北京市房山区2024-2025学年上学期学业水平调研（二）九年级数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前

房山区2024~2025学年度第一学期学业水平调研（二）

九年级数学

本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

丝=2

1.如图，在VA3C中，DE//BC,BD.若AE=6,则EC的长为（）

A.1B.2C.3D.9

2.将二次函数丁=犬—6x+2化成y=—左形式，下列结论中正确的是（）

A.y=(x—3)+2B.y=(x-3)2-7

C.y=(x+3)~-7D.y=(x-6)~+2

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°.若AC=4,BC=3,贝UsinA的值为()

K

3344

A.-B.-c.一D.-

5435

4.如图，点A,B,C在CO上，若NACB=35°,则NAOB的大小为（）

C

AB

A.75°B.70°C.65°D.55°

5.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=A（左＞0）的图象经过点（%,3）和（九2,5）,则下列关系式中正确的

是（）

A.%>%2>°B.%2>%1>0C.%1<X2<0D,x2<%!<0

6.如图，AB是。。的直径，。是圆心，弦COLAB于£,AB=10,CO=8,则0£的长为（）

A.2B.3C.4D.5

7.已知圆的半径为9,那么160。的圆心角所对的弧长是（）

A.4B.8C.4»D.87r

8.如图，抛物线丁=依2+区+c（aw0）与X轴交于点（玉,0）,（2,0）,且0＜为＜1,给出下面四个结论:

@abc<0；®a+b+c>0；©2/7+3c<0；④不等式or?+bx+c〈一工尤+c的解集为0<x<2.

2

上述结论中，所有正确结论的个数是（）

D.4

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.抛物线y=（x+2y+3的顶点坐标为.

10.如图，四边形ABCD是一。的内接四边形，若/3=110°,则"的度数为

A

11.如图，AB，AC,BD是。的切线，P,C,。为切点，若AB=10,AC=7,则5。的长为

A

AE10._…0

12.如图，AD,BC交于点E,AB//CD,而=『SCE-45,则5犯

(%<0)图象上，入。，丁轴于点。，3。，》轴于点。.若△AOC,

x

乙建筑物的顶端C的仰角e为45。，则乙建筑物的高为.m.

15.下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：。和外一点P.

求作：过点尸的：。的切线.

作法：如图，

（2）作线段OP的中点A,以A为圆心，以A0为半径作A,与。交于两点。和R；

（3）作直线P2,PR.

直线PQ和直线网是「O的两条切线.

证明：连接OR.

是Q4直径，点。在［A上，

Z.OQP=°,

又；点。在;。上，

...直线P2是C。的切线（）（填推理的依据）.

同理可证直线网是。的切线.

16.如图，48为（。的弦，C,。为圆上的两个动点，记弦AB所对的圆心角度数为々，弦C£＞所对的圆

心角度数为夕.若。+尸=180°,给出如下四个结论:

①NA+NC=90。；

②若尸=2。，则CD=Ji45；

③若B为弧AD的中点，则Q4LCD；

@AB2+CD2=4OC2.

上述结论中一定正确的有（填写所有正确结论的序号）.

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题

每题7分，共68分）

17计算：sin600-cos450+tan30°.

ABAC

18.如图，在VA3C中，D,E分别为AC,3C边上的点，ZABC=ZEDC.求证：一=—.

3

19.如图，在ABC中，ZB=45°,tanC=-,AD/3C于点。，若AD=6,求3C的长.

20.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称.如图,

2

已知折扇的骨柄长为m折扇扇面的宽度是骨柄长的一，折扇张开的角度为120。，求折扇的扇面面积.（用

3

含。的代数式表示）

21.在平面直角坐标系My中，点A（a,2）是函数y=尤-1的图象与函数丁=々4WO）的图象的交点.

X

k

（1）求。的值和函数y=—（左。0）的表达式；

（2）若函数y=尤-1的值大于函数丁=七（kwO）的值，直接写出龙的取值范围.

