2025年中考数学几何模型综合训练专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分精练（教师版）

专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型

与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“8”字模型............................................................................................................................................1

模型2.“A”字模型...........................................................................................................................................7

模型3.三角板拼接模型................................................................................................................................10

.................................................................................................................................................14

模型1.“8”字模型

“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。

图1图2

1）8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①ABCD；②ABCDADBC。

证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；

在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；

∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；

在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；

∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ABCDADBC。

2）8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD

∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②

1

①+②得2∠P=∠B+∠D，则PBD，即2∠P=∠B+∠D

2

例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确

的是（）

A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．

【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，

∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．

【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．

例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求ABCDEFG的度数．

【答案】GAEFBCCDEFG540

【分析】连结AB，令BF与AG交于点M，由三角形内角和得FGGABFBA，从而所求角的和

转化为求五边形ABCDE的内角和问题解决．

【详解】连结AB，如图，设BF与AG交于点M，

∵FGFMG180，GABFBAAMB180，

又∵FMGAMB，∴FGGABFBA，

∴GAEFBCCDEFGGAEFBCCDEGABFBA

(GAEGAB)(FBCFBA)CDE

EABABCCDE18052540．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键．

例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们

把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：ACBD；(2)如图2，若CAB和BDC的平分线AP

和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．①若B100,C120，求P的度数；②若角

11

平分线中角的关系改为“CAPCAB,CDPCDB”，试探究P与B,C之间的数量关系．

33

1

【答案】(1)见解析(2)①110；②PB2C

3

【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；

（2）①根据角平分线的定义得到CAPBAP，BDPCDP，再根据“8字形”得到

CAPCCDPP,BAPPBDPB，两等式相减得到CPPB，即

1112

PBC，即可求解．②根据CAPCAB,CDPCDB，可得BAPBAC，

2333

2

BDPBDC，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2CPPB，即可求解．

3

【详解】（1）证明：在AOC中，AC180AOC，

在BOD中，BD180BOD，∵AOCBOD，∴ACBD；

（2）解：①∵CAB和BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴CAPBAP,BDPCDP，

∵CAPCCDPP①，BAPPBDPB②，

1

由①②，得：CPPB，即PCB，

2

1

∵B100,C120，∴P100120110；

2

1122

②∵CAPCAB,CDPCDB，∴BAPBAC，BDPBDC，

3333

∵CAPCCDPP，BAPPBDPB，

111222

∴CPBDCBACBDCBAC，PBBDCBACBDCBAC，

333333

11

∴2CPPB，∴PB2C），故答案为：PB2C．

33

【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．

例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．

(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断ADBC与ABCD的大小关系，并说明理由；

(2)如图2，OC平分AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OEOF，连接PE，PF．求证：PEPF；

