北师大版八年级数学常见题型专练：第1章 勾股定理 全章复习与测试（原卷版+解析）

第1章勾股定理全章复习与测试

【知识梳理】

一、勾股定理

1.勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.

②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆时，此关系只有当C是斜边时才成立.若

6是斜边，则关系式是/+C2=/；若。是斜边，则关系式是62+°2=".

2.直角三角形斜边上的高

①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边.

②根据直角三角形的面积不变，即工仍=!凶，求出比

22

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数

与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=（a+b）1-2ab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中与力=+4X—a6，所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中+4x—心,所以二2二/+82.

JEfr

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

邑3j"+y=2x；必+白，所以＜?+/=/.

乙乙乙

三、勾股数

满足不定方程/+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果（。、b、C）是勾股数，当力为正整数时，以8、初、N为三角形的三边长，此三角形必为直角三

角形

四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如C）.

验证C?与/+〃是否具有相等关系.若o2=/+/,则AABC是/C=90°的直角三角形；若

则AABC不是直角三角形.

要点诠释：当。2+廿＜02时，此三角形为钝角三角形；当片+廿＞02时，此三角形为锐角三角形，

其中C为三角形的最大边.

五.勾股定理的逆定理

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c,且标+62=°2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：

①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边.

②当满足"+Z>2=c2时，C是斜边，/C是直角.

③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及

另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形.

J【考点剖析】

勾股定理（共8小题）

1.（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，ZA=90°,DELBC,AB=3,BC=5,8。是NA8C的

角平分线，则的周长是（)

C.8D.9

2.（2022秋•巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形£的面积是（）

A.10B.13C.15D.26

3.（2022秋•辉县市校级期末）如图，ZkABC中，ZACB=90°,分别以△ABC的边A3、BC、AC向外作

等腰等腰RtZXBEC和等腰RtZXAOC,记△A2P、△BEC,ZXADC的面积分别是Si,S2,S3,

则Si、52、S3之间的数量关系是（）

A.Si<S2+SiB.Si=S2+SiC.」Si>S2+S3D.—Si=S2+S3

22

4.（2023春•渝北区校级期中）如图，在四边形ABC。中，ZABC=150°,8。平分/ABC,过A点作AE

//BC交BD于点E,EFLBC于点F.若AB=7,则EF的长为.

5.（2022秋•阳城县期末）如图，已知Rt^ABC的三边长分别为6、8、10,分别以它们的三边作为直径向

外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为.

6.（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,A。平分NA4C,A2=4,AC=3,则8。的

长是

二.勾股定理的证明（共6小题）

7.（2022秋•和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2022秋•郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算

经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股

定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定

理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体

现的数学思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.分类思想D.方程思想

9.（2022秋•巴中期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽

弦图”.如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形正方形

EFGH,正方形MNP。的面积分别为Si,S2,S3,若SI+S2+S3=4,则S2的值是.

10.（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB,直角顶点C在直线/上，分别过点42作直线/的垂

线，垂足分别为点。和点E.

（1）求证：/DAC=/BCE；

（2）如果AC=BC.

①求证：CD=BE；

②若设△ADC的三边分别为°、b、c,试用此图证明勾股定理.

11.（2022秋•金牛区期末）如图是“赵爽弦图”，AABH,^BCG,△C。尸和△D4E是四个全等的直角三角

形，四边形ABC。和四边形EFGH都是正方形，如果A8=15,A”=9,则四边形GFEH的面积为

三.勾股定理的逆定理（共3小题）

12.（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12e"、13刖，则它的最长边上的中线为cm.

四.勾股数（共2小题）

13.（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.5、12、13D.3、5、7

14.（2022秋•望花区校级期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A.1,2,2B.32,42,52C.5,12,13D.6,6,6

五.勾股定理的应用（共6小题）

15.（2022秋•成都期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在

草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了一米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家

文明出行，足下留“青”!

16.（2022秋•婺城区期末）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示

意图，其中A8为门槛宽度.

（1）当/CA8=/O8A=60°时，双门间隙与门槛宽度的比值为.