22.如图，AB是C。直径，CD是。。的一条弦，且。。，至于点后，连接AC,和OC.

B

(1)求证：ZACO=ZD；

⑵若CD=4叵,tan/D=与,求「。的半径.

23.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪A3CD为正方形，AB=30cm,

顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高示意图，测高仪上的点。，A与树顶E在一条直线上，铅垂

线40交3C于点经测量，点A距地面L8m,到树EG的距离同斤=11m,BH=20cm.求树EG

的高度（结果精确到Q1m）.

纵坐标y的对应值如下表:

71515]_・・・

ym3430

4TT4

根据以上信息回答下列问题:

(1)二次函数图象的顶点坐标是—，机的值为

(2)求二次函数的表达式；

(3)当左WxW上+2时，二次函数y=ax?+Z?x+c的最小值是1,则左的值为

25.如图，BE是。的直径，点A在「。上，点C在BE的延长线上，ZEAC=ZABC,4。平分44E

交C。于点。，连结DE.

D

(1)求证：C4是o。的切线；

(2)当AC=8,CE=4时，求DE的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，A3(%2，%)是抛物线+c(a<0)上任意两点，设

抛物线的对称轴为％="

（1）若％=4,%=c,求f的值;

⑵若对于£+2<%<f+3,3<x2<4,都有％〉%，求f的取值范围.

27.如图，在等边VA3C中，点。是3c边上一点(点。不与8,C重合)BD<CD,连接AD，点、D

关于直线AB的对称点为点E,连接DE交AB于点、N,在AD上取一点E，使NEED=NBAC,延长

Eb交AC于点G.

(1)若/BAD=a,求NAGE的度数(用含7的代数式表示);

(2)用等式表示线段CG与0E之间的数量关系，并证明.

28.记二次函数丁=0（%—人）2+0和,=一4（%—加）2+/5彳0）的图像分别为抛物线3和@.给出如下定

义：若抛物线G］的顶点。（机”）在抛物线G上，则称G1是G的伴随抛物线.

（1）若抛物线2:y=-2（X-5）2+2和抛物线。2：y=—2（尤—3）2+/都是抛物线y=2x2的伴随抛物

线，则§=，t—;

（2）设函数）=%2—2日+2左+3的图像为抛物线G?.若函数y=—r+p%+q的图像为抛物线G3,且

G2始终是G3的伴随抛物线,

①求p,q的值；

②若抛物线G?与x轴有两个不同的交点（玉,0）,（9,0）（王＜9），请直接写出A的取值范围.

参考答案

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

生-2

1.如图，在VA3C中，DE//BC,BD.若AE=6,则EC的长为（）

A.1B.2C.3D.9

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理即可求解.

Ar）

【详解】解：,•,DEaBC,­=2,

BC

AEAD-

——=——=2,

ECBD

AE=6,

EC-3,

故选：c.

2.将二次函数>=必—6x+2化成y=a(x—/zy+左的形式，下列结论中正确的是()

A.y=(%-3)'+2B.y=(%-3)2-7

C.y=(x+3「-7D.y=(x-6『+2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式：

y=ax1+bx+c(a,b,c为常数，a/0)；②顶点式：y=左(a,b,c为常数，a/0)；

③交点式：y=a(x-xl)(x-x2).

把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的

值不变，把一般式转化为顶点式.

【详解】解：y=/—6尤+2=(炉-6x+9)—7=(x—3『一7,

所以，,=(%—3)2—7；

故选B.

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°.若AC=4,BC=3,贝UsinA的值为()

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理、求角的正弦值，先根据勾股定理计算.=1AC?+BC)，再根据正弦是对

边与斜边的比，得出答案即可.

【详解】解：•••NC=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/42+32=5-

AB5

故选：A.

4.如图，点A,B,C在「0上，若NACB=35°,则NAO3的大小为（）

B.70°C.65°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.直接根据圆周角定理求解.

【详解】解：NACB=35。，

:.ZAOB=2ZACB=70°.

故选：B.

