带电粒子在磁场中的运动 - 2025年高考物理复习专练（西北四省专用）（解析版）

重难点11带电粒子在磁场中的运动

------------------------h

命题趋势

考点三年考情分析2025考向预测

洛伦兹力、洛伦兹力的方向

（1）考点预测：洛伦兹力作用下

洛伦兹力公式仅在洛伦兹力作用下的运动

的各种运动。

带电粒子在匀强磁场中的运动（2023•全国乙卷,5）

（2）考法预测：

重难诠释

【情境解读】

带1.当带电粒子速度/方向与磁场B方向平行时一►

电

粒匀速直线运动

子

在tnv

2.当带电粒子速度._r=Q-多解问题

磁

场-%方向与匀强磁场工二办一

8方向垂直时周三动27rm

中-T=-临界问题

的qB

运

动3.带电粒子在r1.直线边界

L有界匀强磁场-f常用r放缩圆

-2多边界f方法

L旋转圆

中的运动L3.弧（圆）形边界

【高分技巧】

一、洛伦兹力的大小计算、方向判断

1.洛伦兹力与静电力的比较

洛伦兹力静电力

oWO且o不与B平行

产生条件（说明：运动电荷在磁场中不一电荷处在电场中

定受洛伦兹力作用）

大小F=qvB(V-LB)F=qE

力方向与场方向的关系F_LB(且F±v)F//E

做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功

2.洛伦兹力作用下带电体的运动

带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着

变化（若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化），最后若弹力减小到0,带电体离开接触面.

二、洛伦兹力作用下的临界问题

1.动态放缩法

(1)适用条件：速度方向一定、大小不同

⑵特点：

①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运

动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。

②轨迹圆圆心共线

如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度。越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入磁

场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO±o

(3)界定方法

以入射点。为定点，圆心位于直线C。上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。

2.定圆旋转法

(1)适用条件：速度大小一定、方向不同

⑵特点：

①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运

2

动的半径相同，若粒子入射初速度为。0,由卯08=等得圆周运动半径R=器，半径R不变。

KQD

②轨迹圆圆心共圆

如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点。为圆

心、半径R=鬻的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。

(3)界定方法：

将半径为尺=黑的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转

QD

法”。

3.带电粒子的会聚

，'B

丙

如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁

场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。

证明：四边形OAO'8为菱形，必是平行四边形，对边平行，必平行于A。'，可知从A点入射的带电

粒子必然经过B点。

4.带电粒子的发散

x

x

-C

丁

如图丁所示，有界圆形磁场的磁感应强度为8,圆心为0,从P点有大量质量为根、电荷量为q的带正电粒

子，以大小相等的速度。沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁

场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆形磁场圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形,

。小、。2氏03c均平行于P。，即出射速度方向相同。

三、洛伦兹力作用下的多解问题

1.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确

定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.

(1)找出多解的原因.

(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.

2.带电粒子在磁场中运动的多解问题成因

(1).磁场方向不确定；

(2)带电粒子电性不确定；

(3)速度不确定；

(4)运动的周期性。

(建议用时：40分钟)

【考向一：洛伦兹力的大小计算、方向判断】

1.（2024•陕西省商洛市•二模）（多选）如图所示，横截面为正方形而cd的有界匀强磁场，磁场方向垂

直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直）边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其

相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是（）

XX

XX

XX

A.从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大

B.从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等

C.从6c边离开电子速度越大，偏转角度越大

D.从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点

【答案】BD

【解析】A.电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图

-tb

d一乙一L-、c

可知，从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误;

B.电子在磁场中运动的时间

02jcm0m

2TUeBeB

由轨迹图可知，从4d边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确;

CD.由

可得

mv

1B

可知速度越大半径越大，所以从Cd边离开的电子速度越大，越靠近C点；从儿边离开的电子速度越大，半

径越大，设入射点到d点的距离为x,则有

r-d«d

cosa=------=1-----

rr

可知，电子速度越大，速度偏转角越小，故C错误，D正确。

故选BD。

2.（2024•青海省海南藏族自治州•二模）如图所示，空间存在范围足够大、垂直xOy平面向里的匀强磁

场（图中未画出），一质量为机、带电荷量为-夕的带电粒子从坐标原点。沿y轴正方向以速度vo射出，带电

不计粒子受到的重力及空气阻力。则匀强磁场的磁感应强度大小为（

•A

MV0

Ox

AmV°mv0^0D

B.

