2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．“直线a与平面M内的多数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.依据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的多数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应当是必要不充分条件．2．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C.由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确．3．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：选B.如图：正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1，AB1都与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；依据线面垂直的定义，一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；对于C项，可能有n⊂α；对于D项，n与α还可能平行或相交．4．(2024·九江模拟)如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.5．(2024·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设eq\f(PE,ED)＝m，则“0<m<2”是“三棱锥C­ABE的体积不小于1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.过E点作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥平面ABCD.因为VC­ABE＝VE­ABC，所以三棱锥C­ABE的体积为eq\f(2,3)EH.若三棱锥C­ABE的体积不小于1，则EH≥eq\f(3,2)，又PA＝3，所以eq\f(PE,ED)＝m≤1，故选B.6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)7．(2024·云南省11校跨区调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中全部正确命题的序号是________．解析：对于①，当两个平面相互垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n；由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1；又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，全部正确命题的序号是②④.答案：②④8．α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．解析：由题意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面，①：因为AC⊥β，EF⊂β，所以AC⊥EF，又因为AB⊥α，EF⊂α，所以AB⊥EF，因为AB∩AC＝A，所以EF⊥平面ABDC，又因为BD⊂平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正确；②：由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABDC，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误，③：由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；④：依照②的分析过程可知④错误．答案：①③9.(2024·沈阳市教学质量检测(一))在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1­ABC的体积．解：(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC中点，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.(2)因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3)，所以VC1­ABC＝VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.10.(2024·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.解：(1)因这PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为PA⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满意，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不行能在FC上，所以④不成立．2．(2024·武汉市武昌区调研考试)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．(写出全部正确结论的序号)解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于E，连接CE.则eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE，而在平面BCD中，EC与BD不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB⊥CD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设AD⊥BC，因为DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故冲突，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②3.在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC为直径的球面交PD于M点．(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求CD与平面ACM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，由题意得∠BMD＝90°，所以PD⊥BM，又因为AB∩BM＝B，所以PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)依据题意，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CM＝2eq\r(6)，S△ADC＝eq\f(1,2)AD·CD＝4，又VM­ACD＝VD­ACM，即eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(6)h，所以h＝eq\f(4,\r(6))＝eq\f(2\r(6),3)(其中h为点D到平面ACM的距离)，设CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝eq\f(h,CD)＝eq\f(\f(2\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),3).4．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试推断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥B