第5节 古典概型、概率的基本性质

第5节古典概型、概率的基本性质考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率．【知识梳理】1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有________；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______________．2．古典概型的概率公式设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．3．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[常用结论与微点提醒]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同．()(4)从1，2，3这三个数中任取两个数，其和不小于4的概率为eq\f(2,3).()2．(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是________．3．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为______________．4．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人再射击1次，则中靶的概率约为____________．考点一古典概型例1(1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为()A.eq\f(14,27) B．eq\f(5,9)C.eq\f(16,27) D．eq\f(17,27)(2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________．(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．训练1(1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣．在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,15)C.eq\f(5,36) D．eq\f(4,45)(2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A.eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)考点二概率的基本性质例2从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题．训练2(多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55考点三古典概型的综合应用例3(2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有2×2列联表如表所示．有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，再从抽取的这8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.005xα3.8416.6357.879________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．训练3某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________