一轮对点88练答案解析4

对点练69双曲线1.C[若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.]2.C[依题意知，双曲线eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝eq\f(\r(2),2)，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x.]3.D[由题意知，可设所求的双曲线方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝λ(λ≠0)，点M(2eq\r(3)，2eq\r(5))在双曲线方程上，所以eq\f(（2\r(3)）2,3)－eq\f(（2\r(5)）2,2)＝λ，解得λ＝－6，故所求的双曲线方程是eq\f(y2,12)－eq\f(x2,18)＝1.]4.A[由题知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝eq\f(1,2)c，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.]5.B[由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝eq\f(b,2)x，即bx－2y＝0，又该圆的圆心为(c，0)，故圆心到渐近线的距离为eq\f(bc,\r(b2＋4))，则由题意可得eq\f(bc,\r(b2＋4))<3，即b2c2<9(b2＋4)，又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，解得c2<13，即c<eq\r(13)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,2)<eq\f(\r(13),2)，又e>1，故离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))).]6.BCD[对于A，B，由曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，整理可得eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－2λ)＝1(λ＜0)，所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)为定值，C正确；对于D，渐近线的方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(2),2)x，D正确.]7.BCD[由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线C的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，得双曲线C的标准方程为eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.对于A，m＝－eq\f(1,36)，n＝eq\f(1,64)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝－36＋64＝28，A错误；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(8,6)x＝±eq\f(4,3)x，B正确；对于C，双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(10,8)＝eq\f(5,4)，C正确；对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小，所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确.]8.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1[设双曲线标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.]9.4[由题意，得a＝1，b＝2，c＝eq\r(5).设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1，因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称，所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形，所以|PQ|＝|F1F|＝2eq\r(5)，|QF|＝|PF1|.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2.①又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，②所以联立①②可得|PF|·|QF|＝8，所以△PQF的面积S＝eq\f(1,2)|PF|·|QF|＝4.]10.10[由已知得双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.]11.解(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵S△MF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4＝eq\f(1,2)×2ch，∴h＝eq\f(2\r(5),5).即M点到x轴的距离为eq\f(2\r(5),5).(2)设双曲线C的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16).∵双曲线C过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.12.解(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，所以x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，所以x0＝eq\f(\r(3),2)c，所以点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(4)－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＋4＝0，即3e4－8e2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝eq\r(2)，所以双曲线的离心率为eq\r(2).13.B[不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时，等号成立.∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.]14.ACD[由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，当|PF1|·|PF2|＝2时，有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，即eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，故A正确；在△PF1F2中，由正弦定理得eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)，若eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)，解得|PF1|＝eq\f(c,a)|PF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq\f(2a2,c－a)>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得1<e<eq\r(2)＋1，故B错误；当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为eq\f(2,a)，|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋eq\f(4,a)≥8(当且仅当a＝1时取等号)，故C正确；设P(x0，y0)，过点P的双曲线E的切线方程为eq\f(x0x,a2)－y0y＝1，E的渐近线方程为y＝±eq\f(1,a)x，不妨设切线eq\f(x0,a2)x－y0y＝1与渐近线y＝eq\f(1,a)x的交点为A，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,a)x，,\f(x0,a2)x－y0y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a2,x0－ay0)，,y＝\f(a,x0－ay0)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0－ay0)，\f(a,x0－ay0)))，同理可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0＋ay0)，－\f(a,x0＋ay0))).又因为点P在双曲线E上，则有eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)－yeq\o\al(2,0)＝1，xA＋xB＝eq\f(a2,x0－ay0)＋eq\f(a2,x0＋ay0)＝2x0，故点P是AB的中点.设切线eq\f(x0,a2)x－y0y＝1与x轴的交点为G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x0)，0))，所以S△AOP＝eq\f(1,2)·eq\f(a2,x0)|yA－y0|＝eq\f(a,2)·eq\f(a,x0)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x0－ay0)－y0))＝eq\f(a,2)，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确.]15.eq\f(3\r(5),5)[法一由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，eq\o(F2B,\s\up6(→))＝(－c，y0).因为eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－c＝\f(2,3)c，,y1＝－\f(2,3)y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)c，,y1＝－\f(2,3)y0，))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)y0))，eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)y0))，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(c，y0).因为eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝0，即eq\f(8,3)c2－eq\f(2,3)yeq\o\al(2,0)＝0，解得yeq\o\al(2,0)＝4c2.因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)y0))在双曲线C上，所以eq\f(25c2,9a2)－eq\f(4yeq\o\al(2,0),9b2)＝1，又yeq\o\al(2,0)＝4c2，所以eq\f(25c2,9a2)－eq\f(16c2,9b2)＝1，即eq\f(25（a2＋b2）,9a2)－eq\f(16（a2＋b2）,9b2)＝1，化简得eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,5)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(9,5)，所以离心率e＝eq\f(3\r(5),5).法二由法一得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)y0))，yeq\o\al(2,0)＝4c2，所以|AF1|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2))＝eq\r(\f(64c2,9)＋\f(4yeq\o\al(2,0),9))＝eq\r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq\f(4\r(5)c,3)，|AF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2))＝eq\r(\f(4c2,9)＋\f(4yeq\o\al(2,0),9))＝eq\r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq\f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，即eq\f(4\r(5)c,3)－eq\f(2\r(5)c,3)＝2a，即eq\f(\r(5),3)c＝a，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).]16.(1)解设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝c，则eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(b2,a2)，故y＝±eq\f(b2,a)，若|AF|＝|BF|，则a＋c＝eq\f(b2,a)，所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2.(2)证明由(1)知双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，设B(x，y)(x>0，y>0)，当x≠c时，kAB＝eq\f(y,x＋a)，kBF＝eq\f(y,x－c)，设∠BAF＝θ，则tanθ＝eq\f(y,x＋a)，tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋a))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋a)))\s\up12(2))＝eq\f(2（x＋a）y,（x＋a）2－y2)＝eq\f(2（x＋a）y,（x＋a）2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－1)))＝eq\f(2（x＋a）y,－2x2＋2ax＋4a2)＝eq\f(y,2a－x)＝eq\f(y,c－x)＝－kBF＝tan∠BFA，因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF.当x＝c时，由题意知∠BFA＝eq\f(π,2)，∠BAF＝eq\f(π,4)，满足∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.对点练70抛物线1.A[由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16).]2.B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]3.A[抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，所以yeq\o\al(2,0)＝8×6＝48，则|y0|＝4eq\r(3)，所以S△MOF＝eq\f(1,2)|OF|·|y0|＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3).]4.D[过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，则△PAE∽△PBN，得eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|AE|,|BN|).由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|，则eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|AE|,|BN|)＝eq\f(|AD|－\f(p,2),|BM|－\f(p,2))＝eq\f(|AF|－\f(p,2),|BF|－\f(p,2))＝eq\f(8－\f(p,2),4－\f(p,2))＝3，解得p＝4.]5.D[由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，则A(m，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝ty＋m，))得y2－4ty－4m＝0，由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).结合F(1，0)，得eq\o(FB,\s\up6(→))＝(t2－1，2t)，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(－1，t)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.]6.ACD[由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；则yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.]7.AC[对于A，因为直线y＝－eq\r(3)(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1，0)，所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3.