2025中考数学复习：动点在直角三角中的分类讨论（基础训练） 含解析

动点在直角三角中的分类讨论

【专题说明】

在全国各地的中考试卷中，动点产生的直角三角形问题经常出现，有好多同学看见这样的题目，找不

到思考的方向。下面给大家总结一下这类题常用.的解法，很有参考价值，以下内容都是干货，不凑字数，

力求精炼。

1、两个定点求一个动点。这种题目找点方法是过两个定点做垂线，以定长为直径画圆，简称“两个垂

直一个圆”。通过这样的作图法，可以快速找到符合题意的点，这就是常说的找点。求点的方法，构造三垂

直模型，根据直角两侧有相似就可以求解。

2、两个动点或三个动点。因为三角形只有三个角，所以分三种情况讨论就可以了！当然有时也有直角不成

立的情况。当它们分别为直角时，用相似或勾股定理求解，一般情况下，相似求解比勾股定理要简单一些。

【精典例题】

1、如图，在R3ABC中，ZACB=90°,/A=30。，点。为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、

点C重合），连接OC、0P,将线段0P绕点P逆时针旋转60。，得到线段PQ,连接BQ.

（1）如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；

（2）如图②，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明

理由；

（3）如图③，当点P在BC延长线上时，若NBPO=45。，AC=*,请直接写出BQ的长.

B

图③

2、如图1,二次函数丫二川/一3〃於）（其中°、机是常数，且。>0,5>0）的图像与x轴分别交于A、

8（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0,—3）,点。在二次函数的图像上，CDUAB,联结AD过点A

作射线AE交二次函数的图像于点E,平分/ZME.

1

（1）用含机的式子表示a；

（2）求证：牝为定值；

AE

（3）设该二次函数的图像的顶点为E探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GR以线段GR

AD.AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含机

的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

图1

13

3、如图1,抛物线丁=]/一5%-4与x轴交于A、8两点（点8在点A的右侧），与y轴交于点C,连结

BC,以8C为一边，点。为对称中心作菱形BOEC,点P是无轴上的一个动点，设点P的坐标为（丸0）,过

点尸作x轴的垂线/交抛物线于点Q.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段0B上运动时，直线/分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD

是平行四边形，此时，请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）当点尸在线段防上运动时，是否存在点。，使△3DQ为直角三角形，若存在，请直接写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

4、如图1,抛物线y=—3%2一3与X轴交于A、8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C

84

2

（I）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当AACD的面积等于AACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线/过点E（4,0）,M为直线/上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个

时，求直线/的解析式.

图1

5、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数1）的图象交于点A（1出和点B（—1,一左）.

（1）当上=—2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随尤增大而增大，求上应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为0,当AAB。是以A8为斜边的直角三角形时，求上的值.

6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=——厂犬+亍x+病-3巾+2与无轴的交点分别为原点。和点

A,点8（2,〃）在这条抛物线上.

（1）求点B的坐标；

（2）点尸在线段。A上，从点。出发向点A运动，过点P作龙轴的垂线，与直线交于点E,延长

PE到点。，使得ED=PE,以尸。为斜边，在尸。右侧作等腰直角三角形PCD（当点尸运动时，点C、D

也随之运动）.

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求0P的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段0A上另一个点。从点A出

发向点。作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点。到达点。时停止运动，点尸也停止运动）.过。作x

轴的垂线，与直线交于点R延长QB到点使得尸以为斜边，在。M的左侧作等腰直

角三角形QMN（当点。运动时，点M、N也随之运动）.若点尸运动到，秒时，两个等腰直角三角形分别

有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻f的.值.

3

图1

1.【答案】解：（1）CP=BQ;

【解法提示】如解图①，连接OQ,

图①

由旋转可知，PQ=OP,ZOPQ=60°,

.-.△POQ是等边三角形，

...OP=OQ,/POQ=60。，

在Rt/kABC中，。是AB中点，

.•.OC=OA=OB,

.•.ZBOC=2ZA=60°=ZPOQ,

.\ZCOP=ZBOQ,

OC=OB

在ACOP和ABOQ中，'/C°P=NB°Q,

OP=OQ

ACOP^ABOQ(SAS),

，CP=BQ；

(2)成立，理由如下：

如解图②，连接OQ,

第3题解图②

由旋转知PQ=OP,ZOPQ=60°

/.△POQ是等边三角形，

.•.OP=OQ,ZPOQ=60°,

4

•・,在RtZkABC中，O是AB中点，

.,.OC=OA=OB,

JZBOC=2ZA=60°=ZPOQ,ZCOP=ZBOQ,

OC=OB

在ACOP和^BOQ中，＜^COP=ZBOQ,

0P=OQ

・•・ACOP^ABOQ(SAS),

.,.CP=BQ；

\[6—y[2

⑶BQ=12一.

