《数学（上册）》课件-第五章

第五章空间图形5.1平面5.2空间两条直线5.3空间直线和平面5.4空间两个平面5.1平面5.1.1平面5.1.2平面的基本性质5.1.3水平放置的平面图形的直观图的画法5.1.1平面平面通常用小写的希腊字母α、β、γ等来表示，也可以用表示平行四边形相对顶点的两个字母来表示，如图可表示平面α、平面AC或平面BD．5.1.1平面当一个平面或一条直线的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分画成虚线或不画（如下图），以便增强立体感．5.1.2平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.公理1可以用符号表示为

A∈a，B∈a，A∈α，B∈α

利用公理1我们可以判断一条直线是否在某个平面内，也可以用直线来检验一个面是否是平面．5.1.2平面的基本性质公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有这些公共点的集合是一条直线（如图）.公理2也可以用符号表示为

P

5.1.2平面的基本性质公理3经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．上面的公理也可以说成“不在同一条直线上的三个点确定一个平面”．过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面，又可以记成平面ABC（如图）.5.1.2平面的基本性质由公理3，我们还可得到如下推论：推论1一条直线和直线外一点可以确定一个平面（图甲）．推论2两条相交直线确定一个平面（图乙）．推论3两条平行直线确定了一个平面（图丙）．5.2空间两条直线5.2.1两条直线的位置关系5.2.2平行直线5.2.3两条异面直线互相垂直5.2.1两条直线的位置关系空间直线的三种位置关系．位置关系共面情况公共点个数记法相交共面有且只有一个公共点

a∩b=A平行没有公共点a//b异面直线不共面5.2.1两条直线的位置关系在画异面直线时，为了显示异面直线不共面的特点，常把两条直线a、b画在不同的平面内，如图所示．判定两条直线是否是异面直线，可用下面的定理；也可用反证法．定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．5.2.2平行直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理4的内容可以用符号表示为a∥b,a∥cb∥c例如，三棱镜的三条棱（如图），如果AA1//BB1，CC1//BB1，则AA1//CC1.5.2.2平行直线定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．如果把一个角的两边反向延长，那么就得到两条相交直线．两条直线相交形成两组对顶角，我们把其中不大于直角的角叫作两条相交直线的夹角．利用上面的定理，就可以得到如下结论：推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线的夹角相等．注意：上面定理的证明说明，平面几何里的定理对于空间图形，一般需要证明才能应用．在证明空间图形的一些性质时常常利用平面图形的性质．5.2.3两条异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．两条异面直线a、b互相垂直，记作a⊥b．空间两条直线互相垂直，可以有两种情形：（1）两条相交直线，它们的夹角是直角；（2）两条异面直线，它们所成的角是直角．5.3空间直线和平面5.3.1直线和平面的位置关系5.3.2直线和平面平行的判定和性质5.3.3直线和平面垂直的判定和性质5.3.4斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角5.3.5三垂线定理5.3.1直线和平面的位置关系直线和平面的三种位置关系位置关系公共点个数记法直线a在平面α内有无数个公共点直线a在平面α相交有且只有一个公共点a∩α=A直线a在平面α平行没有公共点a∥α5.3.2直线和平面平行的判定和性质直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和交线平行．

5.3.3直线和平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．5.3.4斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角

如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，则称直线和平面斜交，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫作斜足，斜线上斜足以外的一点与斜足之间的线段叫作这点到平面的斜线段．自平面外一点向平面引垂线，垂足叫作这点在这个平面上的射影，这点与垂足间的线段叫作这点到这个平面的垂线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，我们把经过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足之间的线段叫作这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．斜线上的任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．5.3.5三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理可用来判定平面的一条斜线是否和平面内的一条直线垂直．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．5.4空间两个平面5.4.1两个平面的位置关系5.4.2两个平面平行的判定和性质5.4.3二面角5.4.4两个平面垂直的判定和性质5.4.1两个平面的位置关系两个平面的位置关系位置关系公共点情形记法两平面α、β相交有公共点（有一条公共直线）α∩β=a两平面α、β平行没有公共点α∥β5.4.2两个平面平行的判定和性质两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．两个平面平行的判定定理2垂直于同一条直线的两个平面互相平行．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．和两个平行平面垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫作这两个平行平面的公垂线段．5.4.3二面角平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．平面角是直角的二面角叫作直二面角．5.4.4两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．本章小结本章的主要内容是空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及有关图形的画法．着重研究平行与垂直关系．本章的四个公理是这一章内容的基础．此外，平面几何里的定义、定理等，对于空间的任何平面内的平面图形仍然适用；但对于非平面图形，则需要经过证明才能应用．在解决立体几何的问题时，常把它转化为平面几何的问题来解决．空间两条直线的位置关系有“平行”、“相交”、“异面”三种；空间一条直线和一个平面的位置关系有“直线在平面内”、“平行”、“相交”三种；两个平面的位置关系有“平行”、“相交”两种．关于空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定定理与性质定理是本章的中心问题．应用这些定理时，要弄清定理的题设和结论．学完全章后判定上述的平行和垂直关系的方法就更多了．例如可以用“垂直于同一个平面的两条直线必平行”去判定两条直线平行；用“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”去判定一条直线与一个平面垂直．两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角都是通过平面几何中的角来定义的，因而，它们都可以看作是平面几何中的角的概念在空间的拓广．两条异面直线所成的角和二面角的定义都以定理“两边分别平行且方向相同的两个角相等”为基础．斜线和平面所成的角实际上是用这条斜线和它在平面上的射影的夹角来定义的．练习题判断题（1）已知直线a，平面，点A、B，若则AB和a是异面直线；（2）平行于同一直线的两条直线必平行；（3）垂直于同一平面的两个平面必平行；（4）若一直线平行一平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；（5）二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面.选择题1.若点M在直线b上，b在平面内，则M、b、β之间的关系可记作（）A.M∈b∈β； B.M∈b⊂β；C.M⊂b⊂β； D.M⊂b∈β．2.直线a、b、c交于一点，经过这3条直线的平面有（）个A.0；B.1；C.无数； D可以有0个，也可以有1个．3.直线a//b，b//α，则a与的位置关系是（）A.a//α； B.a与α相交；C.a与α不相交； D.a⊂α．4.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（）A.平行； B.相交； C.重合； D.平行或相交．5.二面角是指（）A.两个平面相交的图形；B.一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形；C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；D.以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角．6.已知两个平面互相垂直，一条直线与两个平面相交，那么这条直线与两个平面所成的角的和是（）A.小于90°； B.等于90°； C.大于90°； D.不大于90°．解答、