2qhqh2qhqh

【答案】A

【解析】

根据洛伦兹力提供向心力有

机说

结合几何关系

3川+伊-行=R2

解得

5嘴

故选A。

3.（2024•山西省名校联考•二模）（多选）如图所示的装置能分离各种比荷的带电粒子，三个初速度均为

零的带电粒子1、2、3经电压为U的电场加速后，从顶点A沿AO方向进入一个边长为a的正六边形区域内，

正六边形区域内存在磁感应强度大小为2、方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知粒子1刚好从顶点厂射出，

粒子2刚好从顶点E射出，粒子3刚好垂直即从G点（未画出）射出，粒子重力不计，则下列说法正确的

是（）

FE

—><7*—，]入人、

||/xXx\

I|\xXx,/

\XX/

BC

A.粒子1、2、3的比荷之比为9：4：1

B.G点到E点的距离为（2/—3）a

C.将磁感应强度减半，粒子1在磁场中的运动时间不变

D.将磁感应强度减半，粒子2会从G点射出

【答案】BD

【解析】A.设粒子质量为加，带电荷量为在加速电场中，根据动能定理

〃12

Uq=—mv

在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力

v2

qvB=m——

r

解得

1\2mU

r———------

q

粒子1、2、3的运动轨迹如图所示

由几何关系知

4=a>八=Ka,q=2^/3«

解得

4:4:3=1:3:6

m\rJ

故

匕：左2：攵3=36:4:1

故A错误；

B.由几何关系知

年=瓜。=3a

tan30

G点到E点的距离为

/=弓—O3E=^2yf3—3ja

故B正确;

CD.将磁感应强度减半，三个粒子在磁场的运动半径都加倍，粒子1从斯之间射出，在磁场中达动的时

间变长，粒子2从G点射出，C错误，D正确。

故选BD。

4.（2024•山西省名校联考•一模）（多选）如图所示，空间有垂直于坐标系xOy平面向外的匀强磁场。/=0

时，带电粒子。从。点沿x轴负方向射出；不时刻，。与静置于y轴上P点的靶粒子6发生正碰，碰后6

结合成粒子c,弓时亥!I，。第一次沿，轴负方向通过x轴上的。点。已知％"2=1：6,不考虑粒子间静电力

•••（）••••Q*x

A.〃粒子带负电B.。和c的电荷量之比为1：2

C.。和c的速率之比为5：2D.a和Z?的质量之比为1：4

【答案】AD

【解析】C.设OP=2r,a、Z?碰撞前后做圆周运动时间为

1丁27r•2厂

%-A=-71—----------

2

44V2

联立解得

岭7

故C错误;

D.a、发生碰撞，根据动量守恒得

解得

mb4

故D正确；

AB.。粒子做匀速圆周运动，则

,2

qi%B=m—

r

c粒子做匀速圆周运动

（%+%）%B=（­+/）,

解得

1

%=一,%

根据左手定则，可知粒子。带正电，则粒子6带负电，粒子c带正电，。和c的电荷量之比为

d：（5+%）=2：1

故A正确，B错误。

故选ADo

5.（2024•山西省太原市•一模）（多选）如图所示，圆形区域内存在垂直纸面方向的匀强磁场，。为圆心,

AN和CM为圆的两条直径，/MCW=60。质量为网、电荷量为小的带电粒子1沿AO方向从A点射

入。质量为加2、电荷量为火的带电粒子2从C点射入，两粒子入射速度相同且都从/点飞离磁场，不考

虑两带电粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（）

A.粒子1与粒子2的比荷之比为2:3B.粒子1与粒子2的出射方向夹角为60

C.粒子1与粒子2的运动半径之比为2:1D.粒子1与粒子2在磁场内运动的时间之比为2:3

【答案】AB

【解析】如图所示，做出两粒子的运动轨迹，设粒子1做圆周运动的圆心为a,半径为“，设粒子2做圆

周运动的圆心为。2,半径为弓，圆心磁场的半径为R。

C.由几何关系可知

—=tan30

4

得

一=cos30

r2

得

TR

3

粒子1与粒子2的运动半径之比

5.3

2

故C错误；

A.由洛伦兹力提供向心力

v2

qyB=叫——

A

v2

q?vB=m1—

r2

得粒子1与粒子2的比荷之比

ch

/%_r2_2

m2

故A正确;

B.粒子1出射速度反向延长线过磁场区域圆的圆心，粒子2出射速度方向与CM夹角为60，由几何关系

可知粒子1与粒子2的出射方向夹角为60，故B正确；

D.粒子1与粒子2在磁场内运动的周期分别为

_2兀_Inm.