由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，故B错误；对于C，法一由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(eq\f(5,3)，－eq\f(2\r(3),3))，半径r＝eq\f(1,2)|MN|＝eq\f(8,3)＝eq\f(5,3)＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确；法二由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；对于D，由B知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，N(3，－2eq\r(3))，所以由两点间距离公式可得|OM|＝eq\f(\r(13),3)，|ON|＝eq\r(21)，又|MN|＝eq\f(16,3)，故D错误.]8.eq\f(9,4)[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－eq\f(5,4)，所以A到准线的距离为1－(－eq\f(5,4))＝eq\f(9,4).]9.6[由题意得直线OP的斜率存在.设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以eq\f(|－2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k2＝3.将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或eq\f(2p,3)，设P(x1，y1)，则x1＝eq\f(2p,3)，又O(0，0)，所以|OP|＝eq\r(1＋k2)|x1－0|＝2×eq\f(2p,3)＝8，解得p＝6.]10.3[易得F(1，0)，设P(－1，t)，则kPF＝eq\f(t－0,－1－1)＝－eq\f(t,2)，所以kPA＝eq\f(2,t)，直线PA的方程为y－t＝eq\f(2,t)(x＋1)，即y＝eq\f(2,t)x＋eq\f(2,t)＋t，易得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,t)＋t))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，A，B，F共线，所以eq\f(\f(2,t)＋t－0,0－1)＝eq\f(t－0,\f(t2,4)－1)，得t2＝2，所以|AF|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t)＋t))\s\up12(2))＝eq\r(1＋\f(4,t2)＋t2＋4)＝3.]11.解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0).又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，则2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.12.(1)解抛物线C的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4)))，准线方程为y＝－eq\f(m,4)，所以焦点F到其准线的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))))＝1，因为m>0，所以m＝2.所以抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明由题意，直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y＝kx＋eq\f(1,2)，代入抛物线方程x2＝2y，整理得x2－2kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.函数y＝eq\f(1,2)x2的导函数为y′＝x，故抛物线在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)，同理，抛物线在点B处的切线方程为y＝x2x－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，联立上述两切线方程，解得x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝k，y0＝eq\f(x1x2,2)＝－eq\f(1,2).因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0－\f(1,2)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(1,2)))))＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)))))＝0，所以AB⊥FP.13.A[设抛物线C：y2＝2px，p>0.显然直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝ty＋2，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ).将直线PQ的方程代入抛物线C的方程得y2－2pty－4p＝0，∴Δ＝4p2t2＋16p>0，yP＋yQ＝2pt，yPyQ＝－4p，∴xPxQ＝eq\f(（yPyQ）2,4p2)＝4.∵OP⊥OQ，∴xPxQ＋yPyQ＝4－4p＝0，∴p＝1，此时yP＋yQ＝2t，xP＋xQ＝2t2＋4，∴M(t2＋2，t)，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴直线MF的斜率kMF＝eq\f(t,t2＋2－\f(1,2))＝eq\f(t,t2＋\f(3,2))，当t＝0时，kMF＝0，当t≠0时，kMF＝eq\f(t,t2＋\f(3,2))＝eq\f(1,t＋\f(3,2t))≤eq\f(\r(6),6)，当且仅当t2＝eq\f(3,2)时取等号.∴直线MF的斜率的最大值为eq\f(\r(6),6).]14.ABC[如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq\r(3)，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确.因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故B正确.因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确.因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故D错误.]15.13[由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，△PAF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|，|AF|＝eq\r(（6－2）2＋（3－0）2)＝5.如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值，即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.]16.解由已知可得F(0，1)，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(xeq\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(xeq\o\al(2,2),4)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，所以x1＋x2＝4k，①x1x2＝－8.②(1)|FA|＋|FB|＝eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋1＋eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋1＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,4)＋2.当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.