第4讲　万有引力定律及应用【公众号：屋里学家】

第4讲万有引力定律及应用学习目标1.了解开普勒三定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。2.理解万有引力定律的内容，知道适用范围。3.掌握计算天体质量和密度的方法。1.2.1.思考判断(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。()(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。()(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。()(4)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。()2.2022年11月30日，天和核心舱与神舟十五号载人飞船成功对接。已知天和核心舱绕地球做圆周运动的轨道离地高度为地球半径的eq\f(1,16)，不考虑地球自转，则宇航员在天和核心舱受到地球的引力是其在地球表面重力的()A.eq\f(17,16) B.eq\f(16,17) C.eq\f(289,256) D.eq\f(256,289)考点一开普勒三定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。3.由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。4.开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。例1(多选)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A.从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功听课笔记例2(多选)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有()图2A.TA＞TB B.EkA＞EkBC.SA＝SB D.eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))听课笔记考点二万有引力定律的理解和应用角度万有引力定律的理解及简单计算例3(2023·新课标卷，17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资()A.质量比静止在地面上时小B.所受合力比静止在地面上时小C.所受地球引力比静止在地面上时大D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大听课笔记角度“挖补法”求解万有引力例4有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图3所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为()图3A.eq\f(7GMm,36R2) B.eq\f(14GMm,63R2)C.eq\f(343GMm,2048R) D.eq\f(343GMm,2048R2)听课笔记角度万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图4所示(设地球质量为M)。图4(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。例5(2024·广东广州高三期中)人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为()A.eq\f(T2·ΔF,4π2m) B.eq\f(T2·ΔF,2π2m)C.eq\f(mT2·ΔF,4π2) D.eq\f(mT2,4π2·ΔF)听课笔记角度星体上空及星体内部重力加速度的求解1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。2.万有引力的“两个推论”推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。例6近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R＋h)))eq\s\up12(2)C.eq\f(R3,（R＋h）2（R－d）) D.eq\f(（R－d）（R＋h）,R2)听课笔记考点三天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算方法类型方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—角度重力加速度法例7我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是()A.火星表面重力加速度大小是eq\f(2hx,veq\o\al(2,0))B.火星的半径是eq\f(2hT2veq\o\al(2,0),π2x2)C.火星的质量是eq\f(h3T4veq\o\al(6,0),2Gπ4x6)D.火星的密度是eq\f(3πx,GT2h)听课笔记角度环绕法例8(2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图5所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()图5A.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)听课笔记