'q&'2q2B

得

T2~2

由图可知粒子1在磁场中做圆周运动对应的圆心角

用=60

由图可知粒子2在磁场中做圆周运动对应的圆心角

%=120

粒子1、粒子2在磁场内运动的时间

L="T[,t2

2乃L7l

粒子1与粒子2在磁场内运动的时间之比

：3

t202T24

故D错误。

故选ABo

6.（2024•山西省太原市•三模）（多选）发现正电子的实验装置如下图所示，利用垂直放在匀强磁场中的

云室来记录宇宙线粒子，在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室

内的磁场时，拍下粒子径迹的照片。若不考虑粒子的重力，下列选项正确的是（）

b：

•・一

I''''J

A.图中的粒子是由铅板上方向下方运动的

B.粒子穿过铅板后，其对应物质波的波长变小

C.若照片为正电子径迹，磁场的方向垂直纸面向内

D.在图中加入匀强电场，粒子穿出铅板前后均可沿直线运动

【答案】AC

【解析】A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，有

V2

qvB=m—

r

整理有

mv

qB

由于正电子穿过铅板后，其速度变小，即轨迹半径变小，结合题图可知，正电子是由上方向下方运动的，

故A项正确；

B.根据

h

p=一

A

由于穿过铅板后速度减小，粒子的质量不变，所以粒子的动量减小，结合分析可知，粒子的波长变大，故B

项错误；

C.若该轨迹为正电子的轨迹，其粒子带正电，由上向下运动，根据左手定则可知，其磁场方向垂直纸面向

内，故C项正确；

D.加入电场后，若要进入铅板前做匀速直线运动，有

qE=qvB

由于穿过铅板后速度减小，则粒子受到的洛伦兹力减小，即合力不为零，所以粒子在穿出铅板后期不能做

匀速直线运动，故D项错误。

故选AC„

7.（2024•陕西省•二模）（多选）如图所示，水平虚线MN下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强

度2的大小可以改变，ST为接收屏，T点位于磁场的边界，ZS7M=30°o在S点有一粒子发射源，发射

的粒子速度方向垂直速度大小为%,发射的粒子经过一段时间均能达到接收屏上，已知粒子的比荷

为上发射源到的距离为d,忽略粒子间的相互作用以及重力。则下列说法正确的是（）

A.粒子带正电

B.B可能为&a

kd

C.当B最小时，粒子到接收屏的点到T点的间距为（2-百）d

27td

D.粒子从发射到被接收，粒子的运动时间均为7^

3%

【答案】BC

【解析】A.发射的粒子经过一段时间均能达到接收屏上，根据左手定则，粒子带负电，故A错误;

B.当运动轨迹与相切时，B最小，此时轨道半径厂=4,根据

需

4洱m=m-

r

洱m

又

m

联立得

B=幺

min7

k7a

则3可能为79,故B正确;

kd

c.如图

B

ZS7M=30°

SC=d

则

ST=2d

AABS为等边三角形

OS=OA=d

ZSAO=30°

SA=y/3d

则

AT=ST-SA=Q-5d

故C正确；

D.周期

T=--=-2兀-m-=—2%

%qBkB

根据几何关系

zsoA=no°

粒子从发射到被接收，粒子的运动时间均为

―1T-27r

"/一福

2nd

磁感应强度B的大小可以改变，粒子从发射到被接收，粒子的运动时间不是都为故D错误。

故选BC。

8.（2024•陕西省渭南市•一模）分别带正、负电荷的A、B两个粒子，以相等速率从匀强磁场的直线边界

上的M、N点分别以60。和30。（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从N两点之间的尸点射出，已

知与PN长度之比为2,如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则

A、B两粒子的比荷之比为（）

【答案】A

【解析】依题意，两粒子在磁场中均做匀速圆周运动，部分轨迹如图

rAsin60°=—^―,rBsin30°=

又

MP

PN~2

根据两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得

V2V2

qfiyB=m^—,qBvB=—

rArB

联立，解得

.

