第9章 中心对称图形-平行四边形知识梳理+热考题型- 2023-2024学年苏科版八年级数学下册

第9章•中心对称图形一平行四边形

本章知识综合运用

内容预览

/、

十个概念

••1、图形的旋转：将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.

♦旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向.

••2、中心对称：一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够和另一个图形重合，那么称这两个图形关

于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.

♦注意：1.中心对称是对两个图形而言，它表示两个图形之间的对称关系；

2.中心对称是一种特殊的旋转，旋转角必须是180°.

♦中心对称与轴对称的区别：

43时翕中心附和

Njk.->KsA«.**4

fl•索可检轴—afj*T*ft*111—点

图形沿时脓轴对折(加如1*0)Jii用窗图彩晓对林中心介

时称的注线酸时称轴率汽平分<J.11

••3、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合,

那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心.

♦注意：中心对称图形是对一个图形而言，是一个图形所具有的性质.

♦中心对称与中心对称图形的联系和区别：

中&k

区别⑵在小两呦之间的好舞X；京1

(3)C,t料:&A"陷•图F*1

••4、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

如图，记作：“口/5CD"(要注意字母顺序)，读作：“平行四边形/BCD”.

••5、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形也叫长方形.

如图，在口/BCD中，ZABC=90°,则口/8CO是矩形.

AI)

3-----------L

B(

••6、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

如图，在口/BCD中，AB=BC,则口N8C。是菱形.

麻

••7、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

如图，在口/BCD中，AB=BC,NABC=90°,则口48四是正方形.

口

••8、反证法：证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设,

然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立.这种证明的方法称为

反证法.

♦用反证法证明问题，通常分为三步：

(1)一是“反设”，即设命题结论的反面成立；

(2)二是“推出矛盾”，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与学过的定理、公理或已知条件相

矛盾；

(3)三是“得出原命题正确”.得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.

••9、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平

行线之间的距离.两条平行线之间的距离处处相等.如图，AB=CD.

••10、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

如图，在△48C中，点。、E、F分别是边48、BC、C4的中点，则线段EF、ED都是△NBC的中位

线.注意中线和中位线的区别.

七个性质

••1、旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点

分别与旋转中心连线所成的角相等.

••2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.

注意：成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质.

••3、平行四边形的性质：

定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.

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对称性工21边形是中心对“图形,“角城的

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林中心

••4、矩形的性质：

定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.

矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形所有的性质外,还具有自身特殊的性质，总结归纳如下:

矩形性旗符号谙言图示

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••5、菱形的性质：

定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.

菱形也是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形所有的性质外，还具有自身特殊的性质，总结归纳如下:

菱形性质符号语言图示

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••6、正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，归纳如下:

正方形ft质符号语言图示

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••7、三角形中位线的性质:

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

1

如图，在△48C中，是△N8C的中位线，,DE//BC,DE=^BC.

♦与三角形中位线有关的结论：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

(1)三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的《面

积为原三角形面积的：；

(2)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

f一、

两种作图

••1、旋转作图

♦旋转作图的一般步骤：

(1)根据题意确定旋转中心、旋转方向、旋转角；

(2)找出构成图形的关键点；

(3)作出各关键点旋转后的对应点：

①连：把图形中的每个关键点与旋转中心分别连接起来；

②转：把每条连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转相同的角度；

③截：在所得角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.

(4)按原图形中各关键点的顺序连接所作的各对应点，并标注相应的字母，得到所求作的图形；

(5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形.

♦确定旋转中心的一般步骤：

⑴找出两组对应点；

(2)分别作每组对应点所连线段的垂直平分线；

(3)两条垂直平分线的交点即为旋转中心.

••2、中心对称的作图

♦作已知图形关于某一点对称的图形的步骤：

(1)连接：把各个关键点与对称中心连接起来；

(2)延长：把关键点与对称中心的连线延长；

(3)截取：在延长线上截取线段，使其长度等于相应关键点与对称中心的连线长；

(4)画图：按照原图顺序依次连接各对应点，即得所求作的图形.

四个判定

••1、平行四边形的判定

♦从边的关系判定平行四边形：

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

♦从对角线的关系判定平行四边形：

判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定为平行四边形.

••2、矩形的判定

定理：三个角是直角的四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.

判定矩形的常见思路如下:

••3、菱形的判定

定理：四边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

判定菱形的常见思路如下：

••4、正方形的判定

定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.

正方形判定的思路与方法归纳如下:

题型归纳

图形的旋转

【例题】（2023•无锡）如图，中，4B4c=55。,将△/BC逆时针旋转a（0。＜口＜55。），得到AWE,

DE交AC于F.当a=40。时，点。恰好落在2C上，此时乙4FE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【解析】解：••・将A43C逆时针旋转a（0。＜口＜55。），得到△ADE,

••.ABAC=3AE,4BAD=4CAE=4Q°,AB=AD,NC=NE,

・"=70°,

.•"=/£1=55。，

.•.乙4尸£=180°-55°-40。=85°,

故选：B.

【变式1】（2021•苏州）如图，在方格纸中，将RtA4O3绕点2按顺时针方向旋转90。后得到

则下列四个图形中正确的是（）

【答案】B

【解析】解：/选项是原图形的对称图形，故/不正确；

B选项是RtA^OS绕点B按顺时针方向旋转90。后得到RtA4，（78,故B正确；

C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；

。选项是按逆时针方向旋转90。，故。不正确；

故选：B.

【变式2】（2022•上海）有一个正〃边形旋转90。后与自身重合，则"的值可能为（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】解：A.正六边形旋转90。后不能与自身重合，不合题意；

B.正九边形旋转90。后不能与自身重合，不合题意；

C.正十二边形旋转90。后能与自身重合，符合题意；

D.正十五边形旋转90。后不能与自身重合，不合题意；

故选：C.

【变式3］（2023•上海）如图，在A43C中，zC=35°,将A48c绕着点/旋转a（0。<01<180。），旋转后

的点8落在2C上，点8的对应点为。，联结4D,是乙84c的角平分线，则a=.

■■AB=AD,乙BAD=a,AD是4B4c的角平分线,

•••Z.CAD=乙BAD=a,

,-'Z-ADB=ZC+Z.C4Z>=35°+a,AB=AD,

:/B=Z.ADB=35°+a,

在中，zC+zC45+z5=180°,

.­.35°+2a+35°+a=180°,

解得：。=营）°；

故答案为：（^^）°.

【变式4】（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,A4BC的顶点均在小正方形的格点上.

（1）将A43C向下平移3个单位长度得到A4pBiG，画出A4/C1；

（2）将A4BC绕点C顺时针旋转90度得到A42&C2，画出A4282C2；

(3)在(2)的运动过程中请计算出△ZBC扫过的面积.

(3)S^ABC=2x3--x2x1--x2x1--x3x1=|>

•.•^C=V12+32=V1O,

.e-907r(V10)2_5

Q扇形C一~而~一尹，

・••在(2)的运动过程中&48C扫过的面积=S扇形C442+SOBC=|兀+*

口^题型二中心对称与中心对称图形

【例题1】(2021•宿迁)对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形

属于中心对称图形的是()

【答案】A

【解析】解：/、是中心对称图形，故选项符合题意：

B＞是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意;

C＞是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意;

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意.

故选：A.

【变式1-1］（2022•无锡）数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心

对称图形又是轴对称图形的图形：.

【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的图形较多，比例：正方形，矩形，菱形，圆；

故答案为：正方形，矩形，菱形，圆（答案不唯一，写出一个即可）.

【例题2】（2023•温州）如图，在2x4的方格纸/BCD中，每个小方格的边长为1.已知格点尸，请按要求

画格点三角形（顶点均在格点上）.

（1）在图1中画一个等腰三角形PER使底边长为四，点E在2C上，点厂在/。上，再画出该三角形绕

矩形N8CD的中心旋转180。后的图形；

（2）在图2中画一个RtAPQ?,使NP=45。，点0在2c上，点R在/。上，再画出该三角形向右平移1

个单位后的图形.

A；一…；…一；-…:PA.…….……:……:…….D

PUii…:—iPL-1…i…:…i

「…-i…-:-…：-….…：-…i.…i.…［

图1图2

【解析】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）;

（2）图形如图2所示（答案不唯一）.

【变式2-1］（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点/（a,1）与点8（-2,b）关于原点成中心对称，则

a+b的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】解：•.,点/（a,1）与点2（-2,6）关于原点成中心对称，

•••q=2,b--1,

:・a+b=L

故选：C.

【变式2・2】（2022•黑龙江）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，AABC与八DEF关于

点。成中心对称，AABC与△。斯的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题.

（1）在图中画出点。的位置.

（2）将A48C先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到AJiSG，请画出△小名。；

（3）在网格中画出格点"，使4〃平分4814G.

（2）如图所示，△//Ci为所求.

（3）如图所示，点M为所求.

E---平行四边形的性质与判定

题型三

【例题1】（2023•无锡）已知：如图，在口/BCD中，点£、尸分别在8C、AD1.,ZAFB=ZCED.

求证:

(1)BF//DE；

(2)AABF^ACDE.

AFD

BEC

【解析】证明：(1)・・,四边形48cZ)是平行四边形,

:・AD〃BC,

：.NADE=/CED,

丁ZAFB=ZCED,

：./AFB=/ADE,

：.BF//DE.

(2)•・,四边形45CD是平行四边形，

：.AB=CDfN4=NC,

在4/3尸和△CDE中，

(Z-A=乙C

\Z-AFB=Z.CED,

LAB=CD

：.£\ABF^/\CDE(AAS).

【变式1・1】（2023•益阳）如图，口/8C。的对角线4C,BD交于点O,下列结论一定成立的是（）

B.OALOBC.OA=OCD.ZOBA=ZOBC

【解析】解：・・•四边形是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD,

故选：C.

【变式1・2】（2022•大庆）如图，将平行四边形沿对角线5。折叠,使点4落在E处.若"=56。,

△2=42。，则々的度数为（）

C.110°D.111°

【解析】解：•.•四边形43CZ）是平行四边形,

•.ABWCD,

.4BD=<DB,

由折叠的性质得：乙EBD=UBD,

・•・Z-ABD=Z.CDB=乙EBD,

vzl=<DB+(EBD=56°,

:&BD=(CDB=28°,

•••々=180。-Z2-=50=180。-42°-28。=110。，

故选：C.

【变式1-3］（2022•南京）如图，口48C。的顶点/,。分别在直线Z2±,lx//l2,若Nl=33,NB=

65°,则N2=°.

【解析】解：过。作加〃直线/i，

AZADE=Z1=33°,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AZADC=ZB=65°,

ZCDE=AADC-ZADE=65°-33°=62°,

・・Z〃/2，

：.DE//l2,

：.Z2=ZCDE=32°,

故答案为：32.

【变式1・4】（2023•南京）如图，在口/BCD中，点N分别在边BC,上，旦AM〃CN,对角线5。

分别交4",CN于点、E,F.求证

【解析】证明：连接4C交5。于。,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AO=OC,BO=DO,

U：AM//CN,

：./EAC=ZFCAf

在△4EO与△CFO中，

(Z.EAC=乙FCO

\AO=CO,

i^AOE=Z.COF

：.AAOE^/\COF(ASA)f

：.OE=OF,

：.BO-OE=OD-OF,

【变式1・5】（2023•绵阳）如图，UU5CD的对角线4C,5。相交于点O,点、E,尸在4C上，且

（1）求证：BE//DF；

（2）过点。作（W_L5。，垂足为。，交DF于点M,若的周长为12,求四边形BED9的周长.

【解析】（1）证明：・・•四边形/8CO是平行四边形,

：.AB//DC,AB=DC,

：.ZBAE=NDCF,

在△45E与产中，

(AB=CD

\Z-BAE=Z.DCFi

VAE=CF

：.LABEm△CDF(SAS)f

・•・/AEB=/CFD,

：.ZBEF=NDFE,

J.BE//DF；

(2)解：由(1)知，AABE丝ACDF,BE//DF,

:・BE=DF,

・・・四边形BEDF是平行四边形，

:.DO=BO,

'：OM±BD,

：.DM=BM,

•••△5FW的周长为12,

:・BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12,

・•・四边形BEDF的周长为24.

【例题2】（2023•杭州）如图，平行四边形45CZ）的对角线4C,5。相交于点。，点E,b在对角线5。上,

旦BE=EF=FD,连接力E,EC,CF,FA.

（1）求证：四边形4£C厂是平行四边形.

（2）若AZBE的面积等于2,求△CR9的面积.

【解析】（1）证明：・・,四边形/BCD是平行四边形,

：.AO=CO,BO=DO,

■;BE=DF,

：.EO=FO,

・・・四边形4EW是平行四边形；

（2）角能U：BE=EF,

:♦S沙BE=SMEF=2，

・・・四边形AECF是平行四边形，

:・S沙EF=SACEF=2，EO=FO,

•••△。尸。的面积=1.