【解法提示】在Rt^ABC中，NA=30。，AC=加，

BC=AC-tanA=^/2,

如解图③，过点。作OHLBC于点H,

ZOHB=90°=ZBCA,AOH//AC,

•・・O是AB中点，

1应1亚

・・・CH=2BC=2，OH=2AC=2，

VZBPO=45°,ZOHP=90°,

A/6

・・・NBPO=NPOH,・・・PH=OH=2，

y[6y[2加一地

・・・CP=PH—CH=2-2=-2~~，

连接OQ，同(1)的方法得，BQ=CP=m；W

2.思路点拨

1.不算不知道，一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形，写出点A、B,F的坐标后，点。的坐标

也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算出来的.

2.在计算的过程中，第(1)题的结论。=口及其变形劭？=1反复用到.

m

3.注意到点£、D、尸到x轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4),因此过点P作AD的平行

线与x轴的交点，就是要求的点G.

满分解答

(1)将C(0「3)代入y=a(f—2/nr—3m2),得一3=-3。/.因止匕

m

(2)由y=«(x2_2mx-3m2)=a(x-\-m)(x—3m)=a(x—rri)2—4axm2=«(x-m)2—4,

得A(—m,0)?B(3m,0),F(m,—4),对称轴为直线％=根.

所以点D的坐标为(2m,一3).

5

设点E的坐标为(x,a(x+m)(x~3m)).

如图2,过点。、E分别作％轴的垂线，垂足分别为E'.

由于NE4E=ND4。。所以理=欠.因此幺山返二四3

AE'AD'x+m3m

所以由n(%—3㈤=1.结合a于是得到x=4m.

m

当x=4加时，y=a(x+m)(x—3m)=5am2=5.所以点石的坐标为(4m,5).

所以去黑3

5

(3)如图3,由风4"5)、D(2m,-3),F(加,一4),

可知点E、D、尸到x轴的距离分别为5、4、3.

那么过点/作A。的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G.

证明如下：作尸尸，x轴于9，那么生=里=壮.

ADDD'3

因止匕生=1=上.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.

534

此时GF'=4m.所以G0=3MJ,点G的坐标为(一3肛0).

3.思路点拨

1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ=DC列方程.

2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，

先得到结论.

3.第(3)题ABDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似

三角形.

满分解答

1,31

y=-x~——x-4=—(x+2)(x-8)

(1)由“424,得A(—2,0),B(8,0),C(0,-4).

y——x+4

(2)直线DB的解析式为.2

113

M(m,——m-4)Q(m,—m—m-4)

由点P的坐标为(m,0),可得2,42

6

(一■-m+4)-(―--m-4)=m2+m+8

所以MQ=2424.

当MQ=DC=8时，四边形CQMD是平行四边形.

1,

——m+机+8=8

解方程4,得m=4,或m=0(舍去).

此时点P是0B的中点，N是BC的中点，N(4,—2),Q(4,—6).

所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.

所以四边形CQBM是平行四边形.

(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(一2,0),(6,-4).

4.思路点拨

1.根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点。有两个.

2.当直线/与以A2为直径的圆相交时，符合/AMB=90。的点“有2个；当直线/与圆相切时，符合

/AMB=90。的点M只有1个.

3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答

333

(1)由》=——x2——x+3=——(x+4)(无一2)，

848

得抛物线与x轴的交点坐标为4(一4,0)、8(2,0).对称轴是直线x=-l.

(2)AACO与AAC8有公共的底边AC,当AACD的面积等于AACB的面积时，点8、。到直线AC的距离

相等.

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D'.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.

由BO//AC,得所以型=8=3.

BGAO4

所以DG=3BG=2，点。的坐标为(1,-2).

444

因为AC〃3。，AG=BG,所以HG=DG.

而DH=DH,所以。G=3£)G=2.所以。的坐标为(1,幺).

44

7

(3)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点

以AB为直径的③G如果与直线I相交，那么就有2个点M；如果圆与直线I相切，就只有1个点M了.

联结GM,那么GM±l.

在RfAEGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.

在RZAEMA中，AE=8,tanZM1£A=^i^=-.所以％A=6.

AE4

所以点跖的坐标为(-4,6),过跖、E的直线/为y=_』.x+3.

-4

根据对称性，直线/还可以是y=3x+3.

-4

5.思路点拨

1.由点A(1出或点8(—1,一灯的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y=(.题目中的人都是一致

X

的.

2.由点A(1出或点2(—1,一左)的坐标还可以知道，A、8关于原点。对称，以为直径的圆的圆心就

是。

3.根据直径所对的圆周角是直角，当。落在。。上是，AAB。是以AB为直径的直角三角形.

满分解答

(1)因为反比例函数的图象过点A(l,©,所以反比例函数的解析式是y=A.

当上=—2时，反比例函数的解析式是y=-2.

X

(2)在反比例函数y=(中，如果y随x增大而增大，那么人＜0.

X

当上V0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随X增大而增大.

8

抛物线y=^(x2+x+l)=k(x+-Y--k的对称轴是直线%=---

242

所以当Y0且无＜二时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.

2

(3)抛物线的顶点。的坐标是(_l左)，A、2关于原点。中心对称,

24

当。。=。4=。8时，AAB。是以A8为直径的直角三角形.

由。。2=。42,得(_]_)2+(_942=]2+左2.

24

解得人=2&(如图2),=--73(如图