人教版八年级上册数学全册教案(完整版)教学设计

人教版八年级上册数学全册教案（完整版）教学设计11．1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解三角形的表示法、分类法以及三边存在的关系，发展空间观念．【过程与方法】经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形，提高推理能力．【情感态度与价值观】培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值．二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系．【教学难点】三角形三边关系的应用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．3．三角形的表示：顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．4．等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．5．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．6．三角形按边的相等关系分类如下：eq\a\vs4\al(三角形)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形,等腰三角形\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形))))5．三角形三边关系：三角形的两边的和大于第三边．推论：三角形两边的差小于第三边．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．2,3,5 B．5,6,10C．1,1,3 D．3,4,9【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边．A中，2＋3＝5，不能组成三角形；B中，5＋6＞10，能组成三角形；C中，1＋1＜3，不能组成三角形；D中，3＋4＜9，不能组成三角形．故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三条线段能否组成三角形，只需判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考)(1)等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论：已知边长是腰长还是底边长→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．【解答】(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．根据题意，得x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.∴三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．(2)分情况讨论：当4厘米长为底边长时，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18，解得x＝7.此时等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；当4厘米长为腰长时，设底边长为x厘米，则4×2＋x＝18，解得x＝10.∵4＋4<10，∴此时不能构成三角形，故可围成满足条件的等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米．【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰长还是底边长，再解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形任意两边的和大于第三边；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．已知a、b、c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(D)A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，且它的周长大于14cm，则第三边长为6cm.4．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．1.2三角形的高、中线与角平分线(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义．2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三条中线、三条角平分线都分别交于一点．【情感态度与价值观】通过对问题的解决，分别培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线．【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P4～P5的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．画三角形的高．如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直符号和垂足的字母．教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2．画三角形的中线．如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3．画三角形的角平分线．如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，则∠BAD＝∠CAD.讨论3：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下面说法中错误的是(C)A．BD是△ABC的高 B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高 D．BG是△BEF的高2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．3．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3cm，∴BC－AC＝3cm.又∵BC＝8cm，∴AC＝5cm.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11.1.3三角形的稳定性(第3课时)一、基本目标【知识与技能】通过实践活动，使学生掌握三角形的稳定性．【过程与方法】培养学生从周围生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，使学生体验到数学与日常生活的密切联系．【情感态度与价值观】在活动中培养学生知识迁移的能力和创造性思维．二、重难点目标【教学重点】三角形具有稳定性．【教学难点】三角形的稳定性在实际生活中的应用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是为了防止窗框变形.3．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.4．下列设备，没有利用三角形的稳定性的是(A)A．活动的四边形衣架 B．起重机C．屋顶三角形钢架 D．索道支架环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)动手操作探究三角形的稳定性．①如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图1图2图3②如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？③在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连结起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．(2)了解四边形的不稳定性的应用．四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？【互动探索】(引发学生思考)三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变．这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．【解答】(1)①不会改变．②会改变．③不会改变．原因：斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．从上面的实验得出：三角形具有稳定性．(2)有应用价值，实例不唯一，如：活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中具有稳定性的是(B)A．平行四边形 B．等腰三角形C．长方形 D．梯形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架 D．三轮车能在地面上运动而不会倒活动3拓展延伸(学生对学)【例2】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】①四边形木架至少需要钉上1根木棍；②五边形木架至少需要钉上2根木棍；③六边形木架至少需要钉上3根木棍．如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.又∵∠A＝46°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，在不同的三角形中灵活运用三角形内角和定理求解．活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝50°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝25°.又∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED＝50°(对顶角相等)，结合∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC中，如果∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，那么△ABC是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A、∠B、∠C的数量关系→△ABC各内角的度数→△ABC的形状．【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.根据题意，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于(B)A．120° B．105°C．60° D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成本课时对应练习！11．3多边形及其内角和11．3.1多边形(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．2．能正确判断正多边形的对角线条数．