(3)如图3，在ABC中，ABAC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PBPCBDCD．

【答案】(1)ADBCABCD；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解

【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AEBEAB，CEEDCD，两式相加即可得出结

论；（2）根据SAS证△OEP≌△OFP即可得出结论；

（3）在AB上取一点E，使AEAC，连接DE交BP于点F，证APE≌APC，即PCPE，同理证CDDE，

然后同理（1）得PBCDPCBD，变形不等式即可得出结论．

【详解】（1）解：ADBCABCD，理由如下：

AEBEAB，CEEDCD，AEBECEEDABCD，即ADBCABCD；

（2）证明：OC平分AOB，EOPFOP，

OEOF

在OEP和△OFP中，EOPFOP，OEP≌OFPSAS，PEPF；

OPOP

（3）证明：在AB上取一点E，使AEAC，连接DE交BP于点F，

AD是BAC的角平分线，EAPCAP，

AEAC

在VAPE和△APC中，EAPCAP，APE≌APCSAS，PEPC，同理可证DEDC，

APAP

EFPFEP，BFFDBD，EFPFBFFDEPBD，即PBDEEPBD，

PBCDPCBD，PBPCBDCD．

【点睛】本题考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题

的关键．

例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则A，B，C，D四个角的数量关系是______；

(2)如图2，若BCD，ADE的角平分线CP，DP交于点P，则P与A，B的数量关系为P______；

(3)如图3，CM，DN分别平分BCD，ADE，当AB70时，试求MN的度数（提醒：解

决此问题可以直接利用上述结论）；

11

(4)如图4，如果MCDBCD，NDEADE，当ABn时，则MN的度数为______．

44

11

【答案】(1)ABCD(2)P90(AB)(3)235(4)225n

24

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设PCDx，ADPy，根据外角的性质

得：Pyx，COD2y2x，所以COD2P，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，

延长CM、DN交于点P，根据（2）的结论，并将AB70，代入可得

结论；（4）如图4，同理计算可得结论．

【详解】（1）在AOB中，ABAOB180，在△COD中，CDCOD180，

∵AOBCOD，∴ABCD故答案为：ABCD

（2）设PCDx，ADPy，

∵CP，DP分别平分BCD，ADE，∴BCD2x，ADE2y，

∵PPDEPCDyx，∴CODODEBCD2y2x，∴COD2P，

∵ABCOD180，∴2PAB180，

11

∴P90(AB)，故答案为：P90(AB)

22

1

（3）由（2）可知：P90(AB)，

2

∵AB70，∴P55，∴PMNPNM125，∴CMNDNM360125235，

（4）如图4，延长CM、DN交于点P，设PCDx，NDEy，

∴PPDEPCDyx，COD4y4x，∴COD4P，∴4PAB180，

180(AB)180n

∴P，∴P，

44

11

∴PMNPNM180P，18045n，135n，

44

111

∴CMNDNM360(PMNPNM)360(135n)225n故答案为：225n

444

【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方

程的思想思考问题．

模型2.“A”字模型

如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。

条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；

结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E

证明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。

②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。

例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，1的度数是（）

A．62B．63C．75D．118

【答案】A

【分析】根据邻补角求得225，然后根据三角形外角的性质即可求解．

【详解】解：如图，

∵218015525，∴1372372562，故选：A．

【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．

例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在ABC中，A55，若剪去A得到四边形BCDE，则

12．

【答案】235°/235度

【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为180计算，然后根据邻补角的定义计算即可．

【详解】解：∵A55，∴AEDADE180A18055125，

∴12180AED180ADE360AEDADE360125235，故答案为：235．

例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线l与ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都

不与点A重合）.

(1)若A64，①求12的度数；②如图2，直线m与边AB，AC相交得到3和4，直接写出34

的度数.(2)如图3，EO，DO分别平分BED和CDE，写出EOD和A的数量关系，并说明理由；

(3)如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分BNM和

CMN，直接写出NGM与E，D的关系.

1

【答案】(1)①244；②244(2)EOD90A，理由见解析(3)ED2NGM360.