【变式2-1］（2023•邵阳）如图，在四边形ZBCD中，ABWCD,若添加一个条件，使四边形/8CZ）为平行四

边形，则下列正确的是（）

A.AD=BCB.UBD-BDCC.AB=ADD.乙4=乙。

【答案】D

【解析】解：/、由/5IICO,AD=BC,不能判定四边形/BCD为平行四边形，故选项/不符合题意;

B、v^HCD,

・•・乙4BD-BDC,

・•・不能判定四边形45CZ）为平行四边形，故选项B不符合题意；

C、由45IICDAB=AD,不能判定四边形45CD为平行四边形，故选项。不符合题意；

、

D-AB\\CDf

.•.z^5C+zC=180°,

山=4。，

.••乙45。+乙4=180。，

­.ADWBC,

又・・・/5||C。，

・•・四边形是平行四边形，故选项。符合题意；

故选：D.

【变式2-2］（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）

【答案】D

【解析】解：/、8O°+11OV18O°,故/选项不符合条件；

2、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故2选项不符合题意；

C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；

。、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故。选项符合题意；

故选：D.

【变式2-3］（2023•镇江）如图，8是NC的中点，点D、£在/C同侧，AE=BD,BE=CD.

（1）求证：A4BE当ABCD；

（2）连接。£,求证：四边形8C0E为平行四边形.

【解析】证明：(1)是/C的中点,

；.AB=BC,

在AABE与ABCD中，

(AE=BD

\BE=CD,

l4B=BC

：.^ABE^/\BCD(SSS)；

(2):△/BE丝△BCD,

NABE=NBCD,

.".BE//CD,

,:BE=CD,

四边形BCDE为平行四边形.

【变式2-4］（2022•无锡）如图，在口A8CD中，点。为对角线2。的中点，即过点。且分别交48、DC

于点£、F,连接DE、BF.

求证：（1）ADOF^^BOE；

(2)DE=BF.

【解析】证明：(1):点。为对角线的中点,

：.OD=OB,

•.•四边形是平行四边形，

J.DF//EB,

：.ZDFE=ZBEF,

在△”?尸和△BOE中，

(Z.DFO=Z.BEO

\z-DOF=Z.BOE,

WO=BO

：.^DOF^ABOE(AAS).

(2)•；ADOF沿ABOE,

:・DF=EB,

■:DF〃EB,

・・・四边形DFBE是平行四边形，

：.DE=BF.

口二题型四用反证法证明

【例题】用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角.

【解析】证明：用反证法.

假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.

根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180。.

则该三角形的三个内角的和一定大于180。，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立.

所以等腰三角形的底角是锐角.

【变式1]（2023•衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.假

设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.”，则三角形的三个内角的和大于180。.这

与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.上述

推理使用的证明方法是（）

A.反证法B.比较法C.综合法D.分析法

【答案】/

【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.

假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.”，则三角形的三个内角的和大于180。.

这与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。，这

种证明方法是反证法，

故选：A.

【变式2】用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设.

【解析】解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，

可以有两个内角为钝角

故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角.

--------矩形的性质与判定

7题型五

【例题1】（2023•宿迁）如图，在矩形N8CD中，BELAC,DF±AC,垂足分别为£、F.求证：AF=

CE.

【解析】证明：・・•四边形/BCD是矩形,

:,AB=CD,AB//CD,

：.ZBAE=/DCF.

又BE2AC,DFLAC,

:・NAEB=NCFD=90°.

在△45E与△CZ）产中，

（Z.AEB=4CFD

\z-BAE=Z.DCFi

VAB=CD

:•△ABE^ACDF（AAS）f

:・AE=CF,

:.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE.

【变式1-1］（2023•杭州）如图，矩形45CZ）的对角线4C,她相交于点O.若乙405=60°,则桨=

BC

A-|B.空C・孚D.苧

【答案】D

【解析】解：：四边形是矩形，

:・AO=BO=CO=DO,

VZAOB=60°,

:•△ABO是等边三角形，

：・NB4O=60°,

AZACB=30°,

：.BC=y[3AB,

.AB

••而一"T'

故选：D.

【变式1-2]（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点N的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,

以ON,OC为边作矩形CM8C.动点£,尸分别从点O,8同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿。4,

8c向终点4C移动.当移动时间为4秒时，NUE尸的值为（）

A.V10B.9V10C.15D.30

【答案】D

【解析】解：连接/C、EF.