(2)由题意可知eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(xeq\o\al(2,1),4)－1))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(xeq\o\al(2,2),4)－1))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(－3，－3).由∠CFA＝∠CFB，得cos〈eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))〉＝cos〈eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))〉，即eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(FB,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FB,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)，又|FA|＝eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋1，|FB|＝eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋1，所以eq\f(－3x1－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)－1)),3\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)＋1)))＝eq\f(－3x2－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),4)－1)),3\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),4)＋1)))，可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0.解得k＝－eq\f(3,2)，所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.对点练71直线与圆锥曲线1.A[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.]2.B[由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设A(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0)，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＋1，又|BF|＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).不妨取A(1，2)，故|AB|＝eq\r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2eq\r(2).]3.C[由题意，F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即eq\f(|－\r(2)＋m|,\r(2))＝2×eq\f(|\r(2)＋m|,\r(2))，解得m＝－eq\f(\r(2),3)或m＝－3eq\r(2)(此时直线与椭圆C不相交，舍去).]4.D[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8（1－k2）>0，,\f(－2k,1－k2)>0，,\f(－2,1－k2)>0，))解得1<k<eq\r(2)，所以实数k的取值范围为(1，eq\r(2)).]5.D[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝x＋1，))得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，则Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，又b2＝9－a2，所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，即a4－14a2＋45＝0，解得a＝eq\r(5)或a＝3(舍去).]6.ABD[因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，且点(3，eq\r(2))与原点连线的斜率小于eq\f(\r(3),3)，所以可设双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝m(m≠0).又双曲线过点(3，eq\r(2))，所以m＝eq\f(32,3)－(eq\r(2))2＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，A正确；由双曲线方程知a2＝3，b2＝1，c＝eq\r(a2＋b2)＝2，则左焦点为(－2，0)，渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0，则左焦点到渐近线的距离d＝eq\f(|－2|,\r(12＋（±\r(3)）2))＝1，B正确；将直线与双曲线C的方程联立并消x整理得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，因为Δ＝(－2eq\r(2))2－4×1×2＝0，所以直线与双曲线只有一个公共点，C错误；因为双曲线的通径长为eq\f(2b2,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)＜2eq\r(3)，所以过右焦点，两端点都在右支上且弦长为2eq\r(3)的弦有两条，又双曲线的两顶点间距离为2a＝2eq\r(3)，所以端点在双曲线左、右两支上且弦长为2eq\r(3)的弦只有一条，为实轴.综上，过右焦点截双曲线C所得弦长为2eq\r(3)的直线有三条，D正确.]7.BD[对于A，设M(x0，y0)，根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM＝－eq\f(a2x0,b2y0)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(4,2)＝－2≠－1，A不正确；对于B，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，C不正确；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1联立，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(4,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋12)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－0))＝eq\f(4\r(2),3)，D正确.]8.1[∵点P(2，2)在第一象限，由y2＝2x，得y＝eq\r(2x)，y≥0，则y′＝eq\f(\r(2),2\r(x))，则曲线在点P(2，2)处的切线的斜率k＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，∴切线方程为y－2＝eq\f(1,2)(x－2)，令x＝0，得y＝1，∴切线l在y轴上的截距为1.]9.4x－y－7＝0[设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P1，P2在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2，,2xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)＝2，))∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y－7＝0，,2x2－y2＝2，))得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.]10.3[由题可得，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)).直线MN：y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与抛物线方程联立，消元后化简可得3x2－5px＋eq\f(3,4)p2＝0，解得xM＝eq\f(3,2)p，xN＝eq\f(1,6)p，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)p，\r(3)p))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)p，－\f(\r(3),3)p)).