贵州省铜仁伟才学校2017-2018学年上学期期中考试数学（理）试题

贵州铜仁伟才学校2017—2018学年第一学期半期考试高二数学试题（理科）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A．x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＞0B．x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0C．x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤02.已知命题p：x∈R，cosx＝eq\f(5,4)；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(¬p)∧(¬q)是真命题D．命题(¬p)∨(¬q)是真命题3.某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B.150C．200D.2504.下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：|a|＞|b|，q：a2＞b2C．p：x＞a2＋b2，q：x＞2abD．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d5.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()A．直线l过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同6.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B.两次都中靶C．只有一次中靶D.两次都不中靶7.下列各数中最小的数是()A.B.C.D.8.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为()A．7B.8C．9D.109.某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n？”，n为正整数，若输出的S＝26，则判断框内的n＝()A．6B．3C．4D．5如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．直线C．抛物线D．圆11.设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,5)12.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝eq\f(1,2)，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围是（）A.[－2,2]B.[0,12]C.[5,12]D.[－2,0]二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.用秦九韶算法计算多项式，当时的值时,需要做乘法和加法共次。14.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为________．15.方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．16.设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.三、解答题：（本大题共6小题，第17题10分，其他5题，每题12分，共70分．）17.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当时，函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围是。19.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．20.下面是10家校园内某食品连锁店的学生人数及其季度销售额数据如表所示：学生人数（千人）2688121620202226销售收入（千元）5810588118117137157169149202其中，初步计算数据为：，，，，（1）用最小二乘法估计销售额对学生人数的回归方程，并解释回归系数的含义。（2）当学生人数为25000人时，销售收入可达到多少？21.设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.22.已知椭圆C：eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋eq\r(3)与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

贵州铜仁伟才学校2017—2018学年第一学期半期考试高二数学答案（理）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1.答案B“∀x∈R，x2＋1＞0”的否定为“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0”2.答案D易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．3.答案A样本抽取比例为eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，该校总人数为1500＋3500＝5000，则eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100，选A.4.答案DA中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1eq\o(⇒,/)x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|＞|b|，根据不等式的性质可得a2＞b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x＞a2＋b2，得x＞2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c＞b＋d，但是a＜b，c＞d，反之，由同向不等式可加性得a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.5.答案A由样本的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到0之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．6.答案D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．7.答案DA.中=8×9+5=77；B.中=2×62+1×6=78；C.中=1×43=64；D.中=1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1=638.答案B由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是85，所以x＝5.乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.9.答案C依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26，因此当输出的S＝26时，判断框内的n＝4.10.答案A由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．11.答案B作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在eq\x\to(MmC)上运动时，弦长|AB|＞eq\r(2)R，∴P＝eq\f(\x\to(MmC),圆的周长)＝eq\f(1,2).答案B因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.因为离心率e＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，则椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以A点的坐标为(－2,0)，F点的坐标为(－1,0)．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.由椭圆方程得y2＝3－eq\f(3,4)x2，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋3x－eq\f(3,4)x2＋5＝eq\f(1,4)(x＋6)2－4，因为x∈[－2,2]，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))∈[0,12]．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.答案1214.答案eq\f(1,10)设3本语文书为A，B，C,2本数学书为a，b，则从中取出2本共有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种情况，取出的恰好都是数学书的有：(a，b)，共1种情况，故所求的概率为eq\f(1,10).15.答案(0,1)将椭圆方程化为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1，焦点在y轴上，则eq\f(2,k)>2，即k<1，又k>0，所以0<k<1.16.答案e＝eq\f(\r(3),3)由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b2,2a)))，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即eq\f(\f(b2,a)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,2a))),c－0)×eq\f(－\f(b2,a)－0,c－－c)＝－1，整理得eq\r(3)b2＝2ac，所以eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，又e＝eq\f(c,a)且0＜e＜1，所以eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)(e＝－eq\r(3)舍去)．三、解答题：（本大题共6小题，第17题10分，其他5题，每题12分，共70分．）17.解：(1)由图可知众数为65，……………(2分)∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.……………(6分)(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，故平均成绩约为67.……………(10分)18.由命题p为真知，0＜c＜1，……………(2分)由命题q为真知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使此式恒成立，需eq\f(1,c)＜2，即c＞eq\f(1,2)，……………(6分)若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q中必有一真一假，……………(7分)当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤eq\f(1,2)；……………(9分)当p假q真时，c的取值范围是c≥1.……………(11分)综上可知，c的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．……………(12分)19.解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共18个：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．由18个基本事件组成．……………(3分)由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则包含的结果为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件M由6个基本事件组成，……………(5分)因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).……………(6分)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq\x\to(N)表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于eq\x\to(N)包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件eq\x\to(N)有3个基本事件组成，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，……………(10分)由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).……………(12分)20.解：（1）设该回归直线方程为：……………(1分)……………(4分)……………(5分)所以直线的回归方程为：……………(6分)回归系数的含义是：当学生增加1000人时，时，销售额平均增加5000元。……………(8分)当学生人数为25000人时，预测销售收入为为：把学生人数x的值25千带入回归方程中得到，千元。……………(12分)解(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，……………(1分)2b2＝3ac.……………(3分)将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．……………(5分)故C的离心率为eq\f(1,2).……………(6分)(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①……………(8分)由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))