《正定矩阵的若干判别方法及其应用研究》5800字（论文）

正定矩阵的若干判别方法及其应用研究摘要：矩阵在研究代数学的工具与方法中占据着重要的地位.正定矩阵是研究矩阵问题的一个分支，其在矩阵中扮演着重要的角色，正定矩阵的性质定理在解题过程中可以灵活运用，且这些性质是一般矩阵所不具有的，而且这些性质也被广泛地应用于各个领域.本文首先介绍了正定矩阵的定义及相关理论，然后探讨了正定矩阵的若干判别方法（如：定义法、顺序主子式法、特征值法、标准型法、合同矩阵法）,最后从正定矩阵在凸函数、普通不等式的证明、求解多元函数极值、积分、解决矩阵问题、柯西不等式这六个方面介绍正定矩阵的应用.关键词：二次型；正定矩阵；判别方法；应用目录TOC\o"1-2"\h\u216521绪论 绪论1.1研究背景在研究矩阵问题中，正定矩阵作为一类常用矩阵，它首先是从正定二次型中抽象出来的一个概念，在有了正定矩阵这个概念之后，解决二次型的问题就变得简单方便，正定矩阵不仅在代数学中应用广泛，在函数学、、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用，因此正定矩阵的性质、定理以及正定矩阵在各方面的应用一直备受学者关注，而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在矩阵四则运算、在函数极值、在不等式中的应用等.关于正定矩阵的判定及其应用的发展方向是更为宽广、更为系统的.正定矩阵的发展趋势是通过研究其性质定理，并将其相互转换和利用，进而去研究相关矩阵的正定性.正定性思想是在证明矩阵问题中的一种重要思想.矩阵正定性的一些判定性质是解决线性代数中证明问题的一个重要重要途径之一.本文的研究线路是通过查询与阅读各类相关文献，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，探讨判断正定矩阵的几种方法，及正定矩阵在凸函数的判定、求解函数极值点、积分，普通不等式、解决矩阵问题及在柯西不等式中的应用.1.2研究意义矩阵在研究代数学的工具与方法中占据着重要的地位.正定矩阵是研究矩阵问题的一个分支，其在矩阵中扮演着重要的角色，是学习矩阵时不可忽略的重点.本文对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有着非常重要的意义.这篇文章的研究能够加强初学者对正定矩阵知识的掌握，是对初学者掌握正定矩阵理论程度的进一步完善与加深，然后还在这些的基础上阐述了正定矩阵在多方面应用，让初学者对正定矩阵的掌握更为牢固，对学习高等代数方面的知识更加的简便，更好的去理解与掌握高等代数知识.从而可以培养我们对代数知识的串联思想.其次，我们可以从正定矩阵在多方面的应用中，去开阔视野，提高联想能力，去激发对数学的探究欲望.研究正定矩阵的判别方法与其在各方面的应用，是我们研究矩阵问题必不可少的部分，其在其他各个领域中也具有重要的研究意义与价值.1.3文献综述对于正定矩阵的若干判别方法及其应用这个课题，许多学者对其进行了研究.2006年姜国在其论文《正定矩阵的判定及其性质》中概括了正定矩阵的性质和应用，并且总结了判别矩阵是否正定的方法；

2008年岳贵鑫在其论文《正定矩阵及其应用》中强调正定矩阵是不同于其他矩阵的一种特殊矩阵，因此研究其特殊的性质也是有必要的，所以其在论文中给出了正定矩阵的多种充要条件及其在多方面的应用.其中就包括正定矩阵在处理矩阵问题中的运用、在柯西不等式中的运用等；2010年朱用文、王燕、侯汝成在《正定矩阵在函数极值问题中的应用》一文中提到了运用正定矩阵来处理多元函数的极值问题,并且给出了当矩阵正定、负定、不定时函数极值存在的问题；2011年，黄云美在《正定矩阵的性质及其应用》中罗列了正定矩阵的多条性质,并且补充说明并证明了正定矩阵在其他方面的运用；2017年，李立群在《正定矩阵及其应用》中写到了正定矩阵的定义、性质、正定矩阵的判别方法（运用定义法、运用顺序主子式法），还写到了正定矩阵在多方面法的运用（在数学分析中的运用、与柯西不等式的关系）；2019年苏妍在《正定二次型的判别方法》中详细地介绍了正定矩阵的判别方法（定义法、标准型法、特征值法、合同矩阵法以及顺序主子式法）；2019年，董改芳在《关于正定矩阵的性质及其应用》一文中同时也向读者总结了正定矩阵的部分性质和若干的判定方法,并且还补充了正定矩阵在实例中的运用；2020年，李绍刚和迟晓妮在《正定矩阵的性质及其应用》一文中总结并推广了正定矩阵的基本性质定理,同时给出了正定矩阵在其定理基础下的推广以及其在特征值、方程根以及在不等式中的运用.2正定矩阵的定义设是元实二次型（是实对称矩阵)，对任何不全为0的实数都有则称为正定二次型，为正定矩阵.3正定矩阵的相关结论定理1REF_Ref21256\r\h[1]若都是正定矩阵，则是正定矩阵.推论1若都是正定矩阵,则是正定矩阵.推论2若都是正定矩阵,则是正定矩阵.定理2REF_Ref21256\r\h[1]正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵.