•••四边形。42c为矩形，

：.B(9,3).

又；OE=BF=4,

：.E(4,0),F(5,3).

-"-AC=VOC2+OA2=V32+92=3V10,

EF=V(5-4)2+32=V10>

；.AC*EF=3国XVio=30.

故选：D.

d->EAX

【变式1-3］（2023♦内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽

创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面

积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形/BCD中，AB=5,AD=U,对角线/C与8。交于点

。，点£为5c边上的一个动点，EFVAC,EGLBD,垂足分别为点RG,则£F+EG=.

-------------------------*

【解析】解：连接OE,

•..四边形48co是矩形,

AZABC=90°,BC=AD=\2,AO=CO=BO=DO,

9：AB=5,BC=12,

:・AC=]AB?+BC2=13,

13

：.OB=OC=—,

iiili

•••S“BOC=SABO-COE=5xO8・EG+-OC-EF=-S^c=5X5x5x12=15,

113113I13

.•.|xyEG+|xyEF=fXy(EG+EF)=15,

：.EG+EF=^

故答案为：骂.

【变式1-4］（2023•哈尔滨）矩形45CZ）的对角线力C,5。相交于点。，点尸在矩形48CD边上，连接

OF.若N/Z）8=38°,/BOF=3G°,贝！J//Ob=.

【解析】当产在上时，如图，

：・OD=OA,

ZOAD=ZODA=3S°,

；・NAOB=NADO+/DAO=76°,

•：NBOF=30°,

AZAOF=ZAOB-ZBOF=46°；

・・•四边形/BCD是矩形,

：.OD=OA,

ZOAD=ZODA=3S°,

AZAOB=ZADO+DAO=16°,

•；NBOF=30°,

AZAOF=ZAOB+ZBOF=106°,

?.ZAOF=46°或106°.

故答案为：46°或106°.

【例题2】(2023•大庆)如图，在平行四边形45cZ)中，£为线段CZ)的中点，连接4C,AE,延长

3。交于点尸，连接DEZACF=90°.

(1)求证：四边形4CFZ)是矩形；

(2)若C£>=13,CF=5,求四边形/5CE的面积.

【解析】(1)证明：・・•四边形是平行四边形,

：.AD//BC,

:・/ADE=/FCE,/DAE=/CFE,

YE为线段CZ)的中点，

：.DE=CE,

：.AADE^AFCE(AAS)f

：.AE=FE,

・・・四边形ACFD是平行四边形，

VZACF=90°,

・•・四边形4CFD是矩形；

(2)解：,・•四边形ZCED是矩形，

：.ZCFD^90°,AC=DF,

V0)=13,CF=5,

DF=>JCD2-CF2=V132-52=12,

,/AADE乌AFCE,

「△CM的面积的面积=：x^x5X12=15,

平行四边形/BCD的面积=8CJC=5X12=60,

四边形N8CE的面积=平行四边形N5CD的面积-/的面积=60-15=45.

【变式2-1］如图，在口4BCD中，对角线4c与BD交于点0,添加下列条件不能判定口/lBCD为矩形的只有

()

A.AC—BDB.AB=6,BC=8,AC=10

C.Z1=Z2D.AC1BD

【答案】D

【解析】解：A、正确.对角线相等的平行四边形是矩形.

B、正确.AB=6,BC—8,AC—10,

••・AB2+^C2=62+82=102,

Z^C=90°,

二平行四边形4BCD为矩形.

C、正确,<•,zl=z2,

AO=BO,

•••AC—BD,

・•・平行四边形4BCD是矩形，

D、错误.对角线垂直的平行四边形是菱形.

故选：D

【变式2-2】（2023•岳阳）如图，点M在口/BCD的边上，BM=CM,请从以下三个选项中①/1=/

2；（2）AM=DM；③/3=/4,选择一个合适的选项作为已知条件，使口N8CD为矩形.

（1）你添加的条件是（填序号）；

（2）添加条件后，请证明口/BC。为矩形.

【解析】（1）解：①当N1=N2时，口/BCD为矩形;

②当时，口/BCZ）为矩形，

故答案为：①（或②）；

（2）选择①N1=N2,

证明：二•四边形/BCD是平行四边形，

：.AB//DC,AB=DC,

；.//+/£>=180°,

在和中,

AB=DC

zl=z2,

BM=CM

：.AABM^DCM(SAS),

NA=ND,

：.ZA=ZD=90°,

•,•□45C7)为矩形.

【变式2-3】（2023•青岛）如图，在口48c。中，N24D的平分线交2C于点E,NDC2的平分线交4D

于点尸，点G,〃分别是/£和CF的中点.

(1)求证：LABE义ACDF；

(2)连接斯.若EF=4F,请判断四边形GEE0的形状，并证明你的结论.

【解析】(1)证明：：四边形是平行四边形，

J.AD//BC,AB=CD,NBAD=NDCB,NB=ND,NDAE=NAEB,NDFC=NBCF,

ZBAD和ZDCB的平分线AE,CF分别交BC、AD于点E、F,

：.ZBAE=ZDAE=，BAD,NBCF=NDCF=)DCB,

：.NBAE=ZDCF,

在和△OCF中，

(Z.B=乙D

\AB=CD,

VZ.BAE=乙DCF

:•△BAEQADCF(ASA).

(2)证明：•；ABAEmADCF,

：.AE=CF,ZAEB=ZDFC,

：.ZAEB=/BCF,

：.AE//CF,

:点G、H分别为AE、C尸的中点，

J.GE//FH,GE=FH,

.•.四边形尸GEH是平行四边形

•：EF=AF,G为/£的中点，

GFLAE,

.•.四边形/GE8是矩形.

菱形的性质与判定

3题型六

【例题1】(2023•浙江)如图，在菱形48co中，AELBC于点、E,4F_LCD于点尸，连结£足

(1)求证：AE—AF；

(2)若/2=60°,求//£尸的度数.

【解析】（1）证明：：四边形/BCD是菱形,

:.AB=AD,NB=ND.

又•.ZE_L8C于点E,AF1.CD于点F,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

在△4BE与4ADF中，

（乙B=乙D

•：\AAEB=AAFD.

VAB=AD

：./XABE^/XADF（44S）.

：.AE=AF；

（2）解：:四边形/5CD是菱形，

AZB+ZBAD^ISO°.

而乙8=60°,

：.ZBAD^120°.

又•.•/Z£B=90°,Z5=60°,

:.NBAE=30°.

由（1）知△4BE学△/£）尸，

ZBAE=ZDAF=30°.

：.ZEAF^120a-30°-30°=60°.

...△Z斯是等边三角形.

ZAEF^60°.

【变式1-1】（2023•丽水）如图，在菱形NBCD中，AB=],ZDAB=60°,则/C的长为（）

A.|B.1C.当D.V3

【答案】D

【解析】解：如图，连接AD交NC于点。，

:四边形N3CD是菱形，ZDAB=60°,

：.OA=OC,ZBAO=lZDAB=30°,ACLBD,

；.NAOB=90°,

：.OB=^AB=l，

：.OA=-JAB2-OB2=Jl2-(|)2=亭

:.AC=2OA=a,

故选：D.

【变式1-2】（2023•湘潭）如图，菱形Z8GD中，连接/C,BD,若"=20。，贝此2的度数为（)

A.20°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【解析】解：・・・四边形是菱形,

'.ABWCD.ACLBD,

.-.zZ>G4=zl=20°,

•••42=90°-£DCA=W°,

故选：c.

【变式1-3】(2023•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，菱形48co的顶点/,3在X轴上，AB=2,A

(1,0),zJDAB=60°,将菱形/BCD绕点/旋转90。后，得到菱形4BCQ1，则点Ci的坐标是

••,菱形4BC。的顶点/,3在x轴上，AB=2,A(1,0),乙0/5=60。,

.•.AD=AB=BC=CD=2,48边的高是遍，

二点Ci的纵坐标为±3,横坐标为1iV3,

.••点C的坐标为(1-V3,3)或(1+旧,-3),

故答案为：(1—V3,3)或(1+V3,-3).

【变式1-4](2023•呼和浩特)如图，四边形/BCD是平行四边形，连接NC,8D交于点O,平分/

ADB交4c于点、E,BF平分/CBD交AC于点、F,连接BE,DF.

(1)求证：N1=N2；

(2)若四边形/BCD是菱形且N2=2,/48C=120°,求四边形5助尸的面积.

AD

【解析】（1）证明：・・•四边形/BCD是平行四边形,

：.AD//BC,OD=OB,

：.ZADO=ZCBO,

〈DE平分N4DB,BF平分NCBD,

：.ZODE=^ZADOfNOBF=/CBO,

：・/ODE=/OBF,

J.DE//BF,

VOD=OB,ZDOE=ZBOF,

:.AODE•AOBF（ASA）,

；・DE=BF,

・•・四边形DEBF是平行四边形，

J.BE//DF,

・・・N1=N2.

（2）解：由（1）知LODE会AOBF（ASA\

：.OE=OF,

•・•四边形/BQ）是菱形，

:・BD2EF,OD=OB,AD//BC,

・••四边形。£5厂的菱形，

■:AD//BC,ZABC=120°,

AZBAD+ZABC=18O°,

VZABC=nO°,

AZBAD=60°,

•：AD=AB,

AABD是等边三角形，

：.BD=AB=2,ZADO=60°,

：.OD=^BD=1,

VZODE=^ZADO=30°,

：.OE=^-OD=^-,

尸=2OE=竽，

...四边形BEDF的面积=•斯=|x2X竽=竽.

【例题2】(2023•云南)如图，平行四边形49a)中，AE、C尸分别是N3/D、4BCD的平分线，且£、F

分另U在边8C、AD1.,AE=AF.

(1)求证：四边形/EC尸是菱形；

(2)若//3C=60°,AiBE的面积等于4打，求平行线力2与。C间的距离.

【解析】(1)证明：•••四边形N3CD是平行四边形，

：.ZBAD=ZBCD,AD//BC,

；4E、CF分别是N84D、/BCD的平分线，

11

ABAE=Z,DAE=-/.BAD,乙BCF=乙DCF=的BCD,

・•・ZDAE=ZBCF,

U：AD//BC,

：./DAE=/AEB,

：.ZBCF=/AEB,

：.AE//FC,

・・・四边形AECF是平行四边形，

•：AE=AF,

・・・四边形/ECF是菱形；

(2)解：连接4C,

・・・四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,

：./DAE=NAEB,

*：AE平分/BAD,

：.ZBAE=NDAE,

：.NBAE=NAEB,

:・AB=EB,

VZABC=60°,

・・・LABE是等边三角形，

:.NBAE=NAEB=NABE=6G0,

的面积等于4百，

：.^-AB2=4百，

.•.45=4,

即AB=AE=EB=4,

由（1）知四边形/KCF是菱形，

：.AE=CE=4,

：.ZEAC=ZECA,

ZAEB是△NEC的一个外角,

ZAEB=ZEAC+ZECA=60°,

：.NEAC=/ECA=30°,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

即ACLAB,

由勾股定理得AC=VBC2-XB2=V(4+4)2-42=4后,

即平行线AB与DC间的距离是4省.

【变式2-1](2023•齐齐哈尔)如图，在四边形/BCD中，AD=BC,NC18。于点。.请添加一个条件:

【解析】解：当添加时，

•；AD=BC,

，四边形ABCD是平行四边形，

''ACLBD,

.•・四边形/小刀是菱形：

当添加："N8=CZ)”时，

•：AD=BC,

••・四边形/BCD是平行四边形，

■■■ACA.BD,

，四边形/BCD是菱形；

当添加“。3=。£!”时，

■：AD=BC,ACVBD,

・••RtAADO三Rt2\C2O(HL),

■■.AO=CO,DO=BO,

，四边形ABC。是菱形；

当添加：时，

■■.ADWBC,

•；AD=BC,

，四边形ABCD是平行四边形，

♦•,AC1BD,

，四边形A5CD是菱形.

故答案为：ADWBC(或/8=C。或03=0。或ADB=£CBD等).

【变式2-2】(2023•随州)如图，矩形/BCD的对角线/C,AD相交于点。，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若8c=3,DC=2,求四边形OCED的面积.

AD

E

/0、/

BC

【解析】(l)证明：・・・OE〃4C,CE//BD,

・・・四边形OCED是平行四边形，

,・♦矩形45CZ)的对角线4C,相交于点O,

：.AC=BD,OC=^AC,OD=^BD,

：.OC=OD,

・•・四边形OCE。是菱形；

(2)解：•・,四边形ZBCD是矩形，BC=3,DC=2,

J.OA=OB—OC=OD,S矩形ZBC£)=3X2=6,

:・s丛OCD=矩形ZBCD+6=1.5,

:四边形OCE。是菱形，

菱形OCED的面积=2SAOS=2X1.5=3.

【变式2-3】(2023•湘西州)如图，四边形NBCD是平行四边形，BM//DN