（2）若双门间隙8的距离为2寸，点C和点。距离都为1尺（1尺=10寸），则门槛宽度是

17.（2022秋•内乡县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/

时，2小时后，两船同时到达了目的地.若C、8两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？

六.平面展开-最短路径问题（共3小题）

18.（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是5,内底面的点A有一只飞虫,

要吃到B点的食物，最短路径的长是（）

A.6B.7C.13D.10

19.（2022秋•郸都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22c",底面周长为30c〃z,在杯内壁离杯上沿3c机的

点8处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外

壁A处到内壁2处的最短距离为—cm（杯壁厚度不计）.

【过关检测】

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）△ABC三边长分别为a,b,c,且a：b-.c=3：4：5,则△ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.（3分）在Rt^ABC中，ZA=90°,BC=13cm,AC=5cm,则第三边A8的长为（）

A.18cmB.12cmC.8cmD.6cm

3.（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）

A.7,12,13B.5,9,12C.3,4,6D.40,50,30

4.（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）

A.1、2、3B.2、3、4C.3、4、5D.4、5、6

5.（3分）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳子下端刚

好接触地面，则旗杆的高度是（）

A.3米B.4米C.12米D.13米

6.（3分）已知一个直角二角形的两边长分别为3和4,则第二边长的平方是（）

A.25B.7C.5和7D.25或7

7.（3分）下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=ZCB.ZA=40°,4=50°

C.AB=ACD.AB=2,AC=3,BC=4

8.（3分）如图，一梯子48斜靠在一竖直墙AC上，测得梯子的顶端到地面的距离为8加，若梯子的顶端A

沿墙下滑2%到点E,此时梯子的底端8滑到了。处，测得3D=2〃z,则梯子AB的长度为（）

A.16mB.14mC.12mD.10加

9.（3分）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4,正方形C的边长

10.（3分）如图所示的一块地，已知NADC=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,则这块

地的面积为（）m2•

c

DB

A

A.92m2B.93m2C.96m2D.90m2

二.填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11.（4分）禅城区某一中学现有一块空地A6切如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量/3=90，

AB=3m,BC=4m,CD=13m,AD=12m,若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入元

12.（4分）已知一个三角形的三边长分别是12c机，16cm,2Qcm,则这个三角形的面积为cm2.

13.（4分）如图，有一段楼梯AC长为15米，由于这段楼梯较陡，为了方便行人通行，现准备新修一条楼

梯AD已知4。=20米，CD=7米,则楼梯的高度为米.

14.（4分）于ABC,有下列条件：©ZA+ZB=ZC；②AC：BC：AB=3：4：5；③/=s+c）（b-c）；（4）

NAZB,NC=2：3：4.其中能确定ABC是直角三角形的是.

15.（4分）如图，在正方形方格纸中，Na与的度数和为.

16.（4分）如图，标有“长”“街”“镇”三字的三个正方形围成一个直角三角形，正方形“长”“街”的面

积分别为81、400,则图中标有“镇”字的正方形面积是

17.（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形。EF的位置，Z）E交AC于点O,已知

A2=6,BE=4,0D=2,则四边形。CFD的面积为.

三.解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

18.（6分）如图，在△ABC中，AD±BC,AO=12,BD=16,CD=5.求：ZVIBC的周长.

19.（6分）如图，在四边形26（力中，AB=20,AD=15,CD=1,BC=24,ZA=90°,求证：/e90°.

20.（6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠

点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CALC8,如图，为了安全起见，爆

破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路A8段是否有危险需要暂时封锁？请通

过计算进行说明.

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

21.（8分）如图，铁路上/、6两点相距25km,C、〃为两村庄，于A,CB_LAB于B,已知

£>A=15km,CB=10km,现在要在铁路A3上建一个土特产品收购站E,使得C、〃两村到£站的距离相等，

则少站应建在距A站多少千米处？

22.（8分）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给

出的，它标志着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个

大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：cr+b2

—c2.

23.（8分）如图，在△ABC中，NC=60°,AB=7,AC=8,AO_LBC于。，求3c的长.

五.解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

24.（10分）如图，在AABC中，AB=30cm,BC=35cm,ZB=60°,有一动点E自A向B以2cm/s的速度运

动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B出发.