2

【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等

知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算

即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；

（3）由（2）的结论可得BNMCMNDE，再根据三角形内角和定理进行解答即可．

【详解】（1）解：①如图1，

∵1AADE，2AAED，∴12AADEAEDA，

∵AADEAED180，A64，∴12

②由①方法可得：3412244．

1

（2）解：EOD90A，理由如下：由（1）可得BEDCDE180A．

2

11

∵EO，DO分别平分BED和CDE，∴OEDBED,EDOCDE，

22

111

∴OEDEDOBEDCDE180A90A，

222

11

∴EOD180OEDEDO18090A90A．

22

（3）解：ED2NGM360，理由如下：由图2可得，BNMCMNDE，

11

∵NG，MG分别平分BNM和CMN，∴BNGMNGBNM,CMGNMGCMN，

22

11

∴MGN180MNGNMG180BNMCMN180DE，

22

∴2MGNDE360．

模型3.三角板拼接模型

由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。

图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，

当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），

再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。

常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：

例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中

E90，C90，A45，D30，则12．

【答案】210

【分析】根据三角形外角性质得出1DDOA，2EEPB，再根据三角形的内角和定理和解

答即可．

【详解】解：如图可知：1DDOA，2EEPB，

DOACOP，EPBCPO，

12DECOPCPODE180C309018090210，故答案为：210．

【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．

例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB∥DF，则1

的度数为（）

A．30B．45C．60D．75

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得BAED90，

从而得到CAE60，再由三角形内角和定理，即可求解．

【详解】解：∵AB∥DF，ÐD=90°，∴BAED90，

∵BAC30，∴CAE60，∵E45，∴1180ECAE75．故选：D

例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板ABC、DEF，其中ACBDEF90，

A30，D45．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB

向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当DEAB时，ACE60；

②BEF逐渐变小；③若直线DF与直线AB交于点M，则ACEDME为定值；④若ABC的一边与DEF

的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

【答案】①③④

【分析】①由DEAB即可判断；②过点C作CHAB，即可判断；③分别讨论当直线DF与线段AB相

交、直线DF与线段AB的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．

【详解】解：①∵DEAB，点E、C、D始终保持在一条直线上∴CEAB

∵A30∴ACE60故①正确；②如图1：过点C作CHAB

当点E从点A移动到点H位置时，DEB的度数在逐渐增大∴BEF的度数在逐渐减小

当点E从点H移动到点B位置时，BEF的度数在逐渐增大故②错误；

③当直线DF与线段AB交于点M，如图2：∵DEBAACE,DDEBDME180

∴ACE3045DME180∴ACEDME105

当直线DF与线段AB的延长线交于点M，如图3：∵DEBAACE,DDEBDME180

∴ACE3045DME180∴ACEDME105

故若直线DF与直线AB交于点M，则ACEDME为定值故③正确；

④当点E在线段AH上时，且BEFB60，则EF∥BC；

当点E在线段BH上时，且BEFA30，则EF∥AC；

当ECBD45时，则DF∥BC；∴若ABC的一边与DEF的某一边平行，则符合条件的点E的位

置有3个故④正确；故答案为：①③④

【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点．掌

握相关数学结论是解题关键．

例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线MN上，两个直角顶点重合在一起，

交直线MN于点C，其中A30，EDC45．

(1)如图2，将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中，ECB与ACD的数量关

系是___________；(2)将图1中的三角板CDE绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时CE在ACB

的内部，ED与AB相交于点P，当ECB30时，求DPB的度数；(3)将图1中的三角板CDE绕点C按

逆时针方向旋转，当DE∥AB时，DCB的度数为___________．（直接写出结果即可）

【答案】(1)ECBACD(2)DPB135；(3)75或105．

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平

行线的性质，分情况讨论，作出图形是解答此题的关键．（1）利用同角的余角相等，即可得到ECBACD；

（2）证明AB∥CD，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求解；

（3）分两种情况讨论，利用平行线的性质结合三角形的外角性质求解即可．

【详解】（1）解：ECBACD，理由如下：

∵ACBDCE90，∴ECB90ACEACD，即ECBACD；故答案为：ECBACD；

（2）解：由（1）得ECBACD，∴A30ECBACD，∴AB∥CD，

∵EDC45，∴DPB180D135；

（3）解：如图，设DE与MN的交点为F，

∵DE∥AB，∴DFCABC60，∴MCEDFCE604515，∴DCB75；

如图，设DE与MN的交点为F，∵DE∥AB，∴DFCABC60，

∴DCBDDFC4560105；综上，DCB的度数为75或105．故答案为：75或105．

1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在Rt△ABC中，C90，若沿图中虚线剪去C，则12

的度数是（）．

A．270B．240C．180D．90

【答案】A

【分析】利用四边形内角和为360和直角三角形的性质求解即可．

【详解】解：∵在Rt△ABC中，C90，∴A+B90，

∵12AB360，∴12360AB270故选：A．

【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为360和直角

三角形的性质求解．

2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中A90，B45，

C30则DE等于（）

A．80B．75C．70D．65

【答案】B

【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出Ð1=ÐA+ÐB=135°，Ð2=ÐD+ÐE，

由C30，求出318030150，再由外角和是360即可求出答案．

【详解】解：如图，A90，B45，\Ð1=ÐA+ÐB=135°，

C30，318030150，

Ð1+Ð2+Ð3=360°，\Ð2=360°-285°=75°，

Ð2=ÐD+ÐE，\ÐD+ÐE=75°．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．

3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含45角的直角三角板的直角顶点在另一个

三角板的斜边上，若118，则2的度数是（）

A．18B．23C．28D．33

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．

【详解】解：如图，由题意得：A45，B30，

118，31A63，23B33．故选：D．

【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．

4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，123456的度数为（）

A．540°B．500°C．460°D．420°

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理可得12140，根据平角的定义和四边形内角和可得

3412140，同理可得5634140，据此即可求解．

【详解】解：如图所示，

∵A40，∴1218040140，

∵17180，28180，∴1278360

∵7834360∴3412140，

同理可得：5634140，∴1234561403420，故选：D．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于360是解题的关键．

