二次函数（考点清单9个考点）解析版

专题07二次函数（考点清单）

善考点归纳

【考点11二次函数的相关概念［考点2］二次函数的性质

【考点3］二次函数的图像［考点4］二次函数与系数的关系

【考点5］待定系数法求二次函数解析式

【考点6］二次函数与一元二次方程关系

【考点7］二次函数与不等式的关系［考点8］二次函数的实际应用

【考点9］二次函数综合

越真题精练

【考点1］二次函数的相关概念

L下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）

A.y=x+2B.y=C.y=x2-4尤D.y=—^

x

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解.

【详解】解：A、y=x+2是一次函数，故此选项不符合题意；

B、y=;?+l不是二次函数，故此选项不符合题意；

C、y=--4x是二次函数，故此选项符合题意；

D、7=4＞等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意.

x

故选：C.

2.若了=（加+2）--2+加x+1是关于x的二次函数，则加的值为（）

A.-2B.0C.2D.±2

【答案】C

【详解】根据二次函数的定义：形如＞="2+笈+，（纵b、c是常数，且。工0）的函数叫

做二次函数.据此可列出关于参数加的方程与不等式，求解即可.令加2_2=2,解得皿=2

或%=-2,又：加+2H0,.•.加片-2,故当a=2时，这个函数是关于x的二次函数，故选C.

【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等

于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D.

3.二次函数＞-3x+5的二次项是,一次项系数是,常数项是.

【答案】V一35

【分析】根据二次函数的定义判断即可。

【详解】解：二次函数＞=--3尤+5的二次项是公,一次项系数是-3,常数项是5,

故答案为：①Y，（2）-3,（3）5,

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+6x+c（*b、

C是常数，arO）的函数，叫做二次函数.其中X、》是变量，。、b、C是常量，。是二次

项系数，6是一次项系数，。是常数项.

【考点2］二次函数的性质

4.已知二次函数y=-3（x+2）2-3的图象性质，下列说法正确的是（）

A.对称轴为直线x=2B.顶点为（2,-3）C.最大值是-3D.开口向上

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

根据二次函数的图象与性质进行判断作答即可.

【详解】解：由题意知，对称轴为直线x=-2,顶点为（-2,-3）,最大值是-3,开口向下，

；.C正确，故符合要求；A、B、D错误，故不符合要求；

故选：C.

5.将抛物线了=-3。+1『+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式

为（）

A.y=-3（x+4『+lB.y=-3（x-2『+l

C.y=-3（x+4）"+5D.y=-3（x-2）2+5

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知"上加下减，左加右减”的平移规律是解

题的关键.

【详解】解：将抛物线了=-3（》+1『+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛

物线解析式为y=-3（x+l-3『+3-2,即y=-3（x-2）2+l,

故选B.

6.二次函数y=-（x-3p+5的顶点坐标是（）

A.（-3,5）B.（3,5）C.（-3,-5）D.（3,-5）

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数y=a（x-/02+左（其中0、b、c

是常数，。/0）,其顶点坐标是（九k）,据此可得答案.

【详解】解：二次函数/-口-3『+5的顶点坐标是（3,5）,

故选B.

7.已知点/（-4,必），8（-2,%）,C（3,%）在抛物线y=-xZ-2x+c上,则%,y2,%的大

小关系为（）

A.y2>yi>y3B.%>%>%

c.弘>%>%D.%>必>外

【答案】A

【分析】分别计算出自变量为-4,-2和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可.二次

函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键.

【详解】解:把/（工必）,8（-2,%）,C（3,%）分另峨入y7-2x+c得

%=-16+8+c=—8+。,%=—4+4+。=c,%=-9-6+c=-15+c,

故%>%>%

故选：A.

8.二次函数丁="2+/+<:（。片0）图象是抛物线，.白变量x与函数y的部分对应值如下表:

X-3-2-1012

y40-2-204

下列说法不正确的是（）

A.抛物线与y轴的交点坐标为（0,-2）B.抛物线的对称轴是x=

C.函数y的最小值为-2D.当x>3时，y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，运用待

定系数法求出二次函数解析式，配方后结合二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是

否正确，本题得以解决.

【详解】解：把（一1,一2）,（0,-2）,（1,0）代入〉="2+法+,得，

u—b+c=—2

<c=-2,

a+b+c+=O

ci—\

解得，<6=1,

c=-2

（1Y9

••V—%2+x_2=，

Ix-2；....4.

抛物线顶点坐标为对称轴为直线x=故选项B说法正确，不符合题意；

I24J2

当x=0时，j=-2,抛物线与y轴的交点坐标为（0,-2）,故选项A说法正确，不符合题意；

9

•••«=1>0,抛物线开口向上，函数y有最小值为-^，故选项C说法不正确，符合题意；

:对称轴为直线x=-1,图象开口向上，

...当x>3时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意；

故选：C.

9.对于二次函数>=/一4》-1的图象，下列叙述正确的是（）

A.开口向下B.当x22时，y随x增大而减小

C.顶点坐标为（-2,-5）D.对称轴为直线x=2

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解

答.根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确.

【详解】解：J=X2-4X-1=（X-2）2-5,

抛物线开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为（2,-5）,当x22时，y随x增大而最大，

故选项A、B、C错误，选项D正确.

故选：D.

io.某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为

>=--+10%+125,则销售这款商品每天的最大利润为（）

A.5元B.125元C.150元D.200元

【答案】c

【分析】本题考查二次函数的应用，由函数解析式，利用配方法转化，根据函数的性质求最

值.

【详解】解：J；=-X2+10X+125=-（X-5）2+150,

，当尤=5时，y有最大值，最大值丁=150,

销售这款商品每天的最大利润为150元，

故选：C.

【考点3］二次函数的图像

11.关于X的二次函数>="2-2彳+<:和一次函数y=ax+c（a,c都是常数，且awO）在

同一平面直角坐标系中的图象可熊是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数与系数的关系，分别判断出

每个选项中二次函数和一次函数中。、C的符号，若a、C的符号一致，且与y轴交点坐标相

同即为所求.

【详解】解：A、抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，则。<0,c>0；一次函数经过第一、

二、三象限，则。>0,c>0,二者。、c的符号不一致，不符合题意；

B、抛物线开口向上，与了轴交于负半轴，则。>0,c<0；一次函数经过第一、二、三象限,

则a>0,c>0,二者“、c的符号不一致，不符合题意；

C、抛物线开口向下，与了轴交于负半轴，则。<0,c<0；一次函数经过第二、三，四象限,

则。<0,c<0,但是二者与y轴的交点不一致，不符合题意；

D、抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，则。>0,c<0；一次函数经过第一、三、四象限,

则。>0,c<0,二者与y轴的交点一致，符合题意；

故选D.

12.函数y=bx+。和>="2+乐在同一平面直角坐标系内的图像大致是（）

【分析】本题是一次函数与二次函数图象的综合，熟悉这两种函数的图象与性质是关键；根

据二次函数开口方向、对称轴的位置可确定。、6的符号；根据一次函数的升降及直线与y

轴交点可确定。、6的符号，两者符号相同时正确，否则错误，由此即可确定正确答案.

【详解】解：A、对于抛物线而言，a>0；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴上，则

a<0,显然矛盾，不符合题意；

B、对于抛物线而言，a>0,--<0,则6>0；对于直线，图象是下降的，则6<0,显

2a

然矛盾，不符合题意；

C、对于抛物线而言，a<0-,对于直线，它与y轴的交点在V轴正半轴上，则。>0,显然矛

盾，不符合题意；

D、对于抛物线而言，a<0,-乡>0,则6>0；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴

2a

上，则”。，图象是上升的，贝同>0,显然符合题意；

故选：D.

13.函数y="+1与歹=狈2+办+1（。的图象可能是（）

【答案】C

【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，根据二次函数和一次函数的图象和

性质，进行判断即可.

【详解】解：当。＞0时，一次函数的图象过一，二，三象限，二次函数的图象开口向上，

对称轴在y轴的左侧；

当.＜。时，一次函数的图象过一，二，四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的

左侧；

综上，满足题意的只有C选项；

故选c.

