接易得△尸々2是等边三角形、PA=PA，贝|尸8=<[,

贝PA+尸8+PC=《A+2I+PC,所以R4+P3+PC的值最小为AC.

请结合以上两材料求出+7%2+/+I-2%+&+9+12一4岛的最小值

8.（2023上•广东珠海•八年级校考期中）综合与实践：

［问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1,等边AABD与等边“BMN

共一个顶点时，无论怎么摆放可通过SAS恒有于是提出了如下问题.

图1图2

【问题证明】（1）如图2,M是等腰RtZ\A3C内一点，N是等边△ABD内一点，且满足△ABM/△£®V.求

证：ABMN是等边三角形.

【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰Rt^ABC内一点，当点M到三角形3个顶点的距离之

和，即M4+MB+MC最小时，我们把M点称为等腰Rt/XABC的“紫荆点”.若M是等腰Rt/XABC的紫荆点，

求/AMC.

完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）

解：如图3,令"，N'分别是等腰R£ABC,等边△AB。内一点，且满足AAfiMNaBN'MA=DN'

,/4BMN是等边三角形MrB=M'N',ZM'N'B=ZN'BM'=ZBM'N'=60°

由一①一可知：的最小值=DN'+MM+M'C的最小值一②一

如图4,当。、N、M、C在一条直线上时.M是等腰Rt^ABC的紫荆点

AZAMB=@=120°；NBMC=④=120°ZAMC=360°-ZAMB-ZBMC=120°

图5

【拓展提升】（3）甲同学发现等腰AABC“紫荆点”的作法：如图5,已知AB=3C,在AB的左侧作等边

△ABD.连接。，与/ABC的角平分线3E交于点M,点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请说

明理由.

9.（2024•陕西西安・二模）问题提出

图1图2备用图

⑴如图1,在等边VABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,贝I]/4pB=

问题解决（2）如图2,五边形ABCr电是某公园局部平面图，BCYCD,ED±CD,ZABC=165°,AB=30072m，

CD=400m,BC=ED=50m.现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁尸。和三条

观光路AP,CQ,DQ,且尸。=3C,PQ//BC.已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a

元.是否存在点P,使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值;

若不存在，请说明理由.

10.（2024•陕西咸阳・模拟预测）（1）如图①，在VABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,尸为VA3C内一点，

求24+尸3+PC的最小值.为了求R4+PB+PC的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转

60。得到△PAB,则=连接PP.此时小明发现/B4P=60。，且AP=AP,则4P为等边三角

形，于是PA=PP.试着根据小明的思路，求出B4+PS+尸C的最小值.

（2）如图②，某牧场有一块矩形空地ABCD,其中AD=200米，48=1004米，点E在AD边上且AE=50

米，厂为A3边上任意一点，点A关于所的对称点为4.牧场主欲在四边形AE4'尸的四条边上装上栅栏饲

养土鸡，并将8点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABC£＞内一点尸处打一口井，并修建地

下管道PA,PB,PC.请问：是否存在一点P,使B4'+P3+PC的值最小？如果存在，请求出B4'+PB+PC

的最小值及此时8尸的长；如果不存在，请说明理由.

11.（23-24八年级下•陕西•阶段练习）课本再现:

图1图2图3

迁移应用：（2）如图2,在正方形ABCD中，E是C。边上一点（不与点C、D重合），连接BE,将8E绕点

E顺时针旋转90。至FE,作射线FD交BC的延长线于点G,求证：CG=BC；

拓展延伸：（3）如图3,在菱形ABCD中，ZA=120°,E是CD边上一点（不与点C、。重合），连接BE,

将BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G.

①线段CG与BC的数量关系是②连接AG,点尸为AABG内一点，连接外,PB,PG.^AB=6,

则AP+3尸+PG的最小值为.

12.（23-24九年级上.重庆江津•阶段练习）如图，在"RC中，4c=90。，AB=AC=2&,AQ18C于

点。.点G是射线A。上一点，过G作GELGF分别交AB、AC于点E、F：

A

⑴如图①所示，若点E,尸分别在线段AB,AC上，当点G与点。重合时，求证：AE+AF=-J2AD;

（2）如图②所示，当点G在线段外，且点E与点B重合时，猜想AE,AF与AG之间存在的数量关系并说

明理由；（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+3G+CG的最小值.

参考公式：（后+6）=a+b+2y[ab

13.（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的

皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人

信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直

线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托里拆利成功地解决了费马

的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A,B,C距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里

拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将"PC绕点8顺时针

旋转60。得到ABOE,连接尸口，可得ABPO为等边三角形，故尸口=尸8,由旋转可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由一可知，E4+P2+PC的最小值与线段一的长度相等；

（2）如图2,在直角三角形ABC内部有一动点P,ZBAC=90°,ZACB=30°,连接必，PB,PC,若A8=2,

求出+PB+PC的最小值；（3）如图3,菱形ABC。的边长为4,ZABC=60°,平面内有一动点E,在点E运

动过程中，始终有/2EC=90。，连接AE、DE,在AADE内部是否存在一点P,使得B4+PD+PE最小，若存

在，请直接写出B4+PO+PE的最小值；若不存在，请说明理由.

14.（23-24九年级上•湖北襄阳咱主招生）（1）如图在“BC内部有一点尸，△ABD是正三角形，连接出、

PB、PC,将线段相绕A顺时针反向旋转60。至AE,①求证：PA+PB=DE+EP-,②调整P点的位置，使

上4+尸3+尸。最小，求此时NAPB和ZAPC的大小.（2）如图在直角三角形&RQTRQ±QT,RQ=QT=2,

在其内部任取一点"，求MR+MQ+MT的最小值.

15.(2023・湖北随州・统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当ULBC的三个内角均