【过程与方法】通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能从实物中辨别寻找出几何图形，并由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识．【情感态度与价值观】了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学．二、重难点目标【教学重点】多边形、正多边形的概念．【教学难点】解决有关多边形对角线条数的问题．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P19～P20的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形)2．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.3．连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.4．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.5．下列图形不是凸多边形的是(D)环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】合作探究，完成下表，将你的思路与同学交流、分享．多边形边数(n)四边形五边形六边形…n边形从一个顶点作对角线的条数…从一个顶点作对角线得三角形的个数…对角线的总条数…【互动探索】(引发学生思考)动手作出四边形、五边形、六边形……的对角线条数，发现规律，总结出n变形的对角线总条数．【解答】多边形边数(n)四边形五边形六边形…n边形从一个顶点作对角线的条数123…n－3从一个顶点作对角线得三角形的个数234…n－2对角线的总条数259…eq\f(nn－3,2)【互动总结】(学生总结，老师点评)熟记n(n＞3)边形的对角线总条数为eq\f(nn－3,2).活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中，是正多边形的是(D)A．直角三角形 B．等腰三角形C．长方形 D．正方形2．九边形的对角线有(C)A．25条 B．31条C．27条 D．30条3．下列不是凸多边形的是(C)4．连结多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是(D)A．五边形 B．六边形C．七边形 D．八边形4．一个n边形共有eq\f(nn－3,2)条对角线，那么十边形共有35条对角线．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为()A．14或15或16 B．15或16C．14或16 D．15或16或17【互动探索】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则原来的多边形的边数可能为14,15或16.【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．多边形、多边形的内角、边、对角线、正多边形的概念．2．正多边形需满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等．3．n(n＞3)边形的对角线条数为eq\f(nn－3,2).请完成本课时对应练习！11.3.2多边形的内角和(第2课时)一、基本目标【知识与技能】掌握多边形的内角和公式、多边形的外角和是360°及其简单运用．【过程与方法】通过探索多边形内角和的公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验．【情感态度与价值观】通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望．同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】多边形内角和公式及多边形的外角和．【教学难点】多边形内角和公式的推导．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P21～P23的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．三角形的内角和为180°.2．探究四边形的内角和是多少？(1)展示1：分成2个三角形，180°×2＝360°；(2)展示2：分成4个三角形，180°×4－360°＝360°；(3)展示3：分成3个三角形，180°×3－180°＝360°.展示1展示2展示33．将下表填写完整：多边形的边数34567…n从一个顶点出发画对角线的条数01234…n－3分成三角形的个数12345…n－2多边形的内角和180°360°540°720°900°…(n－2)×180°4.如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.5．多边形的外角和等于360°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．【互动探索】(引发学生思考)多边形的内角和公式→建立等式→求得多边形的边数→得出多边形的内角和．【解答】设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝3×360°－180°，解得n＝7.即这个多边形的边数为7.所以这个多边形的内角和为(7－2)·180°＝900°.【互动总结】(学生总结，老师点评)任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．活动2巩固练习(学生独学)1．正十二边形的每一个内角的度数为(C)A．120° B．135°C．150° D．1080°2．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是11.3．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是18.4．内角和与外角和相等的多边形是四边形．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米？【互动探索】确定小亮走过的是什么图形(正多边形)→利用正多边形的外角和是360°求得边数→确定小亮走的路程．【解答】∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了正多边形的边数的求法和多边形的外角和，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！12．1全等三角形一、基本目标【知识与技能】1．掌握全等形、全等三角形的概念，能运用符号语言正确表示两个三角形全等．2．能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质．【过程与方法】经历探索全等三角形性质的过程，在观察中寻求新知，在探索中培养学生发现问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探究和运用全等三角形知识的过程中感受到数学活动的乐趣．二、重难点目标【教学重点】全等三角形的认识．【教学难点】全等三角形的性质的应用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2．全等用符号≌表示，读作全等于.3．△ABC全等于三角形△DEF，用符号表示为△ABC≌△DEF.4．若△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，则∠C与∠F是对应角；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边．5．全等三角形的对应边相等，对应角相等．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．【互动探索】(引发学生思考)全等三角形的对应元素该如何找？【解答】△BOD与△COE的对应边：BO与CO，OD与OE，BD与CE.△ADO与△AEO的对应角：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.【互动总结】(学生总结，老师点评)找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形．另外，记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．【例2】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．【互动探索】(引发学生思考)求角和线段长，从全等三角形的性质出发去思考．【解答】∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等，对应角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是(D)A．72° B．60°C．58° D．50°2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝2，则DE的长是(A)A．5 B．4C．3 D．23．如图，△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝70°.4．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．(1)写出相等的线段与角．(2)若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．解：(1)∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，∴EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，∴FH＝GM，∠EGM＝∠NHF.(2)∵EF＝NM，EF＝2.1cm，∴MN＝2.1cm.∵FG＝MH，FH＋HG＝FG，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，∴HG＝FG－FH＝HM－FH＝2.2cm.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝150°，求∠ACB的度数．【互动探索】在△ACB中，已知∠B＝25°，要求∠ACB，只要求出∠CAB即可，求∠CAB可以从全等三角形的性质出发．【解答】∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝150°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝150°，∴∠CAB＝70°.∵∠B＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－70°－25°＝85°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时，要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！12．2三角形全等的判定第1课时边边边一、基本目标【知识与技能】1．会运用“边边边”证明三角形全等．2．会根据“边边边”作一个角等于已知角．【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程．