14.函数了="+1与＞+6x+l(aw0)的图象可能是()

【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别.首先分两种情况进行分析，当

。>0时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当心0时也可以，再结合两函数

图象交于（0，1）点即可得出答案.

【详解】解：当a>0时，直线过一、三象限，抛物线开口向上；

当.<0时，直线过二、四象限，抛物线开口向下，

可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意，

故选：A.

【考点4】二次函数与系数的关系

15.二次函数>="2+为+。的图像如图所示，对称轴是直线x=l.下列结论：①必c<0；

②a-，+c>0；③4+b+c<0；（4）am2+bm>a+b（力，为实数）.其中结论正确的个数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像与其系数间的关系等知识,

熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.根据该二次函数图像的开口方向、对称轴以

及与V轴交点位置分析。、氏。的符号，即可判断结论①；由函数图像可知，当尸-1时，

y>0,即可判断结论②；由函数图像可知，当x=l时，y<Q,即可判断结论③结合当x=l

时，该二次函数取最小值，易知°用+Zw?+c2a+6+c（加为实数），即可判断结论④.

【详解】解：根据题意，该函数图像开口向上，

••a>0,

:对称轴是直线x=l,

••一］,

2a

b=-2a<0,

:该函数图像与了轴交于负半轴,

.,.当x=0时，可有y=c<0,

abc>0,故结论①不正确；

由函数图像可知，当尸-1时，y>0,

a-b+c>0,故结论②正确；

由图像可知，当x=i时，y<o,

a+b+c<0,故结论③正确；

:当x=l时，该二次函数取最小值，

am2+bm+c>a+b+c（冽为实数）,

即由2+6加2a+6（m为实数）.

综上所述，结论正确的有②③④，合计3个.

故选：C.

16.抛物线>="2+汝+改。片0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-l,下列说法正确

的是（）

【答案】C

【分析】本题考查二次函数图象与系数，二次函数的性质等知识；根据图象的开口、对称轴

及图象与坐标轴的交点即可确定答案.

【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则。<0,

由抛物线对称轴在y轴左边，得-2<0,贝3<0,

2a

ab>0,故A错误；

・・,抛物线对称轴为直线--1,

•••即-3=-1,当X=-1时，函数取得最大值，且最大值为正，

2a

2a-b=0,a-b+c>0,

故C正确，B错误；

由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，则。/+法+。=0（。x0）有两个不相等实数根,

所以炉-4ac>0，

即b2>4ac,

故D错误;

故选：C.

26.如图为二次函数^=亦2+麻+&“片0）的图象，对称轴是x=l,则下列说法：①b>0；

②2a+b=0；（3）4a-2b+c>0；@3a+c>0；⑤〃7（小。+。）<6（常数加w1）.其中正确

的个数为（）

【答案】B

【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断。与0的关系,

由抛物线与V轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴x=l计算20+6与。的关系；再

由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由抛物线的开口向下知a<0,对称轴为直线x=-2>0,则6>0,故本

2a

选项正确；

②由对称轴为直线x=l,

—=1,••.6=-2%则2。+8=0,故本选项正确；

2a

③由图象可知，当、=-2时，歹<0,则4〃-26+。<0,故本选项错误；

④从图象知，当工=-1时，>=0,则Q-6+C=0,

•/b=-2a,

a+2a+c=0,即3“+c=0,故本选项错误；

⑤；对称轴为直线X=1,

・・・当X=1时，抛物线有最大值，

a+b+c>m2a+mb+c,

.•.加（加。+6）<。+6（常数观wl）,故本选项正确;

故选：B.

17.如图，抛物线y="2+6x+c(a*0)的对称轴是直线x=-2,且抛物线与x轴交于/,B

两点，若。/=5Q8,则下列结论中：(1)abc>0；②(o+cj-3fO；③5a+c=0；

@a-b+c>Q；⑤若加为任意实数，则a/+历”+26..正确的个数是()

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可

得a,b,。的符号及。与6的关系，从而判断①，由。4=502及对称轴可得点5坐标，从

而判断②③④，由x=-2时y取最小值可判断⑤.

【详解】解：•••抛物线开口向上，

〃>0,

•••抛物线对称轴为直线》=-?=-2,

2a

Z?=4Q>0,

•・•抛物线与y轴交点在x轴下方，

/.c<0,

/.abc<0,①错误.

设抛物线对称轴与X轴交点为£(-2,0),则OE=2,

•：OA=5OB,

：.OE=2OB,即点5坐标为(1,0),

x=l时，y=a+b+c=0,

(tz+c)2-b2=(a+c+b)(q-6+c)=0,②错误.

\,a+b+c=5a+c=Q,

c=-5a,

「.5a+c=0,③正确.

当％=-1时，y=a-b+c<0,④错误.

•・・％=-2时y取最小值，

/.am2+bm+c>4a-2b+c,BPam2+bm+2b>4a>⑤)错误.

故选：A.

18.如图，已知二次函数》="2+a+。(。。0)的图象如图所示，其对称轴为直线％=1,以

下4个结论：(T)abc<0；</；③。+6<加(。加+6)，其中加。1；④4q+2b+c>0.其

中正确结论的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判

断〃的符号，由抛物线与y轴的交点判断。的符号，然后根据对称轴及抛物线与％轴交点情

况进行推理，分别观察x=2,x=-l,%=1时的函数值，进而对所得结论进行判断即可.

【详解】解：由图象可知：”0,。＞0,

Z?>0,

abc<0,故①正确；

当x=-l时，y<0,即。一6+c<0,

当x=l时，y>0,即a+6+c>0,

(«-Z?+c)(a+Z?+c)<0

则(a+c『-/<o

即(a+c)-<b1

所以②正确；

③当x=l口寸，y的值最大.此时昨a+6+c,

2

而当X=7"时，y=am+]jm+ct其中7"片1,

所以。+6+c>am2+bm+c

故a+6>am2+bm，

即a+b>机(。制+6),故③错误.

④由对称知，当x=2时的函数值与x=0时的函数值相等，即y=4a+2b+c>0,故④正确;

故选：B.

【考点5]待定系数法求二次函数解析式

19.将二次函数y=(x-2『+l的图象绕点(2,1)旋转180。得到的图象满足的解析式为()

A.7=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1

C.y=-(x-2)+1D.y=-(x+2)~—1

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简

便.求出原抛物线的顶点坐标以及绕点(2,1)旋转180。后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转

后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可.

【详解】解：：抛物线y=(x-2『+l的顶点坐标为(2,1),开口向上

绕点(2,1)旋转180。后的抛物线的顶点坐标为(2,1),开户口向下，

，所得到的图象的解析式为y=-(尤-2)2+1,

故选：C.

20.抛物线y=ax2+6x+c与x轴的两个交点为（TO）,（2,0）,其形状和开口方向与抛物线

y=-2尤2相同，则抛物线y=ax?+6无+c的表达式为（）

A.y=~2x2-2x+3B.y=—lx1+2x+4

C.y——2厂—2x+4D.y=—2x~+4x+6

【答案】B

【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确。决定抛物

线的开口方向和形状是解题关键.根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口

相同得到a相同，从而确定解析式即可.

【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：y=a（x+l）（x-2）,

•••该抛物线的形状和开口与＞=-2/相同，

a=—2,

，抛物线的解析式为：y=-2（x+l）（x-2）,

整理得：＞=_2/+2x+4,

故选：B.

21.若抛物线的顶点坐标是且经过点（1，-8）,则该抛物线的解析式为（）

A.y=-（x+2）~+1B.y=-+2）~-1C.y=-9（x-2）+1D.y=-7（x-2）—1

【答案】A

【分析】设抛物线解析式为y="x+2『+l,将点（1,-8）代入，即可求解.

【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x+2y+l,将点代入，得

-8=a（l+2）2+l

解得：a=—\

，解析式为y=-（X+2）+1,

故选：A.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式

是解题的关键.