证设为阶正定矩阵,为阶实对称矩阵且与合同.

由正定矩阵的等价条件可知,与单位矩阵合同.又因为与合同,那么与单位矩阵合同,即为正定矩阵.定理3REF_Ref21256\r\h[1]若是实对称矩阵,的特征值全大于的特征值全大于.若,则是正定矩,且由已知条件可知阵.证已知是实对称矩阵都是正定矩阵,则是正定矩阵，设是的任一特征值,则这表明是的特征值.由于是正定矩阵,故所以,即的特征值全大于0,从而为正定矩阵.推论3设都是实对称矩阵,的特征值均大于.若

≥0,则是正定矩阵.定理4REF_Ref21893\r\h[2]若是正定矩阵,则是正定矩阵的充要条件是证必要性:设是正定矩阵,则是实对称矩阵,从而充分性:由知故是实对称矩阵.由于正定,存在可逆矩阵使得,从而即与相似,因而与有相同的特征值.因为正定,故也正定,的特征值全大于零,故的特征值大于零,所以是正定矩阵.定理5REF_Ref22947\r\h[4]若是实对称矩阵,且可逆,则是正定矩阵.证由已知可知,,则是实对称矩阵.又因为故与合同,从而是正定矩阵.

对定理5进行推广,推论如下:推论4若是实对称矩阵,且可逆,则是正定矩阵.注:当满足推论4的条件时,不一定是正定矩阵.例如则是实对称矩阵，且可逆.显然不是正定矩阵.4正定矩阵的性质性质1REF_Ref23023\r\h[3]若都是阶实对称矩阵，且是正定矩阵，则存在一阶实可逆矩阵使与同时为对角形.性质2REF_Ref23023\r\h[3]若是实对称正定矩阵，则存在使均为正定矩阵.性质3REF_Ref23023\r\h[3]若是阶正定矩阵，则性质4REF_Ref22947\r\h[4]若实对称矩阵正定，则正定,正定.性质5REF_Ref21256\r\h[1]任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵,更一般地,多个正定矩阵的正

线性组合也是正定矩阵

证设都是正定矩阵,又设由是正定矩阵,可得

则有所以是实对称矩阵.因为对任意有我们知道是正定矩阵,则有所以因此是正定矩阵.5正定矩阵的判别方法5.1定义法REF_Ref23023\r\h[3]设是元实二次型（为实对称矩阵)，如果对任意不全为零的实数都有则称为正定二次型，为正定矩阵.对于证明给定的矩阵正定的问题,应用定义法最方便快捷.例1设是实矩阵，且列满秩，即证明是正定矩阵.证首先，因为所以，是实对称矩阵.其次，由可知，齐次线性方程组只有零解.因此对任意的维列向量必有,不妨设,则是一组不全为零的实数.从而，对任意维列向量,二次型，即二次型正定，所以矩阵是正定矩阵.5.2顺序主子式法定理1REF_Ref23023\r\h[3]阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的所有顺序主子式例2证明二次型是否是正定的.证的矩阵为任取的一个阶顺序主子式，即的一切顺序主子式都大于零，所以为正定二次型.例3设二次型判定该二次型的矩阵是不是正定矩阵.解由题意得二次型的矩阵是它的各阶顺序主子式分别为,顺序主子式全部大于零，因此矩阵是正定矩阵.5.3特征值法定理2元实二次型是正定的,当且仅当阶实对称矩阵的特征值都大于0.证对于二次型，存在正交变换，将其化为标准型为，其中为矩阵的特征值，正定正定全大于零.例4证明二次型为正定二次型.证二次型的矩阵为:所以：，则有的特征值是因为的特征值都是正数，所以是正定矩阵.例5已知是阶实对称正定矩阵,证明是正定矩阵.

证由可知,是对称矩阵,设是A的特征值,则的特征值即,那么则则有：的特征值全为正数，所以是正定矩阵.例6设是阶实对称矩阵,且满足,证明是正定矩阵.证设是矩阵的特征值,是矩阵的属于特征值的特征向量,则有因为所以即

由于是实对称矩阵,故由上式可知矩阵的特征值为1或2,即矩阵的特征值全为正数,从而可得是正定矩阵.5.4标准型法定理3REF_Ref24450\r\h[6]元实二次型是正定的,当且仅当它的标准型的系数全为正数，即它的正惯性指数为.例7判断二次型的正定性.首先，将二次型化为标准型为（配方法）：令为满秩变换，所以得到标准型为：又因它的标准型的系数全为正，正惯性指数，所以它是正定二次型.5.5合同矩阵法定理4REF_Ref24450\r\h[6]元实二次型=是正定的，当且仅当阶实对称矩阵与单位矩阵合同.例8已知是阶可逆矩阵，证明是对称正定矩阵.证由于因此，是对称矩阵.又因为且是可逆矩阵，故与合同，所以是对称正定矩阵.6正定矩阵的应用6.1正定矩阵在凸函数判定中的应用定理5REF_Ref23023\r\h[3]设是定义在非空凸集上的二阶连续可微函数,则若的Hesse矩阵在上正定,则是上的严格凸函数.例9判断是否为凸函数