5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）

A．90°B．360°C．180°D．无法确定

【答案】C

【详解】如图，连接BC，

∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，

又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C．

6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若CGE125，则ABCDEF．

【答案】250/250度

【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出EMGDC，HGNCDE，

AHGB55，ANG55F，再根据AAHGHGNANG360，进行求解即可得出最

后结果．

【详解】解：如图，进行标注，

EMG是△MDC的一个外角，EMGDC，

HGN是MEG的一个外角，HGNEEMG，即HGNCDE，

AHG是BHG的一个外角，AHGBBGH，

BGH180CGE18012555，AHGB55

ANG是VNGF的一个外角，

ANGNGFF180125F55F，AAHGHGNANG360

AB55CDEF55360

ABCDEF3605555250，故答案为：250．

【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．

7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知160，CDEFAB．

【答案】240/240度

【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．

【详解】连接CG，ABACGBGC，

∴ABACFFACGBGCACFF

ACGACFBGCF180FGB1801120

又DE1801120，

∴ACFDEFAB1202240．故答案为：240．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质

以及三角形内角和定理是解决问题的关键．

8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠

放在一起，当ACE180，且点E在直线AC的上方时，他发现若ACE，则三角板BCE有

一条边与斜边AD平行．

【答案】30或120或165

【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．

【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．

∵AD∥BC，∴DBCD30，

∵ACEECDECDDCB90，∴ACEDCB30．

②如图2中，当ADCE时，DCED30，可得ACE9030120．

③如图3中，当ADBE时，延长BC交AD于M．

∵ADBE，∴AMCB45，∴ACM180604575，∴ACE7590165，

综上所述，满足条件的ACE的度数为30或120或165．故答案为：30或120或165．

【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类

讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．

9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若EOC115，则ABCDEF．

【答案】230°

【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠

1=∠A+∠B，即可得到结论．

【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，

∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．

【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．

10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：

（1）如图1，已知ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=°．

（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=°．

（3）如图2，根据（△1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．

【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A

【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；

（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果．

【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案为：270°；

（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；

（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；

证明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A．

【点睛】主要考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理、四边形内

角和定理是解题的关键．

11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在RtABC中，ACB90，A65，D是AB边上一点，连接CD，

将ACD沿CD翻折，使A点落在BC边上的E点处，则BDE的度数为度．

【答案】40

【分析】根据折叠的性质和三角形内角和的性质，求得ADC的度数，即可求解．

1

【详解】解：根据折叠的性质可得ACDDCEACB45，ADCCDE

2

由三角形内角和的性质可得：ADC180AACD70，

∴ADE2ADC140∴BDE180ADE40故答案为：40

【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．

(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；

(2)若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

【答案】（1）47°；（2）43°

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出OBDACD2，由平分线的定义可得出

11

DBFACD1、OCGACO，再结合三角形内角和定理即可得出BECD1，代入D度数即

22

1

可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出DCM90ACD，根据三角形外角性质结合（1）

2

11

中DBFACD1即可得出MFCDACD1，再根据三角形内角和定理即可得出

22

BMC91D，代入D度数即可得出结论．

【详解】解：（1）DOBDBOD180，AACOAOC180，BODAOC，

DOBDAACO，A48，D46，OBDACD2．

BE平分ABD交CD于F，CE平分ACD交AB于G，

111

DBFOBDACD1，OCGACO．

222

DDBFBFD180BECOCGCFE，BFDEFC，

11

DACD1BECACD，BECD147．

22

（2）ACDDCH180，CM平分DCH交直线BF于M，

111

DCMDCH(180ACD)90ACD，

222

1

MFCDDBFDACD1，MFCDCMBMC180，

2

11

BMC180MFCDCM180(DACD1)(90ACD)91D43．

22

【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键

是：（1）根据三角形内角和定理找出BECD1；（2）根据三角形内角和定理找出BMC91D．本

题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．

13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在ABC上（P点

在ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．探究ABP与ACP是否存

在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若A50，则ABCACB_____度，PBCPCB_____