（1）试问出发几秒后，4BEF为等边三角形？

（2）填空：出发秒后，4BEF为直角三角形？

25.（10分）如图，在/8C中，/俏8cm,8俏6cm,/4妾90°,动点尸从点C出发，按3*/一分-C的路径

运动，到点C停止运动，且点户运动速度为2cm/s,设出发时间为ts.

⑴直接写出血的长度=；如图1,当点尸运动到夕L46时，t=

⑵①如图2,当点户运动到解平分//回时，求出动点户运动时间大的值为多少？

②如图3,当点尸运动到"恰好平分时，直接写出t的值为

⑶当点尸运动到四边上，且使得小力，直接写出t的值为

第1章勾股定理全章复习与测试

【知识梳理】

一、勾股定理

1.勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么"+无=。2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.

②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆/+/=c2时，此关系只有当C是

斜边时才成立.若6是斜边，则关系式是4+/=/；若。是斜边，则关系式是62+02=".

2.直角三角形斜边上的高

①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边.

②根据百角二角形的面积不变，即工°6=!M，求出比

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（3）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求

解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：a2=c1-b1,b1=c1-cr,c2=（a+b^-2ab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中取力1MiaDng+AyMc'+dxJab，所以/+/=/.

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图(2)中S.*1M^=1'=9-4)'+4)<1而，所以

*»fr

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

43="华心=2x我+“所以一+二一

乙乙乙

三、勾股数

满足不定方程必+产=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显

然,以X、》z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果（久b、。）是勾股数，当♦为正整数时，以必、bt、以为三角形的三边长，此三角

形必为直角三角形

四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如C）.

验证。2与小+尸是否具有相等关系.若02=/+/,则^ABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,则AABC不是直角三角形.

要点诠释：当标+匕2<°2时，此三角形为钝角三角形；当片+。2>02时，此三角形为锐角

三角形，

其中C为三角形的最大边.

五.勾股定理的逆定理

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c,且"+"=02,那么这个三角形是直角三角形.

b

注意：

①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边.

②当满足时，C是斜边，/C是直角.

③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出

最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为

直角三角形.

【考点剖析】

勾股定理（共8小题）

1.（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，ZA=90°,DEIBC,AB=3,BC=5,

3。是/ABC的角平分线，则△（?£）£1的周长是（）

【分析】由角平分线的性质得出证明（HL）,得出8A=

BE=3,由勾股定理求出AC=4,则可得出答案.

【解答】解：：NA=90°,DELBC,8。是/ABC的角平分线，

：.AD^DE,

在RtABAD和RtABED中，

fAD=DE

1BD=BD'

.".RtABAD^RtABEZ）（HL）,

.,.BA=BE=3,

：.CE=BC-BE=BC-AB=5-3=2,AC=4,

ACDE的周长MOE+OC+CEMAO+DC+CEuAC+CEnd+ZuG.

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角

平分线的性质是解题的关键.

2.（2022秋•巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正

方形E的面积是（）

B

【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x,»z,由勾股定理得出7=8,

/=5,z2^^2,即最大正方形的面积为z?.

【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为X、》最大正方形E的边长为z,

则由勾股定理得：f=3+5=8,y2=2+3=5,z2—x1+y2—13,

即最大正方形£的面积为：9=13.

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之

和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

3.（2022秋•辉县市校级期末）如图，/XABC中，ZACB^90°,分别以△ABC的边A3、

BC、AC向外作等腰等腰RtZXBEC和等腰RtaADC,记△ABF、ABEC,△

AOC的面积分别是Si,S2,S3,则Si、S2、S3之间的数量关系是（）

A.Si<S2+S3B.Si=S2+S3C.—Si>S2+S3D.—SI=52+S3

22

【分析】根据勾股定理得到A#=AC2+8C2,根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积

公式计算，得到答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,

\'AABF.△BEC、△AOC都是等腰直角三角形，

.-.SI=AAB2,S2=LEC2=LBC2,S3^—AD2^1AC2,

22424

S2+S3=ABC2+AAC2=AAB2,

444

.■.S2+S3=—Si,

2

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长

为C,那么/+62=02.