所以eq\f(|AM|,|AN|)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)p＋\f(1,2)p))\s\up12(2)＋3p2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)p＋\f(1,2)p))\s\up12(2)＋\f(1,3)p2))＝3.]11.解(1)因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4eq\r(2)，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),32)＋\f(yeq\o\al(2,1),16)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),32)＋\f(yeq\o\al(2,2),16)＝1，))两式相减得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),32)＋eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),16)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为AB的中点坐标为(－2，1)在椭圆内部，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.12.解(1)设所求双曲线C的方程为eq\f(y2,6)－eq\f(x2,2)＝λ，代入点(2，3)得eq\f(32,6)－eq\f(22,2)＝λ，即λ＝－eq\f(1,2)，∴双曲线C的方程为eq\f(y2,6)－eq\f(x2,2)＝－eq\f(1,2)，即x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x2－\f(y2,3)＝1，))得2x2＋4x－7＝0，满足Δ>0且x1＋x2＝－2，x1x2＝－eq\f(7,2)，由弦长公式得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋（－1）2)×eq\r(（－2）2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))))＝eq\r(2)×3eq\r(2)＝6，点F1(－2，0)到直线AB：x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|－2＋0－2|,\r(2))＝2eq\r(2).所以S△F1AB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(2)＝6eq\r(2).13.C[如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋c)，代入椭圆C的方程eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8c,13)，x1x2＝－eq\f(32c2,13)，所以|DE|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(\f(4,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8c,13)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32c2,13))))))＝eq\f(48c,13)＝6，解得c＝eq\f(13,8)，所以a＝2c＝eq\f(13,4)，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.]14.BD[由题意知F(1，0)，F1(－1，0)，设过点F的直线MN的方程为x＝my＋1.设点M(my1＋1，y1)，N(my2＋1，y2)，则M1(－1，y1)，N1(－1，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.A中，直线F1N的方程为y＝eq\f(y2,my2＋2)(x＋1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\f(y2,my2＋2)（x＋1），))得y2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,y2)))y＋4＝0，Δ＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,y2)))eq\s\up12(2)－16不恒为零，故A错误；B中，连接F1M(图略)，由题得eq\o(F1M,\s\up6(→))＝(my1＋2，y1)，eq\o(F1N,\s\up6(→))＝(my2＋2，y2)，因为eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F1N,\s\up6(→))＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＋y1y2＝4m2≥0，所以cos〈eq\o(F1M,\s\up6(→))，eq\o(F1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(F1M,\s\up6(→))·\o(F1N,\s\up6(→)),|\o(F1M,\s\up6(→))|·|\o(F1N,\s\up6(→))|)≥0，所以∠MF1N≤eq\f(π,2)，故B正确；C中，取M(2，2eq\r(2))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以有|F1M|·|F1N|＝eq\r(17)×eq\f(\r(17),2)＝eq\f(17,2)，|F1F|·|MN|＝2×eq\f(9,2)＝9，所以|F1M|·|F1N|≠|F1F|·|MN|，故C错误；D中，连接FM1，FN1(图略)，因为eq\o(FM1,\s\up6(→))＝(－2，y1)，eq\o(FN1,\s\up6(→))＝(－2，y2)，所以eq\o(FM1,\s\up6(→))·eq\o(FN1,\s\up6(→))＝4＋y1y2＝4－4＝0，所以eq\o(FM1,\s\up6(→))⊥eq\o(FN1,\s\up6(→))，在△M1FN1中，S△M1FN1＝eq\f(1,2)|M1N1|·|F1F|＝eq\f(1,2)|FM1||FN1|，故D正确.]15.eq\r(2)[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x.根据导数的几何意义可知直线PA：y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1.同理可得，直线PB：y＝x2x－y2.因为点P是直线y＝－x－1上一动点，所以不妨设P(t，－t－1)，则－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，所以直线AB：tx－y＋t＋1＝0.直线tx－y＋t＋1＝0过定点G(－1，1)，连接OG，所以当AB⊥OG时，原点O到直线AB的距离最大，其最大距离为|OG|＝eq\r(2).]16.解(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2eq\r(17)，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝eq\r(17)，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－eq\f(y2,16)＝1(x≥1).