度，ABPACP_____度；(2)类比探索：请探究ABPACP与A的关系；(3)类比延伸：如图②，

改变直角三角板PMN的位置，使P点在ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和

点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．

【答案】(1)130；90；40(2)ABPACP90A(3)不成立，ACPABP90A，理由见解析

【分析】（1）已知A50，根据三角形内角和定理易求ABCACB的度数，已知P90，根据三角

形内角和定理易求PBCPCB的度数，进而得到ABPACP的度数；

（2）由（1）中ABCACB的度数，PBCPCB的度数，相减即可得到ABPACP与A的关系；

（3）由于在ABC中，ABCACB180A，在PBC中，PBCPCB90，相减即可得到结论．

【详解】（1）解：∵A50，∴ABCACB180A18050130，

∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABPACPABCACBPBCPCB1309040．故答案为：130；90；40．

（2）ABPACP与A的关系为：ABPACP90A，

理由如下：由（1）得：ABCACB180A，∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABPACPABCACBPBCPCB180A9090A．

∴ABPACP90A．

（3）不成立，存在ACPABP90A，

理由如下：在ABC中，ABCACB180A，在PBC中，∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABCACBPBCPCB180A90，∴ACBPCBPBCABC90A，

∴ACPABP90A．∴（2）中的结论不成立．

【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

180．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出ABCACB，PBCPCB的度数．

14．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，CAD与CBD的角平分线交于点P．

(1)若C35，D29，求P的度数；(2)直接写出D，C，P的数量关系；(3)若CAD与CBD

的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．

1

【答案】(1)32(2)P(CD)(3)（2）的结论仍然成立，见解析

2

【分析】（1）顶角相等可得AECBEP，BFDAFP，利用三角形的内角和定理得

CCAEPPBE，DDBFPPAF，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本

性质变形可得，CD2P，从而求出P的度数；

（2）顶角相等可得AECBEP，BFDAFP，利用三角形的内角和定理得

CCAEPPBE，DDBFPPAF，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本

性质变形可得，CD2P，从而求出D，C，P的数量关系；

（3）的解析可得CD2P，时D，C，P的关系与CAD与CBD的大小无关，所以

1

P(CD)，即（2）的结论仍然成立．

2

【详解】（1）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD与CBD的角平分线交于点P，

∴CAEPAF，DBFPBE，∴CD2P，

11

∴P(CD)(3529)32；

22

（2）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD与CBD的角平分线交于点P，∴CAEPAF，DBFPBE，

1

∴CD2P，∴P(CD)；

2

（3）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD与CBD的角平分线交于点P，

∴CAEPAF，DBFPBE，∴CD2P，

此时D，C，P的关系与CAD与CBD的大小无关，

即（2）的结论仍然成立．

【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是

解题的关键．

15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中

ACB30，∠DAE45，BACD90．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋

转，记旋转角CAE(0180)．

(1)在旋转过程中，当为度时，AD∥BC；当为度时，ADBC．

(2)当045时，连接BD，利用图3探究BDECAEDBC值的大小变化情况，并说明理由．

【答案】(1)15，105(2)不变，理由见解析

【分析】（1）如图1，记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G，由AD∥BC，可得

DAFC30，再利用角的和差关系可得答案；如图2，记AD与BC的交点为F，求解

DAC180AFCC180903060，由角的和差关系可得答案；

（2）如图3，设BD分别交AC、AE于点M、N，在AMN中，可得AMNCAEANM180，结

合ANMEBDE，AMNCDBC，从而可得答案．

【详解】（1）解：如图1，记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G，

AD∥BC，DAFC30，DAE45，CAE15，即15，

如图2，记AD与BC的交点为F，

ADBC，AFC90，DAC180AFCC180903060，

CAEDACEAD6045105，即105，

（2）当045，BDECAEDBC105，保持不变，理由如下：

如图3，设BD分别交AC、AE于点M、N，在AMN中，AMNCAEANM180，

ANMEBDE，AMNCDBC，EBDECAECDBC180

C30，E45，BDECAEDBC105．

【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利

用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．

16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（△MPN，MPN90）放置在ABC上（点P在ABC

内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究ABP与ACP是否存在某

种数量关系．

(1)特例探究：若A50，则PBCPCB________度，ABPACP________度．

(2)类比探究：ABP、ACP、A的关系是___________________．

(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，