【情感态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”．【教学难点】探索三角形全等的条件的过程．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC≌△ADC，只需看这两个三角形的三边是否相等．【证明】在△ABC与△ADC中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,CB＝CD，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“SSS”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．【例2】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.【证明】∵BE＝CF，∴EC＋BE＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝EF，,AB＝DE，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形．【解答】结论：∠B＝∠D.理由如下：连结AC.在△ADC和△ABC中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,AC＝AC，,DC＝BC，))∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠B＝∠D.【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是(C)A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBAC．OB＝OC D．∠C＝∠D2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.求证：(1)∠D＝∠B；(2)AE∥CF.证明：(1)在△ADE和△CBF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AD＝BC，,DE＝BF，))∴△ADE≌△CBF(SSS)，∴∠D＝∠B.(2)∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB.∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时边角边一、基本目标【知识与技能】掌握三角形全等的“SAS”判定方法，并能进行简单的应用．【过程与方法】经历探究两个三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程，进而培养学生有条理的分析、推理能力．【情感态度与价值观】通过探究活动，体会数学充满了探索和创造，提高学生的学习热情．二、重难点目标【教学重点】应用“SAS”证明两个三角形全等．【教学难点】理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．3．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，根据“SAS”可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝CB.4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADC＝∠ADB.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC可得∠A＝∠B.【证明】∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，))∴△AEF≌△BCD(SAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C的度数．【互动探索】(引发学生思考)如果△ABC≌△FBE，就可以得出∠C＝∠BEF，从而由BC∥EF得到∠C＝∠BEF＝∠1，问题得解．【解答】∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝BE，,∠ABC＝∠FBE，,AB＝FB，))∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件(A)A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠CC．∠D＝∠E D．∠BAE＝∠CAD2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(C)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？解：AC平分∠BAD.理由：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABC和△ADC中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAC，,AC＝AC，))∴△ABC≌ADC(SAS)，∴∠ACB＝∠ACD，∴AC平分∠BCD.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.【互动探索】观察图形，证明△ADE≌△CDG，就可以得出AE＝CG，再结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE⊥CG.【证明】(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDG，,DE＝GD，))∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG.(2)设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N.在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED.又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是证得△ADE≌△CDG.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第3课时角边角与角角边一、基本目标【知识与技能】掌握三角形全等的证明方法“ASA”和“AAS”，并能解决相应的实际问题．【过程与方法】经历探究全等三角形判定的过程，进一步体会由操作、归纳获得数学规律的过程．【情感态度与价值观】1．通过尺规作图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．2．培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用．二、重难点目标【教学重点】已知两角一边的三角形全等的探究．【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．2．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．3．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.【互动探索】(引发学生思考)如果∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，就可用“SAS”证△ADF≌△CBE.由已知中的平行线段，可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.【证明】∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))∴△ADF≌△CBE(ASA)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需证∠DAC＝∠DBF即可．又在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC＝∠DBF.【证明】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AFE＝90°，∠BFD＋∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．活动2巩固练习(学生独学)1．完成教材P41“练习”第1～2题．略2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠BDE.在△ABC和△EDB中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠ABC＝∠BDE，,BC＝BD，))∴△ABC≌△EDB(SAS)，∴∠A＝∠E.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时斜边、直角边一、基本目标【知识与技能】1．掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或HL)．【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．【情感态度与价值观】通过探究与交流解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．二、重难点目标【教学重点】直角三角形全等的判定方法的理解和应用．【教学难点】利用直角三角形全等的判定定理解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．2．判定两个直角三角形全等的方法有SSS、ASA、AAS、SAS、HL.(用简写字母)3．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是(B)A．AAS B．SASC．HL D．SSS环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.【互动探索】(引发学生思考)可以通过证△ABC≌△ADC得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△ADC.【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD均为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝AC，,AB＝AD，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)直角三角形除一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD与△BOC得到结论，需作辅助线CD，用“HL”证明Rt△ADC≌Rt△BCD，即得AD＝BC.【证明】连结CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DC＝CD，,AC＝BD，))∴Rt△ADC≌Rt△BCD，∴AD＝BC.【互动总结】(学生总结，老师点评)观察图形，当不能直接通过全等证边(或角)相等时，可根据图形特点作辅助线或转化为证其他边(或角)相等．