5.在平面直角坐标系宜x中，若函数丁=人（左＞0）的图象经过点（%,3）和（々,5）,则下列关系式中正确的

X

是（）

A.>%2>0B.>%,>0C.Xj<x2<0D.%2<%!<0

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用

反比例函数的性质或反比例函数图像上点的坐标特征解决问题.

结合题意，根据反比例函数的性质，可得反比例函数的图像经过一，三象限，且在每一象限内y随着x的

增大而减小，再结合点（玉,3）和（々,5）的坐标即可解答.

k

【详解】解：反比例函数y=—（左＞0）,

・••反比例函数的图象经过第一、三象限，在第一象限中函数值》随尤的增大而减小,

在点（石,3）和（々,5）中,3＜5,

0<x2<X；,即X］〉〉0，

故答案为：A.

6.如图，42是）。的直径，。是圆心，弦于E,AB=10,CD=8,则0E的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定

理.利用直径A5=10,则OC=Q4=5,再由CDLAB,根据垂径定理得CE=DE=；CD=4,然

后利用勾股定理计算出OE,再利用AE=Q4-O石进行计算即可.

【详解】解：连接OC,如图，

：43是（。的直径，AB=10,

：.OC^OA=5.

•：CD±AB,

CE=DE=yCD=—x8=4.

22

:在OCE中，OC=5,CE=4,

,,OE=yjOC~—CE2=3,

故选B.

7.己知圆的半径为9,那么160。的圆心角所对的弧长是（）

A.4B.8C.4»D.8»

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键.

根据弧长公式计算即可.

【详解】解：—x2^x9-8^-,

360

故选：D.

8.如图，抛物线丁=依2+陵+。（。/0）与x轴交于点（石,0）,（2,0）,且0<为<1,给出下面四个结论:

@abc<0；©a+b+c>0；③2Z?+3c<0；④不等式ox?+bx+c<一£尤+c的解集为0<%<2.

2

上述结论中，所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题

是解题的关键.

根据函数图象可得出a,b,c符号即可判断①，当x=l时，><0即可判断②；根据对称轴为

2

X-----可判断③；％=ax+bx+c,y2=——九+c数形结合即可判断④.

2a2

【详解】解：・・,抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与,轴交于正半轴，

/.tz>0,Z?<0,c>0,

abc<0,故①正确.

・・•当九=1时，y<Q,

a-\-b+c<0,故②错误.

:抛物线丁=以2+法+。与工轴交于两点（七,0）,（2,0）,其中0<为<1,

2+0b2+1

------<------<------，

22a2

/.1<----b-<—3,

2a2

b3

当----<一时，b>-3a,

2a2

当％=2时，y=Aa+2b+c=0f

7C1

b——2a—c

29

—2ca—1c>—3cd,

2

:.2a—c>0y

2b+3c——4〃—c+3c——4〃+2c——2（2〃—c）v0,故③正确；

c

设％=以2+"+。,％=—/X+C，如图：

当久=2时，y=-—x+c=——x2+c=0=y.,

922'

故两个函数交点为（0,c）,（2,0）,

由图得,%<%时，即以~+bx+c<—x+c时，0<x<2,故④正确.

2

综上，正确的有①③④，共3个，

故选：C.

二、填空题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)

9.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标为.

【答案】(-2,3)

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式.根据形如y=a(x-%)2+k的抛物线的顶点坐标是(h,k)解答

即可.

【详解】解：抛物线y=(x+2『+3的顶点坐标是(―2,3).

故答案为：(—2,3).

10.如图，四边形46。是。的内接四边形，若/3=110°,则"的度数为

【解析】

【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.根据圆内

接四边形的性质求出/O即可.

【详解】解：：四边形ABCD是。的内接四边形，/3=110P,

ZD=180°-ZB=70°,

故答案为：70。.

11.如图，AB，AC,BD是。的切线，P,C,。为切点，若AB=10,AC=7,则6D的长为.

【答案】3

【解析】

【分析】此题考查切线长定理，由4。与(。相切于点C、A3与「0相切于点尸，可得AC=AP,同理

得BD=BP,再由助=3P=AB-AC求得结果.熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键.

【详解】解：AC与C。相切于点C、与10相切于点尸，

.-.AC=AP=7,

AB=W,

:.BP=AB-AP=10-7=3,

Q8。与。。相切于点。、BP与，;。相切于点尸，

：.BD=BP=3,

.•.5。的长为3,

故答案为：3.

AE1

12.如图，AD,BC父于点E,AB//CD，=—,S=45,则S=

DE3CEDABE

【解析】

【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明5E4S-CED是解题的关键.

由AB〃CD,证明BEA^CED,则空=(空］=-,而SCED=45,则

SCED5以13；9

SBEA=-SCED=5＞即SAME=5,于是得到问题的答案•

Ap1

【详解】解：•••AB〃CD,——=-,

DE3

:△BEAs^CED,

sCED\DE)UJ9

---SCED=45,

'''SBEA=§S.CED=§X45=5,

,•S&ABE=5，

故答案为：5.

3

13.如图，A、B两点在函数y=——(x＜0)的图象上，4。，丁轴于点＜7,3。，》轴于点D若△AOC,

X

BOD面积分别记为H，S2,则S]S2（填"=”或）

【答案】=

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数上的几何意义可得答

案.过曲线上任意一点作无轴、y轴的垂线，所得到的三角形的面积为常数网的一半.

【详解】解：由反比例函数系数左的几何意义得，

SAOC=1■闷=；卜3|=：,SBon=!|^|=||-3|=|,

*,-Q^BOD•

故答案为：=.

14.如图，甲、乙两座建筑物间的距离8。为35m,甲建筑物的高AB为20m,在甲建筑物的顶端A处测得

乙建筑物的顶端C的仰角a为45。，则乙建筑物的高CZ)为m.

C

A,\a

【答案】55

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用：仰角问题，正确作出辅助线是解题关

键.判断四边形A8DE是矩形，由矩形的性质得A6=£)E=20m,AE=BD=35m,

ZAEC=ZAED=9Q°,由/C4E的正切函数可求出CE的长，进而根据CE>=DE+CE得出答案即

可.

【详解】解：如图延长点A处的水平视线交CD于点E，

MBDN

：.lBAE1ABD1BDE90?)

，四边形ABQE矩形，

：.AB=DE=20m,AE=BD=35m,ZAEC=ZAED=90°,

,：ZCAE=45°,

CE=AE-tan45°=35x1=35m,

，CD=CE+DE=35+20=55m,

故答案为：55.

15.下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：。和」。外一点尸.

求作：过点P的「0的切线.

作法：如图，

(1)连接OP；

(2)作线段OP的中点A,以A为圆心，以AO为半径作-A,与CO交于两点Q和R；

(3)作直线尸。，PR.

直线PQ和直线PR是CO的两条切线.

证明：连接OQ,OR.

是Q4直径，点。在A上，

AOQP=。，

又：点。在。上，

直线PQ是C。的切线（）（填推理的依据）.

同理可证直线PR是。的切线.

【答案】①.90②.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【解析】

【分析】本题考查了切线的判定、直径所对圆周角是直角，熟练掌握切线的判定是解题的关键.

根据作图，直径所对圆周角是直角，得出NOQP=90。，根据经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线

是圆的切线，即可得证直线P2是r0的切线，据此得出答案即可.

【详解】解：如图，连接。。，OR,

：OP是。4直径，点。在A上，

ZOQP=90°,

又：点。在：。上，

...直线P2是（O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

故答案为：90；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

16.如图，48为（。的弦，C,。为圆上的两个动点，记弦AB所对的圆心角度数为a,弦所对的圆

心角度数为夕.若。+/=180。，给出如下四个结论：

D

①NA+NC=90。；

②若，=2。，则C£>=6A5；

③若B为弧AO的中点，则Q4LCD；

@AB2+CD2=4OC2.

上述结论中一定正确的有（填写所有正确结论的序号）.

【答案】①②④

【解析】

【分析】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、等边

三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键.

根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出？A90?-a,?C90?!万，结合

22

。+分=180°,即可证明①正确；将△043旋转到和△口?£）拼合，使得。8和。。重合，由，=2。，

得出e+2e=180°,旋转后点A、0、C在同一直线上，ZADC=90°,求出口=60°,根据勾股定理

即可证明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出NA=60°,得出NC=90°—60°=30°,根据

“30。角所对的直角边是斜边的一半”，得出AC=2A3,结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中

点，得出2£>=42，则？BOD1AOBa,结合垂径定理，推出。4LCD时，

?COD?COA1AOD4a=力，得出只有当夕=36°时，③成立，综合得出答案即可.

【详解】解：：Q4=OB=OC=OD,弦A3所对的圆心角度数为戊，弦CD所对的圆心角度数为万，

18071AOB1807?

/.?A2B=90?-a,IC?D=90?!/，

2222

.,.ZA+ZC=90o-1«+90o-1/?=180o-1（«+/J）,

又分=180°,

/.ZA+ZC=180°--x90°=90°,

2

故①正确，

如图，将△OA3旋转到和△COD拼合，使得08和重合，

HB）

•：a+）3=180°,若p=2a,

Atz+2a=180°,旋转后点A、。、C在同一直线上，ZADC=9Q°,

解得：a=60。，

ZAOD=60°,AB2+CD1=AC2=（2OC）2=4OC2,

故④正确，

；OA=OB,

AAOAB等边三角形，

：.ZA=60°,

/.NC=90°—60°=30°,

AC=2AB,

•••CD=VAC2-AB2=^（2AB）2-AB-=6AB,

故②正确，

:若8为弧AD的中点，

•,BD-AB>

，?BOD?AOBa,

?AOD2BOD?AOB2a,

当。4，CD时，则NCQ4=NAOD=2z,

,\?COD?COA?AOD4。=〃，

•/tz+^=180°,

5a=180。，

解得：a=36°,

...只有当tz=36°时，③成立，

故③不正确，

综上所述，一定正确的有①②④，

故答案为：①②④.

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题

每题7分，共68分）

17.计算：sin600-cos450+tan30°.

5行3行

【答案】

6

【解析】

【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角三角函数值，计算即可，熟记特殊角三角函

数值是解题的关键.

【详解】解：sin600-cos45o+tan30°

=走变+走

一FV

3733收273

=-----------+-----

666

5A3忘

6

ABAC

18.如图，在VA3C中，D,E分别为AC,边上的点，ZABC=ZEDC.求证:

~EC

ED

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

根据公共角NACB=NECD,已知NABC=NXOC,根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明

ABAC

ABCs.EDC,根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证一=—

EDEC

【详解】证明：E分别为AC,5c边上的点，

/.ZACB=/ECD,

又：ZABC=ZEDC,

:..ABCs-EDC,

.ABAC

"~ED~~EC'

3

19.如图，在一ABC中，ZB=45°,tanC=-,ADIBC于点。，若AD=6,求3c的长.

【答案】16

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键.

先根据正切的定义得出BD的长，再利用NC的正切值得出CD的长，再计算8D+CD即可.

【详解】解：,••相>，3。,/5=45。，

.„AD,

..tanB=----=1,

BD

'•*AD=6,

BD—6,

,,「3AD

>tanC=-=----,

5CD

：.CD=10,

：.BC=B£>+CD=6+10=16.

20.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称.如图,

已知折扇的骨柄长为m折扇扇面的宽度是骨柄长的折扇张开的角度为120。，求折扇的扇面面积.（用

含a的代数式表示）

27

【解析】

【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

根据图形可知：折扇的扇面面积=大扇形的面积-小扇形的面积，然后代入数据计算即可.

ci—a

【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为：120〃/

9兀cr兀a

2727

27

21.在平面直角坐标系xOy中，点A（a,2）是函数y=尤-1图象与函数y=与左H0）的图象的交点.

（1）求。的值和函数y=—（左。0）的表达式；

（2）若函数y=尤-1的值大于函数y=（（4wO）的值，直接写出龙的取值范围.

k6

【答案】⑴a=3,函数丁=勺（kHO）的表达式为y=?

X

（2）-2<x<0或x>3

【解析】

【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质

是解题的关键.

（1）根据交点A（a,2）,代入代入函数>=彳-1,求出。的值，得出点A的坐标为（3,2）,再把（3,2）代入

〃k

y=—（左HO）,求出左的值，即可得出函数丁=二（左H0）的表达式；

y=x-l

（2）由（1）得函数y=—后（左H0）的表达式为y=—6,联立函数表达式｛_6，整理得出方程

必_%_6=0,求解得出函数y=尤-1的图象与函数丁=9的图象的交点，画出两函数的图象，根据图

象，函数y=%-1的值大于函数丁=£的值，即函数y=左-1的图象在函数y=9的图象上方时，得出苫的

取值范围即可.

【小问1详解】

解：•.•点A（a,2）是函数y=尤-1的图象与函数丁=与左70）的图象的交点,

，把点A（a,2）代入函数y=x—1得：a—1=2,

解得：4=3,

...点A的坐标为（3,2）,

把（3,2）代入丁=々左/0）得：1=2,

X3

k=2x3=6,

k6

函数y=~（k丰0）的表达式为y=-;

【小问2详解】

k6

解：••,由⑴得函数y=?左H0）的表达式为y

y=x-l

・・・联立函数表达式得：［6，

y=-

IX

2

整理得方程：X-X-6=0.

=

解得：玉=3,%2-2,

,占=3,%=3-1=2；x2=-2,y2=-2-1=-3,

.♦.函数》=犬-1的图象与函数丁=9的图象的交点是（3,2）和（—2,—3）,

X

如图，画出两函数的图象，

:函数，=%-1的值大于函数y=9的值，

X

一2<x<0或x>3.

22.如图，AB是直径，CD是。。的一条弦，且。_LA3于点E，连接AC,6D和OC.

（1）求证：ZACO^ZD；

（2）若CD=4后，tan/。=等，求。的半径.

【答案】（1）见解析（2）。的半径为3

【解析】

【分析】本题考查了圆的性质、等边对等角、垂径定理、同弧所对圆周角相等、解直角三角形、勾股定理，

熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键.

（1）根据等边对等角，得出NAC0=NC40,根据同弧所对圆周角相等，得出NC40=ND,即可证明

ZACO=ZD；

（2）根据垂径定理、解直角三角形，得出NCEO=90°,CE=DE=2母,BE=DE?tan?D2,设

。的半径，则CO=5O=x,EO=BO-BE=x-2,根据勾股定理，得出方程（x-2了+（2夜）=x2,

求解即可.

【小问1详解】

证明：=

ZACO=ZCAO,

又：ZCAO^ZD,

：.ZAC0=ND；

【小问2详解】

解：于点E，CD=4叵，tanZD=—，

；.NCEO=90°,CE=DE=-CD=-%442=2A/2,BE=DExtan?D272?—=2,

222

设；。的半径，

:.CO—BO=x,EO-BO-BE=x-2,

EO2+/=co?，

/.（x-2）2+（20）=x2,

解得：x=3,

的半径为3.

23.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪A3CD为正方形，AB=30cm,

顶点A处挂了一个铅锤如图是测量树高的示意图，测高仪上的点。，A与树顶E在一条直线上，铅垂

线40交3c于点经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离”=11m，BH=20cm.求树EG

的高度（结果精确到0.1m）.

【答案】树EG的高度为9.1m

【解析】

【分析】由题意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=1.8m,易矢口/EA*/RAH,可得

pp222

tanZE4F=—=tanZBAH=-,进而求得EF=—m,利用EG=EF+FG即可求解.

AF33

【详解】解：由题意可知，ZBAE^ZMAF=ZBAD=90°,FG=1.8m,

则NE4F+4AF=NBAF+=90。，

:.ZEAF=ZBAH,

'/AB=30cm,BH=20cm,

RH9

则tanNA4H=——二—,

AB3

FF2

JtanZ£AF=——=tanZBAH=~,

AF3

EF2

,**AF=1Im，则—=-

3

22

/.EG=EF+FG=—+1.8«9.1m,

3

答：树EG的高度为9.Im.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到NE4尸=NflAH是解决问题的关键.

24.已知二次函数,=G2+法+。图象上的部分点的横坐标无，纵坐标y的对应值如下表:

.・・j_35・・・

X-10123

~22-22

715157・・・

ym3430

4~4~44

根据以上信息回答下列问题：

(1)二次函数图象的顶点坐标是—，机的值为；

(2)求二次函数的表达式；

(3)当左WxW左+2时，二次函数丫=以2+法+。的最小值是1,则％的值为.

【答案】⑴(1,4)；0；

(2)J=-(X-1)2+4

(3)—1+G或1—6

【解析】

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关

键.

(1)由表格数据知，顶点坐标为(1,4),根据函数的对称性(3,0)和(-1,m)关于抛物线的对称轴对称，故

m=0,即可求解；

(2)由待定系数法即可求解；

(3)当左+2＜1即ZW—1时，则当x=左时，ymin=-k-+2k+3=1,即可求解；当上21或一1＜女＜1时，

同理可解.

【小问1详解】

解：由表格数据知，顶点坐标为：(1,4),

根据函数对称性（3,0）和（-1,阴）关于抛物线的对称轴对称，故根=0,

故答案为：（1,4）,0；

【小问2详解】

解：设抛物线的表达式为：y=a（x—1『+4,

将（0,3）代入上式得：3=«（0-1）2+4,

贝!］々二一1.

故抛物线的表达式为：y=-（x-l）2+4；

【小问3详解】

解：抛物线的对称轴为直线尤=1,

当工=左时，y=-（x-lj+4=-左2+2左+3,

当工=氏+2时，同理可得：y=-k2-2k+3；

当x=l时，y=4,

当左+2＜1即ZW—1时，

则当％=左时，Vmin=一/+2左+3=1,

解得:k=l土6（舍去）；

当次21时,

同理可得：y=-k2-2k+3=l

解得：k--1±V3（舍去）；

当一1＜女＜1时，

当氏+2—121—左即0W左＜1,

则y=—/一2左+3=1.

解得：％=_1+0；

当一1〈人＜1时，

同理可得：左=1-6（不合题意的值已舍去），

综上，上=—1+省或1—百.

故答案为：—1+百或1—退.

25.如图，5E是C。的直径，点人在《。上，点C在5E的延长线上，ZEAC=ZABC,AD平分/BAE

交（。于点。，连结DE.

D

（1）求证：CA是。。的切线；

（2）当AC=8,CE=4时，求DE的长.

【答案】（1）见解析；

⑵6A/2.

【解析】

【分析】⑴连结根据圆周角定理可知4AE=90°,根据Q4=OB可知NA5O=NB4O,利用

等量代换可得NE4C=NB4O,从而可证NQ4C=90°,所以可得Q4是。的切线；

（2）根据相似三角形对应边成比例可得BC=16,所以可知BE=12,根据AD平分44石可证DB=DE,

根据直径所对的圆周角是直角可知,5DE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出。E的长

度.

【小问1详解】

证明：如下图所示，连结。4,

BE是'。的直径，

:.ZBAE=90°,

:.ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABO^ZBAO,

ZEAC=ZABC,

:.ZEAC=ZBAO,

:.ZEAC+ZOAE=90°,

.-.ZOAC=90°,

Q4是.。的半径，

是O。的切线；

【小问2详解】

解：NE4C=4BC,NC=NC,

ABCs.EAC,

.ACEC

,BC-AC，

.8_4

••一,

B