专题6.1 平面向量的概念【五大题型】（人教A版2019必修第二册）【含答案解析】

专题6.1平面向量的概念【五大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1向量的概念与表示】 2【题型2零向量与单位向量】 3【题型3向量的几何表示与向量的模】 4【题型4相等向量与共线（平行）向量】 8【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】 10【知识点1向量的概念】1．向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2．向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【题型1向量的概念与表示】【例1】（23-24高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段MN→和有向线段NM【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【解答过程】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段MN→和有向线段NM故选：D.【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（

）A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度【解题思路】利用向量的定义判断即可．【解答过程】向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量，故选：C．【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误；对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误；对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误；对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误；故选：A．【变式1-3】（23-24高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【解答过程】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；（4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.故选：A.【题型2零向量与单位向量】【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解.【解答过程】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.【变式2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（

）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解题思路】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【解答过程】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D.【变式2-2】（23-24高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【解题思路】根据零向量的定义和性质即可判断.【解答过程】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.【变式2-3】（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（

）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量AB与向量BA的长度相等C．对任意向量a，aaD．零向量没有方向【解题思路】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取a=0【解答过程】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量AB与向量BA的模相等，B对；对于C选项，若a=0，则对于D选项，零向量的方向任意，D错.故选：B.【题型3向量的几何表示与向量的模】【例3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(−2,0)，又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，又CB=2003，所以DB=2002，即D、C两点在坐标系中的坐标为即可作出AB、BC、CD如下图所示.（2）如图，作出向量DA，由题意可知，CD//AB且所以四边形ABCD是平行四边形，则DA=所以DA的模为2003【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：(1)AB；(2)CD；(3)EF．【解题思路】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.【解答过程】（1）AB=（2）CD=（3）EF=【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量．(1)|OA|=3，点A在点(2)|OB|=32，点B在点O(3)根据（1）（2），作出向量AB并求出|AB【解题思路】（1）根据要求画出点A的位置即可；（2）根据要求画出点B的位置即可；（3）向量AB由点A指向点B，画出图形即可求出|AB【解答过程】（1）因为|OA|=3，点A在点O的正西方向，故向量（2）因为|OB|=32，点B在点O的北偏西45°（3）向量AB如图所示，|AB【变式3-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．画图表示向量【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量AB,BC,【解答过程】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB,由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC=2000km．又∠ACD=45∘，所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD=10002km，故向量AD的模为10002【知识点2相等向量与共线向量】1．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.3．平行向量有关概念的三个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.【题型4相等向量与共线（平行）向量】【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解题思路】根据图像，直接判断即可.【解答过程】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.【变式4-1】（23-24高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB与C．BD与EH共线 D．CD【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.【解答过程】∵四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180∘，即∴AB=EF,CD=FG，AB//即AB=EF，CD=FG，对于C：若BD与EH共线，则必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，该条件不一定成立，如∠GCE=90∘时，∠HED≠45∘，故故选：C.【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)写出与向量ED相等的向量；(2)写出与向量ED共线的向量．【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.【解答过程】（1）∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，∴AB=ED，∴ED=故与向量ED相等的向量是AB，DC.（2）由共线向量的条件知，与ED共线的向量有DE，AB，BA，DC，CD，EC，CE.【变式4-3】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，

(1)与AB模长相等的向量有多少个？(2)写出与AB相等的向量有哪些？(3)与AB共线的向量有哪些？(4)请列出与EC相等的向量．【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.【解答过程】（1）因为四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，所以AB=BE=BC=AD=DC，所以与AB模长相等的向量有BE、BA、EB、DC、CD、AD、DA、BC、CB共9个.（2）与AB相等的向量有BE、DC.（3）与AB共线的向量有DC，BE，CD，EB，BA，EA，AE.（4）因为BDCE为平行四边形，所以CE//DB且所以与EC相等的向量为BD.【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】【例5】（2024高一·全国·专题练习）设e是单位向量，AB=e，CD=−e，A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【解题思路】根据共线向量及菱形知识可得解.【解答过程】因为AB=e，所以AB=e=−所以AB=所以四边形ABCD是平行四边形，因为AD=1，即AB所以四边形ABCD是菱形.故选：B.【变式5-1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且AO=OC，A．AC⊥BD B．四边形ABCD是梯形C．四边形ABCD是菱形 D．四边形ABCD是矩形【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.【解答过程】由AO=知四边形ABCD的对角线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选：D.【变式5-2】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出CN=【解答过程】证明：由AB=DC可知AB=DC且所以四边形ABCD为平行四边形，从而AD=又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN=所以AN=MC且AN//MC.所以四边形AMCN是平行四边形.从而CN=【变式5-3】（2025高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径AB=6，C是