4.（2023春•渝北区校级期中）如图，在四边形A8CD中，ZABC=150°,8。平分/ABC,

过A点作AE〃2C交3。于点E,EFLBC于点、F.若A8=7,则EF的长为3.5.

【分析】过点4作交CB延长线于点根据题意可知，ZABM^3Q0,可

求AM=3.5,再利用平行线间距离处处相等，可得EF.

【解答】解：过点A作交CB延长线于点

VZABC=150°,

AZABM=30°,

•■•AH=yAB-1x7=3.5-

\'AM±CB,EF±BC,AE//BC,

...根据平行线间的距离处处相等可得：EF^AM=3.5,

故答案为：3.5.

【点评】本题考查的是勾股定理，涉及到含30°的直角三角形的性质和平行线的性质，

作恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键.

5.（2022秋•阳城县期末）如图，已知Rt^ABC的三边长分别为6、8、10,分别以它们的

三边作为直径向外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为24.

【分析】根据图形关系可得阴影部分面积为

(l)2jTX_2+C't)27rXf+6X8X2__(^)2KX1-

【解答】解：因为RtaABC的三边长分别为6、8、10,

所以62+82=102,

由已知可得：图中阴影部分的面积为

得)2兀X5+(称)之兀x1+6X8X(当)2兀X,=24.

故答案为：24.

【点评】此题考查的是勾股定理，弄清图形的面积和差关系是关键.

6.(2022秋•秦淮区期末)如图，在△ABC中，/BAC=90°,平分N54C,AB=4,AC

=3,则2。的长是.

—7—

【分析】过点。作。48,垂足为E,过点D作。尸，AC,垂足为R根据垂直定义可

得/4££)=/4万=/2£!)=90°,从而可得四边形A即尸是矩形，进而可得AE=。尸,

然后利用角平分线的性质可得DE=DF,再利用面积法求出DE=DF=^,从而求出BE

7

的长，最后在Rtz\2即中，利用勾股定理，进行计算即可解答.

【解答】解：过点D作。ELA8,垂足为E,过点D作。FLAC,垂足为F

ZAED=ZAFD=ZBED=90°,

,：ZBAC=90°,

，四边形AEDE是矩形，

：.AE=DF,

平分/BAC,DELAB,DFA.AC,

：.DE=DF,

；AB=4,AC=3,

：.^AB'DE+—AC'DF^—AB*AC,

222

.•.Ax4-£)£+Ax3«£)F=—X4X3,

222

解得：DE=DF=^,

7

：.AE=DF=^,

7

：.BE^AB-AE^—,

7

在RtZXBED中，8。==殁,

7

故答案为：20.

7

【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加

适当的辅助线是解题的关键.

二.勾股定理的证明（共6小题）

7.（2022秋•和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）

【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题.

【解答】解:第一个图形：中间小正方形的面积c2=（a+b）2-"工"；化简得c2=aW,

2

可以证明勾股定理.

第二个图形：中间小正方形的面积（6-°）2=02-4义工匕；化简得/+庐=’2,可以证明

2

勾股定理.

第三个图形：梯形的面积=▲（a+b）（a+b）—2X—Xab+—c2,化简得层+/二。?；可以

222

证明勾股定理.

故能够验证勾股定理的有3个.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握

正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键.

8.（2022秋•郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数

学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验

证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数

学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.分类思想D.方程思想

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思

想.

【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，

它体现的数学思想是数形结合思想，

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的

方法体现的数学思想为数形结合思想.

9.（2022秋•巴中期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，

记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为Si,S2,S3,若S1+S2+S3

=4,则S2的值是A.

—3—

【分析】设其中一个直角三角形的面积为无，则SI=S3+8X,S2=%+4X,再根据S1+S2+S3

=4,可得答案.

【解答】解：设其中一个直角三角形的面积为X,

贝!JSI=S3+8X,S2=S3+4X,

VSI+52+S3=4,

S3+8X+S3+4X+S3=4,

4.

.'.S3+4x=—,

3

••.S2的值是4,

3

故答案为：-

3

【点评】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出S1和S2是解题的关键.