22.已知顶点为（2,4）的抛物线过点（4,0）,此抛物线的表达式是（）

A.y=-(x-2)2+4B.y=(x-2)2-4

C.y=(x—2)2+4D.y=—(x—2)2—4

【答案】A

【分析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式了=。(尤-2)2+4(0片0),然后

将(4,0)代入，可求得a的值.

【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是(2,4),则设这个二次函数的解析式为

y=a(x-2)2+4(awO),

把(4,0)代入，得4a+4=0,

解得a=-1,

故这个二次函数的表达式为：y=-(x-2)2+4.

故选：A.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据顶点坐标正确设

出二次函数的表达式.

23.已知抛物线^=/+法+°,经过点/(0,5)和点8(3,2)

⑴求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标.

【答案】"=/-4尤+5

(2)(2,1)

【分析】本题考查了待定系数法求解析，二次函数的性质；

(1)利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决.

(2)利用配方法求顶点坐标即可；

【详解】(1)解：因为抛物线〉=苫2+法+,经过点/(0,5)和点3(3,2)

c=5

所以

2=3?+36+c

b=-4

解得

c=5

所以，抛物线的解析式为了=f-4无+5.

(2)'：y=x2-4x+5=(x-2)2+l,

，顶点坐标为(2,1).

24.已知抛物线y=-+c的图象经过点(0,—3),(—6,—3).

⑴求抛物线的解析式；

(2)当-54x41,求V的最大值.

【答案】(1)jp=—X2—6x—3

(2)6

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识

(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；

(2)依据题意，将(1)得到的解析式进行变形后，结合-5VxVl,可得当x=-3时，了有

最大值，

【详解】(1)解：把(0,—3),(—6,—3)代入y=—+6x+c

c=-3b=

解得

-36-6b+c=-3

・・・抛物线的解析式为>=-%2_6工_3

(2)解：J^=-X2-6X-3=-(^+3)2+6

,该抛物线的对称轴为直线x=-3

又-1<0故抛物线开口向下

-54尤41,当x=-3时，y取最大值，4.=6.

25.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-8),且过点(0,-6).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)以x轴为对称轴，将抛物线进行轴对称变换，求变换后所得到的抛物线解析式.

【答案】⑴y=2(x+l)2-8

(2)y=-2(x+l)2+8

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的

几何变换等知识，明确关于X轴对称的点的坐标特征是解题的关键.

(1)设函数的解析式是片a(x+l)-8,把(0,-6)代入函数解析式即可求得。的值，则函数

的解析式即可求得.

(2)关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求得变换后的抛

物线解析式.

【详解】(1)解：由题意设函数的解析式是y=a(x+iy-8

把。-6)代入函数解析式得a-8=-6

解得：a=2

则抛物线的解析式是y=2(x+Ip-8；

(2)•.•关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数

...抛物线丁=2(x+iy-8以x轴为对称轴进行轴对称变换，所得的抛物线的解析式为：

—y=一〔2(x+1)一—8^=—2(x+1)"+8,即y=—2(x+1)2+8.

【考点6］二次函数与一元二次方程关系

26.若二次函数>-2》-1的图象与x轴有交点，则左的取值范围是()

A.k>—1B.左N—1且左中0C.k<—1D.k4—1且％中0

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴有交点，则对应

的一元二次方程有实数根，贝必=4+410,且左W0解出发的范围即可求出答案.

【详解】解：•••二次函数>=自2-2》-1的图象与x轴有交点，

.♦.△=4+4左20,且左W0,

：.k>-lS.k^Q,

故选：B.

27.抛物线了=x?+x-2与x轴的交点个数是()

A.无交点B.有且只有一个交点C.有两个不同的交点D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题.把二次函数的问题转化为一元二次方程

的问题，根据△=从_4flc的取值情况来进行判断.

【详解】解：VA=/j2-4ac=l2-4xlx(-2)=9>0,

，抛物线y=/+x-2与x轴有两个不同的交点,

故选：C.