相A厂2

4B1

机B

则A、B两粒子的比荷之比为2:1。

故选Ao

9.(2024•陕西省教育联盟•一模)如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于尤Oy平面向外的匀强磁

场I,磁感应强度大小为B,圆心。的坐标为(0,R),在第三象限内x=—3尺和y轴之间，有沿y轴负

方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场H,一个质量为机、电荷量为q的带正电

粒子从尸(一R,R)点以一定的初速度沿尤轴正向射入磁场I,粒子在磁场I中的速度方向偏转了60。角

后进入磁场H,经磁场H偏转，沿与y轴正向成60。角的方向进入电场，此后，粒子在电场中的轨迹刚好与

无轴相切，不计粒子重力，求：

(1)粒子从P点射入磁场时的初速度大小；

(2)磁场H的磁感应强度大小；

(3)粒子出电场的位置到无轴的距离。

［答案］(1)6qBR或)3(6+1*(3)昱R

m212

【解析】【小问1详解】

粒子的运动轨迹如图所示

qv0B=m—

ri

根据几何知识有

tan600=—

R

联立解得

y/3qBR

vo二

m

【小问2详解】

粒子在磁场n中，由洛伦兹力提供向心力得

qv0B'=m—

根据几何知识有

tan600

联立解得

3(73+1)B

JLJ—

2

【小问3详解】

设粒子从y轴进入电场的位置坐标为(0,-y),根据几何关系可得

y=r2cos30°+r2sin30°=/R

根据题意有

(%cos600)2=lay

解得

3y/3q-RB2

a=

8加之

粒子从进入电场到运动到不轴所用的时间为4,则有

y=cos60°

解得

4m

3♦q-B---

粒子在电场中运动时间为

3R2m

%sin60°qB

则粒子出电场的位置离x轴的距离为

d=-(t-t)2=­R

2a1]12

【考向二：洛伦兹力作用下的临界问题】

1.（2024•宁夏中卫市•一模）（多选）如图所示，磁感应强度为3的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚

线为磁场的部分边界，其中历段是半径为R的四分之一圆弧，ab.de的延长线通过圆弧的圆心，0b长

为R.一束质量为7"、电荷量大小为4的粒子流，在纸面内以不同的速率从。点垂直射入磁场，已知所

有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则

下列说法中正确的是)

dxxXXX

XXXXX

LxXXXX

cN'、、、xXXX

X

M\XxX

I

b,oIa

A.粒子带负电

B,从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率

C.从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间

2万加

D.在磁场中运动时间最短的粒子用时为

3qB

【答案】BD

【解析】ABC.由题意，画出从M、N两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，粒子带正电；粒子

在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得

d\xxxxx

qvB=m—=m^r

rT~

解得

mv

r=—

qB

.2兀m

1=-----

qB

由图可知，从M点射出粒子的轨迹半径小于从N点射出粒子轨迹半径，则有从M点射出粒子的速率一定小

于从N点射出粒子的速率；由图可知，从M点射出粒子的轨迹所对圆心角大于从N点射出粒子轨迹所对圆

心角，由

且T

2%

可知，从M点射出粒子在磁场中运动时间一定大于从N点射出粒子所用时间，AC错误，B正确；

D.由几何知识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在。点时，粒子在磁场中运动的圆弧所对

的圆心角最小，此时粒子的运动半径r=R,由几何关系可求得此时圆弧所对圆心角族120。，所以粒子在磁

场中运动的最短时间是

12027im271m

2%3qB

D正确。

故选BDo

2.（2024•青海省百所名校•二模）如图所示，在半径为R、圆心为。半圆形区域内存在垂直纸面向里、

磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为一夕、质量为机的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个