解的Hesse矩阵

由于一阶和二阶顺序主子式都大于零,故的Hesse矩阵正定的,从而是严格凸函数.6.2正定矩阵在求解函数极值点中的应用.定理6REF_Ref25145\r\h[8]设二元函数在点具有二阶连续的偏导数，记则在数学分析中有如下结论：当而时，函数在点有极大值；当而时，在点有极小值；当时，此时函数无极值.若令则上述结论中的条件可以简单的归结为该矩阵是正定的、负定的、不定的.更一般的，对于任意元的多元函数，也可以依据相应的矩阵的正定性判断其极值.哈森矩阵定义设元函数在点具有二阶连续偏导数，我们就称矩阵为函数在点的哈森矩阵.由二阶偏导数的连续性得知矩阵是对称矩阵，则有以下定理.定理7REF_Ref25145\r\h[8]设元函数在点的某领域内具有一阶及二阶连续偏导数，又有，则：矩阵是正定矩阵时，函数在点取极小值；矩阵是负定矩阵时，函数在点取极大值；矩阵是不定矩阵时，函数在点不取极值；例8求多元函数的极值.解由，求解得则可求得点.再求哈森矩阵.因为则由且对角线元素皆为正，所以矩阵是正定的，则是的极小值，且在点的极小值为.6.3正定矩阵在积分中的运用正定矩阵在积分中的运用，一般地须先由矩阵正交变换后得到的行列式，并且得出其特征值大于零.然后由正交变换后的到的行列式再进行等价变化后得到一个行列式.最后根据积分的公式，将之前所求对应的行列式代入可证.例9证明：椭球体的体积等于其中是正定矩阵.证是正定矩阵，正交矩阵，使得为的特征值，令作等价变换,则由此变换的行列式为所以.6.4正定矩阵在普通不等式中的应用定理8阶实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型其中而二次型正定是指对任意因此可以利用此性质来证明不等式是否成立.例10证明不等式(其中是不全为零的实数)成立.证令其系数矩阵为，的各阶顺序主子式为,则为正定矩阵.因此对于任意一组不全为零的都有,故原不等式成立.例11证明不等式成立证令则二次型为则A的各阶顺序主子式=0,=所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即所以原不等式成立.6.5正定矩阵在解决矩阵问题中的运用由已知的正定矩阵的性质定理去证明其他矩阵问题，去解决与证明与正定矩阵相关的矩阵问题，例12REF_Ref25860\r\h[9]若都是阶实对称矩阵，且是正定矩阵.证明存在一个阶实可逆矩阵使与同时为对角型.证因为是正定的，所以合同于，即存在可逆矩阵使且是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使则取则为所求.例13若是实对称的正定矩阵，则存在使均是正定矩阵.证若的特征值为，则的特征值为所以存在使得特征值大于零，其余同理可证.例14若是阶正定矩阵，有.证与都是阶实对称正定矩阵，所以存在一阶实可逆矩阵使其中为的特征值且大于零.所以为的特征值，也是大于零的，因此.6.6正定矩阵在柯西不等式中的运用定理9REF_Ref23023\r\h[3]形如的不等式就是柯西不等式，我们将它用内积来表示为，下面用正定矩阵来表示柯西不等式.设是一个阶正定矩阵，存在对任意向量与，定义表示为从而可以证明由定义的一定是维向量间的内积，反之，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵，使得对任意向量、可由来定义，因此给定一个阶正定矩阵，在维向量间就可以由该矩阵定义一个内积，从而得到相应的柯西不等式：当时，就变成了.例15证明不等式对于所有实数和均成立.证从不等式来看,可知它相当于，其中是由矩阵所定义的，又因为矩阵是正定矩阵，所以就能得知该不等式就是由矩阵所确定的内积所产生的柯西不等式，所以不等式是成立的.7总结正定矩阵在矩阵理论乃至代数中占有非常重要的地位。正定矩阵的研究具有重要的理论和应用意义.本文研究了正定矩阵的历史发展地位、各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法；定义法、主子式法、特征值法、标准型法、合同矩阵法，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法.最后本文在对正定矩阵在凸函数判定中的应用、求解多元函数极值的相关问题以及在普通不等式中证明的运用、在积分中的运用、在解决矩阵问题中的运用、在柯西不等式中的运用六个方面进行了阐述与例题说明，完成了相关的目标.达到了写作的目的.

参考文献:刘畅.正定矩阵性质的推广[J].沈阳师范大学学报，2009,27（3）：268-271.倪凌炜.实对称矩阵的若干判别方法[J].湖州师范学院学报，2010,26（2）.李立群.正定矩阵及其应用[J].山东农业工程学院学报,2017,34(07):28-30.黄云美.正定矩阵的性质及