(2)设Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t))，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，直线AB的方程为y－t＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))得(16－keq\o\al(2,1))x2－2k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))eq\s\up12(2)－16＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)(xA>eq\f(1,2)，xB>eq\f(1,2))，由题意知16－keq\o\al(2,1)≠0，则xAxB＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))，xA＋xB＝eq\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))，所以|TA|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，|TB|＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝eq\r(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，则|TA|·|TB|＝(1＋keq\o\al(2,1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))＝(1＋keq\o\al(2,1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xAxB－\f(1,2)（xA＋xB）＋\f(1,4)))＝(1＋keq\o\al(2,1))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq\o\al(2,1))－\f(1,2)·\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－keq\o\al(2,1))＋\f(1,4)))＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16).同理得|TP|·|TQ|＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16).因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以eq\f(（1＋keq\o\al(2,1)）（t2＋12）,keq\o\al(2,1)－16)＝eq\f(（1＋keq\o\al(2,2)）（t2＋12）,keq\o\al(2,2)－16)，所以keq\o\al(2,2)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,1)－16＋keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)－16keq\o\al(2,2)，即keq\o\al(2,1)＝keq\o\al(2,2)，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.对点练72圆锥曲线中的轨迹问题1.A[由动点M到点P(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，则动点M的轨迹是以点P为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，故选A.]2.B[设动点A(xA，yA)与定点B(3，0)连线的中点为P(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋3,2)＝x，,\f(yA＋0,2)＝y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＝2x－3，,yA＝2y.))因为点A在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.]3.C[设A(－10，0)，B(10，0)，P(x，y)，由于动点P(x，y)的轨迹方程为eq\r(（x＋10）2＋y2)－eq\r(（x－10）2＋y2)＝12，则|PA|－|PB|＝12，故点P到定点A(－10，0)与到定点B(10，0)的距离差为12，则动点P(x，y)的轨迹是以(±10，0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a＝12，c＝10，则b2＝c2－a2＝100－36＝64，所以原方程可以化简为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1(x>0).]4.B[设P(x，y)，不妨令A(x1，0)，B(0，y2)，正方形ABCD的面积为16，则|AB|＝4，则xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝16，由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)x1，,y＝\f(1,2)y2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(4,3)x，,y2＝2y，))则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x,3)))eq\s\up12(2)＋(2y)2＝16，整理得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.]5.C[∵|PA|－|PB|＝6<10＝|AB|，|QB|－|QA|＝6<10＝|AB|，∴P，Q在以A，B为焦点的双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上，且P在双曲线右半支上，Q在双曲线左半支上；eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，对于A，y＝eq\f(4,3)x为双曲线渐近线，则其与双曲线无交点，不合题意，A错误；对于B，当x＝2时，2<3＝a，直线与双曲线没有交点，不符合题意，B错误；对于C，∵y＝x＋1的斜率k<eq\f(4,3)且过点(0，1)，∴y＝x＋1与eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1交于两点，且两点分别位于左右半支，符合题意，C正确；对于D，∵y＝2x的斜率k>eq\f(4,3)且过坐标原点，∴y＝2x与eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1无交点，不合题意，D错误.]6.B[如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，垂足为Q，过Q作QR⊥A1D1，R为垂足，则PR为点P到直线A1D1的距离，由题意得PR2－PQ2＝RQ2＝1，由已知得PR2－PM2＝1，所以PQ＝PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B.]7.BD[设M(x，y)，x≠±1，则k1＝eq\f(y,x＋1)，k2＝eq\f(y,x－1).对于A，eq\f(y,x＋1)＋eq\f(y,x－1)＝2，化简得xy＝x2－1，x≠±1且x≠0，则y＝x－eq\f(1,x)，x≠±1且x≠0，故A错误；对于B，eq\f(y,x＋1)－eq\f(y,x－1)＝2，化简得y＝1－x2，x≠±1，则点M的轨迹是抛物线(除去两个点)，即点M在一条抛物线上，故B正确；对于C，eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝2，化简得x2－eq\f(y2,2)＝1，x≠±1，则点M的轨迹是双曲线(除去顶点)，故C错误；对于D，eq\f(y,x＋1)·eq\f(x－1,y)＝2，化简得x＝－3，y≠0，故D正确.]8.eq\f(x2,9)＋eq\f(2y2,9)＝1(x≠±1)[因为点M的坐标为(－1，2)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，所以N(1，－2)，设P(x，y)，则kMP＝eq\f(y－2,x＋1)，kNP＝eq\f(y＋2,x－1)(x≠±1)，由题意得eq\f(y－2,x＋1)·eq\f(y＋2,x－1)＝－eq\f(1,2)，整理可得动点P的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(2y2,9)＝1(x≠±1).]9.y2＝12x[设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x.]10.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(3)，故所求动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.]11.解设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为(x，y)，由题意可知，圆C1的圆心为C1(－1，0)，半径为eq\f(7,2)；圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为eq\f(1,2).因为动圆P与圆C1相切，且与圆C2外切，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PC1|＝\f(7,2)－R，,|PC2|＝\f(1,2)＋R，))两式相加得|PC1|＋|PC2|＝4>|C1C2|＝2，所以动圆P的圆心的轨迹E是以C1，C2为焦点的椭圆，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则2a＝4，2c＝2，所以a＝2，b2＝3，从而轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.12.