方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（）

A.粒子射入磁场时的最大速度为返

m

B.粒子射入磁场时的最大速度为迎

2m

nm

c.粒子在磁场中运动的最长时间为r

qB

7im

D.粒子在磁场中运动的最长时间为「

2qB

【答案】B

【解析】如图所示

当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有

R

4=万

由洛伦兹力提供向心力可得

v2

qvmB=m—

可得粒子射入磁场时的最大速度为

_qBq_qBR

m2m

粒子在磁场中运动的最长时间为

1_2兀m

max——qBn

故选B。

3.（2024•山西省晋城市•一模）大型强子对撞机是将质子加速后对撞的高能物理设备，如图甲所示，对

撞机的主要结构由两个质子束发射器、两个半圆环轨道质子加速器和质子对撞区域组成。半圆环轨道中的

电场线是与圆环共圆心的同心圆弧，且到圆心距离相同的位置电场强度大小相等，质子沿圆环轨道中心进

入半圆环轨道后，在磁束缚装置作用下沿圆环中心加速运动，最终在对撞区域碰撞。已知质子质量

,M=1.6xlO-27kg＞电荷量e=1.6xl（yi9C,半圆环加速轨道中心处到圆心距离R=50m,该处电场强度的大小

£=^xlO5V/m„发射器发射出的质子初速度忽略不计。计算时取乃2=10,不考虑质子质量的相对论效应。若

某次实验时将右侧加速器和发射器往上平移d=0.2m,平移后对撞区域如图乙所示，质子进入对撞区域时的

位置的水平距离。=0.4m,入射点分别为A点和B点，其他装置不变，为了使质子在对撞区域恰好相撞，可

以在对撞区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场。不计质子受到的重力，取sin37o=0.6,COS37—0.8,下列

说法正确的是（）

A.质子在所加磁场中运动的半径为0.5m

B.所加匀强磁场的磁感应强度大小为8T

537r

C.两质子在对撞区域的磁场中各运动，------而S时相撞

7.2xlO10

D.若所加匀强磁场为两个直径相同、垂直纸面向里的匀强磁场，则每个圆形磁场的最小面积为一m2

160

【答案】C

【解析】A.根据动能定理，电场力做的功等于动能的变化量，有

eE7iR=—mv2

2

解得

v=lxlO8m/s

根据题意作出粒子的轨迹如图所示，根据几何关系有

解得

r=0.25m

故A错误；

B.根据洛伦兹力提供向心力有

v2

evB-m——

r

解得

B=4T

故B错误；

C.每个质子在磁场中运动的时间

_5317ir_53)

一360v-7.2义101°

故C正确；

D.所加圆形磁场的直径为2R,满足

解得

R'=—m

20

圆形磁场的最小面积

S=TTR"=—m2

80

4.（2024•山西省太原五中•一模）（多选）如图，直角三角形。4c区域内有垂直于纸面向外、磁感应强

度大小未知的匀强磁场，NA=30。、OC边长为L在C点有放射源S,可以向磁场内各个方向发射速率为

W的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S发射的粒子有:可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计

重力、及粒子之间的相互影响。则（）

O

A.磁感应强度大小-宜

2KL

B.磁感应强度大小?上

KL

c.OA上粒子出射区域长度为L

D.上粒子出射区域长度为人

2

【答案】BC

2

【解析】S发射的粒子有（可以穿过04边界，根据左手定则可知，当入射角与OC夹角为30°的粒子刚好

从。点射出，根据几何关系可知，粒子运动半径为

R=L

根据洛伦兹力提供向心力，则有

2

qv°B="i?

K

解得

B=^

KL

则沿CA方向入射粒子运动最远，半径为L从上射出，故。4上粒子出射区域长度为心

故选BC。

5.（2024•陕西安康•三模）如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，。点为圆心，半径为R内圆与半径为

3R外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A为外圆上一点。一粒子源s可持续发射出大小均为丫、质量为

m,电荷量为g的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（）

A.若粒子源放置在。点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为

mv

砺

B.若粒子源放置在。点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为

3mv

丽

mv

C.若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为宣

4qR

「mv

D.若粒子源放置A点且沿AO连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为力;

5qR

【答案】C

【解析】AB.若粒子源放置在。点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，轨迹最大半径

如图所示

(3氏_5+R2

解得

4

r=-R

13

根据洛伦兹力提供向心力

v2

qvBx=m—

r!

磁感应强度最小值为

c3mv

B.=-----

14qR

故AB错误；

CD.若粒子源放置A点且沿A。连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，轨迹最大半径如图所示

G+R)2=]+(3R)2

解得