28.抛物线歹=d-2x+l与x轴的交点个数为（）

A.无交点B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是通过解方程尤2-2x+1=0得到抛物

线与x轴的交点坐标为（1,0）,从而可判断抛物线y=2x+l与x轴交点个数.

【详解】解：当『=0时，X2-2X+1=0，解得玉=%=1,

所以抛物线与x轴的交点坐标为（1,0）,

所以抛物线歹=*—2x+l与X轴只有一个交点.

故选：B.

29.若抛物线y=a/+6x+c与x轴的交点为（-2,0）,（3,0）,则关于x的一元二次方程

ox?+6x+c=0的解为（）

A.X]=3,%2=-2B.占=x2——2C.占=x2=3D.玉=-3,=2

【答案】A

【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，理解关于x的方程62+区+°=0的根

就是函数y=ax2+6x+c与x轴的交点横坐标是解题的关键.

【详解】解：；抛物线y=a/+6x+c与x轴的交点为（-2,0）,（3,0）,

2

一元二次方程ax+bx+c=0的解为%=3,x2=-2,

故选A.

39.根据表格估计一元二次方程/+2》一4=6的一个解的范围是（）

X-10123

x2+2x-4-5-4-1411

A.-1<x<0B.0<x<1C.1<x<2D.2<x<3

【答案】D

【分析】利用夹逼思想求一元二次方程的近似解.根据表格当x=2时，/+2>4=4<6；当

x=3时，x2+2x-4=11>6,即—+2工-4=6的一个根在2和3之间.

【详解】由Y+2》一4=6可得：X2+2X-10=0，

根据表内数据，可以发现：

X2+2X-4的值随着X的增大而增大，

且：当x=2时，x2+2x-4=4；当X=3时，x2+2x-4=11：

...一元二次方程尤?+2x-4=6的其中一个解x的范围是2<x<3,

故选：D.

【点睛】本题考查利用"夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0

时x的取值范围是解本题的方法.

31.根据下列表格对应值：判断关于x的方程依2+瓜+。=0(。彳0)的一个解的范围是()

X3.243.253.26

ax2+bx+c-0.020.010.03

A.x<3.24B.3.24<x<3.25C.3.25<x<3.26D.3.26<x<3.28

【答案】B

【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02<0;x=3.25时，

ax2+bx+c=0,01>0,于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0,由此

得到方程加+bx+c=O(xwO)的一个解x的范围.

【详解】解：；x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02<0;

x=3.25时,ax2+bx+c=0.01>0,

当3.24<x<3.25时，ax2+bx+c的值可以等于0,

.,・方程加+法+C=0(*0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

故选：B.

【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具

体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的

值愈接近方程的根.

【考点7］二次函数与不等式的关系

32.如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=-l,当

>>0时，x的取值范围是()

A.—1<x<1B.-3<x<1C.或x>lD.%<—3或x〉l

【答案】B

【分析】根据对称性求出函数与％轴的另一个交点坐标，图象法确定解集即可.

【详解】解：:抛物线了="2+乐+。与X轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线X=-1,

.•.抛物线与X轴的另一个交点坐标为(-3,0),

由图象可知，当-3<x<l时，图象在x轴的上方，即y>0,

...当y>0时，x的取值范围是-3Vx<1；

故选B.

【点睛】本题考查图象法求不等式的解集.解题的关键是利用抛物线的对称性求出抛物线与

x轴的另一个交点坐标.

33.如图所示：已知二次函数乂=狈2+区+。(。w0)与一次函数%=履+〃?(430)的图象相

交于点/(-2,6)和8(8,3),贝!］不等式ax。+6x+c>丘+7〃的取值范围是()

A.x<—2B.x>8C.x<—2或x>8D.-2<x<8

【答案】C

【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解.

【详解】解：：二次函数必="2+法+。("0)与一次函数％=丘+皿左片0)的图象相交于

点/(一2,6)和8(8,3),,

能使ax2+bx+c>kx+m成立的x的取值范围是x<-2或x>8.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键.

34.如图，已知抛物线y=M+6x+c与直线k丘+加交于/（-3,-1）,川0,3）两点.则关于x

的不等式ax?+6x+c2丘+〃2的解集是（）

A.x<-3或x>0B.xV-3或xNOC.-3<x<0D.-3<x<0

【答案】B

【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.

【详解】‘抛物线y=ax?+bx+c与直线y=履+加交于/（-3,-1）,8（0,3）,

.,.不等式ax2+6x+c2丘+机为：x<-3^x>0,

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关

键2

35.已知，抛物线y=a/+6x+c的图象如图所示，根据图象回答，当“+bx+c<1时，x

的取值范围是（）

A.—1<x<3B.x<—1或x>3C.x<—1D.x>3

【答案】A

【分析】由图象可得：当了=1时，x=-l或x=3,可得当ai+bx+cC时，即图象在直线>=1

的下方，从而可得x的取值范围是-l<x<3.

【详解】解：由图象可得：当了=1时，x=—l或x=3,

...当ax2+6x+c<1时，x的取值范围是-1<x<3；

故选A

【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关

键.

36.如图为抛物线y="2+6x+c的一部分，其对称轴为直线x=2,若其与x轴的一交点为

8(6,0),则由图象可知，不等式af+bx+oO的解集是()

A.x>6B.0<x<6C.x<—2或x>6D.-2<x<6

【答案】D

【分析】根据抛物线的性质可得抛物线与x轴的另一交点为(-2,0),再由当

y=ax2+bx+c>0时，抛物线图象位于x轴的上方，即可求解.

【详解】解：:.抛物线的对称轴为直线x=2,与x轴的一交点为8(6,0),

.•.抛物线与x轴的另一交点为(-2,0),

..,当y=ax?+6x+c>0时，抛物线图象位于x轴的上方，

不等式“+bx+c>0的解集是-2<x<6.

故选：D

【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，

然后由图象找出当>>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法.

【考点8］二次函数的实际应用

37.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每

千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销

发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系

图象.

⑴求y与x的函数解析式；

(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为少元，求水的最大值.

【答案】(1)V=-2X+340(20VXV40)

(2)当x=40时，少最大，最大值为5200元.

【分析】此题考查的是一次函数的应用和二次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数

的解析式和利用二次函数求最值是解决此题的关键.

(1)利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；

(2)根据"总利润=每千克利润x千克数”即可求出少与x的函数关系式，然后利用二次函

数求最值即可.

【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为>

20后+6=300

根据题意，得:

30上+6=280

左=一2

解得:

6=340

二了与x的函数解析式为了=-2x+340(20VxV40)；

(2)解:由已知得：沙=(x-20)(-2尤+340)

=-2X2+380X-6800

=-2(X-95)2+11250,

•一一2<0,

・,・当x(95时，少随工的增大而增大,

•1-20<x<40,

.,.当x=40时，沙最大，最大值为-2(40-95>+11250=5200元.

38.某超市在"元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售

价不得少于25元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒,

每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒.

⑴试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；

⑵当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润尸(元)最大？最大利润是多少？

⑶为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元.如果超市想要每

天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？

【答案】⑴y=-m+5oo

(2)当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是2250元

⑶120盒

【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用.

(1)根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出盒，列出函数关系式即可；

(2)根据总利润等于每盒的利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，

求最值即可；

(3)由题意，P>2000,求出x的取值范围，结合25WXW38,得到30WxW38,再根据一

次函数的性质，进行求解即可.

读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键.

【详解】(1)解：根据题意，y=250-10(x-25>-10x+500；

(2)由题意：P=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,

...当x=35时，P取得最大值,最大值为2250,

答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润尸(元)最大，最大利润是2250元；

(3)由题意得：P>2000

当尸=2000时，

-10x2+700x-10000=2000，

/一70x+1200=0,

解得％1=30,、2=4。，

VP>2000,

・・・30<x<40,

又,・,25<x<38,

・•・30<x<38,

又•:y=-10x+500,

随x的增大而减小，

...当x=38时，y有最小值，

y最小=-10x38+500=120（盒），

...超市每天至少销售元宵120盒.