解(1)设点P(x1，y1)，N(x，y)，则点M的坐标为(x1，0)，且x＝x1，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(x1－x，－y)＝(0，－y).因为eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))，所以(0，y－y1)＝λ(0，－y)，所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.因为点P(x1，y1)在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1，所以eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝eq\f(1,4)，解得λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2)，故当λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2)时，点N的轨迹是圆.13.BCD[平面上点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则点P到点M的距离与它到直线y＝－2的距离相等，因此其轨迹是以M为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，其轨迹方程是x2＝8y，A错误；此抛物线与直线y＝－1一定无交点，B正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝2x－3))得x2＝8(2x－3)，即x2－16x＋24＝0，Δ＝162－4×24＝160>0，方程组有实数解，因此此抛物线与直线y＝2x－3有交点，即直线y＝2x－3上存在点P满足题意，C正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝\f(1,2)x－1))得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16<0，方程组无实数解，因此抛物线与直线y＝eq\f(1,2)x－1无公共点，所以直线y＝eq\f(1,2)x－1上不存在点P满足题意，D正确.]14.A[设点P坐标为(x，y)，则直线AP的斜率kPA＝eq\f(y,x＋2)(x≠－2)；直线BP的斜率kPB＝eq\f(y,x－2)(x≠2).由已知有eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝eq\f(5,4)(x≠±2)，化简得点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≠±2).又|PA|<|PB|，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x<－2)，即点P的轨迹为以A，B为顶点的双曲线的左支(除A点)，因为D(3，0)，设F(－3，0)，由双曲线的定义可知|PD|＝|PF|＋4，所以|PD|＋|PC|＝|PF|＋|PC|＋4≥|FC|＋4，当且仅当F，P，C三点共线时|PF|＋|PC|取得最小值|FC|，因为C(2，2)，所以|FC|＝eq\r(（2＋3）2＋22)＝eq\r(29)，所以|PD|＋|PC|≥eq\r(29)＋4，即|PD|＋|PC|的最小值为eq\r(29)＋4.]15.23[设Q(x，y)，则FQ的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，\f(1,2)y))，所以eq\f(1,2)eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1))，整理得y2＝8x，即动点Q的轨迹E为抛物线，焦点为F(2，0)，由直线AB过抛物线的焦点，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝eq\f(1,2)，其中eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)的证明过程如下：当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然k≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)·eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝eq\f(p,2)，则y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，同上也有x1x2＝eq\f(p2,4).由抛物线的定义知：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，又|AF|＋|BF|＝|AB|，所以x1＋x2＝|AB|－p，且x1x2＝eq\f(p2,4)，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)＝eq\f(|AB|,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2))))＝eq\f(|AB|,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4))＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)（|AB|－p）＋\f(p2,4))＝eq\f(|AB|,\f(p,2)·|AB|)＝eq\f(2,p).圆C：(x－2)2＋y2＝1圆心为(2，0)，半径为1，|AN|＋4|BM|＝|AF|＋1＋4(|BF|＋1)＝|AF|＋4|BF|＋5＝2(|AF|＋4|BF|)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))＋5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(|AF|,|BF|)＋\f(4|BF|,|AF|)))＋5≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(|AF|,|BF|)·\f(4|BF|,|AF|))))＋5＝23，当且仅当eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(4|BF|,|AF|)，即|BF|＝3，|AF|＝6时取等号，∴|AN|＋4|BM|的最小值为23.]16.(1)解因为点P在BF垂直平分线上，所以有|PF|＝|PB|，所以|PF|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|＝r＝4，即|PF|＋|PC|为定值4>2，所以轨迹E为椭圆，且a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明由题意知A1(－2，0)，A2(2，0)，设Q(4，t)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kQA1＝eq\f(t,6)，kQA2＝eq\f(t,2)，所以QA1的方程为y＝eq\f(t,6)(x＋2)，QA2方程为y＝eq\f(t,2)(x－2)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(t,6)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))可以得出Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(54－2t2,27＋t2)，\f(18t,27＋t2)))，同理可以计算出点N坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t2－6,3＋t2)，\f(－6t,3＋t2)))，当kMN存在，即t2≠9，即t≠±3时，kMN＝eq\f(－6t,（t2－9）)，所以直线MN的方程为y＋eq\f(6t,3＋t2)＝－eq\f(6t,t2－9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2t2－6,3＋t2)))，即y＝－eq\f(6t,t2－9)x＋eq\f(6t,t2－9)＝－eq\f(6t,t2－9)(x－1)，所以直线过定点(1，0)，即过椭圆的右焦点F2，所以△FMN的周长为4a＝8.当kMN不存在，即t2＝9，即t＝±3时，可以计算出x1＝x2＝1，周长也等于8.所以△FMN的周长为定值8.多选题加练(八)平面解析几何1.AD[A中，由直线方程知，直线恒过