山东省德州市第二中学2024-2025学年高三上学期第四次学情检测数学试题（解析版）

第页，共页第18页，共18页2022级高三上学期第四次学情检测数学试题一．单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的定义域得到集合B，再由集合的并集运算得到结果.【详解】由可得，则，又，所以，故选：D.2.已知复数且复数z是方程的一个根，则实数（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】将复数代入方程，化简后利用复数相等的性质求解即可/【详解】因为复数且复数z是方程的一个根，所以.即，则故选：B.3.已知抛物线，则抛物线C的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】转化为抛物线的标准方程，直接得出准线方程即可.【详解】由可得，所以抛物线C的准线方程为，故选：C4.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分焦点在轴、轴上两种情况讨论可得，即可得答案.【详解】若焦点在轴上，则；焦点在轴上，则.故选：C.5.若，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】由题意可得，所以，，故选：A6.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）A.9种 B.36种 C.38种 D.45种【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，2部影片进行全排列，故共有种情况.故选：B7.已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（）A.4 B. C.9 D.【答案】D【解析】【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧数列的单调性并求其最大值，即可得答案.【详解】由，令，解得，当时，由，得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，由，即恒成立，令，则，而，所以，即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.故选：D8.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合，由正弦定理可得.最后由，结合余弦定理可得答案.【详解】，由正弦定理，则.由余弦定理，.故选：B二．多选题9.已知随机变量X，且，则（）A. B.若则C.若，则 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即可.【详解】由题知，故A正确；，故B正确；，故C错误；由正态分布密度曲线关于对称，利用对称性知，，所以，故D正确.故选：ABD.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.与为互斥事件 B.与相互独立C. D.【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D.【详解】依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果，，共个不同结果，，共个不同结果，，共个不同结果，对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误；对于B，，，共6个不同结果，，与相互独立，B正确；对于C，，共9个不同结果，，，C错误；对于D，由选项B知，，D正确.故选：BD11.已知函数，则（）A.当，时，直线与曲线相切B.当时，函数的减区间为C.当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为D.当，时，若（其中），有【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由切线斜率为1求出切点，结合点斜式即可判断A；求导，根据导数正负情况即可判断B；由函数的单调性和极值以及零点即可求解判断C；由函数的零点情况，结合和基本不等式即可求解判断D.【详解】对于A选项，当，时，，有，若，解得或，由，可得与曲线相切，故A选项正确；对于B选项，，当时，由，有，故函数的减区间为，故B选项错误；对于C选项，当时，，所以由B可知函数在上单调递增，在上单调递减，又，，极大值，故若函数有3个零点，则实数的取值范围为，故C选项正确；对于D选项，当，时，，由，若（其中），则有，有，可得，有，又由，有，可得，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：求证的关键1是先由即结合立方和公式化简得到，关键2是利用基本不等式得到关于的不等关系得解.三、填空题12.有一组数据：，且n为这组数据的分位数，则的展开式中第三项的系数为______．【答案】80【解析】【分析】根据百分位数定义求出，由二项展开式的通项即可求解.【详解】将数据按从小到大排成一列：，由，可知这组数据的分位数为5，即，所以的展开式中第三项为：，所以的展开式中第三项的系数为：80.故答案为：8013.已知圆，直线与圆交于两点，则最小值为______．【答案】2【解析】【分析】根据直线过定点，结合弦长公式即可求.【详解】由可得，所以直线恒过定点，因为，所以在圆内，由圆可知圆心为，半径，当时，圆心到直线的距离取到最大值，此时最小，因为，所以.故答案为：214.已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案.【详解】回归直线经过，且，代入回归方程得：，即，所以当时，的最小值为.故答案为：.四、解答题15.已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为2，求的值．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调区间；（2）先求得，然后对a进行分类讨论，研究单调性及最值求a的值.【小问1详解】由题设的定义域为，且，则，当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由题设，当，结合，易知，所以在上单调递增，故无最大值，不符合；当，且，则时，时，所以在上递增，在上递减，则，故，可得.综上，.16.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下2×2列联表，并依据独立性检验，能否有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生

女生

合计

（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题，以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：参考数据：0.10000500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析；有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2），（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，再对照临界值表即可得出结论；（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，易得服从二项分布，由二项分布即可得和；（3）依题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到的分布列和期望值.【小问1详解】根据统计表格数据可得列联表如下：性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960根据列联表的数据计算可得，故有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取学生数，故近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，故，；【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：，，，故所求分布列为Y0123P可得17.设x∈R，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数．（1）求解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；（2）在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据的最小正周期为，求得，再利用平移变换，得到函数，再根据函数是偶函数求得，从而得到，然后利用“五点法”作图求解；（2）由，利用正弦定理，结合恒等变换求得，再根据是锐角三角形，求得角B的范围，再利用余弦函数的性质求解.【小问1详解】解：因为函数的最小正周期为，所以，则，由图象向左平移后得到的函数为，因为函数是偶函数，所以，则，因为，所以，所以．由五点法，列表如下：0010-10的图象，如图所示：【小问2详解】由，利用正弦定理得，即，即，因为，所以，，所以；因为是锐角三角形，所以，即，解得因为，所以，所以，所以的值域是.18.已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．【答案】（1）（2）直线的斜率或【解析】【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解；（2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解.【小问1详解】圆过1,0，，又圆过，，又，椭圆的方程为.【小问2详解】设，则，由题知且，则，，由，解得，，又，，又，，直线的斜率或.19.已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.（1）若，求及；（2）若，求证：互不相同；（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.【答案】（1），.（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到及；（2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论；（3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案.【小问1详解】因为，所以，则；【小问2详解】依题意，则有，因此，又因为，所以所以互不相同.【小问3详解】依题意由或，知或.令，可得或，对于成立，故或①当时，，所以.②当时，或.当时，由或，有，同理，所以.当时，此时有，令，可得或，即或.令，可得或.令，可得.所以.若，则令，可得，与矛盾.所以有.不妨设，令，可得，因此.令，