10.(2022秋•宝山区期末)如图，直角三角形AC2,直角顶点C在直线/上，分别过点4、

8作直线/的垂线，垂足分别为点。和点E.

(1)求证：NDAC=/BCE；

(2)如果AC=BC.

①求证：CD=BE；

②若设△AOC的三边分别为.、b、c,试用此图证明勾股定理.

(1)图(2)图

【分析】(1)根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；

(2)①根据A4S可以证明结论成立；

②根据S^ADEB^SMDC+S^ACB+S^CEB,代入字母计算即可证明结论成立.

【解答】证明：(1)VZACB=90°,于点。，

：.ZDAC+ZACD^90°,ZADC+ZBCE^9Q°,

：.ZDAC=ZBCE；

(2)①：人力,0后于点。，BELDE于点E,

：.ZADC=ZCEB=90°,

由(1)知：NDAC=NBCE,

在△AOC和△CEB中，

AAADC^ACEB(AAS),

:.CD=BE；

②由图可知：

S^ADEB=S^ADC+S/^ACB+SACEB,

.(a+b)(a+b)_

••---------------------,

2

化简，得：a2+b2—c2.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

11.(2022秋•金牛区期末)如图是“赵爽弦图”，AABH,ABCG,△C。尸和是四个

全等的直角三角形，四边形ABC。和四边形斯G8都是正方形，如果AB=15,AH=9,

则四边形GEE8的面积为9.

【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE=12,HE=3,再由正方形的性质即可

得出答案.

【解答】解：；△ABH、△BCG、△8尸和△D4E是四个全等的直角三角形，

：.AH^DE^9,AD=AB=15,

在RtAADE中,

AE=12,

；.HE=AE-AH=12-9=3,

:四边形EPGH是正方形，

四边形GFEH的面积为9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌

握勾股定理是解题的关键.

三.勾股定理的逆定理（共3小题）

12.（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5”小12c优、13cm,则它的最长边上的

中线为6.5cm.

【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半即可得到答案.

【解答】V52+122=132,

...此三角形是直角三角形，

它的最长边上的中线为513=6.5（cm）•

故答案为：6.5.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键

是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+必=02,那么这个

三角形就是直角三角形.

四.勾股数（共2小题）

13.（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.5、12、13D.3、5、7

【分析】欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边

的平方和是否等于最长边的平方.

【解答】解：432+42=52,是勾股数，不符合题意；

B、62+82=102,是勾股数，不符合题意；

C、52+122=132,是勾股数，不符合题意；

D、32+52^72,不是勾股数，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了勾股数的定义，会判断一组数是不是勾股数是解题的关键.

14.(2022秋•望花区校级期末)下列各组数中，是勾股数的一组是()

A.1,2,2B.32,42,52C.5,12,13D.6,6,6

【分析】根据勾股数的定义：两数的平方和等于一个数的平方，逐项验证即可得到答案.

【解答】解：A、12=1,22=4,22=4,1+4W4,根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，

不符合题意；

B、(32)2=81,(42)2=256,(52)2=625,81+256^625,根据勾股数的定义，这组数

不是勾股数，不符合题意；

C、由5?=25,122=144,132=169得25+144=169,根据勾股数的定义，这组数是勾股

数，符合题意；

D、62=36,62=36,62=36,36+36W36,根据勾股数的定义，该选项不是勾股数，不符

合题意；

故选：C.

【点评】本题考查勾股数定义，根据定义逐项验证是解决问题的关键.

五.勾股定理的应用(共6小题)

15.(2022秋•成都期末)河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐

角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了6米,却踩伤了花草！青

青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！

【分析】在Rt^ABC中，直接利用勾股定理得出的长，再利用AC+BC-进而得

出答案.

【解答】解：在RtzXABC中，AC=1m,BC^24m,

：.AB=25(m),

则AC+BC-AB=7+24-25=6（m）,

故答案为：6.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键.

16.（2022秋•婺城区期末）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，

某一时刻的示意图，其中A8为门槛宽度.

（1）当/。48=/。氏4=60°时，双门间隙CO与门槛宽度48的比值为1.