39.某宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住

满，当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆

需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间的定价增加x元，此时入住的房间数

为y间，宾馆每天的利润为川元.

⑴直接写出y（间）与x（元）之间的函数关系；

（2）如何定价才能使宾馆每天的利润w（元）最大？

⑶若宾馆每天的利润为10800元，则每个房间每天的定价为多少元？

【答案】（1）歹=50-5》（0<》<500,且x是10的整数倍）

（2）当定价为350元时利润最大

⑶若宾馆每天的利价为10800元，则每个房间每天的定价为定价为380元或者320元

【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及一元二次方程的应用，注意利用配方

法求函数的最值，难度不大；

（1）用一共有的房间减去房价增长减少的房间数即可；

（2）利用房间数乘每一间房间的利润即可得到函数解析式，配方法求得最大值即可.

（3）令w=10800,得到一元二次方程求解即可.

【详解】（1）解：^=50-^x（0<x<500,且x是10的整数倍）；

（2）解：w=[50x|（180+x—20）

1,

=——X2+34X+8000

10

1,

=一一(x-170/+10890；

10

.,.当x=170时,w最大为10890.

，当定价为x+180=350元时利润最大.

(3)^w=-^(x-170)2+10890=10800,

解得：x=200sKx=140.

答：若宾馆每天的利价为10800元，则每个房间每天的定价为定价为200+180=380(元)，

或者140+180=320(元).

40."水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象.水

幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P,48=2m,BP=Sm,水

嘴高AD=6m.

⑴以A为坐标原点，48所在的直线为x轴，4D所在的直线为了轴，建立平面直角坐标系,

求抛物线的解析式；

(2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC.

【答案】⑴N=-1(X-2)2+8

(2)/C=6

【分析】本题考查了二次函数的应用问题，待定系数求得解析式，即可求解.

(1)根据题意可得抛物线的解析式为y=a(x-2)2+8,将。(0,6)代入，即可求解;

(2)令y=0,解方程，即可求解.

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=“(x-6)2+左

*.*AB=2m,BP=8m,

y=a(x-2)2+8

•・•AD=6m.

：.。(0,6)

把。(0,6)代入V=。(工一2/+8得：

4。——2

・,・_CL-....1.

2

19

y=(X-2)2+8

(2)解：令片。

/.0=-1(X-2)2+8

A(x-2)2=16

解得：再=6,x2=-2

...点C(6,0)

/.4c=6

41.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这

个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

--------------18m-----------------►

/〃//〈〃/〃///〃///〃〃〃/〈〃//

苗圃园

⑴若苗圃园的面积为72平方米，求x的值.

(2)若平行于墙的一边长不小于8米，当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值

【答案】(1)x的值是12(2)这个苗圃园的面积有最大值彳平方米

【分析】(1)根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；

(2)先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求

最大值即可.

【详解】(1)解:由题意可得，

x(30-2尤)=72,

即X2-15X+36=0,

解得西=3,%=12,

当x=3时，30-2x=24>18,故舍去;

当x=12时，30—7x=6,

由上可得，尤的值是12；

（2）设这个苗圃园的面积为S平方米,

由题意可得，

S=x（30-2x）=-2^x-y^|+］，

•••平行于墙的一边长不小于8米，且不大于18米，

8<30-2x<18,

解得6«xVll,

.•.当x=?15时，S取得最大值22竽5，

22

答：当x15时，这个苗圃园的面积有最大值2竽25平方米.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的

解法及二次函数的性质是解题的关键.

【考点9］二次函数综合

42.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线了=办2+反+<:（。力0）的顶点坐标为。（3,6）,

并与V轴交于点3（0,3）

图1图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP=2,求A/3尸的面积的

最大值；

⑶如图②所示，在对称轴/C的右侧作N4CD=30。交抛物线于点。，直接写出。点的坐标.

【答案】（l）y=T，+2x+3

衅

⑶存在，。（3+36,-3）

【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y=〃（x-3『+6,将3（0,3）代入可得。=-^,则

可求出该抛物线的解析式；