活动2巩固练习(学生独学)1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是(B)A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝7cm.3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，))∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴BC＝EF，∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.【互动探索】要证BC＝BE，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADC＝∠AFE＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AD＝AF，))∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.同理可证Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决，在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、基本目标【知识与技能】1．初步掌握角的平分线的性质定理．2．掌握用尺规作已知角的平分线的方法．3．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．【过程与方法】在利用尺规作图时，让学生在动手操作的过程中深刻理解角平分线的画法及发现角平分线的性质．【情感态度与价值观】在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心．二、重难点目标【教学重点】1．利用尺规作已知角的平分线．2．角平分线的性质的证明及运用．【教学难点】角平分线性质的应用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.2．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的题设是角的平分线上的点，结论是此点到角的两边的距离相等.3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．已知：如图，∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.略环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．【互动探索】(引发学生思考)明确尺规所作的射线AP是∠CAB的平分线．要求∠MAB，只需先求得∠CAB.【解答】∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的平分线是解题的关键．【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD＝DF.求证：CF＝EB.【互动探索】(引发学生思考)要求CF＝EB，需证Rt△DCF≌Rt△DEB，而由角平分线的性质可得DE＝DC，从而解决问题．【证明】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DF＝BD，,DC＝DE，))∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB.【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(C)A．9 B．8C．7 D．62．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为点E、F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(1)AM⊥DM；(2)M为BC的中点．【互动探索】(1)要证AM⊥DM，可转化为求∠AMD＝90°.由平行线中，同旁内角的角平分线相交成的角等于90°可得结论；(2)要证M为BC的中点，即证BM＝CM.由题意知，需作辅助线MN(如图)，利用角平分线的性质得出结论．【证明】(1)∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.(2)过点M作NM⊥AD交AD于点N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【互动总结】(学生总结，老师点评)在已知角的平分线的前提下，作角两边的垂线段是常用辅助线之一．角平线的性质是证线段相等的另一途径．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时角的平分线的判定一、基本目标【知识与技能】理解角平分线的性质定理的逆定理(即判定定理)，能利用角平分线的判定定理解决实际问题．【过程与方法】经历探究角平分线的性质定理的逆定理的过程，进一步体验证明几何命题的步骤，能够灵活运用性质定理解决实际问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．二、重难点目标【教学重点】角的平分线的判定定理的证明及应用．【教学难点】角的平分线的判定定理的应用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P50的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2．(1)三角形的三条角平分线相交于一点，它到三边的距离相等.(2)三角形内，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知：如图，△ABC.求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点．【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，求证：AD是∠BAC的平分线．【互动探索】(引发学生思考)证明一条射线是角平分线常添加的辅助线是什么？【证明】过点D分别作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是(A)A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2 D．无法确定2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝(A)A．110° B．120°C．130° D．140°3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”你认为小明的想法正确吗？请说明理由．解：小明的想法正确．理由如下：作PC⊥OB于点C，设另一把直尺与OA交于点D.∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD＝PC，∴射线OP就是∠BOA的平分线．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？如何选？请作简要说明并画出图形．【互动探索】△ABC的内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，那么本题只有一处站址吗？【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点P1满足条件．如图，点P2是△ABC两条外角平分线的交点，过点P2作P2E⊥AB，P2D⊥BC，P2F⊥AC，∴P2E＝P2F，P2F＝P2D，∴P2E＝P2F＝P2D，∴点P2到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点P2到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个，如图P2、P3、P4.综上所述，到三条公路的距离相等的点有4个，故可供选择的地址有4处．【互动总结】(学生总结，老师点评)由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，得三角形内角平分线的交点满足条件，然后利用角平分线的性质，证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，则可供选择的站址有4处．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！13．1轴对称13.1.1轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．【教学难点】轴对称的性质．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4．图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形，(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2cm，∠D＝∠C＝95°.【答案】2cm95°【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．下图中的轴对称图形有(B)A．(1)(2) B．(1)(4)C．(2)(3) D．(3)(4)2．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(A)A．130° B．150°C．40° D．65°3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，正多边形的边数34567…对称轴的条数34567…根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．解：如图．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．请完成本课时对应练习！13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定．【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？答：直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2．垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3．垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长为35cm，求BC→需求BC＋DC的长，利用AD＝BD(垂直平分线的性质)→BC＋DC＝AC.【解答】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，从而找出AD与EF的关系．【解答】AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DE＝DF，))∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.【互动总结】(学生总结，老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．32．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．(2)解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE