专题14 弧长及扇形的面积重难点题型专训（七大题型）（原卷版）

专题14弧长及扇形的面积重难点题型专训（七大题型）【题型目录】题型一求弧长题型二求扇形半径题型三求圆心角题型四求某点的弧形运动路径长度题型五求扇形面积题型六求弓形面积题型七求不规则图形的面积【经典例题一求弧长】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，若，则的长为（）

A． B． C． D．2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，以为直径的与相交于点E，与相交于点F，，已知，，则的长为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若该莱洛三角形的周长（即外周三段弧的和）为，则的边长为．

4．（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是．

5．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，一量角器所在圆的直径为，其外缘有两点，其读数分别为和．

(1)劣弧所对圆心角=__________；(2)求的长（结果不求近似值）．6．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）【感知】（1）如图，在中，，，，是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线分别与、相交于G、H．证明：．【探究】（2）证明：点A、C、G、D均在以为直径的圆上．【拓展】（3）在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为．【经典例题二求扇形半径】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为．4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知．（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长．6．（2022秋·全国·九年级统考期末）庆祝小丽十三岁生日那天，小丽和位好朋友一起均匀地围坐在一张半径为厘米的圆桌旁，每人离圆桌的距离均为厘米．后来小丽的爸爸和妈妈也赶到了，在座的每个人都向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，此时人之间的距离与原来人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等，那么每人向后挪动的距离是多少厘米？【经典例题三求圆心角】1．（2023·河北邯郸·校考三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（

）

A．1 B．2 C． D．2．（2021秋·甘肃金昌·九年级校考阶段练习）在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．（2023·云南临沧·统考三模）现有一个圆周的扇形纸片，该扇形的半径为40cm，小琪同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为．4．（2023秋·湖北荆州·九年级统考期末）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，的长为，扇面的长为，若弧的长为，则扇面的面积为．5．（2023·福建·模拟预测）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为

m；(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）；②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长（不足一分钟按一分钟记）．6．（2021·河北邢台·校考二模）如图1，扇形的半径为6，弧长为．（1）求圆心角的度数；（2）如图2，将扇形绕点逆时针旋转60°，连接，．①判断四边形的形状并证明；②如图3，若，将绕点旋转，与，分别交于点（点，与点，，均不重合），判断的值是否为定值，如果是定值请求出；如果不是，说明理由．【经典例题四求某点的弧形运动路径长度】1．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为()

A． B．， C．， D．，2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将边长为的正方形绕着其中心点沿所在直线顺时针转动，转动四周后刚好在以为中心的正方形处，在此过程中，中心点移动的路径长为(

)

A． B． C． D．无法计算3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键．4．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是．

5．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是

(1)将平移，使点B平移到，画出平移后的，此时线段的长度为；(2)画出绕坐标原点O逆时针旋转后的，那么在旋转过程中点C走过的路径长为．6．（2023春·九年级单元测试）为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）【经典例题五求扇形面积】1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，是等边三角形，是边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧分别交，于点，，过点作于点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，求出阴影部分的面积（结果保留）．

4．（2023秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，正方形的边长为，点E为的中点，以E为圆心，为半径作圆，分别交、于M、N两点，与切于P点．则图中阴影部分的面积是．

5．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）在长方形中，弧是以为圆心的一段圆弧，．

求：(1)用含有的代数式表示阴影部分的面积；(2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）．6．（2023·吉林长春·统考一模）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．作点关于直线的对称点，连结．

(1)当点与点重合时，的大小为________度；(2)当时，求的长；(3)当平分线段时，求扇形的面积；(4)连接，当时，直接写出线段的长．【经典例题六求弓形面积】1．（2023·山西临汾·统考二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年级单元测试）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为．

4．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，以为直径作交斜边于点D，点M是中点，过点M作直线于点E，交于点F．(1)证明：是的切线；(2)若，求图中阴影部分面积．【经典例题七求其他不规则图形的面积】1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则