一2一

（2）若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点。距离都为1尺（1尺=10寸），则

【分析】（1）过。作DE〃AC交AB于你E,得到是等边三角形，四边形AEOC

是平行四边形，从而推出。=工42,即可得到答案；

2

（2）作CM_LAB于M,DNLAB于N,得到RfACM/RtZsBON,得到AM=BN,设AM

=无寸，则3N=x寸，由勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题.

【解答】解：（1）过。作Z）E〃AC交于E,

,：ZCAB=ZDBA^60°,

：.ZDEA=ZA=60°,

VZ£Z）B=180o-ZB-ZZ）£A=60°,

：.ZB=ZDEB=ZEDB,

...△ED8是等边三角形，

：.BE=BD=DE,

'：AC^BD,

C.AC^DE,

四边形AEDC是平行四边形，

CD=AE,

"：AC+BD=AB=AE+BE=2BD=2BE,

：.AE=BE,

•.•-D-C_-1,

AB2

双门间隙C。与门槛宽度AB的比值为工,

2

故答案为：—；

2

(2)作CA/_LAB于ALDN工AB于N,

•点C和点£)距离AB都为1尺，

：.CM=DN=10(寸)，

'：AC^BD,

:.RtACM咨RtABDN(HL),

：.AM=BN,

设AM=_r寸，则BN=x寸，

:cr>=2寸，

：.AB=⑵+2)(寸)，

；AC+BD=AB,AC=BD,

：.AC=(x+1)(寸)，

,：ACZ=AM2+CM2,

(x+1)2=x2+102,

.'.2r+l=100,

/.AB=2x+2=100+1=101(寸)，

，门槛宽度AB是101寸.

【点评】本题考查勾股定理的应用，等腰梯形，关键是通过作辅助线把梯形转化成三角

形，平行四边形来解决问题.

17.（2022秋•内乡县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向,

航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地.若C、8两岛的距离为30海里,

问乙船的航速是多少？

【分析】由题意得AB=24海里，ZBAC=90°,8C=30海里，再由勾股定理求得AC的

长，即可解决问题.

【解答】解：由题意得：AB=12X2=24（海里），8c=30海里，ZBAC=180°-35°

-55°=90°,

：.AC=1S（海里），

乙船的航速是18+2=9（海里/时），

答：乙船的航速是9海里/时.

【点评】本题考查了勾股定理的应用及方向角，熟练掌握方向角的概念，由勾股定理求

出AC的长是解题的关键.

六.平面展开-最短路径问题（共3小题）

18.（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是5,内底面的点A

有一只飞虫，要吃到8点的食物，最短路径的长是（）

A.6B.7C.13D.10

【分析】要想求得最短路程，首先要把A和8展开到一个平面内.根据两点之间，线段

最短求出蚂蚁爬行的最短路程.

【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12,矩形的宽是圆柱的高5.

根据两点之间线段最短，

知最短路程是矩形的对角线的长13,

故选：C.

B

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的

关键.

19.（2022秋•郸都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm,底面周长为30cd在杯内壁离

杯上沿3aw的点8处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5c7九与面包

渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁2处的最短距离为25cm（杯壁厚度不

计）.

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EP的对称点A',根据两点之间线段最短可知

A'B的长度即为所求.

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点3,，

：.B'D=15cm,40=22-5+3=20（cm）,

连接"A,则"A即为最短距离，B'A=25（cm）.

故答案为：25.

nB'

E

B

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和

勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

【过关检测】

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）ZVIBC三边长分别为a,b,c,且a：b：c=3：4：5,则△ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.

【解答】解：b-.c=3：4：5,

.../+必=02,根据勾股定理的逆定理是直角三角形，

故选：A.

【点评】本题主要考查了比例线段和直角三角形的判定方法.如果一个三角形的三边a,

b,C满足屋+62=02,那么这个三角形是直角三角形.

2.（3分）在RtZXABC中，ZA=90",BC^\3cm,AC^5cm,则第三边AB的长为（)

A.18cmB.12cmC.8cmD.6cm

【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

斜边长的平方进行计算即可.

【解答】解：VZA=90°,BC=13cm,AC=5cm,

：.AB=1