浙江省台州市温岭中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题（原卷版+解析版）

2024—2025学年下学期高一3月考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.设命题，则命题否定为（）A. B.C. D.3.已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（）A. B. C. D.4.若向量，满足，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.7.已知a，b为正实数且，则的最小值为（）A. B. C. D.38.已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A B.C. D.10.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（）A. B.2 C.3 D.4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的值为__________．13.已知实数，满足，则的最大值是__________．14.设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，集合.（1）求集合；（2）设集合，若集合，且是充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．（1）若，求的值；（2）求取值范围．17.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，．（1）求和解析式；（2）判断在区间上的单调性并证明；（3）若对，都有，求实数m的取值集合．18.某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．19.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．

2024—2025学年下学期高一3月考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念求解出结果.【详解】因为，所以，故选：C.2.设命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题的否定为.故选：D．3.已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可.【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，所以，点是角的终边上的点，所以，，所以故选：C4.若向量，满足，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.故选：B5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“分段法”比较出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题.6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论.【详解】因为在上单调递减，又，所以，所以，因为在上单调递增，又，所以，因为在上单调递增，又，所以，所以.故选：B.7.已知a，b为正实数且，则的最小值为（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值.【详解】由题意，，又a，b为正实数，所以由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.已知函数，若图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项.【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，当时，符合题意，当时，符合题意，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数在区间上单调递减，所以A正确；对于B，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，因为在上单调递减，所以B正确；对于C，定义域为，为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误；对于D，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数，当时，，因为在上单调递减，所以D正确.故选：ABD10.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答.【详解】对于A，由①，以及，对等式①两边取平方得，则②，故A正确；对于B，∵，∴，由②知，，故B正确；对于C，又，故C错误；对于D，由方程，解得，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可.【详解】由题意，作出函数的图象如图.令，则函数，即，即，即.由题意函数所有零点的乘积为1，可知的所有解的乘积为1，而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标.结合的图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，所以，所以，符合题意；当时，函数的图象与直线有3个交点，其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；当时，函数的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，所以，所以，符合题意.综合以上，可知实数的取值范围为，故选：BD.【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的值为__________．【答案】1.【解析】【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可.【详解】因为所以，所以故答案为：113.已知实数，满足，则的最大值是__________．【答案】81【解析】【分析】由直线与圆相切，即可求解；【详解】由题意可知当直线与圆相切时，取得最值，即：，可得：，解得：或，所以的最大值是81，故答案为：8114.设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________.【答案】##【解析】【分析】将已知等式变，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案.【详解】由题意知，得，即，设，则在上单调递增，则由可得，而实数是关于的方程的解，即，故，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，集合.（1）求集合；（2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案；（2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案.【小问1详解】，等价于，解得或，故或，，而，所以.【小问2详解】由（1）知，，由是的充分不必要条件，故为的真子集，又，故，解得，故实数a的取值范围是.16.在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．（1）若，求的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答.（2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答.【小问1详解】依题意，，，，而是边的中点，，则，因此，又，，所以.【小问2详解】由（1）知：令，，则，，则有，当时，，当时，，所以的取值范围是.17.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，．（1）求和解析式；（2）判断在区间上的单调性并证明；（3）若对，都有，求实数m的取值集合．【答案】（1）；；（2）在区间上单调递减，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式.（2）由函数单调性的定义法即可证明的单调性；（3）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，且满足，即；设，则，即，又是定义在上的偶函数，则，所以；【小问2详解】在区间上单调递减.证明：任取，且，则，由可得，，，，所以，即，所以在区间上单调递减.【小问3详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，，其对称轴为，所以当时，单调递增，对，都有，即，由（1）可知，是定义在上的奇函数，且时，单调递减，所以，所以，即或，当时，即，解得；当时，即，解得；综上所述，实数m的取值集合为.18.某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．【答案】（1）（2）14或（3）【解析】【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析；（2）由（1）中的解析式得出，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；【小问1详解】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，，所以依题意，所以，当时，所以，故；【小问2详解】令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或时1号座舱与地面的距离为17米；【小问3详解】依题意，，所以令，解，所以当时取得最大值，故，解得，所以.19.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取